2022-2023学年吉林省松原市前郭县学区五校九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年吉林省松原市前郭县学区五校九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数的倒数是( )
A. B. C. D.
2. 习近平总书记在党的二十大报告中讲到，全国八百三十二个贫困县全部摘帽，近一亿农村贫困人口实现脱贫，九百六十多万贫困人口实现易地搬迁，历史性地解决了绝对贫困问题，为全球减贫事业作出了重大贡献将用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3. 下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是( )
A. B.
C. D.
4. 不等式的解集是( )
A. B. C. D.
5. 如图，在中，平分，按如下步骤作图：
第一步，分别以点、为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点、；
第二步，连接分别交、于点、；
第三步，连接、．
若，，，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
6. 如图，是的弦，为半径，垂足为，，，则为度．( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
7. 计算： ______ ．
8. 分解因式： ．
9. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ．
10. 某小区要打造一个长方形花圃，已知花圃的长为米，宽比长短米，则花圃的周长为 米请用含、的代数式表示．
11. 如图，该图形可以看作是由一个“”绕中心每次旋转______ 得到的．
12. 如图，在中，，点、、分别是边、、的中点若，则的长为______ ．
13. 如图，正方形的顶点、都在轴上，若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是______ ．
14. 如图，在中，，，以为直径的半圆与、分别交于点、，则图中阴影部分的面积是______ 结果保留．
三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
16. 本小题分
小明和小刚周末相约到长春动植物园晨练，动植物园有、、、四个入口，他们可以随机选择一个入口进入动植物园，假设选择每个入口的可能性相同．
小明进入动植物园时，从入口处进入的概率为______ ；
用画树状图或列表的方法，求两人选择不同入口进入动植物园的概率．
17. 本小题分
如图，是的平分线，点是线段上的一点，，求证：．
18. 本小题分
某地区以移动互联和大数据技术支持智慧课堂，实现学生的自主、个性和多元学习，全区学生逐步实现上课全部使用平板电脑某商场用万元购进甲型号的平板，很快销售一空该商场又用万元购进了乙型号的平板，所购数量是甲型号平板购进数量的倍，但单价贵了元求该商场购进甲型号平板和乙型号平板的单价各是多少元？
19. 本小题分
如图的网格中每个小正方形的边长均为，请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在格点上；
在图中画出一个以为一边的成中心对称的四边形，使其面积为；
在图中画出一个以为一边的等腰，使其，并直接写出的面积______．
20. 本小题分
“只要人人献出一点爱，世界将变成美好的人间”某单位利用“世界献血日”开展自愿义务献血活动，经过检测，献血者血型有“、、、”四种类型，随机抽取部分献血结果进行统计，根据结果制作了如下两幅不完整的统计图表．
血型
人数 ______ ______
本次随机抽取献血者人数为______ 人，图中 ______ ；
补全表中的数据；
若这次活动中该单位有人义务献血，估计大约有多少人是型血？
21. 本小题分
在伊通河治理工程实验过程中，某工程队接受一项开挖水架的工程，所需天数单位：天与每天完成的工程量单位：天之间的函数关系图象是如图所示的双曲线的一部分．
请根据题意，求关于的函数解析式；
若该工程队有台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠，则该工程队需用多少天才能完成此项任务？
22. 本小题分
如图，城到城之间有一座小山，它们之间的交通需要绕过小山到城，现在准备开通隧道建设、之间的直达公路，已知，，千米，请计算、之间的直线距离结果精确到千米，参考数据：，，，，
23. 本小题分
实验小学与七彩农业园分别在上海路的两端，甲从实验小学去七彩农业园，乙从七彩农业园回学校，甲、乙两人都沿上海路同时匀速出发，乙先到达目的地，两人之间的距离米与时间分之间的函数关系如图所示根据图象信息解答下列问题：
当 ______ 时，甲、乙两人相遇，甲的速度为______ 米分；
求乙的速度；
求出线段所对应的函数表达式．
24. 本小题分
【感知】如图，在中，点为边上一点，连接求证：：：；
【类比】如图，在图的基础上，点为上一点，且：：，连接、，若，则阴影部分图形的面积为______ ；
【拓展】如图，在中，，，，点为内部一点，且：：：：，则线段的长为______ ．
25. 本小题分
如图，在中，，，于点动点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，当点不与点、重合时，过点作交折线于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，设点的运动时间为，回答下列问题．
直接写出 ______ ；
当点在边上时，的长为______ 用含的代数式表示；
当点落在边上时，求的值；
在点运动的过程中，作点关于直线的对称点，连接、，设四边形与重叠部分图形的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
26. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线为常数的对称轴为直线，且经过点．
求此抛物线对应的二次函数解析式；
当时，二次函数的最大值是______ ，最小值是______ ；
当时，若二次函数的最大值和最小值的差为，求的值；
点在抛物线上，横坐标为，过点作直线平行于轴，交抛物线于另一点抛物线上另有两点、，横坐标分别为和，、两点之间的部分不包括、两点记作图象若图象上恰好有三个点到直线的距离为，请直接写出的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的倒数是，
故选：．
根据倒数的定义可直接得出答案．
本题考查了倒数的定义，熟知乘积是的两个数互为倒数是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：将用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3.【答案】
【解析】解：、该圆柱的主视图为矩形、俯视图为圆，故本选项不合题意；
B、该三棱柱的主视图为矩形、俯视图为三角形，故本选项不合题意；
C、该圆锥的主视图为等腰三角形、俯视图为圆带圆心，故本选项不合题意；
D、该长方体的主视图和俯视图均为矩形，故本选项符合题意；
故选：．
主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看，所得到的图形．
本题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握常见的几何体的三视图是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：，
故选：．
利用不等式的基本性质，移项、合并同类项、系数化为可得．
本题考查了解简单不等式的能力，解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
5.【答案】
【解析】
【分析】
由基本作图得到垂直平分，则，，，再根据等腰三角形三线合一得到，则可判断四边形为菱形，所以，然后根据相似三角形的判定与性质可计算出．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质．
【解答】
解：由作法得垂直平分，
，，，
平分，
，
，
四边形为菱形，
，
∽，
，
，，，
，
解得：，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：如图：连接，则，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，则，由，则，再由，即可求出答案．
本题考查的是圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的有关知识；正确作出辅助线、利用圆的半径相等是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式利用算术平方根定义，以及零指数幂法则计算即可求出值．
此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
应先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和平方差公式分解因式，需要注意分解因式一定要彻底．
9.【答案】且
【解析】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得：，
方程是一元二次方程，
，
的范围是：且，
故答案为：且．
由关于的一元二次方程有有两个实数根及一元二次方程的定义，即可得判别式，，继而可求得的范围．
此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个实数根，即可得同时考查了一元二次方程的定义．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查整式的加减，用字母表示数，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．
根据题意用字母表示数，然后根据整式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】
解：由题意可知：宽为，
所以周长为：
米，
故答案为：．
11.【答案】
【解析】解：如图所示的图形可以看作“”按照逆时针或顺时针旋转次，且每次旋转了而成的．
故答案为：．
这个图形可以分为四个部分，可以认为是由一个图形旋转而得到．
本题考查了旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
12.【答案】
【解析】解：点、分别是边、的中点，
是的中位线，
，
在中，，点是边的中点，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：点的坐标是，点的坐标是，
，，
又四边形是正方形，
，
，
又点都在轴上，
点的坐标为．
故答案为：．
首先根据点、的坐标，求出正方形的边长与的长，再根据正方形的性质，求出的长，即可得出点的坐标．
本题考查了坐标与图形性质，根据点、的坐标，求出正方形的边长是解本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，
，
，，
，
，
，
，
，
扇形的面积是：，
故答案为：．
根据题意和图形，可以先求的的度数，然后根据可以得到的长，再根据扇形面积公式，即可解答本题．
本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15.【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】根据完全平方公式，平方差公式进行计算，然后把的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：动植物园有、、、四个入口，
小明进入动植物园时，从入口处进入的概率为，
故答案为：；
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中小明和小刚两人选择不同入口进入动植物园的结果有种，
两人选择不同入口进入动植物园的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小明和小刚两人选择相同入口进入植物园的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】证明：是的平分线，
．
在与中
≌，
．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
根据全等三角形的判定：证明≌，即可得．
18.【答案】解：设该商场购进甲型平板的单价为元，则购进乙型平板的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
乙型平板的单价为元，
元，
答：该商场购进甲型号平板的单价为元，乙型号平板的单价为元．
【解析】设该商场购进甲型号平板的单价为元，则购进乙型号平板的单价为，所购数量是甲型平板购进数量的倍，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：如图， 即为所求；
如图，等腰即为所求；
的面积为：，
故答案为．
作一以为边的平行四边形即可得；
根据等腰三角形的腰为，腰上的高为，进行画图．
本题主要考查了利用图形的基本变换进行作图，作图时需要运用平行四边形的性质以及等腰三角形的性质进行计算．注意：平行四边形是中心对称图形，等腰三角形是轴对称图形．
20.【答案】
【解析】解：这次随机抽取的献血者人数为人，
所以；
故答案为：，；
型献血的人数为人，
型献血的人数为人，
血型
人数
故答案为：，；
人，
答：估计有人是型血．
用型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数，然后计算的值；
先计算出型的人数，再计算出型人数，从而可补全上表中的数据；
用总人数乘以样本中型血人数所占比例．
本题考查了用样本估计总体、统计表、扇形统计图，解决本题的关键是综合运用以上知识．
21.【答案】解：设，
点在其图象上，
，
，
所求函数关系式为．
由题意知，台挖掘机每天能够开挖水渠米，
当时，，
答：该工程队需要用天才能完成此项任务．
【解析】将点代入反比例函数的解析式，即可求得反比例函数的解析式；
用工作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作时间．
本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从中整理出解决实际问题的函数模型．
22.【答案】解：过点作于点，
，，．
在中，
，，
．
在中，
，
千米．
答：、之间的直线距离为千米．
【解析】过作于，解直角三角形得到求出、的长度，用即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是作三角形的高建立直角三角形幷解直角三角形．
23.【答案】
【解析】解：根据图象信息，当分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为米分钟，
故答案为：，；
甲、乙两人的速度和为米分钟，
乙的速度为米分钟；
乙从七彩农业园回学校的时间为分钟，
，
点的坐标为；
设线段所表示的函数表达式为，
，
解得，
线段所表示的函数表达式为．
根据图象信息，当分钟时甲乙两人相遇，甲分钟行驶米，根据速度路程时间可得甲的速度；
求出乙从图书馆回学校的时间即点的横坐标；
运用待定系数法求解即可．
本题考查了一次函数的应用，路程、速度、时间的关系，用待定系数法确定函数的解析式，属于中考常考题型．读懂题目信息，从图象中获取有关信息是解题的关键．
24.【答案】
【解析】【感知】证明：过点作于点，
，，
：：；
【类比】解：：：，
，，
，
阴影部分图形的面积为，
故答案为：；
【拓展】解：如图，过点作于点，于点．
，
四边形是矩形，
，
，：：：：，
，，
，，
，
，
故答案为：．
【感知】由三角形的面积公式可得，，即可求解；
【类比】由：：，可得，，即可求解；
【拓展】先证四边形是矩形，可得，由三角形的面积公式可求，的长，由勾股定理可求解．
本题是三角形综合题，考查了三角形的面积公式，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
25.【答案】
【解析】解：，
是等腰三角形，
又，
在中，
，
；
故答案为：；
点从点出发，以速度运动，
，
又，
在中，
，
，
故答案为：；
将线段绕点旋转得到，
是等边三角形，
当点落在边上时，
，
又，，
，
在中，
，
在中，
，
又，即，
解得；
分情况讨论：
当点在上运动时，
即，，
线段交于点，如图，
点与点关于对称，
，
又，，
是等边三角形，
，
四边形是菱形，
由，，
在中，
，
，
四边形与重叠的部分为梯形，
，
当在上运动时，交于点，如图，
，
，
线段在边上，
，
，
在中，
，
，
，
，，
，
重叠部分为梯形，
，
此时，即，
综上，或，．
，是等腰三角形，又，在中，，；
点从点出发，以速度运动，，又，在中，，；
将线段绕点旋转得到，是等边三角形，，又，，，在中，，在中，，又，即，解出；
分情况讨论：当点在上运动时，，是等边三角形，，四边形是菱形，，，在中，，，四边形与重叠的部分为梯形，求梯形的面积，
当在上运动时，交于点，，，在中，，，，，，重叠部分为梯形，，即可求解．
本题考查等腰三角形，菱形和动点等综合问题，解题的关键是对菱形性质的灵活运用．
26.【答案】
【解析】解：抛物线为常数的对称轴为直线，且经过点，
，
解得，
抛物线对应的二次函数解析式为；
，
抛物线顶点坐标为，
抛物线开口向下，
当时，取最大值；
，
当时，取最小值；
故答案为：，；
当时，时取最大值，时取最小值，
最大值和最小值的差为，
，
解得；
当，且，即时，
时取最大值，时取最小值，
，
解得舍去或舍去；
当，且，即时，
时最大值是，时取最小值，
，
解得舍去或舍去；
当，即时，时最大，时最小，
，
解得；
综上所述，的值为或；
抛物线上有两点、，横坐标分别为和，
，；
点在抛物线上，横坐标为，
，
平行于轴，
直线为，
如图：
图象上恰好有三个点到直线的距离为，
，
解得或．
用待定系数法可得抛物线对应的二次函数解析式为；
求出抛物线顶点坐标为，即可得当时，取最大值；当时，取最小值；
分四种情况讨论：当时，，得；当，且，即时，，得舍去或舍去；当，且，即时，，得舍去或舍去；当，即时，时最大，时最小，，得；
求出，；，可知直线为，根据图象上恰好有三个点到直线的距离为，可得，即可解得答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数的最大最小值问题，解题的关键是分类讨论思想的应用．
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