2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市南岗区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市南岗区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各组数中，能构成直角三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
2. 下列四边形不是轴对称的图形是( )
A. 菱形 B. 矩形 C. 平行四边形 D. 圆
3. 如图，平行四边形中，对角线、交于点，点是的中点．若，则的长为( )
A. B. C. D.
4. 菱形中，对角线长度分别为和，则菱形的面积是( )
A. B. C. D.
5. 如图，一架米长的梯子，斜靠在一堵竖直的墙上，这时梯顶距地面米，若梯子沿墙下滑米，则梯足外滑米．( )
A.
B.
C.
D.
6. 一直角三角形两边分别为和，则第三边为( )
A. B. C. 或 D.
7. 如图，在矩形中，沿折叠交于，，，则长为( )
A.
B.
C.
D.
8. 下列说法正确的是( )
A. 一组对边平行且一组邻角相等的四边形是平行四边形
B. 对角线垂直且互相平分的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形
9. 如图，平行四边形的对角线相交于点，且两条对角线的和为，的长为，则的周长为( )
A. B. C. D.
10. 如图，在等腰直角中，，是斜边的中点，点、分别在直角边、上，且，连接、下列结论：
图中全等三角形共有三对；
；
三角形的面积等于四边形面积的倍；
．
其中正确的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 将数字用科学记数法可表示为______ ．
12. 把多项式分解因式的结果是______ ．
13. 计算的结果为______ ．
14. 若分式有意义，则的取值范围是 ．
15. 如图，若菱形的边长为，其中，则对角线长度为______ ．
16. 如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则四边形的周长是______．
17. 如图，在平行四边形中，平分，交于点，，，则平行四边形的周长是______ ．
18. 如图，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，高，点是母线上一点且一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是______．
19. 已知，在菱形中，，对角线和相交于点，在上取点，连接、，若，则的度数为 ．
20. 已知：如图，点在矩形的边的垂直平分线上，连接、，若，，，则 ______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
22. 本小题分
如图，在每个小正方形的边长均为的方格纸中，有线段和线段，点、、、均在小正方形的顶点上．
在方格纸中画出以为一边的等腰直角，点在小正方形的顶点上，且为直角；
在方格纸中画出以为腰的等腰，点在小正方形的顶点上，且的面积为连接，请直接写出线段的长．
23. 本小题分
如图，甲、乙两只捕捞船同时从港口出发捕鱼，甲船以每小时千米的速度沿西偏北方向前进，乙船以每小时千米的速度沿东北方向前进，甲船航行小时到达处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船立即加速后保持匀速沿北偏东的方向追赶乙船，结果两船在处相遇．
求的度数；
求乙船航行多少小时被甲船追上．
24. 本小题分
如图，在平行四边形中，连接，点为线段中点，连接并延长与的延长线交于，连接．
求证：四边形是平行四边形；
如图，若，写出所有不含边的等腰三角形．
25. 本小题分
爱心企业要为学校图书馆提供书籍，计划购买科普、文学两种书籍若购买本科普书和本文学书需用元；若购买本科普书和本文学书需用元．
求每本科普、文学书各多少元？
爱心企业决定购买科普、文学两种书籍本，总费用不超过元，那么最多可以购买多少本科普书？
26. 本小题分
我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
写出你所学过的四边形中是勾股四边形的图形的名称______ ；在平行四边形，矩形，菱形中选择
如图，已知格点小正方形的顶点，，，，请你画出以上述格点为顶点，、为勾股边且对角线相等的勾股四边形；并写出点的坐标；连接，直接写出的长度；
如图，将绕顶点按顺时针方向旋转，得到，连结、，，求证：，即四边形是勾股四边形．
27. 本小题分
如图，已知：四边形中，，．
求证：；
如图，当时，是上一点，是上一点，交于，交于点，，，求的度数；
如图，在的条件下，连接，，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，，
，
不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、，
不能构成三角形，
故B不符合题意；
C、，，
，
不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、，，
，
能构成直角三角形，
故D符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：菱形、矩形、圆能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
平行四边形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】
【解析】
【分析】
因为四边形是平行四边形，所以；又因为点是的中点，所以是的中位线，由，即可求得．
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
；
又点是的中点，
，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：菱形的对角线，的长分别为和，
，
故选：．
由菱形的面积公式可求得答案．
本题主要考查菱形的面积，掌握菱形的面积等于两对角线乘积的一半是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：如图，
由题意可知，米，，米，
在中，由勾股定理得：米，
在中，米，
由勾股定理得：米，
米．
即梯足外滑米，
故选：．
由勾股定理得米，再由勾股定理得米，即可解决问题．
本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出和的长是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：当是斜边时，根据勾股定理，得：第三边是；
当是直角边时，根据勾股定理，得：第三边是．
故选：．
因为在本题中，不知道谁是斜边，谁是直角边，所以此题要分情况讨论．
注意此类题一点要分情况进行讨论，熟练运用勾股定理进行求解．
7.【答案】
【解析】解：将沿折叠交于，
，，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
故选：．
根据翻折的性质和平行线的性质可得，再利用含角的直角三角形的性质可得答案．
本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：、一组对边平行且一组邻角相等的四边形不一定是平行四边形，故选项A不符合题意，
反例：等腰梯形；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线垂直的平行四边形是菱形，
对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，不一定是矩形，故选项B不符合题意；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项C不符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，
对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故选项D符合题意；
故选：．
由矩形的判定、菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、菱形的判定以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，，
，，，
，
，
的周长是，
故选：．
根据平行四边形的性质得出，，求出的值，代入求出即可．
本题考查了平行四边形的性质，注意：平行四边形的对角线互相平分．
10.【答案】
【解析】解：为等腰直角三角形，为边的中点，
，，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
同理可得≌，
图中全等三角形共有三对，所以正确；
≌，
，
而，
为等腰直角三角形，
，所以正确；
≌，
，
四边形面积，
，
三角形的面积等于四边形面积的倍；所以正确；
≌，
，
，
，
，所以正确．
故选：．
先根据等腰直角三角形的性质得到，，，则利用“”可判断≌，接着证明，则可判断≌，同理可得≌，于是可对进行判断；由≌得到，则可判断为等腰直角三角形，于是可对进行判断；由于≌得，所以四边形面积，从而可对进行判断；由于≌，所以，则，然后利用等腰直角三角形的性质可对进行判断．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了等腰直角三角形的性质．
11.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：
，
故答案为：．
先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
先化简二次根式，再合并同类二次根式．
本题考查了二次根式的加减，掌握二次根式的加减法法则是解决本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：．
故答案为：．
根据分式有意义的条件可得，再解即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为零．
15.【答案】
【解析】解：设交于，如图，
四边形为菱形，
，，，
而，
为等边三角形，
，
，
，
故答案为：．
设交于，如图，根据菱形的性质得，，，则可判断为等边三角形，根据等边三角形的性质得，则可得出答案．
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了等边三角形的判定与性质．
16.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，
四边形的周长，
故答案为．
由矩形的性质可得，通过证明四边形是菱形，可求解．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
17.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
平行四边形的周长是．
故答案为．
首先证明，求出，再利用平行四边形的性质即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18.【答案】
【解析】解：侧面展开图如图所示，
圆柱的底面周长为，
，
，
，
在中，
，
．
故答案为：．
首先画出圆柱的侧面展开图，根据高，，求出，在中，根据勾股定理求出的长．
此题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，做题的关键是画出圆柱的侧面展开图．
19.【答案】或
【解析】解：在菱形中，，对角线和相交于点，
，互相垂直平分，
，
，
当点如下图点所在位置时：
，
，
；
当点如下图点所在位置时：
，
，
；
综上：的度数为或，
故答案为：或．
根据题意画出图形，然后根据垂直平分线的性质以及菱形的性质：对角线互相垂直平分，对角线平分对角进行分情况讨论即可．
本题考查了菱形的性质以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键，注意分类讨论．
20.【答案】
【解析】解：作于点，作，交的延长线于点，
点在矩形的边的垂直平分线上，，，，
，，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
根据题意，先作出辅助线，然后根据勾股定理可以求得和的长，然后即可得到的长．
本题考查矩形的性质、线段的垂直平分线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】解：原式，
，
．
当时，原式．
【解析】先根据分式的运算法则对原式进行化简，再把的值代入化简结果计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
22.【答案】解：，，
，如图所示：即为所求；
，
，，
即为所求，
如图所示；
由勾股定理得：．
【解析】由勾股定理得出，由勾股定理的定理得出，画出图形即可；
由勾股定理得出，由，，得出即为所求；由勾股定理求出即可．
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握勾股定理，并能进行计算与作图是解决问题的关键．
23.【答案】解：如图：
由题意得：
，，，，
，
，
，
，
的度数为；
过点作，垂足为，
由题意得：千米，
在中，，
千米，
千米，
在中，，
千米，
小时，
乙船航行小时被甲船追上．
【解析】根据题意可得：，，，，从而可得，进而可得，然后利用平角定义求出，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答；
过点作，垂足为，根据题意可得：千米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再在中，利用含度角的直角三角形的性质求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24.【答案】证明：平行四边形中，是的中点，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
即，
四边形是平行四边形；
解：四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，
，，，
，
所有的等腰三角形为，，舍去等腰三角形边．
【解析】由已知平行四边形中，是的中点，可得，，则，所以，再利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得其为平行四边形；
证得四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
25.【答案】解：设每本科普书元，文学书元，
根据题意得：，
解得：．
答：每本科普书元，文学书元；
设购买本科普书，则购买本文学书，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为．
答：最多可以购买本科普书．
【解析】设每本科普书元，文学书元，根据“购买本科普书和本文学书需用元；购买本科普书和本文学书需用元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买本科普书，则购买本文学书，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26.【答案】矩形
【解析】解：矩形．理由是矩形的对角线等于邻边的平方和．
故答案为：矩形；
解：答案如图所示．或；
证明：连接，
≌，
，，
，
，，
，
，
，
．
即四边形是勾股四边形．
只要四边形中有一个角是直角，根据勾股定理就有两直角边平方的和等于斜边的平方，即此四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，由此可知，正方形、长方形、直角梯形都是勾股四边形．
知以格点为顶点的共两个：或．
欲证明，只需证明．
本题考查勾股定理，及考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
27.【答案】证明：，
，
，
四边形是平行四边形，
；
解：方法一，如图，
延长至，使，连接，
，
，
，，
，
，
，
，
由得：，
四边形是平行四边形，
，，
，，
≌，
，，
，
，
，
，
方法二，如图，
作，交的延长线于，作于，连接，作于，连接，，
可得，
四边形是矩形，
可得矩形，
，，，
，
由上可知：，
，
矩形是正方形，
，
，
点、、、共圆，
，
，
、、、共圆，
，
，
、、共线，此时在处，
；
解：如图，
作，交于，交于，作于，
可得四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
，
是的外角，
，
，
，
又，
由得，
，
，，
，
，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
设，则，，
，
在中，，，，
，
，
，
，
如图，
作于，
，
，
．
【解析】可证明四边形是平行四边形，从而得出结论；
延长至，使，连接，可证明≌，从而，，进而证得是等腰直角三角形，进一步得出结果；
作，交于，交于，作于，可得出，，，从而推出，从而得出依次推出，，，，可证得≌，从而，，进而得出，设，则，，，从而在中根据勾股定理列出方程求得的值，进一步得出结果．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形以及根据角之间的数量关系，倒角出角的平分线．
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