2022-2023学年广西北海市八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广西北海市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 下列几组数中，能构成直角三角形三边的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3. 下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对边相等且平行
4. 已知点在第四象限，那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
5. 关于的一次函数的图象可能正确的是( )
A. B. C. D.
6. 如图，若要用“”证明≌，则还需补充条件( )
A.
B. 或
C.
D. 以上都不正确
7. 函数中自变量的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 一个凸多边形的内角和比它的外角和的倍还多，则这个多边形是( )
A. 九边形 B. 八边形 C. 七边形 D. 六边形
9. “早发现，早报告，早隔离，早治疗”是我国抗击“新冠肺炎”的宝贵经验，其中“早”字出现的频率是( )
A. B. C. D.
10. 如图，，点是的平分线上一点，点是射线上一点，，于点，于点，，则的长为( )
A. B. C. D.
11. 小强和爷爷经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山．有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷．图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离米与爬山所用时间分的关系从小强开始爬山时计时根据图象，下列说法错误的是( )
A. 在爷爷上山米后，小强开始追赶 B. 小强在分钟后追上爷爷
C. 爷爷早锻炼到山顶一共用了分钟 D. 小强的速度是爷爷的速度的倍
12. 如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点、分别为线段、的中点，点为线段上一动点，当最小时，点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）
13. 点关于轴对称的点的坐标为______ ．
14. 菱形中，若周长是，对角线，则菱形的面积为______ ．
15. 已知函数是一次函数，则________．
16. 定义：在函数中，我们把关于的一次函数与称为一组对称函数，如与是一组对称函数则的对称函数与轴交点坐标______ ．
17. 如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则的长为______．
18. 如图，过作且，根据勾股定理，得，过作且得；以此类推，得 ______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
如图是屋架设计图的一部分，立柱垂直于横梁，，，，求的长度．
20. 本小题分
如图，在 中，对角线与相交于点，点、分别为、的中点，连接、求证：≌．
21. 本小题分
在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标是．
将沿轴正方向平移个单位得到，画出，并写出点的坐标；
画出关于轴对称的，并求出的面积．
22. 本小题分
为进一步落实中小学生“作业、睡眠、手机、读物、体质”五项管理工作，某初中学校为了解学生“睡眠”状况，数学社团成员采用随机抽样的方法，在全校学生中抽取了部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间单位：进行了调查，将数据整理后绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下：
睡眠时间 频数 频率
请根据图表信息回答下列问题：
在频数分布表中，______；______．
将频数分布直方图补充完整；
请估算该校名学生中睡眠不足小时的人数；
根据“睡眠”管理要求，初中生每天睡眠时间不低于小时．请你根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议．
23. 本小题分
某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是元，批发一箱该农产品的利润是元．
已知该公司某月卖出箱这种农产品共获利润元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？
经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的现该公司要经营箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？
24. 本小题分
如图，直线的表达式为，且与轴交于点，直线经过点，，直线，交于点．
求点的坐标；
求直线的表达式；
点是轴上的一个动点，当的面积为时，求出点的坐标．
25. 本小题分
已知：如图，在 中，、分别为边、的中点，是对角线，交的延长线于．
求证：≌；
若四边形是菱形，则四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论．
26. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与直线：相交于点，直线与轴交于点．
求直线的函数解析式；
将沿直线翻折得到，使点与点重合，与轴交于点求证：四边形是菱形；
在直线下方是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点坐标：若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
2.【答案】
【解析】解：、，不能组成直角三角形，不符合题意；
B、，不能组成直角三角形，不符合题意；
C、，能组成直角三角形，符合题意；
D、，不能组成直角三角形，不符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：因为矩形的对角线相等，所以选项不符合题意；
B.因为矩形和菱形的对角线都互相平分，所以选项不符合题意；
C.因为菱形对角线互相垂直，所以选项符合题意；
D.因为矩形和菱形的对边都相等且平行，所以不符合题意．
故选：．
根据矩形的性质和菱形的性质逐一进行判断即可．
本题考查了矩形的性质、菱形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质、菱形的性质．
4.【答案】
【解析】解：点在第四象限，
，
解得：，
故选：．
根据点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数，把原题转化为解不等式组问题．
坐标平面被两条坐标轴分成了四个象限，每个象限内的点的坐标符号各有特点，该知识点是中考的常考点，常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围，比如本题中求的取值范围．
5.【答案】
【解析】解：令，则函数的图象与轴交于点，
，
图象与轴的交点在轴的正半轴上．
故选：．
根据图象与轴的交点直接解答即可．
本题考查一次函数的图象，考查学生的分析能力和读图能力．
6.【答案】
【解析】解：若要用“”证明≌，则还需补充条件或，
故选：．
图形中已有条件，只缺一对直角边对应相等，因此添加一对直角边对应相等即可．
此题主要考查了直角三角形全等的判定，关键是掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等可以简写成“斜边、直角边”或“”．
7.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于即可得出答案．
本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于是解题的关键．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查根据多边形的内角和和外角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
设这个多边形的边数为，再根据多边形的内角和公式和多边形的外角和定理列出方程，然后求解即可．
【解答】
解：设这个多边形的边数为，则内角和为，依题意得：
，
解得．
所以这个多边形是九边形．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：“早”字出现的频率是：，
故选：．
利用频率的计算方法计算即可．
此题主要考查了频率，关键是掌握频率频数总数．
10.【答案】
【解析】解：点是的平分线上一点，
，
，
，
，
，
，，
，
点是的平分线上一点，，，
，
故选：．
根据已知条件可得，进一步可得，根据平行线的性质可得的度数，再根据含角的直角三角形的性质可得的长，再根据角平分线的性质可得的长．
本题考查了直角三角形的性质，平行线的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：：由图象可知小强让爷爷先上了米；故A正确；
：小强用分钟追上，故B正确；
：爷爷速度为：米分钟，
爷爷早锻炼到山顶一共用了：分钟，
故C错误；
：小强速度为：米分钟，
爷爷速度为：米分钟，
，故D正确；
故选：．
由图象可知在爷爷先上了米后，小强开始追赶；由图象，两条线段的交点即为小强追上爷爷所用的时间；由轴纵坐标可知，山顶离地面的高度，又有爷爷的速度，可求爷爷所用的时间；利用路程时间速度，即可求出速度的关系．
本题考查了函数图象，解决本题的关键是熟练掌握一次函数的运用，能够看懂一些简单的图形．
12.【答案】
【解析】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，如图所示．
令中，则，
点的坐标为；
令中，则，解得：，
点的坐标为．
点、分别为线段、的中点，
点，点．
点和点关于轴对称，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
直线过点，，
有，解得：，
直线的解析式为．
令中，则，解得：，
点的坐标为．
故选C．
根据一次函数解析式求出点、的坐标，再由中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质找出点的坐标，结合点、的坐标求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标．
本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是找出点的位置．
13.【答案】
【解析】解：点关于轴对称的点的坐标为．
故答案为：．
直接利用关于轴对称点的性质分析得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
14.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，且周长是，对角线，
，，，
在中，，
，
故答案为：．
首先根据题意画出图形，由菱形中，若周长是，对角线，可求得，与的长，然后由勾股定理求得的长，继而求得答案．
此题考查了菱形的性质以及勾股定理．解决本题的关键是掌握菱形的性质．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为．
根据一次函数的定义，令，即可解答．
【解答】
若两个变量和间的关系式可以表示成为常数，的形式，
则称是的一次函数为自变量，为因变量．
因而有，
解得：，
又，
．

16.【答案】
【解析】解：由对称函数的定义可得，的对称函数是，
把代入，可得：，
的对称函数与轴交点坐标为，
故答案为：．
根据对称函数得出函数解析式，进而解答即可．
此题考查一次函数与几何变换，关键是根据对称函数得出函数解析式解答．
17.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，，
，
是翻折而成，
，，是直角三角形，
，
在中，，
设，
在中，，即，
解得，则．
故答案为：．
先根据矩形的特点求出的长，再由翻折变换的性质得出是直角三角形，利用勾股定理即可求出的长，再在中利用勾股定理即可求出的长．
本题考查了翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
18.【答案】
【解析】解：为直角三角形，，，
；
为直角三角形，，，
；
，
．
故答案为：．
利用勾股定理分别求出各边长，进而得出每个斜边的长的规律，进而得出答案．
本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是反复利用勾股定理，依次递进，逐步求出每个斜边的长．
19.【答案】解：，
，
，
，
，
米．
答：的长度为米．
【解析】利用角所对的直角边等于斜边的一半可求得的长．
本题考查含度角的直角三角形，解题的关键是掌握直角三角形度角所对的直角边等于斜边的一半．
20.【答案】证明：四边形是平行四边形，对角线与相交于点，
，，，
，
点、分别为、的中点，
，，
，
在和中，
，
≌．
【解析】由平行四边形的性质得，，，则，因为，，所以，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌．
此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、等式的性质、全等三角形的判定等知识，证明及是解题的关键．
21.【答案】解：如图，即为所求作，点的坐标．
如图，即为所求作，的面积．

【解析】本题考查作图轴对称变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
分别作出，，的对应点，，即可，根据平移的性质得出点的坐标．
分别作出，，的对应点，，即可，利用分割法求出三角形面积．
22.【答案】
【解析】解：样本容量为：，
故，，
故答案为：；；
将频数分布直方图补充完整如下：
人，
答：该校名学生中睡眠不足小时的人数约人；
建议学校尽量让学生在学校完成作业，课后少布置作业．答案不唯一．
根据睡眠时间为“”的人数和频率，可以求得本次调查的人数，进而计算出、的值；
根据的值即可将频数分布直方图补充完整；
根据每天睡眠时长低于小时的人数所占比例可以计算出该校学生每天睡眠时长低于小时的人数．
根据调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议即可．
本题考查扇形统计图、频数分布直方图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23.【答案】解：设该公司当月零售这种农产品箱，则批发这种农产品箱，依题意得
，
解得：，
箱，
答：该公司当月零售这种农产品箱，批发这种农产品箱；
设该公司当月零售这种农产品箱，则批发这种农产品箱，依题意得
，
解得，
设该公司获得利润为元，依题意得
，
即，
，随着的增大而增大，
当时，取最大值，此时元，
批发这种农产品的数量为箱，
答：该公司零售、批发这种农产品的箱数分别是箱，箱时，获得最大利润为元．
【解析】本题考查了一元一次方程和一次函数的应用，根据题意列出函数表达式，熟练掌握函数性质根据自变量取值范围确定函数值是解决问题的关键．
设该公司当月零售这种农产品箱，则批发这种农产品箱，依据该公司某月卖出箱这种农产品共获利润元，列方程求解即可．
设该公司当月零售这种农产品箱，则批发这种农产品箱，该公司获得利润为元，进而得到关于的函数关系式，利用一次函数的性质，即可求解．
24.【答案】解：与轴交于点，
令则，
，
设直线为，由题意知，在上，
，
解得：，
：；
设，
，交于点，
，
解得：，
，
，
，
，
，
解得：或，
或．
【解析】在直线的图象上，计算的函数表达式中时的的值即可；
设直线的解析表达式为，利用待定系数法把，代入可得关于、的方程组，计算出、的值，进而可得函数解析式；
联立两个函数解析式组成方程组，解方程组可求得的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解．
本题考查了一次函数两图象相交问题以及待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握两函数图象相交交点坐标就是两函数解析式组成的方程组的解．
25.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，．
点、分别是、的中点，
，．
．
在和中，
，
≌．
解：当四边形是菱形时，四边形是矩形．
证明：四边形是平行四边形，
．
，
四边形是平行四边形．
四边形是菱形，
．
，
．
，．
，
．
．
即．
四边形是矩形．
【解析】在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件，然后用来证明全等；
先由菱形的性质得出，再通过角之间的关系求出即，所以判定四边形是矩形．
本题主要考查了平行四边形的基本性质和矩形的判定及全等三角形的判定．平行四边形基本性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分．三角形全等的判定条件：，，，．
26.【答案】解：直线：与直线：相交于点，
，
直线交交轴于点，
，
把代入得，，
，
直线的解析式为；
证明：，
，
将沿直线翻折得到，
，，
，
四边形是菱形；
解：如图，过作于，
则，
，
，
，
，
过作轴于，
是等腰直角三角形，
，
，
，
≌，
，
；
同理可得，，
综上所述，点的坐标是或或
【解析】解方程得到，待定系数法即可得到结论；
根据勾股定理得到，折叠的性质得到：，，从而有，于是得到结论；
如图，过作于，求得，得到，过作轴于，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了一次函数的综合题，折叠的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的求得点的坐标是解题的关键．
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