5.1.2函数的概念与图象 第2课时 函数的概念（二）讲义（含答案）

编号：023 课题: §5.1.2 函数的概念与图象——第2课时 函数的概念（二）
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.学会用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念；
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；
3.根据函数的概念，能判断同一个函数；
4.能求简单抽象函数的定义域.
本节重点难点
重点：判断同一个函数；
难点：抽象函数的定义域．
学科素养目标
函数是“通过建立数学模型来刻画与研究世界”的典范，也是学习数学和研究数学的范例．学习“函数概念与基本初等函数I”（下面简称“函数” ）这一章，从观念上认识“函数” ，它是“语言、工具、应用”．它挑起了“万水千山”（整个高中数学），贯通了数学世界，迎接着广泛的实际问题．认识函数，就是认识它是解决许多实际问题的基本模型；认识函数，在于研究它的性质；认识函数，应明了它的根本价值在于应用，并揭示了它的“生长性”即如许许多多对数据都统一于一个函数式．
通过本章的学习，逐步培养学生的数学思维，养成准确、清晰、有条理地表述问题以及问题的解决过程的习惯，形成、提高数学表达和交流的能力，逐步地发展独立获取数学知识的能力，发展数学应用意识和创新意识，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度，进一步拓宽学生的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神．
教学过程
基础知识积累
1. 同一个函数
前提条件 ________相同
__________相同
结论 这两个函数是同一个函数
【思考】
函数有定义域、对应关系和值域三要素,为什么判断两个函数是否是同一个函数,只看定义域和对应关系
提示:由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域,所以判断两个函数是否是同一个函数,只看定义域和对应关系即可.
2.常见的函数的定义域和值域
函数 常数函数 一次函数 反比例函数 二次函数
_______ _______
对应关系 y=b (b为常数) y=ax+b (a≠0)
定义域 R {x|x≠0，x∈R } R R
值域 R {y|y≠0，y∈R }
【课前小题演练】
题1. 函数y＝的定义域是(　　)
A．[－1，7] B．[－1，7)
C．(－1，7] D．(－1，7)
题2．已知全集U＝R，集合M＝{x∈R|y＝}，N＝{y∈R|y＝}．则N∩(UM)＝(　　)
A． B．{x|0≤x＜1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|－1≤x＜1}
题3．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(　　)
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝x2＋1
题4．若f(x)＝ax2－，a为一个大于0的常数，且f＝－，则a＝(　　)
A．1 B． C． D.
题5．定义运算＝ad－bc，若函数f＝，则f的最小值为(　　)
A．－3 B．－7 C．1 D．3
题6．已知函数f＝，则函数f的定义域为(　　)
A． B．
C． D．
题7(多选题)．下列函数中，表示同一个函数的是(　　)
A．y＝x2与y＝()4
B．y＝x2与y＝t2
C．y＝2x2＋1与y＝
D．y＝·与y＝
题8(多选题)．在下列四组函数中，不表示同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝2x＋1，x∈N，g(x)＝2x－1，x∈N
B．f(x)＝x0，g(x)＝1
C．f(x)＝，g(x)＝x＋3
D．f(x)＝x2，g(x)＝
题9．函数y＝＋x－1的定义域是________．
题10．设常数a∈R，函数f(x)＝|x－1|＋|x2－a|，若f(2)＝1，则f(1)＝________．
题11．已知f(x)＝(x∈R，x≠2)，g(x)＝x＋4(x∈R).
(1)求f(1)，g(1)的值．
【课堂题组训练】
题12．若f(x)＝2x－1，则f(f(x))＝(　　)
A．2x－1 B．4x－2
C．4x－3 D．2x－3
题13．已知y＝x＋，则y的取值范围为(　　)
A．∪
B．∪
C．∪
D．∪
题14(多选题)．下列各组函数是同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1
B．f(x)＝与g(x)＝x
C．f(x)＝与g(x)＝
D．f(x)＝x与g(x)＝
题15．下列函数y＝()2；y＝；y＝；y＝与函数y＝x是同一函数的是________．
题16．已知函数f(x)＝，则f (5)＝________；函数f(x)的定义域为________．
题17．(1)求函数y＝的定义域；
(2)已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，求函数f(2x＋1)的定义域．
【综合突破拔高】
题18．德国数学家狄利克雷在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数”，这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得x在取值范围中的每一个值，都有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其他形式，已知函数f(x)由表给出，则f的值为(　　)
x x≤1 1＜x＜2 x≥2
f(x) 1 2 3
A．0 B．1 C．2 D．3
题19．下列四组函数中，表示同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝1与g(x)＝
B．f(x)＝|x|与g(x)＝
C．f(x)＝x与g(x)＝
D．f(x)＝与g(x)＝·
题20．已知函数y＝f(－2x＋1)的定义域是[－1，2]，则y＝f(x)的定义域是(　　)
A． B．[－3，3] C．[－1，5] D．以上都不对
题21．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[－1，1]，则函数g(x)＝的定义域是(　　)
A． B．∪
C．[0，1)∪(1，4] D．(0，1]
题22．若函数y＝f(x)的定义域是[0，2 020]，则函数g(x)＝的定义域是(　　)
A．[－1，2 019] B．[－1，1)∪(1，2 019]
C．[0，2 020] D．[－1，1)∪(1，2 020]
题23．函数y＝f(x)的定义域为[－1，2]，则函数y＝f(1＋x)＋f(1－x)的定义域为(　　)
A．[－1，3] B．[0，2] C．[－1，1] D．[－2，2]
题24(多选题)．下列各组函数是同一个函数的是(　　)
A．y＝与y＝1 B．y＝与y＝x
C．y＝与y＝x D．y＝与y＝|x－1|
题25(多选题)．函数f(x)＝的函数值表示不超过x的最大整数，当－≤x≤时，下列函数中，其值域与f(x)的值域相同的函数为(　　)
A．y＝x，x∈ B．y＝2x，x∈
C．y＝，x∈ D．y＝x2－1，x∈
题26．函数f(x)＝在区间[2，＋∞)上的值域为________.
题27．(1)已知f(x)的定义域为[－1，1]，则f(3x)的定义域为________．
(2)已知f(3x)的定义域为[－1，1]，则f(x)的定义域为________．
题28．已知函数f(x)的定义域是[－1，4]，求函数f(2x＋1)的定义域．
题29．求下列函数的值域：(1)y＝＋1；(2)y＝.
编号：023 课题: §5.1.2 函数的概念与图象——第2课时 函数的概念（二）
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.学会用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念；
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；
3.根据函数的概念，能判断同一个函数；
4.能求简单抽象函数的定义域.
本节重点难点
重点：判断同一个函数；
难点：抽象函数的定义域．
学科素养目标
函数是“通过建立数学模型来刻画与研究世界”的典范，也是学习数学和研究数学的范例．学习“函数概念与基本初等函数I”（下面简称“函数” ）这一章，从观念上认识“函数” ，它是“语言、工具、应用”．它挑起了“万水千山”（整个高中数学），贯通了数学世界，迎接着广泛的实际问题．认识函数，就是认识它是解决许多实际问题的基本模型；认识函数，在于研究它的性质；认识函数，应明了它的根本价值在于应用，并揭示了它的“生长性”即如许许多多对数据都统一于一个函数式．
通过本章的学习，逐步培养学生的数学思维，养成准确、清晰、有条理地表述问题以及问题的解决过程的习惯，形成、提高数学表达和交流的能力，逐步地发展独立获取数学知识的能力，发展数学应用意识和创新意识，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度，进一步拓宽学生的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神．
教学过程
基础知识积累
1.同一个函数
前提条件 __定义域_____相同
___对应关系___相同
结论 这两个函数是同一个函数
【思考】
函数有定义域、对应关系和值域三要素,为什么判断两个函数是否是同一个函数,只看定义域和对应关系
提示:由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域,所以判断两个函数是否是同一个函数,只看定义域和对应关系即可.
2.常见的函数的定义域和值域
函数 常数函数 一次函数 反比例 函数 二次函数
_____ _____
对应 关系 y=b (b为常数) y=ax+b (a≠0)
定义域 R {x|x≠0，x∈R } R R
值域 R {y|y≠0，y∈R }
【课前小题演练】
题1. 函数y＝的定义域是(　　)
A．[－1，7] B．[－1，7)
C．(－1，7] D．(－1，7)
【解析】选A.要使函数y＝有意义，应满足7＋6x－x2≥0，
所以x2－6x－7≤0，
所以(x－7)(x＋1)≤0，所以－1≤x≤7，
所以函数y＝的定义域是[－1，7].
题2．已知全集U＝R，集合M＝{x∈R|y＝}，N＝{y∈R|y＝}．则N∩(UM)＝(　　)
A． B．{x|0≤x＜1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|－1≤x＜1}
【解析】选B.由M中y＝，得到x－1≥0，即x≥1，所以M＝{x|x≥1}，因为全集U＝R，所以UM＝{x|x＜1}，
由N中y＝≥0，所以N＝{y|y≥0}，则N∩(UM)＝{x|0≤x＜1}．
题3．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(　　)
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝x2＋1
【解析】选B.y＝的值域为[0，＋∞)，y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x2＋1的值域为[1，＋∞).
题4．若f(x)＝ax2－，a为一个大于0的常数，且f＝－，则a＝(　　)
A．1 B． C． D.
【解析】选D.因为f＝a2－＝2a－，
所以f＝a·2－＝－，
所以a2＝0.
因为a为一个大于0的常数，
所以2a－＝0，所以a＝.
题5．定义运算＝ad－bc，若函数f＝，则f的最小值为(　　)
A．－3 B．－7 C．1 D．3
【解析】选B.f＝＝
＋2x＝x2＋4x－3＝2－7≥－7.
题6．已知函数f＝，则函数f的定义域为(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选B.由4－x2≥0，解得－2≤x≤2，即
f的定义域是，则(2－x)∈，
即函数f(x)的定义域为，令∈，解得x∈，则函数f的定义域为.
题7(多选题)．下列函数中，表示同一个函数的是(　　)
A．y＝x2与y＝()4
B．y＝x2与y＝t2
C．y＝2x2＋1与y＝
D．y＝·与y＝
【解析】选BC.A.y＝x2的定义域为R，y＝()4的定义域为[0，＋∞)，定义域不同，不是同一个函数；
B．y＝x2与y＝t2显然是同一个函数；
C．y＝＝2x2＋1，是同一个函数；
D．y＝·的定义域为[1，＋∞)，y＝的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，定义域不同，不是同一个函数．
题8(多选题)．在下列四组函数中，不表示同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝2x＋1，x∈N，g(x)＝2x－1，x∈N
B．f(x)＝x0，g(x)＝1
C．f(x)＝，g(x)＝x＋3
D．f(x)＝x2，g(x)＝
【解析】选ABC.A中两个函数的定义域都为N，但两个函数的解析式不相同，即对应关系不一样，故不表示同一个函数；B中f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R，两个函数的定义域不相同，故不表示同一个函数；C中f(x)的定义域为{x|x≠1}，g(x)的定义域为R，两个函数的定义域不相同，故不表示同一个函数；D中f(x)的定义域为R，g(x)＝＝x2的定义域为R，两个函数的定义域相同，对应关系相同，故表示同一个函数．
题9．函数y＝＋x－1的定义域是________．
【解析】函数y＝＋x－1中令
得
解得
所以函数的定义域是[－6，0)∪(0，1].
答案：[－6，0)∪(0，1]
题10．设常数a∈R，函数f(x)＝|x－1|＋|x2－a|，若f(2)＝1，则f(1)＝________．
【解题指南】先由f(2)＝1求出a值，再求f(1).
【解析】由f(2)＝1＋|22－a|＝1，可得a＝4，
所以f(1)＝|1－1|＋|1－4|＝3.
答案：3
题11．已知f(x)＝(x∈R，x≠2)，g(x)＝x＋4(x∈R).
(1)求f(1)，g(1)的值．
(2)求f(g(x)).
【解析】(1)f(1)＝＝1，g(1)＝1＋4＝5.
(2)f(g(x))＝f(x＋4)＝＝
＝－(x∈R，且x≠－2).
【课堂题组训练】
题12．若f(x)＝2x－1，则f(f(x))＝(　　)
A．2x－1 B．4x－2
C．4x－3 D．2x－3
【解析】选C.因为f(x)＝2x－1，
所以f(f(x))＝2f(x)－1＝2(2x－1)－1＝4x－3.
题13．已知y＝x＋，则y的取值范围为(　　)
A．∪
B．∪
C．∪
D．∪
【解析】选A.y＝x＋＝－2，x≠－2，当x>－2时，2x＋4>0，＋－2≥2－2＝－2，
当且仅当x＝时取等号；
当x<－2时，2x＋4<0，＋－2≤－2－2＝－－2，当且仅当x＝时取等号，
则y的取值范围为(－∞，－－2]∪[－2，＋∞).
题14(多选题)．下列各组函数是同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1
B．f(x)＝与g(x)＝x
C．f(x)＝与g(x)＝
D．f(x)＝x与g(x)＝
【解析】选AC.对于A，f(x)＝x2－2x－1的定义域为R，g(s)＝s2－2s－1的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；
对于B，f(x)＝＝－x的定义域为{x|x≤0}，g(x)＝x的定义域为{x|x≤0}，对应关系不同，不是同一个函数；
对于C，f(x)＝＝1的定义域为{x|x≠0}，g(x)＝＝1的定义域为{x|x≠0}，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；
对于D，f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝＝|x|的定义域为R，对应关系不同，不是同一个函数．
题15．下列函数y＝()2；y＝；y＝；y＝与函数y＝x是同一函数的是________．
【解析】y＝()2的定义域是[0，＋∞)，所以与函数y＝x不是同一函数；
y＝的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以与函数y＝x不是同一函数；
y＝＝x，所以与函数y＝x是同一函数；
y＝＝|x|，所以与函数y＝x不是同一函数．
答案：y＝
题16．已知函数f(x)＝，则f (5)＝________；函数f(x)的定义域为________．
【解析】由f(x)＝，得f (5)＝＝1，
由
解得x≥且x≠2.
所以函数f(x)的定义域为∪(2，＋∞).
答案：1　∪(2，＋∞)
题17．(1)求函数y＝的定义域；
(2)已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，求函数f(2x＋1)的定义域．
【解析】(1)要使原函数有意义，
则解得－2≤x≤2，且x≠－1，x≠1，
所以原函数的定义域为[－2，－1)∪(－1，1)∪(1，2]；
(2)因为f(x)的定义域是(－1，0)，
所以f(2x＋1)需满足－1＜2x＋1＜0，
解得－1＜x＜－，
所以f(2x＋1)的定义域为.
【综合突破拔高】
题18．德国数学家狄利克雷在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数”，这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得x在取值范围中的每一个值，都有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其他形式，已知函数f(x)由表给出，则f的值为(　　)
x x≤1 1＜x＜2 x≥2
f(x) 1 2 3
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】选D.因为∈{x|x≤1}，所以f＝1，
则10f＝10，所以f＝f(10).
又因为10∈{x|x≥2}，所以f(10)＝3.
题19．下列四组函数中，表示同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝1与g(x)＝
B．f(x)＝|x|与g(x)＝
C．f(x)＝x与g(x)＝
D．f(x)＝与g(x)＝·
【思路导引】根据同一函数的判断标准，只要定义域相同，解析式一致，即为同一函数．
【解析】选B.A选项：两个函数定义域不同，f(x)定义域为R，g(x)定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，排除A；C选项：f(x)定义域为R，g(x)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域不同，故排除C；D选项：f(x)定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，g(x)定义域为(1，＋∞)，故排除D.
题20．已知函数y＝f(－2x＋1)的定义域是[－1，2]，则y＝f(x)的定义域是(　　)
A． B．[－3，3] C．[－1，5] D．以上都不对
【解析】选B.函数y＝f(－2x＋1)的定义域是[－1，2]，
即－1≤x≤2，所以－4≤－2x≤2，所以－3≤－2x＋1≤3，
所以y＝f(x)的定义域是[－3，3].
题21．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[－1，1]，则函数g(x)＝的定义域是(　　)
A． B．∪
C．[0，1)∪(1，4] D．(0，1]
【解析】选D.由函数y＝f(x＋1)的定义域是[－1，1]，
得－1≤x≤1，所以0≤x＋1≤2，所以函数f(x)的定义域为[0，2]；
函数g(x)＝中，令解得0＜x≤1，
所以函数g(x)的定义域是(0，1].
题22．若函数y＝f(x)的定义域是[0，2 020]，则函数g(x)＝的定义域是(　　)
A．[－1，2 019] B．[－1，1)∪(1，2 019]
C．[0，2 020] D．[－1，1)∪(1，2 020]
【解析】选B.使函数f(x＋1)有意义，则0≤x＋1≤2 020，解得－1≤x≤2 019，故函数f(x＋1)的定义域为[－1，2 019].所以函数g(x)有意义的条件是解得－1≤x<1或1故函数g(x)的定义域为[－1，1)∪(1，2 019].
题23．函数y＝f(x)的定义域为[－1，2]，则函数y＝f(1＋x)＋f(1－x)的定义域为(　　)
A．[－1，3] B．[0，2] C．[－1，1] D．[－2，2]
【解析】选C.因为函数y＝f(x)的定义域为[－1，2]，
所以由解得－1≤x≤1.
所以函数y＝f(1＋x)＋f(1－x)的定义域为[－1，1].
题24(多选题)．下列各组函数是同一个函数的是(　　)
A．y＝与y＝1 B．y＝与y＝x
C．y＝与y＝x D．y＝与y＝|x－1|
【解析】选CD.对于A，y＝的定义域是{x|x≠0}，y＝1的定义域是R，所以y＝与y＝1不是同一个函数，故A不符合题意；对于B，y＝的定义域是{x|x≠0}，y＝x的定义域是R，所以y＝与 y＝x不是同一个函数，故B不符合题意；对于C，y＝＝x与 y＝x对应关系相同，定义域都是R，所以y＝与 y＝x是同一个函数，故C符合题意；对于D，y＝＝|x－1|，所以y＝与 y＝|x－1|是同一个函数，故D符合题意．
题25(多选题)．函数f(x)＝的函数值表示不超过x的最大整数，当－≤x≤时，下列函数中，其值域与f(x)的值域相同的函数为(　　)
A．y＝x，x∈ B．y＝2x，x∈
C．y＝，x∈ D．y＝x2－1，x∈
【解析】选ABD.由题意，可得当x∈时，f(x)＝－1，当x∈时，f(x)＝0，当x∈时，f(x)＝1，当x∈时，
f(x)＝2，当x∈时，f(x)＝3，
所以当x∈时，函数f(x)的值域为.
对于A选项，y＝x，x∈，该函数的值域为{－1，0，1，2，3}；
对于B选项，y＝2x，x∈，该函数的值域为{－1，0，1，2，3}；
对于C选项，y＝，x∈，该函数的值域为{－1，1，2，3，4}；
对于D选项，y＝x2－1，x∈，该函数的值域为{－1，0，1，2，3}．
题26．函数f(x)＝在区间[2，＋∞)上的值域为________.
【解析】f(x)＝＝＝1＋，
因为x∈[2，＋∞)，所以∈(0，1]，
所以1＋∈(1，2].
答案：(1，2]
题27．(1)已知f(x)的定义域为[－1，1]，则f(3x)的定义域为________．
(2)已知f(3x)的定义域为[－1，1]，则f(x)的定义域为________．
【解析】(1)由题意知－1≤3x≤1，所以－≤x≤，所以f(3x)的定义域为.
答案：
(2)因为－1≤x≤1，所以－3≤3x≤3，所以f(x)的定义域为[－3，3].
答案：[－3，3]
题28．已知函数f(x)的定义域是[－1，4]，求函数f(2x＋1)的定义域．
【解析】已知f(x)的定义域是[－1，4]，即－1≤x≤4.故对于f(2x＋1)应有－1≤2x＋1≤4，所以－2≤2x≤3，所以－1≤x≤.
所以函数f(2x＋1)的定义域是.
题29．求下列函数的值域：(1)y＝＋1；(2)y＝.
【解析】(1)因为≥0，所以＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞).
(2)因为y＝＝－1＋，又函数的定义域为R，所以x2＋1≥1，所以0＜≤2，则y∈(－1，1].
所以所求函数的值域为(－1，1].
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