2022-2023学年青海省西宁市七校高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析）

2022-2023学年青海省西宁市七校高二（下）期末数学试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知，则复数( )
A. B. C. D.
2. 设随机变量，则的值等于( )
A. B. C. D.
3. 设随机变量服从，则的值是( )
A. B. C. D.
4. 的值为( )
A. B. C. D.
5. 函数的单调递减区间是( )
A. B. C. D.
6. 因为，，，大前提
，小前提
所以，结论
以上推理过程中的错误为( )
A. 小前提 B. 大前提 C. 结论 D. 无错误
7. 等于( )
A. B. C. D.
8. 已知随机变量和，其中，且，若的概率分布如下表，则的值为( )
A. B. C. D.
9. 若回归直线的方程为，则变量 增加一个单位时( )
A. 平均增加个单位 B. 平均增加个单位
C. 平均减少个单位 D. 平均减少个单位
10. 的展开式中，第项的二项式系数比第项的二项式系数大，则展开式中的常数项是( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
11. 从混有张假钞的张一百元纸币中任意抽取张，事件为“取到的两张中至少有一张为假钞”，事件为“取到的两张均为假钞”，则( )
A. B. C. D.
12. 口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一球，定义数列：如果为数列的前项和，那么的概率为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知随机变量服从正态分布且，则______．
14. 已知，则______．
15. 的展开式中常数项为______．
16. 曲线上任意一点到直线的最短距离为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数在处有极值．
求函数在闭区间上的最值；
求曲线，所围成的图形的面积．
18. 本小题分
某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响．
假设这名射手射击次，求恰有次击中目标的概率；
假设这名射手射击次，求有次连续击中目标，另外次没有击中目标的概率．
19. 本小题分
在一次购物抽奖活动中，假设某张券中有一等奖券张，可获价值元的奖品；有二等奖券张，每张可获价值元的奖品；其余张没有奖．某顾客从此张券中任抽张，求：
该顾客中奖的概率
该顾客获得的奖品总价值元的概率分布列和数学期望．
20. 本小题分
某学生对其位亲属的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示他们的饮食指数说明：图中饮食指数低于的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于的人，饮食以肉类为主．
根据茎叶图，帮助这位同学说明这位亲属的饮食习惯．
根据以上数据完成如下列联表：
主食为蔬菜 主食为肉类 总计
岁以下
岁及以上
总计
能否有的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？
附表：
参考公式：，其中
21. 本小题分
设函数．
Ⅰ求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ求函数的单调区间；
Ⅲ若函数在区间内单调递增，求的取值范围．
22. 本小题分
年全面建成小康社会取得伟大历史成就，决战脱贫攻坚取得决定性胜利某市积极探索区域特色经济，引导商家利用多媒体的优势，对本地特产进行广告宣传，取得了社会效益和经济效益的双丰收，某商家统计了个月的月广告投入单位：万元与月销量单位：万件的数据如表所示：
月广告投入万元
月销量万件
已知可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
求关于的线性回归方程，并预计月广告投入大于多少万元时，月销量能突破万件．
参考数据：，，．
参考公式：相关系数；
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
故选：．
化简复数直接求解，利用共轭复数可求．
求复数，需要对复数化简，本题也可以用待定系数方法求解．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正态分布的方差相关的计算，是基础题．
解题时利用正态分布的方差及其性质解题即可．
【解答】
解：随机变量，
，
．
故选：．

3.【答案】
【解析】解：随机变量服从，则．
故选：
直接利用独立事件的概率公式求解即可．
本题考查独立事件的概率的求法，基本知识的考查．
4.【答案】
【解析】解：，
，
故选：．
根据函数奇偶性在定积分中的应用，利用定积分的运算，即可求得答案．
本题考查定积分的运算，函数奇偶性在定积分中的应用，考查计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，．
令，解得，
函数的单调递减区间是
故选：．
令，解得即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，属于基础题．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查演绎推理的意义，演绎推理是由一般性的结论推出特殊性命题的一种推理模式，演绎推理的前提与结论之间有一种蕴含关系．
演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论不一定是正确的，这要取决于前提是否真实和推理的形式是否正确，演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提小前提和结论．
【解答】
解：，
这是基本不等式的形式，注意到基本不等式的使用条件，，都是正数，
是小前提，没有写出的取值范围，
本题中的小前提有错误，
故选A．
7.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
利用组合数公式的性质，可得，化简得到结果．
本题主要考查组合数公式的性质应用，利用了组合数公式的性质，即，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由可得：
，即
又，即
联立，求解可得，
故选A．
由可得：，从而可求，利用随机变量的期望公式及所有概率和为，联立方程，即可求得的值
本题主要考查随机变量期望的求解，考查概率的性质，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：回归直线的方程为，
当变量增加一个单位，即变为时，
则，
由可得，，
平均减少个单位．
故选：．
根据所给的回归直线方程，把自变量由变化为，表示出变化后的的值，两个式子相减，得到的变化．
本题考查线性回归方程的意义，本题解题的关键是在叙述的变化时，要注意加上平均变化的字样，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题意可得，即，解得．
故的展开式的通项公式为，
令，解得，展开式中的常数项是第四项，
故选：．
由题意可得，求得的值．在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了条件概率公式，属于基础题．
求得和，根据条件概率公式即可求解．
【解答】
解：设事件表示“取到的两张中至少有一张为假钞”，事件表示“取到的两张均为假钞”，
则，，
结合条件概率公式可得：．
故选D．

12.【答案】
【解析】解：第次摸到红球的概率为，摸到白球的概率为，
若，则，，，，中，
有个和个，
所以的概率为．
故选：．
根据独立重复试验概率计算公式求得正确答案．
本题主要考查次独立重复试验恰好发生次的概率公式的应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：随机变量服从正态分布，且，
故答案为：．
本题考查正态分布曲线的性质，随机变量服从正态分布，由此知曲线的对称轴为轴，可得，即可得出结论．
本题考查正态分布曲线的重点及曲线所表示的意义，解题的关键是正确正态分布曲线的重点及曲线所表示的意义，由曲线的对称性求出概率．
14.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查组合及组合数公式，考查计算能力，属于基础题．
由组合数的性质和方程，可得或，求解即可．
【解答】
解：因为，
可得或，
解得或．
故答案为或．

15.【答案】
【解析】解：的展开式中通项公式：，
令，解得．
常数项．
故答案为：．
利用通项公式即可得出．
本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：点是曲线上任意一点，
当过点的切线和直线平行时，
点到直线的距离最小．
直线的斜率等于，
的导数为，
由，即，
解得舍去，或，
故曲线上和直线平行的切线经过的切点坐标为，
点到直线的距离等于，
故答案为：．
由题意知，当曲线上过点的切线和直线平行时，点到直线的距离最小，求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于，可得切点的坐标，此切点到直线的距离即为所求．
本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的几何意义，体现了转化的数学思想，是中档题．
17.【答案】解：由已知
因为在时有极值，所以
解方程组得：所以．
当时，所以单调递减
当时，所以单调递增且，，
所以的最大值为，最小值为
由解得及．
从而所求图形的面积．
【解析】因为函数在处有极值，所以所以，所以利用导数判断函数的单调性求函数的最值即可．
求出一次函数与二次函数的交点横坐标及，利用积分公式求出面积．
函数的极值与最值问题，是基本初等函数中很主要的两个性质，运用导数作为工具是解决这类问题的关键，正确理解定积分的几何意义合理确定积分上限下限和被积函数是解决此类问题的关键．
18.【答案】解：根据题意，设为射手在次射击中击中目标的次数，则．
在次射击中，恰有次击中目标的概率：．
设“第次射击击中目标”为事件；
“射手在次射击中，有次连续击中目标，另外次未击中目标”为事件，
则
．
【解析】设为击中目标的次数，则，由此能求出这名射手射击次，恰有次击中目标的概率．
这名射手射击次，至少有次击中目标的概率为，由此能求出结果．
本题考查相互独立事件、互斥事件的概率计算，注意分析事件之间的关系，属于基础题．
19.【答案】解：由题意可得：该顾客没有中奖的概率为：，
所以该顾客中奖的概率为，
即该顾客中奖的概率为．
根据题意可得：的所有可能值为：，，，，元．
所以，，，，
所以的分布列为：
所以的数学期望为：．
【解析】由题意首先求出“该顾客没有中奖的概率”，再根据对立事件的概率之和为，即可得到“该顾客中奖的概率”．
根据题意可得：的所有可能值为：，，，，，再根据古典概型的概率公式分别求出其概率，进而列出的分布列与其期望．
解决此类问题的关键是熟练掌握古典概型的定义与计算公式，以及排列组合与离散型随机变量的分布列和期望，考查学生利用概率知识解决实际问题的能力．
20.【答案】解：由茎叶图可知：位亲属中岁及以上的人饮食以蔬菜为主，岁以下的人饮食以肉类为主；
列联表如下所示：
主食为蔬菜 主食为肉类 总计
岁以下
岁及以上
总计
由题意，知随机变量的观测值，
故有的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．
【解析】由茎叶图，说明位亲属中岁及以上、岁以下的饮食分布情况即可；
根据茎叶图填写列联表即可；
由题意，求随机变量的观测值，并与参考值作比较，即可判断．
本题考查了茎叶图的理解与应用，列联表的应用以及独立性检验的应用，解题的关键是由公式求出卡方的值，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
21.【答案】解：Ⅰ，，，
曲线在点处的切线方程为；
Ⅱ由，得，
若，则当时，
，函数单调递减，
当时，，
函数单调递增，
若，则当时，
，函数单调递增，
当时，
，函数单调递减；
Ⅲ由Ⅱ知，若，则当且仅当，
即时，函数内单调递增，
若，则当且仅当，
即时，函数内单调递增，
综上可知，函数内单调递增时，
的取值范围是．
【解析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
先求出的导数，根据求得的区间是单调增区间，求得的区间是单调减区间即可；
由Ⅱ知，若，则当且仅当时，函数内单调递增，若，则当且仅当时，函数内单调递增，由此即可求的取值范围．
本小题主要考查直线的斜率、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力以及分类讨论思想．属于基础题．
22.【答案】由题意，知，
．
结合，可得，
相关系数，
显然与的线性相关程度相当高，从而线性回归模型能够很好地拟合与的关系；
，，
．
关于的线性回归方程为．
若月销量突破万件，则，
解得．
故当月广告投入大于万元时，月销量能突破万件．
【解析】由已知数据结合相关系数公式求得，可知与的线性相关程度相当高，从而线性回归模型能够很好地拟合与的关系；
求出与的值，可得关于的线性回归方程，再由月销量突破万件列关于的不等式，求解即可得答案．
本题考查相关系数与线性回归方程的求法，考查运算求解能力，是中档题．
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