2022-2023学年贵州省铜仁市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年贵州省铜仁市高二（下）期末数学试卷
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 复数对应的点在复平面内的( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 函数的图象与函数的图象关于轴对称，则( )
A. B. C. D.
4. 音程由两个音组成，是和声的最小单位有的音听起来和谐而有的则不和谐，这和音与音之间的波形正弦型有关比如，到高音可以构成纯八度音程，听感上十分和谐，这是因为两者波形的周期比为：，两个声波在个个周期后就立即重合，并有规律的进行下去再比如到可以构成纯五度音程，两者周期比为：，两个声波在个个周期后就立即重合，听感上也很和谐也就是说，两个音波形的周期比例越简单，听感越和谐已知在一个调性中，的波形符合函数为振幅，为时间，在音与音之间振幅相同的情况下，与构成纯八度音程的高音、纯五度音程的的波形函数分别为( )
A. ；
B. ；
C. ；
D. ；
5. 已知双曲线的渐近线方程为，则的值为( )
A. B. C. D.
6. 点在圆：上运动，点，当直线的斜率最大时，直线方程是( )
A. B.
C. D.
7. 已知是腰长为的等腰直角斜边上的动点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
9. 如图是国家卫健委给出的全国某种流行病通报中，甲、乙两个省月份从月日到月日一周新增该种流行病确诊人数的折线图( )
A. 甲省方差比乙省方差大 B. 甲省平均数比乙省平均数大
C. 甲省中位数比乙省中位数大 D. 甲省的极差比乙省极差大
10. 在正方体中，棱长为，已知点，分别是线段，上的动点不含端点下列结论正确的选项是( )
A. 与不可能垂直
B. 有无数条直线与直线平行
C. 直线与平面所成角为定值
D. 三棱锥的体积为定值
11. 函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为( )
A.
B.
C.
D.
12. 已知函数，是定义域为且都关于对称的函数，，当时，，下列结论正确的是( )
A. 函数是周期为的周期函数
B. 函数图象关于对称
C.
D. 的图象与的图象有个交点
13. 准线方程的抛物线的标准方程为______ ．
14. 在的二项展开式中，第项的系数为______ ．
15. 请举出一个各项均为正数且公差不为的等差数列，使得它的前项和满足：数列也是等差数列，则______．
16. 粽子是端午节期间不可缺少的传统美食，铜仁的粽子不仅馅料丰富多样，形状也是五花八门，有竹筒形、长方体形、圆锥形等，但最常见的还是“四角粽子”，其外形近似于正三棱锥因为将粽子包成这样形状，既可以节约原料，又不失饱满，而且十分美观如图，假设一个粽子的外形是正三棱锥，其侧棱和底面边长分别是和，是顶点在底面上的射影若是底面内的动点，且直线与底面所成角的正切值为，则动点的轨迹长为______ ．
17. 在中，，，．
求；
若为的中点，求的长．
18. 来自微碧江的报道：年月日，铜仁市碧江区第二届房地产交易展示会在三江公园隆重开幕据了解，本次房交会以政府搭台、企业让利、政策支持、百姓受益为办展宗旨，聚集了碧江区家房开企业、个楼盘参展，套房源、万平方米供群众选购，大银行和公积金中心在现场助阵和提供咨询服务本次房交会从月日持续到月日，期间每天都安排有精彩演出、免费美食、互动游戏、露天电影和游江龙舟五类活动．
甲、乙两名市民参加了不同类的活动，且每人只参加一类活动已知甲参加了免费美食的活动，求乙参加游江龙舟活动的概率是多少？
已知来自某小区的市民参加互动游戏的概率是，设来自该小区的名市民参加互动游戏的人数为，求的分布列与期望．
19. 已知数列满足且．
求证：数列为等比数列；
求数列的通项公式．
求数列的前项和．
20. 如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，．
证明：；
若平面平面，且，求直线与平面所成角的正弦值．
21. 已知椭圆：的离心率为，且过点．
求的方程；
直线：与椭圆分别相交于，两点，且，点不在直线上；
Ⅰ试证明直线过一定点，并求出此定点；
Ⅱ从点作垂足为，点，写出的最小值结论不要求证明．
22. 已知函数．
当时，
Ⅰ求处的切线方程；
Ⅱ判断的单调性，并给出证明；
若恒成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，可得，
又集合，
所以．
故选：．
根据一元二次不等式的解化简集合，再由交集的运算求解即可．
本题考查一元二次不等式解法，集合的交运算，属基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，其对应点为，在复平面上为第一象限上的点．
故选：．
根据条件得到，再利用复数的几何意义即可求出结果．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：设上任意一点，
则在上，
故，
故．
故选：．
根据对称关系可得，代入即可求解．
本题考查函数的对称性，考查运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：已知到高音两者波形的周期比为：，
又的波形符合函数，
故，则，由，
解得，
高音的波形函数为；
到两者周期比为：，故，解得，
纯五度音程的的波形函数为．
故选：．
根据三角函数周期求解即可．
本题主要考查根据实际问题选择函数类型，考查运算求解能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：由题可得，
由，得，
所以双曲线的渐近线方程，
因为双曲线的渐近线方程为，
所以，得．
故选：．
由双曲线方程求出渐近线方程，再与比较可求出的值．
本题主要考查双曲线的性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：设直线的方程为，即，
，即，
则圆心，半径，
则由题意得圆心到直线的距离小于等于，
即，
解得，
则的最大值为，
此时直线的方程为，
化简得．
故选：．
设直线的方程为，利用圆心到直线的距离小于等于，从而得到不等式，即可得到的最大值．
本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：如图，
则，
根据向量数量积的几何意义，可看成乘以在上的投影，
由图可知，当点在点处时，在上的投影最大为，此时最大为，
当点在点处时，在上的投影最小为，此时最小为，
故．
故选：．
根据向量数量积的几何意义，可看成乘以在上的投影，由此求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：，即，
即，
构造，
则在上单调递增，
因为，
所以，即存在，使得，
记，，令，则，
所以在单调递减，在单调递增，，
因为，，
所以，
所以，所以，所以，所以实数的取值范围是．
故选：．
根据题意转化为，同构得到，通过构造得到原题意即存在，使得，再构造，研究最值即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查转化能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：甲省的确诊人数依次为，，，，，，，乙省的确诊人数依次为，，，，，，，
所以甲省的平均数为，乙省的平均数为，
故B错误；
甲省的方差为，
乙省的方差为，
故A正确；
甲省的中位数为，乙省的中位数为，故C正确；
甲省的极差为，乙省的极差为，故D正确．
故选：．
利用题中折线图中的数据信息以及变化趋势，结合平均数、方差、中位数、极差的计算公式，对四个选项逐一分析判断即可．
本题考查平均数、方差、中位数、极差的定义，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，因为在正方体中，，平面，
因为平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以，所以A错误，
对于，因为，平面，平面，所以平面，
所以可得过的平面与平面相交，与直线，相交于点，，则，
所以有无数条直线与直线平行，所以B正确，
对于，因为在上，所以平面，
因为在正方体中，直线与平面所成的角为定值，在上，
所以直线与平面所成角为定值，所以C正确，
对于，因为，平面，平面，所以平面，
所以点到平面的距离为定值，
所以，即三棱锥的体积为定值，所以D正确，
故选：．
对于，由正方体的性质可证得平面，然后利用线面垂直的性质判断，对于，利用线面平行的性质分析判断，对于，由与平面所成的角为定值分析判断，对于，由与平面平行分析判断．
本题考查线线垂直的判断，线线平行的判断，线面角的概念，三棱锥的体积问题，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：由图象可知，，求得再根据五点法作图可得，则，
函数的解析式为，
故选：．
由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式．
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：因为函数，是定义域为且都关于对称的函数，
所以，，由，得，
两式相减得，即为偶函数．
由得，又为偶函数，
所以，即，，，
所以函数是周期为的周期函数，故A错误；
由，，得，
所以函数图象关于对称，故B正确；
因为函数是周期为的周期函数，当时，，
所以，故C正确；
显然可得函数也为偶函数，
考虑作出函数和在，上的图象，如图所示：
由图可知函数的图象和的图象在上共有个交点，
由对称性可得，的图象与的图象共有个交点，故D错误．
故选：．
根据条件可得为偶函数，周期，图象还关于对称，进而可判断、、；再作出的图象与的图象可判断．
本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：抛物线的准线方程为，
可设抛物线方程为，
由准线方程，得．
抛物线的标准方程为．
故答案为：．
直接由抛物线的准线方程设出抛物线方程，再由准线方程求得，则抛物线标准方程可求．
本题考查了抛物线的标准方程，考查了抛物线的简单几何性质，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：在的二项展开式中，由通项公式求得第项为，
故第项的系数为，
故答案为．
由通项公式求得第项，即可求得第四项的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：当时为等差数列，此时，
则也是等差数列，满足题意．
故答案为：．
当时，，也是等差数列，满足题意．
本题考查等差数列通项公式及前项和公式，考查数学运算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由题意可知是底面等边三角形的的中心，所以，
进而，
连接，，由于底面，所以即为直线与底面所成的角，所以，
因此点在以为圆心，半径为的圆上运动，所以的轨迹长为．
故答案为：．
根据正三棱锥的特征以及线面角的定义可判断点在以为圆心，半径为的圆上运动，即可求解半径求解．
本题主要考查轨迹方程的求解，考查转化能力，属于中档题．
17.【答案】解：在中，由正弦定理，
整理得，，
又，
所以．
由得，，
故AC，
在中，由余弦定理得：，
所以：．

【解析】直接利用正弦定理求解即可；
先求出，在中，利用余弦定理求解即可．
本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：在甲参加了免费美食活动的条件下，记“乙参加游江龙舟活动的这一事件”为，
则．
所以已知甲参加了免费美食的活动，乙参加游江龙舟活动的概率是．
依题意，
；
；
．
所以的分布列如下：
的数学期望．
【解析】已知甲参加了免费美食的活动，则可求乙在剩下四类活动中参加游江龙舟活动的概率；
依题意可知，即可求二项分布的分布列和期望．
本题主要考查概率的求法，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：数列满足且，
可得，
可得数列为首项为，公比为的等比数列；
，即；
--．
【解析】将等式同时加，结合等比数列的定义，即可得证；
运用等比数列的通项公式，可得所求；
求得，由数列的分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，即可得到所求和．
本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的分组求和，化简整理的运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：证明：设为的中点，连接，，如图所示：
由题意得，，
又，，平面，
平面，
又平面，
则；
平面平面，，平面平面，
平面，
，，两两垂直，
则建立以为坐标原点的空间直角坐标系，如图所示：
则，
则，，
，设平面的法向量为，
则，取，则，，
则平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，
则直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】取为的中点，通过证明平面，即可证明结论；
建立以为坐标原点的空间直角坐标系，求出平面的法向量和的坐标，利用向量法求解，即可得出答案．
本题考查直线与平面垂直和直线与平面的夹角，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：由和，
又，得，，
故C的方程：．
证明：设，，
联立，
由根与系数的关系得：，，
，，
由，
得：，
整理得：，
代入得，
化简得，
即，
由于点不在直线上，
所以，可得，直线过定点．
的最小值为．
理由：由于直线过定点，不妨设，
由于，所以点在以为直径的圆上运动，圆心为，半径为，
所以点到圆心的距离为，
故点到圆上一点的最小距离为，即的最小值为．
【解析】根据离心率以及经过的点即可联立方程求解，，，
Ⅰ联立直线与椭圆方程，根据垂直关系，代入根与系数的关系即可化简求解定点；
Ⅱ根据，可得点在以为直径的圆上运动，即可利用点到圆心的距离求解最值．
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：当时，，可得．
，，
所以在处的切线方程为，即．
在上单调递增，
证明如下：，
设，则，单调递增，
所以，即，
所以当时，，单调递增．
设，
由题意恒成立．
当时，，不恒成立，不合题意；
当时，设，，
，，，
设，，，单调递增，
由零点存在定理得，使得．
在上，，即，
所以在上单调递减，，不恒成立，不合题意；
当时，，
则，
当时，，，即，则，
所以当时，，单调递增．
可得：，即，所以．
综上，的取值范围为．
【解析】由导数的几何意义可求得切线的斜率，从而可求切线方程；由，令，求导判断单调性得，即可求解；
当，取，判断不成立；当时，三次求导结合隐零点进行判断不成立；当时，，可得，即．
本题主要考查利用导数函数的最值，考查转化能力，属于难题．
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