4.2.2对数的运算性质 讲义（含答案）

编号：020 课题: §4.2.2 对数的运算性质
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
理解对数的运算性质；
本节重点难点
重点：对数换底公式的应用；
难点：实际问题中的对数运算．
学科素养目标
本章旨在学习指数与对数的基本概念及运算性质，通过对具体数式的分析，使学生体会分数指数幂、对数的概念和意义，掌握有理指数幂、对数的运算性质. 根式、分数指数幂、对数都是具体的对应法则，是学习指数函数、幂函数、对数函数的基础，应讲清、讲透．学生在初中学习了数的开平方、开立方、二次根式、整数指数幂的意义及运算法则．有了这些知识作准备，教科书通过实际问题引出了分数指数幂，说明了扩张指数取值范围的必要性，由此先将平方根与立方根的概念扩充到n次方根，将二次根式扩充到一般根式，进一步探究了分数指数幂及其运算性质，通过一个实例介绍有理指数幂逼近无理指数幂，从而将指数的范围扩充到实数．这很好地体现了承上启下的作用，不仅可以加深与巩固对初中所学知识，而且为高中后期学习指数函数与对数函数知识埋下伏笔.
教学过程
基础知识积累
1. 对数的运算性质
(1)性质:
如果,那么
①积的对数:;
②商的对数:;
③幂的对数:.
(2)本质:正用是将积、商、幂的对数进行拆分计算;逆用是将同底数对数的和、差分别合并成积、商计算,数与对数的乘积转化成幂的对数计算.
(3)应用:广泛用于对数式的化简求值中,解决对数式的计算问题.
【思考】
你能用文字语言叙述对数的运算性质吗
提示:积的对数等于积的各个因式的对数的和;
商的对数等于分子的对数减去分母的对数;
幂的对数等于幂指数乘以底数的对数.
2.换底公式
(1)公式:.
(2)本质:将对数的底数换成任意大于零,且不等于1的实数.
(3)应用:将底数换成10或e,即将任意对数运算统一为常用对数或自然对数进行计算.
【思考】
(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式
(2)你能用换底公式证明结论吗
【课前小题演练】
题1. log(3－2)等于(　　)
A．－2 B．－4 C．2 D．4
题2.＋等于(　　)
A．lg 3 B．－lg 3
C． D．－
题3．设alog34＝2，则4－a＝(　　)
A． B. C． D．
题4.已知4a＝2，lg x＝a，则x＝(　　)
A． B． C．10 D．1
题5．已知x，y，z都是大于1的正数，m>0，log xm＝24，log ym＝40，log xyzm＝12，则log zm的值为(　　)
A． B．60 C． D．
题6．太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量M大约是2×1030千克．地球是太阳系八大行星之一，其质量m大约是6×1024千克．下列各数中与最接近的是(　　)
(参考数据：lg 3≈0.477 1，lg 6≈0.778 2)
A．10－5.519 B．10－5.521
C．10－5.523 D．10－5.525
题7．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y＝(　　)
A．3 B．8 C．4 D．log48
题8（多选题）．设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么(　　)
A．ab＋bc＝2ac B．ab＋bc＝ac
C．＝＋ D．＝－
题9（多选题）．若10a＝4，10b＝25，则(　　)
A．a＋b＝2 B．b－a＝1
C．ab＞8(lg 2)2 D．b－a＜lg 6
题10．计算：log 2＝________．
题11．计算：2－1＋lg 100－ln ＝________．
题12．计算下列式子的值：
(1)2lg 2＋lg 25；
(2).
【课堂题组训练】
题13．如果(13.2)a＝1 000，(0.013 2)b＝1 000，那么－的值是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
题14．今年4月，四川省广汉市的三星堆遗址出土了数百件瑰奇文物，考古专家对现场文物样本进行碳14年代测定，检测出碳14的残留量约为初始量的66%，已知碳14的半衰期是5 730年(即每经过5 730年，遗存材料的碳14含量衰减为原来的一半).则该遗址距今约(　　)
(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48，lg 11≈1.04)
A．3 200年 B．3 262年
C．3 386年 D．3 438年
题15（多选题）．若log 4(3a＋4b)＝log 2，则a＋b的取值不可能是(　　)
A．6＋2 B．17＋2
C．6＋4 D．7＋4
题16（多选题）．设a＝log 0.20.3，b＝log 20.3，则(　　)
A．< B．ab<0
C．a＋b<0 D．ab题17．设实数x满足0题18．已知3a＝4，b＝log23，则ab＝________；4b＝________．
题19．计算下列各式：
(1)(log32＋log92)(log43＋log83)＋；
(2)2lg 5＋lg 8＋lg 5·lg 20＋lg22.
题20.计算：(1)log535－2log5＋log57－log51.8；
(2)log2＋log212－log242－1.
题21．2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)≈的结论．若根据欧拉得出的结论，试估计1 000以内的素数的个数．
(素数即质数，lg e≈0.434 29，计算结果取整数)
【综合突破拔高】
题22．计算：0.25－0.5－log525＝(　　)
A．0 B．1 C．3 D．4
题23．设a＝lg 2，b＝lg 3，则log26＝(　　)
A．ab2 B．a2b C． D．
题24．若a>1，b>1，且lg (a＋b)＝lg a＋lg b，则lg (a－1)＋lg (b－1)的值等于(　　)
A．0 B．lg 2 C．1 D．－1
题25．若lg x－lg y＝a，则lg －lg ＝(　　)
A．3a B．a3 C． D．
题26．已知2x＝5y＝t，＋＝2，则t＝(　　)
A． B． C． D．100
题27．围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有3361种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即10 00052，下列最接近的是(注：lg 3≈0.477)(　　)
A．10－25 B．10－26 C．10－35 D．10－36
题28（多选题）．已知ab>0，下面四个等式中错误的是(　　)
A．lg (ab)＝lg a＋lg b; B．lg ＝lg a－lg b；
C．lg ＝lg ； D．lg (ab)＝.
题29（多选题）．2018a＝2019b，则下列a，b的关系中，不可能成立的有(　　)
A．0＜b＜a B．a＜b＜0 C．0＜a＜b D．b＜a＜0
题30(多选题)．下列等式不成立的是 (　 　)
A．ln e＝1 B．log31＝0 C． D．log2(－5)2＝2log2(－5)
题31(多选题)．已知a，b均为正实数，若logab＋logba＝，ab＝ba，则＝ (　 　)
A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．2
题32．若a＝log147，b＝log145，则log3528＝______(用含a，b的式子表示)；若＝c，则＝______(用含c的式子表示).
题33．________．
题34．计算：(1)；
(2).
题35．令，.分别求P和Q.
编号：020 课题: §4.2.2 对数的运算性质
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
理解对数的运算性质；
本节重点难点
重点：对数换底公式的应用；
难点：实际问题中的对数运算．
学科素养目标
本章旨在学习指数与对数的基本概念及运算性质，通过对具体数式的分析，使学生体会分数指数幂、对数的概念和意义，掌握有理指数幂、对数的运算性质. 根式、分数指数幂、对数都是具体的对应法则，是学习指数函数、幂函数、对数函数的基础，应讲清、讲透．学生在初中学习了数的开平方、开立方、二次根式、整数指数幂的意义及运算法则．有了这些知识作准备，教科书通过实际问题引出了分数指数幂，说明了扩张指数取值范围的必要性，由此先将平方根与立方根的概念扩充到n次方根，将二次根式扩充到一般根式，进一步探究了分数指数幂及其运算性质，通过一个实例介绍有理指数幂逼近无理指数幂，从而将指数的范围扩充到实数．这很好地体现了承上启下的作用，不仅可以加深与巩固对初中所学知识，而且为高中后期学习指数函数与对数函数知识埋下伏笔.
教学过程
基础知识积累
1. 对数的运算性质
(1)性质:
如果,那么
①积的对数:;
②商的对数:;
③幂的对数:.
(2)本质:正用是将积、商、幂的对数进行拆分计算;逆用是将同底数对数的和、差分别合并成积、商计算,数与对数的乘积转化成幂的对数计算.
(3)应用:广泛用于对数式的化简求值中,解决对数式的计算问题.
【思考】
你能用文字语言叙述对数的运算性质吗
提示:积的对数等于积的各个因式的对数的和;
商的对数等于分子的对数减去分母的对数;
幂的对数等于幂指数乘以底数的对数.
2.换底公式
(1)公式:.
(2)本质:将对数的底数换成任意大于零,且不等于1的实数.
(3)应用:将底数换成10或e,即将任意对数运算统一为常用对数或自然对数进行计算.
【思考】
(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式
(2)你能用换底公式证明结论吗
提示:(1).
(2) .
【课前小题演练】
题1. log(3－2)等于(　　)
A．－2 B．－4 C．2 D．4
【解析】选A.因为 3－2＝2－2＋1＝()2－2＋12＝(－1)2＝＝(＋1)－2.
所以 log(3－2)＝log(＋1)－2＝－2.
题2.＋等于(　　)
A．lg 3 B．－lg 3
C． D．－
【解析】选C.原式＝log＋log
＝log94＋log35＝log32＋log35＝log310＝.
题3．设alog34＝2，则4－a＝(　　)
A． B. C． D．
【解析】选B.由alog34＝2可得log34a＝2，所以4a＝9，
所以有4－a＝.
题4.已知4a＝2，lg x＝a，则x＝(　　)
A． B． C．10 D．1
【解析】选B.因为4a＝2，所以a＝，因为lg x＝a＝，则x＝.
题5．已知x，y，z都是大于1的正数，m>0，log xm＝24，log ym＝40，log xyzm＝12，则log zm的值为(　　)
A． B．60 C． D．
【解析】选B.因为log xm＝24，log ym＝40，log xyzm＝12，
所以log mx＝，log my＝，log m(xyz)＝，即log mx＋log my＋log mz＝，
所以log mz＝－log my－log mx＝－－＝，所以log zm＝60.
题6．太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量M大约是2×1030千克．地球是太阳系八大行星之一，其质量m大约是6×1024千克．下列各数中与最接近的是(　　)
(参考数据：lg 3≈0.477 1，lg 6≈0.778 2)
A．10－5.519 B．10－5.521
C．10－5.523 D．10－5.525
【解析】选C.由题意可得＝3×10－6，
所以lg ＝lg 3＋lg 10－6≈0.477 1－6
＝－5.522 9≈－5.523，故≈10－5.523.
题7．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y＝(　　)
A．3 B．8 C．4 D．log48
【解析】选A.因为2x＝3，所以x＝log23.
又log4＝y，所以x＋2y＝log23＋2log4＝log23＋2(log48－log43)
＝log23＋2＝log23＋3－log23＝3.
题8（多选题）．设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么(　　)
A．ab＋bc＝2ac B．ab＋bc＝ac
C．＝＋ D．＝－
【解析】选AD.由题意，设4a＝6b＝9c＝k，则a＝log 4k，b＝log 6k，c＝log 9k，对于选项A，由ab＋bc＝2ac，可得＋＝2，因为＋＝＋＝＋＝log 69＋log 64＝log 636＝2，故A正确，B错误；对于选项C，＋＝＋＝2log k4＋log k6＝log k96，＝＝2log k9＝log k81，故≠＋，即C错误；对于选项D，－＝－＝2log k6－log k4＝log k9，＝＝log k9，故＝－，即D正确．
题9（多选题）．若10a＝4，10b＝25，则(　　)
A．a＋b＝2 B．b－a＝1
C．ab＞8(lg 2)2 D．b－a＜lg 6
【解析】选AC.因为10a＝4，10b＝25，
所以a＝lg 4，b＝lg 25，所以a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，故A选项正确，
b－a＝lg 25－lg 4＝lg ＞lg 6，故B，D选项不正确，ab＝2lg 2×2lg 5＝4lg 2·lg 5＞4lg 2·lg 4＝8(lg 2)2，故C选项正确．
题10．计算：log 2＝________．
【解析】由对数的运算法则，
可得log 2＝log 2
＝log 2＝log 2＝log 21＝0.
答案：0
题11．计算：2－1＋lg 100－ln ＝________．
【解析】原式＝＋2－＝2.
答案：2
题12．计算下列式子的值：
(1)2lg 2＋lg 25；
(2).
【解析】(1)原式＝lg 4＋lg 25＝lg (4×25)＝lg 100＝2.
(2)原式＝
＝＝＝＝1.
【课堂题组训练】
题13．如果(13.2)a＝1 000，(0.013 2)b＝1 000，那么－的值是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选A.因为(13.2)a＝1 000，(0.013 2)b＝1 000，所以a＝log13.21 000，b＝log0.013 21 000，
所以＝log1 00013.2，＝log1 0000.013 2，
所以－＝log1 00013.2－log1 0000.013 2
＝log1 000＝log1 0001 000＝1.
题14．今年4月，四川省广汉市的三星堆遗址出土了数百件瑰奇文物，考古专家对现场文物样本进行碳14年代测定，检测出碳14的残留量约为初始量的66%，已知碳14的半衰期是5 730年(即每经过5 730年，遗存材料的碳14含量衰减为原来的一半).则该遗址距今约(　　)
(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48，lg 11≈1.04)
A．3 200年 B．3 262年
C．3 386年 D．3 438年
【解析】选D.设时间经过了x年，
则()＝0.66，两边取对数可得，lg ＝lg 0.66，
所以x＝5 730×＝5 730×≈3 438.
题15（多选题）．若log 4(3a＋4b)＝log 2，则a＋b的取值不可能是(　　)
A．6＋2 B．17＋2
C．6＋4 D．7＋4
【解析】选AC.由题，log 4＝log 2，所以＝，即3a＋4b＝ab，所以＋＝1，因为3a＋4b>0，ab>0，所以a>0，b>0，所以＝＋4＋3＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时等号成立，所以a＋b的最小值为7＋4.
题16（多选题）．设a＝log 0.20.3，b＝log 20.3，则(　　)
A．< B．ab<0
C．a＋b<0 D．ab【解析】选BCD.因为a＝log 0.20.3＝>0，b＝log 20.3＝<0，所以>0>，a＋b＝－＝＝<0，
ab＝－·＝，因为lg ＞lg ，＜0，所以ab＜a＋b＜0.
题17．设实数x满足0【解析】因为logx4＝2logx2＝.
所以logx4－log2x＝－log2x＝1，
即(log2x)2＋log2x－2＝0，
解得：log2x＝－2或log2x＝1，
所以x＝或x＝2.因为0答案：
题18．已知3a＝4，b＝log23，则ab＝________；4b＝________．
【解析】因为3a＝4，b＝log23，
所以a＝log34，
所以ab＝log34·log23＝×＝2.
4b＝＝＝9.
答案：2　9
题19．计算下列各式：
(1)(log32＋log92)(log43＋log83)＋；
(2)2lg 5＋lg 8＋lg 5·lg 20＋lg22.
【解析】(1)(log32＋log92)(log43＋log83)＋
＝＋5
＝···＋5
＝×＋5＝.
(2)2lg 5＋lg 8＋lg 5·lg 20＋lg22
＝2lg 5＋lg 23＋lg 5·lg (4×5)＋lg22
＝2lg 5＋2lg 2＋2lg 5·lg 2＋lg25＋lg22
＝2(lg 5＋lg 2)＋2lg 5·lg 2＋lg25＋lg22
＝2＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋1＝3.
题20.计算：(1)log535－2log5＋log57－log51.8；
(2)log2＋log212－log242－1.
【解析】(1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.
(2)原式＝log2＋log212－log2－log22
＝log2＝log2＝log2
＝－.
题21．2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)≈的结论．若根据欧拉得出的结论，试估计1 000以内的素数的个数．
(素数即质数，lg e≈0.434 29，计算结果取整数)
【思路导引】根据素数计算公式，利用换底公式计算．
【解析】由题意可知：π(1 000)≈＝lg e≈×0.434 29≈145.
所以根据欧拉得出的结论，估计1 000以内的素数的个数为145.
【综合突破拔高】
题22．计算：0.25－0.5－log525＝(　　)
A．0 B．1 C．3 D．4
【解析】选A.0.25－0.5－log525＝－－log552＝－1－2＝0.
题23．设a＝lg 2，b＝lg 3，则log26＝(　　)
A．ab2 B．a2b C． D．
【解析】选C.因为a＝lg 2，b＝lg 3，
所以log26＝＝.
题24．若a>1，b>1，且lg (a＋b)＝lg a＋lg b，则lg (a－1)＋lg (b－1)的值等于(　　)
A．0 B．lg 2 C．1 D．－1
【解析】选A.因为a>1，b>1，且lg (a＋b)＝lg a＋lg b，
所以lg (a＋b)＝lg ab，所以a＋b＝ab，
所以lg (a－1)＋lg (b－1)
＝lg (a－1)(b－1)＝lg [ab－(a＋b)＋1]＝lg 1＝0.
题25．若lg x－lg y＝a，则lg －lg ＝(　　)
A．3a B．a3 C． D．
【解析】选A.lg x－lg y＝lg ＝a，lg －lg ＝lg －lg ＝
lg ＝3lg ＝3a.
题26．已知2x＝5y＝t，＋＝2，则t＝(　　)
A． B． C． D．100
【解析】选C.因为2x＝5y＝t＞0，t≠1，
所以x＝，y＝.代入＋＝2，所以＋＝2，
所以ln 10＝ln t2，所以t2＝10，则t＝.
题27．围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有3361种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即10 00052，下列最接近的是(注：lg 3≈0.477)(　　)
A．10－25 B．10－26 C．10－35 D．10－36
【解析】选D.根据题意对于可得lg ＝lg 3361－lg 10 00052＝361×lg 3－52×4≈－35.8，可得≈10－35.8，分析选项，可得D中10－36与其最接近．
题28（多选题）．已知ab>0，下面四个等式中错误的是(　　)
A．lg (ab)＝lg a＋lg b; B．lg ＝lg a－lg b；
C．lg ＝lg ； D．lg (ab)＝.
【解析】选ABD.由于ab>0，故a>0，b>0或a<0，b<0，
故对于A，当a<0，b<0时，lg (ab)＝lg a＋lg b不成立；
对于B，当a<0，b<0时，lg ＝lg a－lg b不成立；
对于C，ab>0 >0 lg ＝lg ，故成立；
对于D，当ab＝1时，lg (ab)＝不成立．
题29（多选题）．2018a＝2019b，则下列a，b的关系中，不可能成立的有(　　)
A．0＜b＜a B．a＜b＜0 C．0＜a＜b D．b＜a＜0
【解析】选CD.因为2018a＝2019b，不妨令2018a＝2019b＝m，则m＞0，a＝log2018m，b＝log2019m.所以当m＞1时，有 a＞b＞0.当0＜m＜1时，有a＜b＜0，故C，D不正确．
题30(多选题)．下列等式不成立的是 (　 　)
A．ln e＝1 B．log31＝0 C． D．log2(－5)2＝2log2(－5)
【解析】选CD.根据对数式的运算，可得ln e＝1，log31＝0，故A，B成立；
由根式与指数式的互化可得，故C不成立；log2(－5)2＝log252＝2log25，故D不成立．
题31(多选题)．已知a，b均为正实数，若logab＋logba＝，ab＝ba，则＝ (　 　)
A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．2
【解析】选AD.令t＝logab，则t＋＝，所以2t2－5t＋2＝0，(2t－1)(t－2)＝0，
所以t＝或t＝2.所以logab＝或logab＝2.所以a＝b2或a2＝b.因为ab＝ba，
所以2b＝a＝b2或b＝2a＝a2.所以b＝2，a＝4或a＝2，b＝4.所以＝2或＝.
题32．若a＝log147，b＝log145，则log3528＝______(用含a，b的式子表示)；若＝c，则＝______(用含c的式子表示).
【解析】log3528＝＝＝＝；
＝c，又lg 2＋lg 5＝1，解得lg 2＝，＝＝＝＝.
答案：　　
题33．________．
【解析】原式＝.
答案：2
题34．计算：(1)；
(2).
【解析】(1) ＝()2＋1＋9×－0＝＋1＋＝；
(2)＝
＝＝
＝＝＝＝1.
题35．令，.分别求P和Q.
【解析】＝2＋－1＝..
- 0 -