2022-2023学年湖南省怀化市洪江市七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省怀化市洪江市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 我国是一个历史悠久的多民族国家，每个民族都有自己的特色元素，针对各民族的特色元素，某设计师设计了幅“似图似字”的图案下面是其中的四幅，其文字上方的图案是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 已知是二元一次方程的一组解，则的值是( )
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 下列式子由左到右的变形是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
5. 如图，下面条件能判断的是( )
A.
B.
C.
D.
6. 我市某中学举办了一次以“我的中国梦”为主题的演讲比赛，最后确定名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中小辉已经知道自己的成绩，但能否进前名，他还必须清楚这名同学成绩的( )
A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差
7. 如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
8. 若二次三项式是完全平方式，则的值是( )
A. B. C. D.
9. 在同一平面内，设、、是三条互相平行的直线，已知与的距离为，与的距离为，则与的距离为( )
A. B. C. 或 D. 或
10. 如图，中，，，，将沿方向平移个单位得其中，，的对应点分别是，，，设交于点，若的面积比的大，则代数式的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 计算： ______ ．
12. 分解因式的结果为______ ．
13. 已知方程是一个关于，的二元一次方程，的值为______ ．
14. 一组数据，，，，，的众数是，则这组数据的平均数是______ ．
15. 如图，，与互补，，则的度数是______ ．
16. 如图，点，是长方形边上两点，点是边上的点，连接，，分别将，沿，翻折，点，恰好都与对角线上的点重合，若，则 ______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
解方程组：．
18. 本小题分
先化简，再求值：，其中，．
19. 本小题分
如图，，，点在的延长线上，点在的延长线上，且平分．
求证：；
若，求．
20. 本小题分
我市的湖南筑水旅游开发有限公司与马拉维浙江商会签订文化旅游交流合作框架协议，双方拟组织商会筹资亿美元，共同组建旅游开发投资公司，充分利用我市作为杂交水稻的发源地优势，打造具有中国特色和非洲特色的文化旅游品牌，给人们带来了独特的文化体验，为了更好的服务远道而来的客人，为游客保驾护航，助力城市旅游服务的完善，我市政府准备购进一批新能源汽车，开设我市文化特色专线，方便游客的出行据了解在某汽车公司辆型汽车、辆型汽车的共计售价万元；辆型汽车、辆型汽车的共计售价万元问、两种型号的汽车每辆售价分别为多少万元？
市政府计划正好用万元从该汽车公司购买以上两种型号的新能源汽车两种型号的汽车均购买，已知销售辆型汽车可获利元，销售辆型汽车可获利元，市政府共有几种购买方案？汽车公司最大利润是多少元？
21. 本小题分
为庆祝年两会胜利召开、学校团委在八、九年级各抽取名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取“整十”的计分方式，满分分竞赛成绩如图所示：
众数 中位数 方差
八年级竞赛成绩
九年级竞赛成绩
你能用成绩的平均数判断哪个年级的成绩比较好吗？通过计算说明理由；
请根据图表中的信息，回答下列问题．
表中 ______ 、 ______ ．
现要给成绩突出的年级领奖，如果分别从众数和方差两个角度来分析，你认为应该给哪个年级领奖？
若规定成绩分获特等奖，分获一等奖，分获二等奖，直接说出哪个年级的获奖率高？
22. 本小题分
材料：由多项式乘法，，将该式子从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解：多项式的特征是二次项系数为，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．
材料：因式分解：，解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原得：原式．
上述解题用到整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法请你解答下列问题：
根据材料将因式分解；
根据材料将因式分解；
结合材料和材料，将因式分解．
23. 本小题分
如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为，的正方形阴影部分观察图形，解答下列问题：
根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．
方法：______ ；方法：______ ．
从中你发现什么结论呢？
运用你发现的结论，解决下列问题：
已知，，求的值；
已知，求的值．
24. 本小题分
如图，三角形中，点在线段上，且交于点点在直线上运动，交直线于，过点作，交直线于．
如图，当点在线段的延长线上时，求证：；
如图，延长至点，延长至点，当点在线段的延长线上时，点在线段上，连接，已知，
求证：；
若：：，，求的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：选项A，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】
【解析】解：把代入，
得，
解得，
故选：．
把方程组的解代入，解方程即可．
本题考查了二元一次方程的解，掌握根据方程的解求解的过程是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：、，原计算正确，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：．
根据积的乘方的运算法则，幂的乘方的运算法则，单项式乘单项式的运算法则，完全平方公式解答即可．
此题主要考查了积的乘方的运算法则，幂的乘方的运算法则，单项式乘单项式的运算法则，完全平方公式，正确掌握相关运算法则和公式是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B.从左到右的变形是乘法运算，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C.从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D.左边不等于右边，因式分解错误，故本选项不符合题意；
故选：．
利用因式分解的定义判断即可．
此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
5.【答案】
【解析】解：、当时，，不符合题意；
B、当时，，不符合题意；
C、当时，，符合题意；
D、当时，，不符合题意；
故选：．
同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可．
本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
6.【答案】
【解析】解：由于总共有个人，且他们的分数互不相同，第名的成绩是中位数，要判断是否进入前名，故应知道自已的成绩和中位数．
故选：．
人成绩的中位数是第名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
7.【答案】
【解析】解：由题意及旋转变换的性质得：，
，
，
故选：．
首先根据旋转变换的性质求出的度数，结合，即可解决问题．
本题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：因为，是完全平方式，
所以，
解得．
故选：．
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值．
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
9.【答案】
【解析】解：当直线在、之间时，
、、是三条平行直线，
而与的距离为，与的距离为，
与的距离；
当直线不在、之间时，
、、是三条平行直线，
而与的距离为，与的距离为，
与的距离，
综上所述，与的距离为或．
故选：．
分类讨论：当直线在、之间或直线不在、之间，然后利用平行线间的距离的意义分别求解．
本题考查了平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．平行线间的距离处处相等．注意分类讨论．
10.【答案】
【解析】解：，，，将沿方向平移个单位得，
，，
的面积比的大，即，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由平移的性质可得，然后根据已知条件可得，再根据长方形的面积公式和三角形的面积公式即可求出结论．
此题考查的是平移的性质、因式分解、长方形的面积公式和三角形的面积公式，根据得到是解决此题的关键．
11.【答案】
【解析】解：
故答案为：
利用单项式乘单项式的法则进行运算即可．
本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
12.【答案】
【解析】解：，
，
．
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用完全平方公式进行因式分解．
13.【答案】
【解析】解：方程是一个关于，的二元一次方程，
，
．
故答案为：．
方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是次的方程叫做二元一次方程．
本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解答本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：因为，，，，，的众数是，
所以，
所以平均数为，
故答案为：．
求出的值，再根据平均数的计算方法进行计算即可．
本题考查众数、平均数，理解众数的意义，掌握平均数的计算方法是正确解答的前提．
15.【答案】
【解析】解：与互补，
，
，
又，
，
，
．
故答案为：．
先根据与互补推出，再根据“两直线平行，同旁内角互补”得到与互补，然后用等量代换推出与互补，得到，用“两直线平行，内错角相等”即可求出的度数．
本题主要考查平行线的性质判定与性质，熟练掌握并能灵活运用平行线的判定定理和性质定理是解决问题的关键．
16.【答案】
【解析】解：将沿翻折，
，
，
，
，
，
将沿翻折，
，，，
，
，
，
，
故答案为：．
由沿翻折，，可得，，再由沿翻折，可得，，则，所以．
本题考查折叠问题，矩形的性质，熟练掌握折叠中角的相等关系是解题的关键．
17.【答案】解：，
得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
故原方程组的解为．
【解析】利用加减消元法解方程组即可．
本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
18.【答案】解：
，
当，时，原式．
【解析】先根据完全平方公式，平方差公式和单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
19.【答案】证明：对顶角相等，又已知，
等量代换，
同位角相等，两直线平行；
解：由已证可得：两直线平行，内错角相等，
又，
等量代换，
同位角相等，两直线平行，
两直线平行，内错角相等，
又平分，
，
即．
【解析】根据对顶角相等结合题意推出，根据“同位角相等，两直线平行”即可判定；
根据平行线的性质结合题意推出，即可判定，根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
20.【答案】解：设种型号的汽车每辆售价为万元，种型号的汽车每辆售价为万元，
由题意得：，
解得：，
答：种型号的汽车每辆售价为万元，种型号的汽车每辆售价为万元；
设购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆，
由题意得：，
整理得：，
、均为正整数，
或或，
市政府共有三种购买方案，
当，时，汽车公司获得的利润为：元；
当，时，汽车公司获得的利润为：元；
当，时，汽车公司获得的利润为：元；
，
汽车公司最大利润是元．
【解析】设种型号的汽车每辆售价为万元，种型号的汽车每辆售价为万元，根据辆型汽车、辆型汽车的共计售价万元；辆型汽车、辆型汽车的共计售价万元，列出二元一次方程组，然后求解即可；
设购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆，根据市政府计划正好用万元从该汽车公司购买以上两种型号的新能源汽车两种型号的汽车均购买，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题．
本题考查二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
21.【答案】
【解析】解：由题意得：
八年级成绩的平均数是：分，
九年级成绩的平均数是：分，
故用平均数无法判定哪个年级的成绩比较好；
九年级竞赛成绩中出现的次数最多，
故众数；
九年级竞赛成绩的方差为：，
所以，
如果从众数角度看，八年级的众数为，九年级的众数为，
所以应该给九年级颁奖；
如果从方差角度看，八年级的方差为，九年级的方差为，
又因为两个年级的平均数相同，九年级的成绩的波动小，
所以应该给九年级颁奖，
综上所述，应该给九年级颁奖；
九年级的获奖率高，
八年级的获奖率为：，
九年级的获奖率为：，
，
九年级的获奖率高．
根据已知数据求得八年级与就九年级的平均数即可求解；
根据众数的定义，方差公式进行计算即可求解；分别从方程与众数两方面分析即可求解；
根据题意分别求得八年级与九年级的获奖率即可求解．
本题考查了折线统计图，求平均数，众数，方差，根据方差判断稳定性，从统计图表中获取信息是解题的关键．
22.【答案】解：；
；
．
【解析】仿照材料一分解即可；
把看成一个整体，利用材料一的方法分解即可；
把看成一个整体，先算乘法再利用材料一因式分解．
本题考查了整式的因式分解，读懂题目给出的材料，会运用题目给出材料的方法是解决本题的关键．
23.【答案】
【解析】解：方法，阴影部分的面积是两个正方形的面积和，即，
方法，从边长为的大正方形面积减去两个长为，宽为的长方形面积，即
，
故答案为：，；
在两种方法表示面积相等可得，
，
故答案为：；
，，
；
设，，则，，
．
方法可采用两个正方形的面积和，方法可以用大正方形的面积减去两个长方形的面积；
由中两种方法表示的面积是相等的，从而得出结论；
由的结论，代入计算即可；
设，，则，，求即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，用不同方法表示同一部分的面积是得出关系式的关键．
24.【答案】证明，，
，
，
，
，
；
证明：如图，
，，
，
，，
，
，，
，
，
；
，：：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
由可知，
，
．
【解析】利用和，可得，再利用两直线平行，同位角相等、两直线平行，同旁内角互补即可完成证明；
根据垂直关系得出与的和差的表示方法，便可得，进而得到；
利用，得到，再利用角之间的转化求出，从而求出的度数．
本题主要考查平行线的性质，互余两角的关系，关键是熟记平行线的相关性质．
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