立体几何总复习[下学期]
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立体几何总复习
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预备知识
角的知识
正弦定理
A
B
C
b
c
S
ABC
=
bc sinA
余弦定理
A
B
C
b
c
a
cosA=
直线与平面所成角
直线与平面所成角
平面与平面所成角
平面与平面所成角
异面直线所成的角
异面直线所成的角
异面直线所成的角
异面直线所成的角
A
B
D
C
A1
B1
D1
C1
在正方体AC1中，求异面直线A1B和B1C所成的角？
A1B和B1C所成的角为60°
和A1B成角为60°的面对角线共有 条。
在正方体AC1中，求异面直线D1B和B1C所成的角？
A
B
D
C
A1
B1
D1
C1
E
在正方体AC1中，M,N分别是A1A和B1B的中点，求异面直线CM和D1N所成的角？
A
B
D
C
A1
B1
D1
C1
M
N
P
A
B
C
M
N
空间四边形P-ABC中，M，N分别是PB，AC的中点，PA=BC=4，MN=3，求PA与BC所成的角？
E
已知：两异面直线a,b所成的角是50 °，P为
空间中一定点，则过点P且与a,b都成30°角的
直线有 条。
a
b
P
O
2
斜线与平面所成的角
平面的一条斜线
和它在这个平面内的射影
所成的锐角
A
O
B
当直线与平面垂直时，直
线与平面所成的角是90°
当直线在平面内或
与平面平行时，
直线与平面所成的角是0°
斜线与平面所成的角
（ 0°, 90°）
直线与平面所成的角
〔 0°, 90°〕
异面直线所成的角
（ 0°, 90°〕
若斜线段AB的长度是它在平面 内的射影长的2倍，则AB与 所成的角为 。
60°
A
O
B
最小角原理
A
O
B
C
斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角。
若直线 l1与平面所成的角为60 ° ，则这条直线与平面内的直线所成的一切角中最小的角为 ，最大的角为 。
90°
60°
O
l1
若直线 l1与平面所成的角为30 ° ，直线 l2 与 l1 所成的角为60 °,求直线 l2与平面所成的角 的范围
l1
0°, 90°
l2
l2
A
O
B
C
如图,直线OA与平面 所成的角为 ,平面内一条直线OC与OA的射影OB所成的角为,设∠AOC为 2
求证:cos 2= cos 1 ×cos
求直线与平面所成的角时,应注意的问题:
(1)先判断直线与平面的位置关系
(2)当直线与平面斜交时，常采用以下步骤：
①作出或找出斜线上的点到平面的垂线
②作出或找出斜线在平面上的射影
③求出斜线段，射影，垂线段的长度
④解此直角三角形，求出所成角的相应函数值
例题、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，
求A1B与平面A1B1CD所成的角
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O
S
A
C
B
O
F
E
如图， ACB=90 ，S为平面ABC外一点， SCA= SCB= 60 ，求SC与平面ACB所成的角
A
B
C
D
F
E
A
D
F
D`
A`
C
G
B
E
正方形ABCD边长为3，AE=2BE，CF=2DF，沿EF将直角梯形AEFD折起，使点A`的射影点G落在边BC上，求A`E与平面ABCD所成的角？
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，O为下底面AC的中心，求A1O与平面BB1D1D所成的角
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O
O`
S
A
C
B
O
F
E
如图，SA,SB,SC是三条射线， BSC=60 ,SA上一点P到平面BSC的距离是3, P到SB,SC的距离是5,求SA与平面BSC所成的角
P
正四面体P—ABC中，求侧棱PA与
底面ABC所成的角
P
A
B
C
H
D
从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角
这条直线叫做二面角的棱
从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角
这条直线叫做二面角的棱
二面角的平面角
二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点，
以二面角的棱上任意一点为端点，
在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，
在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，
这两条射线所成的角叫做二面角的平面角
这两条射线所成的角叫做二面角的平面角
O
二面角的求法
二面角的求法
(1)垂线法——利用三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小
(2)垂面法——通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角
(3)射影法——若多边形的面积是S，它在一个平面上的射影图形面积是S`，则二面角 的大小为COS = S`÷ S
垂线法
垂面法
A
B
C
D
O
射影法
A
B
C
A`
M
已知：如图⊿ABC的顶点A在平面M上的射影为点A`， ⊿ABC的面积是S， ⊿A`BC的面积是S`，设二面角A-BC-A`为
求证：COS = S` ÷ S
D
A
B
D
C
A1
B1
D1
C1
在正方体AC1中，求二面角D1—AC—D的大小？
O
过正方形ABCD的顶点A引SA⊥底面ABCD，并使平面SBC，SCD都与底面ABCD成45度角，求二面角B—SC—D的大小？
A
B
C
D
S
O
E
在正方体AC1中，E，F分别是AB，AD的中点，求二面角C1—EF—C的大小？
E
F
A
B
D
C
A1
B1
D1
C1
⊿ABC中,AB⊥BC,SA ⊥平面ABC,DE垂直平分SC,又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小
S
A
B
C
E
D
A
B
C
D
求正四面体的侧面与底面所成的二面角的大小？
求正四面体的侧面与底面所成的二面角的大小？
三棱锥P-ABC中，PA ⊥平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC
P
A
B
C
（1）求二面角P-BC-A的大小
3
4
三棱锥P-ABC中，PA ⊥平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC
P
A
B
C
（1）求二面角P-BC-A的大小
（2）求二面角A-PC-B的大小
D
E
BD=
DE=
COS =
在正方体AC1中，E,F分别是中点,求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小
E
F
G
A
B
D
C
A1
B1
D1
C1
F
G
B
C
D
A
F
E
A1
C
在正方体AC1中，E,F分别是中点,求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小
E
F
G
A
B
D
C
A1
B1
D1
C1
H
F
G
B
C
D
A
H
四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，PD⊥面ABCD，PD=6，M,N是PB,AB的中点，求二面角M-DN-C的平面角的正切值？
P
D
A
B
C
N
M
O
H
直线和平面的位置关系
直线和平面的平行关系
平面和平面的平行关系
直线在平面内
直线和平面相交
直线和平面平行
线面位置关系
有无数个公共点
有且仅有一个公共点
没有公共点
位置关系 图 示 表示方法 公共点个数
直线在平面内 a 无数个
直线在平面外 直线与平面相交 斜交 a 一个
垂直相交 a 一个
直线与平面平行 a 无
α
a
α
a
α
A
A
a
α
a
平行于同一平面的二直线的位置关系是 （ ）
（A） 一定平行
（B） 平行或相交
（C） 相交
（D） 平行，相交，异面
D
（1）点A是平面 外的一点，过A和平面 平行的直线有 条。
α
A
无数
（2）点A是直线l 外的一点，过A和直线l 平行的平面有 个。
A
无数
（3）过两条平行线中的一条和另一条平行的平面有 个。
无数
（4）过两条异面直线中的一条和另一条平行的平面有 个。
且仅有一
（5）如果l1 // l2 , l1 平行于平面 ， 则l2 平面
l1
l2
l2
或 //
（6）如果两直线a ,b 相交，a平行于平面 ，则b与平面 的位置关系是 。
a
b
b
相交或平行
过直线 l 外两点 ，作与直线 l平行 的平面，这样的平面 （ ）
（A） 有无数个
（C） 只能作出一个
（B） 不能作出
（D） 以上都有可能
A
B
l
过直线 l 外两点 ，作与平面 平行， 的平面，这样的平面 （ ）
（A） 有无数个
（C） 只能作出一个
（B） 不能作出
（D） 以上都有可能
A
B
l
过直线 l 外两点 ，作与平面 平行， 的平面，这样的平面 （ ）
（A） 有无数个
（C） 只能作出一个
（B） 不能作出
（D） 以上都有可能
A
B
l
D
(1) 定义——直线与平面没有公共点
(2) 定理——如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
线面平行判定定理——如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
已知：a b a//b
求证：a//
a
b
P
(1) a,b确定平面 ， =b
(2) 假设a与 不平行
则a与 有公共点P
则P =b
(3) 这与已知a//b矛盾
(4) ∴a //
如图，空间四面体P-ABC, M,N分别是面PCA和面PBC的重心 求证：MN//面BCA
E
F
P
∵MN// EF
∴ MN //面BCA
线线平行
线面平行
如图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面交于AB，AM=FN求证：MN//面BCE
A
B
C
D
E
F
M
N
G
H
∵MN // GH
∴ MN //面BCE
线线平行
线面平行
如图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面交于AB，AM=FN求证：MN//面BCE
A
B
C
D
E
F
M
N
H
∵△AFN∽ △BNH
∴ AN/NH=FN/BN
∴ AN/NH=AM/MC
∴ MN//CH
∴ MN //面BCE
A
B
D
C
A1
B1
D1
C1
在正方体AC1中，E为DD1的中点，求证：DB1//面A1C1E
E
F
∵DB1 // EF
∴ DB1 //面A1C1E
线线平行
线面平行
在正方体AC1中，O为平面ADD1A1的中心， 求证：CO // 面A1C1B
A
B
D
C
A1
B1
D1
C1
B1
O
F
线面平行的性质
线面平行的性质
(1)如果一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面无公共点
(2)如果一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的直线成异面直线或平行直线
(3)如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线与交线平行。
如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线与交线平行
如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线与交线平行
已知：a// ,a , =b
求证：a//b
a
b
=b
b
a //
a b=
a//b
如果平面外的两条平行线中的一条与这个平面平行，则另一条直线与这个平面也平行
a
b
c
如果一条直线和两个相交平面都平行，则这条直线与它们的交线平行
a
b
c
l
已知：a // ， a// ， =l
求证：a // l
a
b
A
B
O
M
N
P
D
如图，a,b是异面直线，O为AB的中点，过点O作平面 与两异面直线a,b都平行MN交平面于点P，求证：MP=PN
α
β
知识点回顾：
一、两个平面平行的判定方法
二、两个平面平行的性质
一、两个平面平行的判定方法
1、两个平面没有公共点
2、一个平面内有两条相交
直线都平行于另一个平面
3、都垂直于同一条直线的
两个平面
两个平面平行
二、两个平面平行的性质
4、一直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面
2、其中一个平面内的直线平行于另一个平面
3、两个平行平面同时和第三个平面相交，它们的交线平行
两个平面平行
5、夹在两个平行平面间的平行线段相等
1、两个平面没有公共点
判断下列命题是否正确？
1、平行于同一直线的两平面平行
2、垂直于同一直线的两平面平行
3、与同一直线成等角的两平面平行
α
β
α
β
θ
θ
α
β
θ
θ
4、垂直于同一平面的两平面平行
5、若α∥β,则平面α内任一直线a ∥β
6、若n α,m α,n∥β,m ∥β则α∥β
∩
∩
α
β
n
m
γ
β
α
例题、如图，在正方体
ABCD-A1B1C1D1 中，
求证：面AB1D1∥面BDC1
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
证明：
BD∥B1D1
∩
BD 面BDC1
∩
B1D1 面BDC1
B1D1∥面BDC1
同理：
AB1∥面BDC1
B1D1∩AB1=B1
面AB1D1∥
面BDC1
线∥线
线∥面
面∥面
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
证法2：
AC⊥BD
A1A⊥面AC
A1C在面AC上的射影为AC
A1C⊥BD
BD∩BC1=B
A1C⊥BC1
同理:
A1C⊥面BDC1
同理:
A1C⊥面AB1D1
面AB1D1
∥面BDC1
变形1:如图，在正方体
ABCD-A1B1C1D1 中，
E,F,G分别为A1D1, A1B1,
A1A的中点
求证：面EFG∥面BDC1
变形2:若O为BD上的点
求证：OC1 ∥面EFG
O
面∥面
由上知
面EFG∥面BDC1
∩
OC1 面BDC1
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F
G
线∥面
OC1 ∥面EFG
变形3:如图,在正方体
ABCD-A1B1C1D1 中，
E,F,M,N分别为A1B1,
A1D1, B1C1, C1D1 的
中点
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F
N
M
求证：面AEF∥面BDMN
小结：
线
平行
线
线
平行
面
面
平行
面
线面平行判定
线面平行性质
面面平行判定
面面平行性质
三种平行关系的转化
A
E
B
C
D
G
F
已知：四面体A-BCD，E,F,G分别为AB,AC,AD的中点
求证：面EFG∥面BCD
练习
线面垂直的判定与性质
面面垂直的判定与性质
线面垂直的判定方法
（1）定义——如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，则直线与平面垂直。
（2）判定定理1——如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。
（3）判定定理2——如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直。
线面垂直的性质
（1）定义——如果一条直线和一个平面垂直则这条直线垂直于平面内的任意一条直线
（2）性质定理——如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行。
填空
（1）l , m l____m
（2） n , m , m与n_____, l m, l n, l
（3）l , m , l____m
（4）l //m , l , m____
相交
//
P
A
B
C
如图，AB是圆O的直径，C是异于A，B的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面
（1）BC⊥面PAC
P
A
B
C
如图，AB是圆O的直径，C是异于A，B的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面
则AH⊥面PBC
H
若AH⊥PC
A
B
D
C
A1
B1
D1
C1
O
在正方体AC1中，O为下底面的中心，
求证：AC⊥面D1B1BD
A
B
D
C
A1
B1
D1
C1
O
H
在正方体AC1中，O为下底面的中心，B1H ⊥D1O
求证：AC⊥面D1B1BD
求证：B1H⊥面D1AC
已知: l // ,m
求证: l m
m
l
n
a
b
A
c
已知: a,b是异面直线 ,AB是他们的公垂线，a , b , c
求证: AB//c
B
m
如果两个平面所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直
如果两个平面所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
A
B
E
D
C
线面垂直
线面垂直
面面垂直
面面垂直
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
P
A
B
C
∵PA⊥面ABC
∴面PAC⊥面ABC
∴面PAB⊥面ABC
∵BC⊥面PAC
∴面PBC⊥面PAC
∴面ABC⊥面PAC
如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面
如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面
A
B
D
C
E
线面垂直
线面垂直
面面垂直
面面垂直
求证：如果一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面互相垂直
a
b
求证：如果两个相交平面都与另一个平面垂直，则这两个平面的交线 l 垂直于另一个平面
l
求证：如果两个相交平面都与另一个平面垂直，则这两个平面的交线 l 垂直于另一个平面
l
P
A
B
四面体ABCD中，面ADC⊥面BCD，面ABD ⊥面BCD，设DE是BC边上的高， 求证： 平面ADE ⊥面ABC
A
B
C
E
D
面ADC⊥面BCD
面ABD ⊥面BCD
AD ⊥面BCD
AD ⊥BC
DE ⊥BC
BC ⊥面ADE
面ABC ⊥面ADE
①
②
③
④
线面垂直
面面垂直
线线垂直
①
②
③
④
P
A
C
B
⊿ABC是直角三角形, ∠ACB=90°, P为平面外一点，且PA=PB=PC 求证： 平面PAB ⊥面ABC
O
课堂练习
课堂练习
空间四面体ABCD中，若AB=BC，AD=CD，E为AC的中点，则有（ ）
A
B
C
E
D
(A) 平面ABD ⊥面BCD
(B) 平面BCD ⊥面ABC
(C) 平面ACD ⊥面ABC
(D) 平面ACD ⊥面BDE
如图，ABCD是正方形，PA ⊥面ABCD，连接PB,PC,PD,AC,BD,问图中有几对互相垂直的平面？
A
B
D
P
C
面PAC⊥面ABCD
面PAB⊥面ABCD
面PAD⊥面ABCD
面PAD⊥面PAB
面PAD⊥面PCD
面PBC⊥面PAB
面PBD⊥面PAC
如图，三棱锥P-ABC中，面PBC⊥面ABC，⊿PBC是边长为a的正三角形，∠ACB= 90°， ∠BAC=30°，BM=MC
求证： PB ⊥AC
①
②
二面角C-PA-M的大小
P
M
B
C
A
D
如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠ACB= 90°,PB=BC=CA,E为PC中点，
求证： 平面PAC ⊥面PBC
①
②
求异面直线PA与BE所成角的大小
A
C
B
E
P
如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，PA⊥底面ABCD，∠BAD= 120°,E为PC上任意一点，
A
C
D
B
P
E
求证： 平面BED ⊥面PAC
①
O
若E是PC中点，AB=PA=a,求二面角E-CD-A的大小
②
F
点—点
点—线
点—面
线—线
线—面
点—点
P
A
B
O
60°
sin60°
= 2R
= PO
点—线
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
H
已知：长方体AC1中，AB=a，AA1=AD=b
求点C1到BD的距离？
C1H=
线—线
A
B
C
D
E
F
已知：矩形ABCD和矩形ABEF所在的平面相交，EF=5，AD=13，求平行线AB和CD的距离？
点—面
A
H
从平面外一点引这个平面的垂线
垂足叫做点在这个平面内的射影
这个点和垂足间的距离叫做
点到平面的距离
线面垂直
点的射影
点面距离
已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC
试判断点P在底面ABC的射影的位置？
P
A
B
C
O
OA=OB=OC
O为三角形ABC的外心
已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？
P
A
B
C
O为三角形ABC的垂心
D
O
已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三角形ABC的三条边的距离相等,试判断点P在底面ABC的射影的位置？
P
A
B
C
O为三角形ABC的内心
O
E
F
已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC
试判断点P在底面ABC的射影的位置？外心
已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？垂心
已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三角形ABC的三条边的距离相等,试判断点P在底面ABC的射影的位置？内心
P
A
B
C
O
直角三角形ACB确定平面 ，点P在平面 外，
若点P到直角顶点C的距离是24，到两直角边的
距离都是6 ，求点P到平面 的距离？
P
A
B
C
E
F
O
例题：已知一条直线 l 和一个平面 平行，
求证：直线 l 上各点到平面 的距离相等
A
A`
B
B`
l
线—面
l
A`
A
一条直线和一个平面平行时，直线上任意一点
到这个平面的距离叫做直线到平面的距离
l
A`
A
l
A`
A
B
点—面
线—面
如果一条直线上有两个点到平面的距离
相等，则这条直线和平面平行吗？
已知一条直线上有两个点A,B到平面的距离
分别为3cm和5cm，求AB中点到平面的距离
3
5
空间四面体ABCD，问和点A,B,C,D
距离相等的平面有几个？
A
B
C
D
4
空间四面体ABCD，问和点A,B,C,D
距离相等的平面有几个？
A
B
C
D
A
B
C
D
4
3
A
B
C
A1
B1
D1
C1
正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题
(1)A到CD1的距离
D
A
B
C
A1
B1
D1
C1
正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题
(1)A到CD1的距离
D
(2)A到BD1的距离
A
B
C
A1
B1
D1
C1
正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题
(1)A到CD1的距离
D
(2)A到BD1的距离
(3)A到面A1B1CD
A
B
C
A1
B1
D1
C1
正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题
(1)A到CD1的距离
D
(2)A到BD1的距离
(3)A到面A1B1CD
(4)A到平面BB1D1
A
B
C
D
P
F
E
已知：ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是
AD，AB的中点，PC⊥面ABCD，PC=2，
求点B到平面PEF的距离？
G
O
H
点—线
点—面
线—面
棱长为1的正四面体P——ABC中，求点P到平面ABC的距离？
A
B
C
O
P
四个半径均为r的小球放置在水平桌面上，
形成一个下3上1的金字塔型，求此金字塔的高度
体
积
问
题
常用体积公式
常用体积公式
a
b
c
V
长方体
= a b c
s
常用体积公式
常用体积公式
h
V
棱柱
= ·h
s
底
V
棱柱
= ·l
s
直
常用体积公式
常用体积公式
V
棱锥
= ·h
s
底
将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使B，D两点间距离变为a，求所得三棱锥D-ABC的体积？
A
B
C
D
A
B
C
D
O
O
将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使B，D两点间距离变为a，求所得三棱锥D-ABC的体积？
A
B
C
D
A
B
C
D
O
正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DD1的中点，棱长为a,求四棱锥D1-AEC1F的体积？
A
B
D
C
A1
B1
D1
C1
E
F
平行六面体中,已知AB=AD=2a，AA1=a，∠ A1AD= ∠ A1AB= ∠ DAB= 60°
（1）求证：AA1⊥面B1CD1
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
平行六面体中,已知AB=AD=2a，AA1=a，∠ A1AD= ∠ A1AB= ∠ DAB= 60°
（1）求证：AA1⊥面B1CD1
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
平行六面体中,已知AB=AD=2a，AA1=a，∠ A1AD= ∠ A1AB= ∠ DAB= 60°
（1）求证：AA1⊥面B1CD1
（2）求平行六面体的体积？
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
V= SA1B1CD1×CE
E
o
CE=
SA1B1C1D1=
=
平行六面体中,已知AB=AD=2a，AA1=a，∠ A1AD= ∠ A1AB= ∠ DAB= 60°
（1）求证：AA1⊥面B1CD1
（2）求平行六面体的体积？
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
S⊿B1CD1=
VC1-B1CD1= S⊿B1CD1×CC1
平行六面体中,已知AB=AD=2a，AA1=a，∠ A1AD= ∠ A1AB= ∠ DAB= 60°
（1）求证：AA1⊥面B1CD1
（2）求平行六面体的体积？
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
S⊿B1CD1=
VC1-B1CD1= S⊿B1CD1×CC1
=
= S⊿B1C1D1×h
V= ( 2 S⊿B1C1D1)×h
求多面体的体积时常用的方法
1、直接法
2、割补法
3、变换法
根据条件直接用柱体或锥体的体积公式
如果一个多面体的体积直接用体积公式计算用困难，可将其分割成易求体积的几何体，逐块求积，然后求和。
如果一个三棱锥的体积直接用体积公式计算用困难，可转换为等积的另一三棱锥，而这一三棱锥的底面面积和高都是容易求得
求棱长为a的正四面体的体积？
已知正三棱锥的侧面积是18 ，高为3，求它的体积？
若正四棱锥的底面积是S，侧面积是Q，则它的体积为？
过棱锥的高的三等分点作两个平行于底面的截面，它将棱锥分为三部分体积之比（自上而下）为 。
1
7
19
P
A
B
C
三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，PA=a, PB=b, PC=c , ⊿ABC的面积为S
求点P到底面ABC的距离
A
B
C
D
P
F
E
已知：ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是
AD，AB的中点，PC⊥面ABCD，PC=2，
求点B到平面PEF的距离？
G
O
H
点—线
点—面
线—面
A
B
C
D
P
F
E
已知：ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是
AD，AB的中点，PC⊥面ABCD，PC=2，
求点B到平面PEF的距离？
G
V
棱锥B-PEF
V
棱锥P-BEF
= S⊿BFE×PC
= S⊿PFE×h
斜三棱柱ABC-A`B`C`的侧面BB`C`C的面积为S，AA`到此侧面的距离是a，求此三棱柱的体积？
A
B
C
A`
B`
C`
斜三棱柱ABC-A`B`C`的侧面BB`C`C的面积为S，AA`到此侧面的距离是a，求此三棱柱的体积？
A
B
C
A`
B`
C`
如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF//AB，EF=1.5, EF与面AC的距离为2，求此多面体的体积？
A
B
C
D
E
F
G
H
V
棱柱BCF-GHE
V
棱锥E-ADHG
=4.5
=3
多面体ABCDEF
V
=7.5
如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF//AB，EF=1.5, EF与面AC的距离为2，求此多面体的体积？
=6
B
C
D
E
F
A
V
棱锥E-ABCD
V
棱锥F-BCE
V
棱锥C-BFE
=
=1.5
=
V
棱锥C-AEB
=
V
棱锥E-ABCD
A
C
B
A1
C1
B1
正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3，侧棱长为4，求四面体ABB1C1的体积
已知三棱锥有一条棱长为4，其余各棱长为3，求其体积？
3
3
4
A
B
C
D
已知三棱锥有一条棱长为4，其余各棱长为3，求其体积？
A
B
C
D
E
V
棱锥D-ABC
V
棱锥D-BCE
V
棱锥A-BCE
= S⊿BCE×AD
V
棱锥D-ABC
已知三棱锥P-ABC中，PA=1，AB=AC=2，∠ PAB= ∠PAC= ∠BAC= 60°，求三棱锥的体积？
A
B
C
P
已知三棱锥P-ABC中，PA=1，AB=AC=2，∠ PAB= ∠PAC= ∠BAC= 60°，求三棱锥的体积？
A
B
C
P
解法一
E
O
直接法
已知三棱锥P-ABC中，PA=1，AB=AC=2，∠ PAB= ∠PAC= ∠BAC= 60°，求三棱锥的体积？
A
B
C
P
解法二
变换法
已知三棱锥P-ABC中，PA=1，AB=AC=2，∠ PAB= ∠PAC= ∠BAC= 60°，求三棱锥的体积？
解法三
割补法
A
B
C
P
E
F
已知三棱锥P-ABC中，PA=1，AB=AC=2，∠ PAB= ∠PAC= ∠BAC= 60°，求三棱锥的体积？
解法四
A
B
C
P
D
割补法
P
C
B
D
A
棱锥基本概念
棱锥的底面
棱锥的侧面
棱锥的侧棱
棱锥的顶点
棱锥的高
H
棱锥的斜高
H
P
C
B
D
A
O
棱锥基本性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比
C`
B`
D`
A`
棱锥基本性质
棱锥的高、斜高和斜高在底面的射影组成一个直角三角形。棱锥的高、侧棱和侧棱在底面的射影组成一个直角三角形
P
C
B
D
A
H
E
Rt⊿ PEH
Rt⊿ PHB
Rt⊿ PEB
Rt⊿ BEH
正棱锥
如果一个棱锥 的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心这样的棱锥叫做正棱锥
1、侧面与底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥
2、棱锥的高可以等于它的一条侧棱长
3、棱锥的高一定在棱锥的内部
4、侧面均为全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥
判断正误
在下列条件下，判断正三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC内的射影位置
在下列条件下，判断正三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC内的射影位置
1、三条侧棱相等
2、侧棱与底面所成的角相等
3、侧面与底面所成的角相等
4、顶点P到⊿ABC的三边距离相等
5、三条侧棱两两垂直
6、相对棱互相垂直
7、三个侧面两两垂直
外心
外心
内心
内心
垂心
垂心
垂心
正三棱锥
如果一个三棱锥的底面是正三角形，并且顶点在底面的射影是正三角形的中心，这样的三棱锥叫做正三棱锥
正四面体
A
B
C
D
有没有侧棱长和底面边长相等的正四棱锥？
有没有侧棱长和底面边长相等的正五棱锥？
有没有侧棱长和底面边长相等的正六棱锥？
棱锥基本性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比
棱锥的高、斜高和斜高在底面的射影组成一个直角三角形。棱锥的高、侧棱和侧棱在底面的射影组成一个直角三角形
H
O
C`
B`
D`
A`
P
C
B
D
A
设棱锥的底面积是8cm2,则这个棱锥的中截面（过棱锥的高的中点且平行于底面的截面）的面积是多少？
S中=2
过棱锥的高的三等分点作两个平行于底面的截面，它将棱锥的侧面分为三部分面积之比（自上而下）为 。
过棱锥的高作两个平行于底面的截面，它将棱锥的侧面分为三部分面积相等则它分棱锥的高的比是（自上而下） 。
正三棱锥的底面边长为a.侧棱长为b,求它的高和侧面积？
P
A
B
C
D
O
正三棱锥的底面边长为1.侧面与底面所成的角为60,求它的高和相邻两侧面所成的二面角的大小？
P
A
B
C
D
O
E
正四棱锥的底面边长为1.侧面与底面所成的角为60,求它的高和相邻两侧面所成的二面角的大小？
P
A
B
D
C
O
E
F
正三棱锥的底面边长为a .侧棱与底面所成的角为60,过底面一边做一截面使其与底面成30的二面角，求此截面面积？
P
A
B
C
O
E
F
已知： 三棱锥P-ABC的底面是等腰三角形,AB=AC=10,BC=12,棱锥的侧面与底面所成的二面角都是45,求棱锥的侧面积
D
P
A
B
C
O
连接棱长都是a的正三棱锥的侧面中心成一个三角形，求此三角形的面积？
P
A
B
C
在正四棱锥内有一个内接正方体，这正方体的四个顶点在四棱锥的侧棱上，另四个顶点在棱锥底面上，若棱锥底面边长为a,高为h，求内接正方体的棱长？
A
B
D
C
O
P
H
E
F
设内接正方体的棱长为x
在正三棱锥P-ABC的底面边长和高都是4，其内接正三棱柱的三个侧面都是正方形，求内接正三棱柱的全面积？
P
A
B
C
球面可看作与定点（球心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合
球的大圆
球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆
经度
纬度
经度是指0°经线与另一条经线所在平面所成的二面角的度数
纬度是指赤道及一条纬线同一条经线相交所得两个交点与球心的连线所成的角度
球的性质
O
O`
球心与截面圆的圆心的连线垂直于截面圆
球的公式
球的体积
球的表面积
例题选讲
球内有相距1cm的两个平行截面的面积分别是5 cm2, 8 cm2,
球心不在截面之间，求球的体积
O
O2
O1
A
B
球的表面积是2500 ，球内有两个平行截面的面积分别是49 、400 ,求两截面距离
O
O2
O1
A
B
O
O2
O1
A
B
将两个半径为1的铁球熔化成一个大球，求大球的半径？
将一个半径为1的球投入底面边长是4的正四棱柱型盛水容器中，求水面上升的高度？
将一个半径为1的球投入底面边长是4的正四棱柱型盛水容器中，求水面上升的高度？
求正方体的内切球和它的外接球的表面积之比
求正四面体的内切球和它的外接球的体积之比
D
A
B
C
H
O
半球的半径为R，一正方体的四个顶点在半球的底面上，另四个顶点在球面上，求正方体的棱长
A
B
C
D
P
F
E
已知：ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是
AD，AB的中点，PC⊥面ABCD，PC=2，
求点B到平面PEF的距离？
G
O
H
点—线
点—面
线—面
A
B
C
D
P
F
E
已知：ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是
AD，AB的中点，PC⊥面ABCD，PC=2，
求点B到平面PEF的距离？
G
V
棱锥B-PEF
V
棱锥P-BEF
= S⊿BFE×PC
= S⊿PFE×h
斜三棱柱ABC-A`B`C`的侧面BB`C`C的面积为S，AA`到此侧面的距离是a，求此三棱柱的体积？
A
B
C
A`
B`
C`
如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF//AB，EF=1.5, EF与面AC的距离为2，求此多面体的体积？
A
B
C
D
E
F
G
H
V
棱柱BCF-GHE
V
棱锥E-ADHG
=4.5
=3
多面体ABCDEF
V
=7.5
如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF//AB，EF=1.5, EF与面AC的距离为2，求此多面体的体积？
=6
B
C
D
E
F
A
V
棱锥E-ABCD
V
棱锥F-BCE
V
棱锥C-BFE
=
=1.5
=
V
棱锥C-AEB
=
V
棱锥E-ABCD
=
V
棱锥E-ABC
立体几何总复习
请将 移到相应项目上 单击
预备知识
角的知识
正弦定理
A
B
C
b
c
S
ABC
=
bc sinA
余弦定理
A
B
C
b
c
a
cosA=
直线与平面所成角
直线与平面所成角
平面与平面所成角
平面与平面所成角
异面直线所成的角
异面直线所成的角
异面直线所成的角
异面直线所成的角
A
B
D
C
A1
B1
D1
C1
在正方体AC1中，求异面直线A1B和B1C所成的角？
A1B和B1C所成的角为60°
和A1B成角为60°的面对角线共有 条。
在正方体AC1中，求异面直线D1B和B1C所成的角？
A
B
D
C
A1
B1
D1
C1
E
在正方体AC1中，M,N分别是A1A和B1B的中点，求异面直线CM和D1N所成的角？
A
B
D
C
A1
B1
D1
C1
M
N
P
A
B
C
M
N
空间四边形P-ABC中，M，N分别是PB，AC的中点，PA=BC=4，MN=3，求PA与BC所成的角？
E
已知：两异面直线a,b所成的角是50 °，P为
空间中一定点，则过点P且与a,b都成30°角的
直线有 条。
a
b
P
O
2
斜线与平面所成的角
平面的一条斜线
和它在这个平面内的射影
所成的锐角
A
O
B
当直线与平面垂直时，直
线与平面所成的角是90°
当直线在平面内或
与平面平行时，
直线与平面所成的角是0°
斜线与平面所成的角
（ 0°, 90°）
直线与平面所成的角
〔 0°, 90°〕
异面直线所成的角
（ 0°, 90°〕
若斜线段AB的长度是它在平面 内的射影长的2倍，则AB与 所成的角为 。
60°
A
O
B
最小角原理
A
O
B
C
斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角。
若直线 l1与平面所成的角为60 ° ，则这条直线与平面内的直线所成的一切角中最小的角为 ，最大的角为 。
90°
60°
O
l1
若直线 l1与平面所成的角为30 ° ，直线 l2 与 l1 所成的角为60 °,求直线 l2与平面所成的角 的范围
l1
0°, 90°
l2
l2
A
O
B
C
如图,直线OA与平面 所成的角为 ,平面内一条直线OC与OA的射影OB所成的角为,设∠AOC为 2
求证:cos 2= cos 1 ×cos
求直线与平面所成的角时,应注意的问题:
(1)先判断直线与平面的位置关系
(2)当直线与平面斜交时，常采用以下步骤：
①作出或找出斜线上的点到平面的垂线
②作出或找出斜线在平面上的射影
③求出斜线段，射影，垂线段的长度
④解此直角三角形，求出所成角的相应函数值
例题、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，
求A1B与平面A1B1CD所成的角
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O
S
A
C
B
O
F
E
如图， ACB=90 ，S为平面ABC外一点， SCA= SCB= 60 ，求SC与平面ACB所成的角
A
B
C
D
F
E
A
D
F
D`
A`
C
G
B
E
正方形ABCD边长为3，AE=2BE，CF=2DF，沿EF将直角梯形AEFD折起，使点A`的射影点G落在边BC上，求A`E与平面ABCD所成的角？
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，O为下底面AC的中心，求A1O与平面BB1D1D所成的角
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O
O`
S
A
C
B
O
F
E
如图，SA,SB,SC是三条射线， BSC=60 ,SA上一点P到平面BSC的距离是3, P到SB,SC的距离是5,求SA与平面BSC所成的角
P
正四面体P—ABC中，求侧棱PA与
底面ABC所成的角
P
A
B
C
H
D
从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角
这条直线叫做二面角的棱
从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角
这条直线叫做二面角的棱
二面角的平面角
二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点，
以二面角的棱上任意一点为端点，
在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，
在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，
这两条射线所成的角叫做二面角的平面角
这两条射线所成的角叫做二面角的平面角
O
二面角的求法
二面角的求法
(1)垂线法——利用三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小
(2)垂面法——通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角
(3)射影法——若多边形的面积是S，它在一个平面上的射影图形面积是S`，则二面角 的大小为COS = S`÷ S
垂线法
垂面法
A
B
C
D
O
射影法
A
B
C
A`
M
已知：如图⊿ABC的顶点A在平面M上的射影为点A`， ⊿ABC的面积是S， ⊿A`BC的面积是S`，设二面角A-BC-A`为
求证：COS = S` ÷ S
D
A
B
D
C
A1
B1
D1
C1
在正方体AC1中，求二面角D1—AC—D的大小？
O
过正方形ABCD的顶点A引SA⊥底面ABCD，并使平面SBC，SCD都与底面ABCD成45度角，求二面角B—SC—D的大小？
A
B
C
D
S
O
E
在正方体AC1中，E，F分别是AB，AD的中点，求二面角C1—EF—C的大小？
E
F
A
B
D
C
A1
B1
D1
C1
⊿ABC中,AB⊥BC,SA ⊥平面ABC,DE垂直平分SC,又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小
S
A
B
C
E
D
A
B
C
D
求正四面体的侧面与底面所成的二面角的大小？
求正四面体的侧面与底面所成的二面角的大小？
三棱锥P-ABC中，PA ⊥平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC
P
A
B
C
（1）求二面角P-BC-A的大小
3
4
三棱锥P-ABC中，PA ⊥平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC
P
A
B
C
（1）求二面角P-BC-A的大小
（2）求二面角A-PC-B的大小
D
E
BD=
DE=
COS =
在正方体AC1中，E,F分别是中点,求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小
E
F
G
A
B
D
C
A1
B1
D1
C1
F
G
B
C
D
A
F
E
A1
C
在正方体AC1中，E,F分别是中点,求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小
E
F
G
A
B
D
C
A1
B1
D1
C1
H
F
G
B
C
D
A
H
四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，PD⊥面ABCD，PD=6，M,N是PB,AB的中点，求二面角M-DN-C的平面角的正切值？
P
D
A
B
C
N
M
O
H
直线和平面的位置关系
直线和平面的平行关系
平面和平面的平行关系
直线在平面内
直线和平面相交
直线和平面平行
线面位置关系
有无数个公共点
有且仅有一个公共点
没有公共点
位置关系 图 示 表示方法 公共点个数
直线在平面内 a 无数个
直线在平面外 直线与平面相交 斜交 a 一个
垂直相交 a 一个
直线与平面平行 a 无
α
a
α
a
α
A
A
a
α
a
平行于同一平面的二直线的位置关系是 （ ）
（A） 一定平行
（B） 平行或相交
（C） 相交
（D） 平行，相交，异面
D
（1）点A是平面 外的一点，过A和平面 平行的直线有 条。
α
A
无数
（2）点A是直线l 外的一点，过A和直线l 平行的平面有 个。
A
无数
（3）过两条平行线中的一条和另一条平行的平面有 个。
无数
（4）过两条异面直线中的一条和另一条平行的平面有 个。
且仅有一
（5）如果l1 // l2 , l1 平行于平面 ， 则l2 平面
l1
l2
l2
或 //
（6）如果两直线a ,b 相交，a平行于平面 ，则b与平面 的位置关系是 。
a
b
b
相交或平行
过直线 l 外两点 ，作与直线 l平行 的平面，这样的平面 （ ）
（A） 有无数个
（C） 只能作出一个
（B） 不能作出
（D） 以上都有可能
A
B
l
过直线 l 外两点 ，作与平面 平行， 的平面，这样的平面 （ ）
（A） 有无数个
（C） 只能作出一个
（B） 不能作出
（D） 以上都有可能
A
B
l
过直线 l 外两点 ，作与平面 平行， 的平面，这样的平面 （ ）
（A） 有无数个
（C） 只能作出一个
（B） 不能作出
（D） 以上都有可能
A
B
l
D
(1) 定义——直线与平面没有公共点
(2) 定理——如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
线面平行判定定理——如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
已知：a b a//b
求证：a//
a
b
P
(1) a,b确定平面 ， =b
(2) 假设a与 不平行
则a与 有公共点P
则P =b
(3) 这与已知a//b矛盾
(4) ∴a //
如图，空间四面体P-ABC, M,N分别是面PCA和面PBC的重心 求证：MN//面BCA
E
F
P
∵MN// EF
∴ MN //面BCA
线线平行
线面平行
如图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面交于AB，AM=FN求证：MN//面BCE
A
B
C
D
E
F
M
N
G
H
∵MN // GH
∴ MN //面BCE
线线平行
线面平行
如图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面交于AB，AM=FN求证：MN//面BCE
A
B
C
D
E
F
M
N
H
∵△AFN∽ △BNH
∴ AN/NH=FN/BN
∴ AN/NH=AM/MC
∴ MN//CH
∴ MN //面BCE
A
B
D
C
A1
B1
D1
C1
在正方体AC1中，E为DD1的中点，求证：DB1//面A1C1E
E
F
∵DB1 // EF
∴ DB1 //面A1C1E
线线平行
线面平行
在正方体AC1中，O为平面ADD1A1的中心， 求证：CO // 面A1C1B
A
B
D
C
A1
B1
D1
C1
B1
O
F
线面平行的性质
线面平行的性质
(1)如果一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面无公共点
(2)如果一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的直线成异面直线或平行直线
(3)如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线与交线平行。
如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线与交线平行
如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线与交线平行
已知：a// ,a , =b
求证：a//b
a
b
=b
b
a //
a b=
a//b
如果平面外的两条平行线中的一条与这个平面平行，则另一条直线与这个平面也平行
a
b
c
如果一条直线和两个相交平面都平行，则这条直线与它们的交线平行
a
b
c
l
已知：a // ， a// ， =l
求证：a // l
a
b
A
B
O
M
N
P
D
如图，a,b是异面直线，O为AB的中点，过点O作平面 与两异面直线a,b都平行MN交平面于点P，求证：MP=PN
α
β
知识点回顾：
一、两个平面平行的判定方法
二、两个平面平行的性质
一、两个平面平行的判定方法
1、两个平面没有公共点
2、一个平面内有两条相交
直线都平行于另一个平面
3、都垂直于同一条直线的
两个平面
两个平面平行
二、两个平面平行的性质
4、一直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面
2、其中一个平面内的直线平行于另一个平面
3、两个平行平面同时和第三个平面相交，它们的交线平行
两个平面平行
5、夹在两个平行平面间的平行线段相等
1、两个平面没有公共点
判断下列命题是否正确？
1、平行于同一直线的两平面平行
2、垂直于同一直线的两平面平行
3、与同一直线成等角的两平面平行
α
β
α
β
θ
θ
α
β
θ
θ
4、垂直于同一平面的两平面平行
5、若α∥β,则平面α内任一直线a ∥β
6、若n α,m α,n∥β,m ∥β则α∥β
∩
∩
α
β
n
m
γ
β
α
例题、如图，在正方体
ABCD-A1B1C1D1 中，
求证：面AB1D1∥面BDC1
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
证明：
BD∥B1D1
∩
BD 面BDC1
∩
B1D1 面BDC1
B1D1∥面BDC1
同理：
AB1∥面BDC1
B1D1∩AB1=B1
面AB1D1∥
面BDC1
线∥线
线∥面
面∥面
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
证法2：
AC⊥BD
A1A⊥面AC
A1C在面AC上的射影为AC
A1C⊥BD
BD∩BC1=B
A1C⊥BC1
同理:
A1C⊥面BDC1
同理:
A1C⊥面AB1D1
面AB1D1
∥面BDC1
变形1:如图，在正方体
ABCD-A1B1C1D1 中，
E,F,G分别为A1D1, A1B1,
A1A的中点
求证：面EFG∥面BDC1
变形2:若O为BD上的点
求证：OC1 ∥面EFG
O
面∥面
由上知
面EFG∥面BDC1
∩
OC1 面BDC1
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F
G
线∥面
OC1 ∥面EFG
变形3:如图,在正方体
ABCD-A1B1C1D1 中，
E,F,M,N分别为A1B1,
A1D1, B1C1, C1D1 的
中点
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F
N
M
求证：面AEF∥面BDMN
小结：
线
平行
线
线
平行
面
面
平行
面
线面平行判定
线面平行性质
面面平行判定
面面平行性质
三种平行关系的转化
A
E
B
C
D
G
F
已知：四面体A-BCD，E,F,G分别为AB,AC,AD的中点
求证：面EFG∥面BCD
练习
线面垂直的判定与性质
面面垂直的判定与性质
线面垂直的判定方法
（1）定义——如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，则直线与平面垂直。
（2）判定定理1——如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。
（3）判定定理2——如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直。
线面垂直的性质
（1）定义——如果一条直线和一个平面垂直则这条直线垂直于平面内的任意一条直线
（2）性质定理——如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行。
填空
（1）l , m l____m
（2） n , m , m与n_____, l m, l n, l
（3）l , m , l____m
（4）l //m , l , m____
相交
//
P
A
B
C
如图，AB是圆O的直径，C是异于A，B的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面
（1）BC⊥面PAC
P
A
B
C
如图，AB是圆O的直径，C是异于A，B的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面
则AH⊥面PBC
H
若AH⊥PC
A
B
D
C
A1
B1
D1
C1
O
在正方体AC1中，O为下底面的中心，
求证：AC⊥面D1B1BD
A
B
D
C
A1
B1
D1
C1
O
H
在正方体AC1中，O为下底面的中心，B1H ⊥D1O
求证：AC⊥面D1B1BD
求证：B1H⊥面D1AC
已知: l // ,m
求证: l m
m
l
n
a
b
A
c
已知: a,b是异面直线 ,AB是他们的公垂线，a , b , c
求证: AB//c
B
m
如果两个平面所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直
如果两个平面所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
A
B
E
D
C
线面垂直
线面垂直
面面垂直
面面垂直
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
P
A
B
C
∵PA⊥面ABC
∴面PAC⊥面ABC
∴面PAB⊥面ABC
∵BC⊥面PAC
∴面PBC⊥面PAC
∴面ABC⊥面PAC
如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面
如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面
A
B
D
C
E
线面垂直
线面垂直
面面垂直
面面垂直
求证：如果一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面互相垂直
a
b
求证：如果两个相交平面都与另一个平面垂直，则这两个平面的交线 l 垂直于另一个平面
l
求证：如果两个相交平面都与另一个平面垂直，则这两个平面的交线 l 垂直于另一个平面
l
P
A
B
四面体ABCD中，面ADC⊥面BCD，面ABD ⊥面BCD，设DE是BC边上的高， 求证： 平面ADE ⊥面ABC
A
B
C
E
D
面ADC⊥面BCD
面ABD ⊥面BCD
AD ⊥面BCD
AD ⊥BC
DE ⊥BC
BC ⊥面ADE
面ABC ⊥面ADE
①
②
③
④
线面垂直
面面垂直
线线垂直
①
②
③
④
P
A
C
B
⊿ABC是直角三角形, ∠ACB=90°, P为平面外一点，且PA=PB=PC 求证： 平面PAB ⊥面ABC
O
课堂练习
课堂练习
空间四面体ABCD中，若AB=BC，AD=CD，E为AC的中点，则有（ ）
A
B
C
E
D
(A) 平面ABD ⊥面BCD
(B) 平面BCD ⊥面ABC
(C) 平面ACD ⊥面ABC
(D) 平面ACD ⊥面BDE
如图，ABCD是正方形，PA ⊥面ABCD，连接PB,PC,PD,AC,BD,问图中有几对互相垂直的平面？
A
B
D
P
C
面PAC⊥面ABCD
面PAB⊥面ABCD
面PAD⊥面ABCD
面PAD⊥面PAB
面PAD⊥面PCD
面PBC⊥面PAB
面PBD⊥面PAC
如图，三棱锥P-ABC中，面PBC⊥面ABC，⊿PBC是边长为a的正三角形，∠ACB= 90°， ∠BAC=30°，BM=MC
求证： PB ⊥AC
①
②
二面角C-PA-M的大小
P
M
B
C
A
D
如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠ACB= 90°,PB=BC=CA,E为PC中点，
求证： 平面PAC ⊥面PBC
①
②
求异面直线PA与BE所成角的大小
A
C
B
E
P
如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，PA⊥底面ABCD，∠BAD= 120°,E为PC上任意一点，
A
C
D
B
P
E
求证： 平面BED ⊥面PAC
①
O
若E是PC中点，AB=PA=a,求二面角E-CD-A的大小
②
F
点—点
点—线
点—面
线—线
线—面
点—点
P
A
B
O
60°
sin60°
= 2R
= PO
点—线
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
H
已知：长方体AC1中，AB=a，AA1=AD=b
求点C1到BD的距离？
C1H=
线—线
A
B
C
D
E
F
已知：矩形ABCD和矩形ABEF所在的平面相交，EF=5，AD=13，求平行线AB和CD的距离？
点—面
A
H
从平面外一点引这个平面的垂线
垂足叫做点在这个平面内的射影
这个点和垂足间的距离叫做
点到平面的距离
线面垂直
点的射影
点面距离
已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC
试判断点P在底面ABC的射影的位置？
P
A
B
C
O
OA=OB=OC
O为三角形ABC的外心
已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？
P
A
B
C
O为三角形ABC的垂心
D
O
已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三角形ABC的三条边的距离相等,试判断点P在底面ABC的射影的位置？
P
A
B
C
O为三角形ABC的内心
O
E
F
已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC
试判断点P在底面ABC的射影的位置？外心
已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？垂心
已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三角形ABC的三条边的距离相等,试判断点P在底面ABC的射影的位置？内心
P
A
B
C
O
直角三角形ACB确定平面 ，点P在平面 外，
若点P到直角顶点C的距离是24，到两直角边的
距离都是6 ，求点P到平面 的距离？
P
A
B
C
E
F
O
例题：已知一条直线 l 和一个平面 平行，
求证：直线 l 上各点到平面 的距离相等
A
A`
B
B`
l
线—面
l
A`
A
一条直线和一个平面平行时，直线上任意一点
到这个平面的距离叫做直线到平面的距离
l
A`
A
l
A`
A
B
点—面
线—面
如果一条直线上有两个点到平面的距离
相等，则这条直线和平面平行吗？
已知一条直线上有两个点A,B到平面的距离
分别为3cm和5cm，求AB中点到平面的距离
3
5
空间四面体ABCD，问和点A,B,C,D
距离相等的平面有几个？
A
B
C
D
4
空间四面体ABCD，问和点A,B,C,D
距离相等的平面有几个？
A
B
C
D
A
B
C
D
4
3
A
B
C
A1
B1
D1
C1
正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题
(1)A到CD1的距离
D
A
B
C
A1
B1
D1
C1
正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题
(1)A到CD1的距离
D
(2)A到BD1的距离
A
B
C
A1
B1
D1
C1
正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题
(1)A到CD1的距离
D
(2)A到BD1的距离
(3)A到面A1B1CD
A
B
C
A1
B1
D1
C1
正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题
(1)A到CD1的距离
D
(2)A到BD1的距离
(3)A到面A1B1CD
(4)A到平面BB1D1
A
B
C
D
P
F
E
已知：ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是
AD，AB的中点，PC⊥面ABCD，PC=2，
求点B到平面PEF的距离？
G
O
H
点—线
点—面
线—面
棱长为1的正四面体P——ABC中，求点P到平面ABC的距离？
A
B
C
O
P
四个半径均为r的小球放置在水平桌面上，
形成一个下3上1的金字塔型，求此金字塔的高度
体
积
问
题
常用体积公式
常用体积公式
a
b
c
V
长方体
= a b c
s
常用体积公式
常用体积公式
h
V
棱柱
= ·h
s
底
V
棱柱
= ·l
s
直
常用体积公式
常用体积公式
V
棱锥
= ·h
s
底
将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使B，D两点间距离变为a，求所得三棱锥D-ABC的体积？
A
B
C
D
A
B
C
D
O
O
将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使B，D两点间距离变为a，求所得三棱锥D-ABC的体积？
A
B
C
D
A
B
C
D
O
正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DD1的中点，棱长为a,求四棱锥D1-AEC1F的体积？
A
B
D
C
A1
B1
D1
C1
E
F
平行六面体中,已知AB=AD=2a，AA1=a，∠ A1AD= ∠ A1AB= ∠ DAB= 60°
（1）求证：AA1⊥面B1CD1
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
平行六面体中,已知AB=AD=2a，AA1=a，∠ A1AD= ∠ A1AB= ∠ DAB= 60°
（1）求证：AA1⊥面B1CD1
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
平行六面体中,已知AB=AD=2a，AA1=a，∠ A1AD= ∠ A1AB= ∠ DAB= 60°
（1）求证：AA1⊥面B1CD1
（2）求平行六面体的体积？
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
V= SA1B1CD1×CE
E
o
CE=
SA1B1C1D1=
=
平行六面体中,已知AB=AD=2a，AA1=a，∠ A1AD= ∠ A1AB= ∠ DAB= 60°
（1）求证：AA1⊥面B1CD1
（2）求平行六面体的体积？
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
S⊿B1CD1=
VC1-B1CD1= S⊿B1CD1×CC1
平行六面体中,已知AB=AD=2a，AA1=a，∠ A1AD= ∠ A1AB= ∠ DAB= 60°
（1）求证：AA1⊥面B1CD1
（2）求平行六面体的体积？
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
S⊿B1CD1=
VC1-B1CD1= S⊿B1CD1×CC1
=
= S⊿B1C1D1×h
V= ( 2 S⊿B1C1D1)×h
求多面体的体积时常用的方法
1、直接法
2、割补法
3、变换法
根据条件直接用柱体或锥体的体积公式
如果一个多面体的体积直接用体积公式计算用困难，可将其分割成易求体积的几何体，逐块求积，然后求和。
如果一个三棱锥的体积直接用体积公式计算用困难，可转换为等积的另一三棱锥，而这一三棱锥的底面面积和高都是容易求得
求棱长为a的正四面体的体积？
已知正三棱锥的侧面积是18 ，高为3，求它的体积？
若正四棱锥的底面积是S，侧面积是Q，则它的体积为？
过棱锥的高的三等分点作两个平行于底面的截面，它将棱锥分为三部分体积之比（自上而下）为 。
1
7
19
P
A
B
C
三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，PA=a, PB=b, PC=c , ⊿ABC的面积为S
求点P到底面ABC的距离
A
B
C
D
P
F
E
已知：ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是
AD，AB的中点，PC⊥面ABCD，PC=2，
求点B到平面PEF的距离？
G
O
H
点—线
点—面
线—面
A
B
C
D
P
F
E
已知：ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是
AD，AB的中点，PC⊥面ABCD，PC=2，
求点B到平面PEF的距离？
G
V
棱锥B-PEF
V
棱锥P-BEF
= S⊿BFE×PC
= S⊿PFE×h
斜三棱柱ABC-A`B`C`的侧面BB`C`C的面积为S，AA`到此侧面的距离是a，求此三棱柱的体积？
A
B
C
A`
B`
C`
斜三棱柱ABC-A`B`C`的侧面BB`C`C的面积为S，AA`到此侧面的距离是a，求此三棱柱的体积？
A
B
C
A`
B`
C`
如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF//AB，EF=1.5, EF与面AC的距离为2，求此多面体的体积？
A
B
C
D
E
F
G
H
V
棱柱BCF-GHE
V
棱锥E-ADHG
=4.5
=3
多面体ABCDEF
V
=7.5
如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF//AB，EF=1.5, EF与面AC的距离为2，求此多面体的体积？
=6
B
C
D
E
F
A
V
棱锥E-ABCD
V
棱锥F-BCE
V
棱锥C-BFE
=
=1.5
=
V
棱锥C-AEB
=
V
棱锥E-ABCD
A
C
B
A1
C1
B1
正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3，侧棱长为4，求四面体ABB1C1的体积
已知三棱锥有一条棱长为4，其余各棱长为3，求其体积？
3
3
4
A
B
C
D
已知三棱锥有一条棱长为4，其余各棱长为3，求其体积？
A
B
C
D
E
V
棱锥D-ABC
V
棱锥D-BCE
V
棱锥A-BCE
= S⊿BCE×AD
V
棱锥D-ABC
已知三棱锥P-ABC中，PA=1，AB=AC=2，∠ PAB= ∠PAC= ∠BAC= 60°，求三棱锥的体积？
A
B
C
P
已知三棱锥P-ABC中，PA=1，AB=AC=2，∠ PAB= ∠PAC= ∠BAC= 60°，求三棱锥的体积？
A
B
C
P
解法一
E
O
直接法
已知三棱锥P-ABC中，PA=1，AB=AC=2，∠ PAB= ∠PAC= ∠BAC= 60°，求三棱锥的体积？
A
B
C
P
解法二
变换法
已知三棱锥P-ABC中，PA=1，AB=AC=2，∠ PAB= ∠PAC= ∠BAC= 60°，求三棱锥的体积？
解法三
割补法
A
B
C
P
E
F
已知三棱锥P-ABC中，PA=1，AB=AC=2，∠ PAB= ∠PAC= ∠BAC= 60°，求三棱锥的体积？
解法四
A
B
C
P
D
割补法
P
C
B
D
A
棱锥基本概念
棱锥的底面
棱锥的侧面
棱锥的侧棱
棱锥的顶点
棱锥的高
H
棱锥的斜高
H
P
C
B
D
A
O
棱锥基本性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比
C`
B`
D`
A`
棱锥基本性质
棱锥的高、斜高和斜高在底面的射影组成一个直角三角形。棱锥的高、侧棱和侧棱在底面的射影组成一个直角三角形
P
C
B
D
A
H
E
Rt⊿ PEH
Rt⊿ PHB
Rt⊿ PEB
Rt⊿ BEH
正棱锥
如果一个棱锥 的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心这样的棱锥叫做正棱锥
1、侧面与底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥
2、棱锥的高可以等于它的一条侧棱长
3、棱锥的高一定在棱锥的内部
4、侧面均为全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥
判断正误
在下列条件下，判断正三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC内的射影位置
在下列条件下，判断正三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC内的射影位置
1、三条侧棱相等
2、侧棱与底面所成的角相等
3、侧面与底面所成的角相等
4、顶点P到⊿ABC的三边距离相等
5、三条侧棱两两垂直
6、相对棱互相垂直
7、三个侧面两两垂直
外心
外心
内心
内心
垂心
垂心
垂心
正三棱锥
如果一个三棱锥的底面是正三角形，并且顶点在底面的射影是正三角形的中心，这样的三棱锥叫做正三棱锥
正四面体
A
B
C
D
有没有侧棱长和底面边长相等的正四棱锥？
有没有侧棱长和底面边长相等的正五棱锥？
有没有侧棱长和底面边长相等的正六棱锥？
棱锥基本性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比
棱锥的高、斜高和斜高在底面的射影组成一个直角三角形。棱锥的高、侧棱和侧棱在底面的射影组成一个直角三角形
H
O
C`
B`
D`
A`
P
C
B
D
A
设棱锥的底面积是8cm2,则这个棱锥的中截面（过棱锥的高的中点且平行于底面的截面）的面积是多少？
S中=2
过棱锥的高的三等分点作两个平行于底面的截面，它将棱锥的侧面分为三部分面积之比（自上而下）为 。
过棱锥的高作两个平行于底面的截面，它将棱锥的侧面分为三部分面积相等则它分棱锥的高的比是（自上而下） 。
正三棱锥的底面边长为a.侧棱长为b,求它的高和侧面积？
P
A
B
C
D
O
正三棱锥的底面边长为1.侧面与底面所成的角为60,求它的高和相邻两侧面所成的二面角的大小？
P
A
B
C
D
O
E
正四棱锥的底面边长为1.侧面与底面所成的角为60,求它的高和相邻两侧面所成的二面角的大小？
P
A
B
D
C
O
E
F
正三棱锥的底面边长为a .侧棱与底面所成的角为60,过底面一边做一截面使其与底面成30的二面角，求此截面面积？
P
A
B
C
O
E
F
已知： 三棱锥P-ABC的底面是等腰三角形,AB=AC=10,BC=12,棱锥的侧面与底面所成的二面角都是45,求棱锥的侧面积
D
P
A
B
C
O
连接棱长都是a的正三棱锥的侧面中心成一个三角形，求此三角形的面积？
P
A
B
C
在正四棱锥内有一个内接正方体，这正方体的四个顶点在四棱锥的侧棱上，另四个顶点在棱锥底面上，若棱锥底面边长为a,高为h，求内接正方体的棱长？
A
B
D
C
O
P
H
E
F
设内接正方体的棱长为x
在正三棱锥P-ABC的底面边长和高都是4，其内接正三棱柱的三个侧面都是正方形，求内接正三棱柱的全面积？
P
A
B
C
球面可看作与定点（球心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合
球的大圆
球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆
经度
纬度
经度是指0°经线与另一条经线所在平面所成的二面角的度数
纬度是指赤道及一条纬线同一条经线相交所得两个交点与球心的连线所成的角度
球的性质
O
O`
球心与截面圆的圆心的连线垂直于截面圆
球的公式
球的体积
球的表面积
例题选讲
球内有相距1cm的两个平行截面的面积分别是5 cm2, 8 cm2,
球心不在截面之间，求球的体积
O
O2
O1
A
B
球的表面积是2500 ，球内有两个平行截面的面积分别是49 、400 ,求两截面距离
O
O2
O1
A
B
O
O2
O1
A
B
将两个半径为1的铁球熔化成一个大球，求大球的半径？
将一个半径为1的球投入底面边长是4的正四棱柱型盛水容器中，求水面上升的高度？
将一个半径为1的球投入底面边长是4的正四棱柱型盛水容器中，求水面上升的高度？
求正方体的内切球和它的外接球的表面积之比
求正四面体的内切球和它的外接球的体积之比
D
A
B
C
H
O
半球的半径为R，一正方体的四个顶点在半球的底面上，另四个顶点在球面上，求正方体的棱长
A
B
C
D
P
F
E
已知：ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是
AD，AB的中点，PC⊥面ABCD，PC=2，
求点B到平面PEF的距离？
G
O
H
点—线
点—面
线—面
A
B
C
D
P
F
E
已知：ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是
AD，AB的中点，PC⊥面ABCD，PC=2，
求点B到平面PEF的距离？
G
V
棱锥B-PEF
V
棱锥P-BEF
= S⊿BFE×PC
= S⊿PFE×h
斜三棱柱ABC-A`B`C`的侧面BB`C`C的面积为S，AA`到此侧面的距离是a，求此三棱柱的体积？
A
B
C
A`
B`
C`
如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF//AB，EF=1.5, EF与面AC的距离为2，求此多面体的体积？
A
B
C
D
E
F
G
H
V
棱柱BCF-GHE
V
棱锥E-ADHG
=4.5
=3
多面体ABCDEF
V
=7.5
如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF//AB，EF=1.5, EF与面AC的距离为2，求此多面体的体积？
=6
B
C
D
E
F
A
V
棱锥E-ABCD
V
棱锥F-BCE
V
棱锥C-BFE
=
=1.5
=
V
棱锥C-AEB
=
V
棱锥E-ABCD
=
V
棱锥E-ABC