4.3.1等比数列的概念 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
4.3.1等比数列的概念
一、等比数列的概念
(1)文字语言：一般地，如果一个数列从第_____项起，每一项与它的前一项的比都等于__________常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母________表示．
(2)符号语言：＝q(q为常数，n∈N*)
注释：
1. 等比数列中不能出现0,公比不能为0；
2. 当q＝1时，此时为常数列，也是等差数列．
2
同一个不 为零
q(q≠0)
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二、等比中项
在两个数a，b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项.
注释：只有当a、b同号时a、b才有等比中项，并且有两个等比中项，分别是与－；当a，b异号时没有等比中项．
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三、等比数列的通项公式
(1)已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则数列{an}的通项公式为an＝________．
(2)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m，变形得qn－m＝.
注释：等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示．
a1qn－1
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四、等比数列与指数函数的关系
等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点．
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题型1　等比数列通项公式的基本运算
例1　在等比数列{an}中，
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
例题讲解
解：设首项为a1，公比为q.
(1)方法一：
由得q3＝4，q＝，a1q3＝2，
a1＝＝，an＝a1qn－1＝.
方法二：a7＝a4q3，q3＝4，q＝.
an＝a4qn－4＝2·()n－4＝.
(2)方法一：
由得q＝，a1＝32，
又an＝1， 32×()n－1＝1.
26－n＝20，n＝6.
方法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，
所以q＝.
由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.
由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.
方法总结：
等比数列中求和的2种常用方法
1.根据已知条件，建立关于和的方程组，求出和后再求出;
2.充分利用各项之间的关系，直接求出后，再求出，最后求
题型2　等比中项的应用
例2　(1)已知等比数列的前3项依次为x，2x＋2，3x＋3，求实数x的值；
(2)已知等比数列{an}，a2a3a4＝64，a3＋a6＝36，求a2和a6的等比中项．
解：(1)因为等比数列的前3项依次为x，2x＋2，3x＋3，所以x(3x＋3)＝(2x＋2)2，解得x＝－1或x＝－4.又因为当x＝－1时，2x＋2＝3x＋3＝0不合题意，所以实数x的值为－4.
(2)因为{an}是等比数列，所以a3是a2和a4的等比中项，即＝a2a4，所以＝64，解得a3＝4，从而a6＝32.设{an}的公比为q，则解得所以a2＝a1q＝2.
设a2和a6的等比中项为G，则G2＝a2a6＝64，所以G＝±8.
例题讲解
等比中项应用的注释
1.只有同号时， 的等比中项有两个； 异号时，没有等比中项；
2.在等比数列{an}中，偶数项同号，奇数项同号；
3. 成等比数列
题型3　灵活设元求解等比数列问题
例3 (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是________．
45
解：设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，
则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列．
解得a＝3，q＝2.
这四个数分别是3，6，12，24，其和为45.
(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数．
解：方法一：设前三个数分别为，a，aq，则·a·aq＝216，
a3＝216,a＝6.
前三个数为，6，6q.
由题意知第4个数为12q－6.
6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝.
故所求的四个数为9，6，4，2.
方法二：设后三个数为4－d，4，4＋d，则第一个数为(4－d)2，
由题意知(4－d)2×(4－d)×4＝216，解得4－d＝6,d＝－2.
故所求得的四个数为9，6，4，2.
几个数成等比数列的设法
1．三个数成等比数列设为，a，aq.
推广到一般：奇数个数成等比数列设为…，，a，aq，aq2，…
2．四个符号相同的数成等比数列设为，aq，aq3.
推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为…，，aq，aq3，aq5，…
3．四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3.
（1）若等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a4＋a5＝81，则数列{an}的公比为(　　)
A．－2 B．2 C．－3 D．3
解：设等比数列{an}的公比为q，
a1＋a2＝3，a4＋a5＝81，
，
＝，解得q＝3，
故选D.
巩固练习
（2）如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么b＝______，ac＝_____．
－3
9
解：b是－1，－9的等比中项，b2＝9，b＝±3.
等比数列奇数项符号相同， b<0，b＝－3，
b是a，c的等比中项，b2＝ac，即ac＝9.
巩固练习
（3）在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为(　　)
A．－4或 B．4或
C．4 D．
解：设插入的第一个数为a，则插入的另一个数为.
由a，，20成等差数列得2×＝a＋20.
∴a2－a－20＝0，解得a＝－4或a＝5.
当a＝－4时，插入的两个数的和为a＋＝4.
当a＝5时，插入的两个数的和为a＋＝.
故选B.
巩固练习
课堂小结
1.数学思想：转化与化归，函数与方程；
2.数学知识：
等比数列的概念及其通项公式、等比中项、等比数列与指数函数的关系.