2022-2023学年河北省唐山市路北区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省唐山市路北区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共14小题，共28.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中，中心对称图形是( )
A. B. C. D.
2. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3. 如图， 的对角线、相交于点，则下列说法一定正确的是( )
A. B. C. D.
4. 若，则等于( )
A. B. C. D.
5. 用一根长的铁丝围成的矩形，现给出四个量：长方形的长；长方形的宽；长方形的周长；长方形的面积其中是变量的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D.
6. 如图，菱形中，，则( )
A.
B.
C.
D.
7. 甲、乙、丙、丁四人各进行了次射击测试，他们的平均成绩相同．方差分别是，，，则射击成绩最稳定的是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
8. 一次函数中，，，那么它的图象不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
9. 顺次连接矩形各边中点，所得图形的对角线一定满足( )
A. 互相平分． B. 互相平分且相等 C. 互相垂直． D. 互相平分且垂直
10. 如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是( )
A.
B.
C.
D.
11. 如图，将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为点，连接，下列结论一定正确的是( )
A.
B.
C.
D.
12. 若是二次根式，则，应满足的条件是( )
A. ，均为非负数 B. ，同号 C. ， D.
13. 如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为( )
A. B. C. D.
14. 如图，点是正方形内位于对角线下方的一点，，则( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
15. 在平面直角坐标系中，图象向上平移个单位后得到，则的表达式是______ ．
16. 如图，菱形中，对角线与相交于点，若，，则菱形的面积是______ ．
17. 一组从小到大排列的数据：，，，是正整数，唯一的众数是，则数据是______ ．
18. 如图，在中，，，点在斜边上，以为直角边作等腰直角三角形，，则，，三者之间的数量关系是______．
三、解答题（本大题共8小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
、计算：
；
．
20. 本小题分
已知与成正比例，当时，．
求出与之间的函数解析式；
判断点是否在这个函数图象上；
点，在该函数图象上，若，用函数的性质说明，的大小关系．
21. 本小题分
如图，是 的对角线．
用直尺和圆规作出线段的垂直平分线，与相交于点，与相交于点，连接保留作图痕迹，并标明字母，不写作法；
在的条件下，若，，求的周长．
22. 本小题分
老师随机抽查了八年级一班、二班各名学生某次检测的成绩单位：分，绘制成条形图图和不完整的扇形图图．
根据以上信息，解答下列问题：
直接写出八一班学生成绩的众数和中位数；
求八二班学生成绩的平均数；
若成绩不低于分为“优秀”，根据样本数据，计算说明哪个班的优秀率高．
23. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，已知点，．
求点的坐标；
通过计算说明线段、的数量关系；
若点，到一次函数图象的距离相等，直接写出的值．
24. 本小题分
如图，点是正方形内的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，．
如图，求证：≌；
如图，延长交直线于点，求证：．
25. 本小题分
如图，水平放置的甲容器内原有高的水，乙容器中有一圆柱形实心铁块立放其中圆柱形铁块的下底面完全落在乙容器底面上现将甲容器中的水匀速注入乙容器，且乙容器中水不外溢甲、乙两个容器中水的深度与注水时间之间的关系如图．
乙容器中原有水的高度是______ ，铁块的高度是______ ；
注水多长时间时，甲、乙两个容器中水的深度相同；
若乙容器底面积为壁厚不计，直接写出乙容器中铁块的体积．
26. 本小题分
如图，在 中，是对角线，，，点、分别是线段，射线上的一点，，点是线段上的点，且，设．
______ ， ______ ；用含的代数式表示
若，求的值；
在条件下，判断四边形的形状，并说明理由；
当点关于直线的对称点恰好落在直线上时，直接写出的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：选项A、、的图形均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
本题主要考查了中心对称图形，解题的关键是找出对称中心．
2.【答案】
【解析】解：、，故是直角三角形，不符合题意；
B、，故不是直角三角形，符合题意；
C、，故是直角三角形，不符合题意；
D、，故是直角三角形，不符合题意；
故选：．
先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
3.【答案】
【解析】解：对角线不一定相等，A错误；
对角线不一定互相垂直，B错误；
对角线互相平分，C正确；
对角线与边不一定垂直，D错误．
故选：．
根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．
本题考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：
．
故选：．
由二次根式的性质，即可得到答案．
本题考查二次根式的性质，关键是二次根式的性质．
5.【答案】
【解析】解：由题意知长方形的周长一定，
变量有长、宽和面积．
故选：．
根据常量和变量的概念结合题意即可解答．
本题考查了变量和常量的判断，要熟练掌握是解决此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
．
故选：．
由菱形的性质得到，，由平行线的性质推出，又，得到，因此．
本题考查菱形的性质，关键是熟练掌握菱形的性质．
7.【答案】
【解析】解：，，，，
，
射击成绩最稳定的是甲，
故选：．
先看平均成绩，再根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
8.【答案】
【解析】解：一次函数中，，，
那么它的图象经过一、二、四象限，
则不经过第三象限．
故选：．
根据，的取值范围确定图象在坐标平面内的位置，从而求解．
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．
9.【答案】
【解析】解：连接、，
四边形为矩形，
，
点、、、分别为、、、的中点，
，，，，
，
四边形为菱形，
所得图形的对角线一定满足互相平分且垂直．
故选：．
连接、，根据矩形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，，，，进而得到，根据菱形的判定定理证明结论．
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形的性质、菱形的判定定理是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由图象可得：当时，，
所以不等式的解集为，
故选：．
根据已知条件和一次函数的图象得出答案即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
11.【答案】
【解析】解：将绕点逆时针旋转得到，
，，，
，，
，
故选：．
由旋转的性质可得，，，由等腰三角形的性质可得，，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：是二次根式，
，
A、、可以都是负数，故本选项错误；
B、可以，故本选项错误；
C、、可以都是负数，故本选项错误；
D、，故本选项正确；
故选D．
根据二次根式的定义得出根式有意义的条件，再逐个判断即可．
本题考查了二次根式的定义的应用，注意：当时，叫二次根式．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了勾股定理及三角形的面积等知识，解题的关键是利用勾股定理求出的长，此题难度一般．
根据图形和三角形的面积公式求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】
解：如图所示：
，
，，，
即，
解得：．
故选C．
14.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由正方形的性质可得，可得，由三角形内角和定理可求解．
本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：将直线向上平移个单位得到直线，则直线的表达式为：．
故答案为：．
根据一次函数平移规律“上加下减”得出即可．
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
16.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，对角线，，
菱形的面积，
故答案为：．
由菱形面积公式即可得出答案．
本题考查菱形的性质以及菱形面积公式，熟练掌握菱形的性质是解题的关键，属于中考常考题型．
17.【答案】或
【解析】解：一组从小到大排列的数据：，，，为正整数，唯一的众数是，
数据是或．
故答案为：或．
根据众数的定义得出正整数的值即可．
本题主要考查了众数，根据众数是一组数据中出现次数最多的数得出的值是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：如图，连接，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，，
，
又，
≌，
，，
，
，
，
故答案为：．
连接，由“”可证≌，可得，可得，由勾股定理可得，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明是本题的关键．
19.【答案】解：
；
．
【解析】先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
先根据完全平方公式，平方差公式和二次根式的性质进行计算，再算加减即可．
本题考查了二次根式的混合运算和乘法公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
20.【答案】解：与成正比例，
设与之间的函数解析式为：，
把，代入，得：，
解得：，
与之间的函数解析式为：；
对于，当时，，
点在这个函数图象上；
对于，，
随的增大而减小，
点，在该函数图象上，且，
．
【解析】根据正比例函数的定义可设与之间的函数解析式为：，然后把，代入之中求出的值即可得出答案；
对于，当时，，据此可得出结论；
对于，随的增大而减小，然后根据即可得出与的大小关系．
此题主要考查了一次函数的性质，解答此题的关键熟练掌握正比例函数的定义，待定系数法求函数的解析式的方法，理解一次函数的性质：对于一次函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．
21.【答案】解：如图，用直尺和圆规作出线段的垂直平分线，与相交于点，与相交于点，连接：
四边形是平行四边形，．
，．
是的垂直平分线，
．
的周长为．
【解析】利用基本作图作的垂直平分线得到点；
利用平行四边形的性质得到，，再根据线段垂直平分线上的性质得到，然后利用等线段代换计算的周长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了平行四边形的性质．
22.【答案】解：在八一班学生成绩中，分出现的次数最多，故众数是分；
把八一班学生成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是分和分，故中位数为分；
分所占的百分比为：，
平均数为：分；
由题得，八年级一班优秀率为：，
八年级二班优秀率为：，
，
八年级二班优秀率高．
【解析】分别根据众数和中位数的定义解答即可；
根据加权平均数公式计算即可；
分别求出两个班的优秀率即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体．
23.【答案】解：令，则，
点的坐标为；
，，，
，，
；
当直线与一次函数图象平行时，设直线的表达式为，
，
解得：，
；
当一次函数图象过线段的中点时，设线段的中点为，
点的坐标为．
，
，
点，到一次函数图象的距离相等，
，
．
的值为．
【解析】根据一次函数，令即可求解；
由点，，的坐标根据勾股定理求出线段、的长，即可得出答案；
分两种情况：当直线与一次函数图象平行时，设直线的表达式为，求出直线的表达式，根据两直线平行的性质即可求解；当一次函数图象过线段的中点时，可得点的坐标为根据等腰三角形的性质可得，，将点的坐标代入即可求解．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质，解决问题的关键是掌握一次函数的图象和性质．其中要注意分类求解，避免遗漏．
24.【答案】证明：，，
，
在和中，
，
≌；
如图，≌，
，
又，
，
．
【解析】根据旋转的性质证明，得到≌；
根据全等的性质和对顶角相等即可得到答案．
本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定和性质以及旋转的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是直角，旋转的性质证明三角形全等是解题的关键．
25.【答案】
【解析】解：根据题意可知甲容器中的水位逐渐降低，乙容器中的水位逐渐升高；
图中折线表示乙容器中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示甲容器中水的深度与注水时间之间的关系，
故乙容器中原有水的高度是，铁块的高度是，
故答案为：，；
设线段、的解析式分别为：，，
经过点和，经过和
，解得，
，解得，
解析式为，解析式为，
令，解得，
注水分钟时，甲、乙两个容器中水的深度相同；
若乙容器中没有铁块，则乙容器水位上升高度为，
乙容器中铁块体积为
根据题目中甲容器向乙容器注水可以得到折线是乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，点表示的实际意义是乙容器内液面恰好与圆柱形铁块顶端相平；
分别求出两个容器中与的函数关系式，列方程求解即可；
先求出若乙容器中没有铁块，乙容器水位上升高度，根据多升高的水的体积为铁块体积的，即可求出乙容器中铁块体积．
本题考查的是用一次函数的应用，掌握待定系数法求函数关系式是解答本题的关键．
26.【答案】
【解析】解：，
，
，，
故答案为：，；
过点作于点，如图．
，，
为等腰直角三角形，
，
，
四边形为平行四边形，
．
，，
，
四边形为平行四边形，
，
．
即
解得：，
的值为．
四边形为矩形．
证明：由得，，
．
，
．
四边形为平行四边形，
．
平行四边形为矩形．
的值为．
点关于的对称点在线段上，
如图点与点关于对称，
．
，
，
，
，
即．
解得：；
点关于的对称点在线段的延长线上时，
如图点与点关于对称，
，
，
．
，
，
，
即，
解得，．
综上，．
根据特殊四边形的性质与线段的和差关系即可求出，长；
通过特殊三角形的性质，由条件列出方程，求解可得值，再利用平行四边形的判定定理即可推导出四边形为矩形；
利用等腰直角三角形的性质和轴对称图形的性质．结合图形，根据线段和差关系列出等量关系式，化简计算即可得出结论．
此题考查平行四边形的判定、等腰直角三角形、轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键．
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