2022-2023学年江苏省镇江重点中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省镇江重点中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2. 的展开式中项的系数是( )
A. B. C. D.
3. 设等差数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
4. 张奖券中只有一张能抽奖，现分别由名同学无放回的抽取，则第一名同学抽到奖券的概率和最后一名同学抽到奖券的概率分别是( )
A. B. C. D.
5. 若函数在区间上不存在单调增区间，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6. 如图，二面角的大小为，四边形，都是边长为的正方形，则，两点间的距离是( )
A.
B.
C.
D.
7. 已知椭圆：的左焦点和右焦点分别为和，直线与交于点，两点，若面积是面积的两倍，则( )
A. B. C. D.
8. 某批产品来自，两条生产线，生产线占，次品率为；生产线占，次品率为，现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自生产线的概率是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列命题中正确是( )
A. 数据，，，，，，，的第百分位数是
B. 若事件、的概率满足，且，则、相互独立
C. 已知随机变量，若，则
D. 若随机变量，，则
10. 某学校高三年级有男生人，女生人为获取该校高三学生的身高信息，采用抽样调查的方法统计样本的指标值单位：，并计算得到男生样本的平均值，方差为，女生样本的平均值为，方差为，则下列说法正确的是( )
A. 若男、女样本量分别为，，则总样本的平均值为
B. 若男、女样本量分别为，，则总样本的方差为
C. 若男、女的样本量都是，则总样本的平均值为
D. 若男、女的样本量都是，则总样本的方差为
11. 已知数列的前项和是，则下列说法正确的是( )
A. 若，则是等差数列
B. 若，，则是等比数列
C. 若是等差数列，则，，成等差数列
D. 若是等比数列，则，，成等比数列
12. 如图，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，为线段上一个动点，则( )
A. 存在点，使直线平面
B. 存在点，使平面平面
C. 三棱锥的体积为定值
D. 平面截正方体所得截面的最大面积为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 高二年级某班要准备一个节目在学校艺术节里展演，报名参加的同学中有人只会唱歌，人只会跳舞，另外还有人既能唱歌又会跳舞，现在节目需要人唱歌，人跳舞，则不同的选人方案共有______ 种用数字作答
14. 已知直线：与圆：相交于，两点，若，则______．
15. 设函数在区间上有两个极值点，则的取值范围是______ ．
16. 双曲线的左，右焦点分别为，，右支上有一点，满足，的内切圆与轴相切，则双曲线的离心率为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知数列满足：，，．
求的通项公式；
若数列，是等比数列，且，求关于的表达式．
18. 本小题分
小家电指除大功率、大体积家用电器如冰箱、洗衣机、空调等以外的家用电器，运用场景广泛，近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，下表为连续年中国智能小家电市场规模单位：千亿元，其中年份对应的代码依次为．
年份代码
市场规模
由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的经验回归方程系数精确到；
某传媒公司为了了解中国智能小家电消费者年龄分布，随机调查了名消费者，统计这名消费者年龄，按照青少年与中老年分为两组，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并回答：依据的独立性检验，能否认为是否喜欢够买智能小家电与年龄有关？
青少年 中老年 合计
喜欢购买智能小家电 _____ _____
不喜欢购买智能小家电 _____ _____
合计 _____
参考数据及公式：
，，中，
，
附：临界值表
19. 本小题分
已知函数．
判断在定义域上是否存在极值？若存在求出其极值，若不存在说明理由．
若在恒成立，求的取值范围．
20. 本小题分
已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点．．
求证：；
当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？
21. 本小题分
夺冠这部影片讲述的是中国女排从年首夺世界冠军到年里约奥运会生死攸关的中巴大战，诠释了几代女排人历经浮沉却始终不屈不挠、不断拼搏的传奇经历现代排球赛为局胜制，每局分，决胜局分前局比赛中，一队只有赢得至少分，并领先对方分时，才胜局在第局比赛中先获得分并领先对方分的一方获胜在一个回合中，赢的球队获得分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于获胜方经过统计，甲、乙两支球队在每一个回合中输赢的情况如下：当甲队拥有发球权时，甲队获胜的概率为；当乙队拥有发球权时，甲队获胜的概率为．
假设在第局比赛开始之初，甲队拥有发球权，求甲队在前个回合中恰好获得分的概率；
当两支球队比拼到第局时，两支球队至少要进行个回合，设甲队在第个回合拥有发球权的概率为假设在第局由乙队先开球，求在第个回合中甲队开球的概率，并判断在此回合中甲、乙两队开球的概率的大小．
22. 本小题分
在平面直角坐标系中，已知是椭圆：上一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于、两点．
若点在第一象限，且直线，求圆的方程；
若直线、的斜率存在，并分别记为、，求的值；
试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由得，
所以，
故的虚部为．
故选：．
根据复数的除法运算化简复数，由共轭复数的定义即可求解．
本题主要考查了复数的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据的展开式的通项公式为，
令，可得，故展开式中项的系数是．
故选：．
由题意，利用二项展开式的通项公式，求得展开式中项的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：等差数列中，若，
则，
即，
则．
故选：．
由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式，求和公式的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，张奖券中只有一张能抽奖，现分别由名同学无放回的抽取，
第一名抽到奖券的概率，
若第三名抽到奖券，则前人都没有抽到，其概率，
故选：．
根据题意，根据组合数求条件概率以及分步乘法原理，计算即可得答案．
本题考查概率的性质，涉及古典概型的计算，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由，
得，，
设，
由函数在上不存在单调递增区间，
得在上恒成立，
于是，解得：．
的取值范围是．
故选：．
求出原函数的导函数，，设，由函数在上不存在单调递增区间，得在上恒成立，由此得到关于的不等式组，求解得答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题．
6.【答案】
【解析】解：在正方形，正方形中，，，，
二面角的大小为，，
，
又，
，
，
故选：．
在正方形，正方形中，，，，可得，，利用向量的线性运算，即可得出答案．
本题考查二面角和点线面间的距离，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：记直线与轴交于，
椭圆：的左，右焦点分别为，，
由面积是的倍，可得，
，解得或，
或，或，
联立可得，，
直线与相交，所以，解得，
不符合题意，
故．
故选：．
记直线与轴交于，由题意可得，求解即可．
本题考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为抽到的次品可能来自于，两条生产线，设“抽到的产品来自生产线”，
“抽到的产品来自生产线”，“抽到的一件产品是次品”，
则，，，，
由全概率公式得，
所以它来自生产线的概率为．
故选：．
根据给定条件，利用全概率公式及贝叶斯公式求解作答．
本题主要考查了全概率公式，考查了条件概率公式，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于选项A：个数据从小到大排列，由于，
所以第百分位数应该是第二个与第三个的平均数，故A错误；
对于选项B：由，可得，
即，可得，
所以、相互独立，故B正确；
对于选项C：因为，则，故C正确；
对于选项D：因为随机变量，
由正态曲线的对称性可得：，则，
所以，故D正确；
故选：．
对于：根据百分位数分析运算；对于：根据条件概率和独立事件分析判断；对于：根据二项分布的方差以及方差的性质分析判断；对于：根据正态分布的性质分析判断．
本题主要考查了百分位数的计算，考查了条件概率的概率公式，以及二项分布的方差公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，若男、女样本量分别为，，
则总样本的平均值为，
总样本的方差为
故A正确，B错误；
对于，若男、女的样本量都是，则总样本的平均值为，
总样本的方差为，
故C、D正确；
故选：．
根据平均数、方差公式计算可得．
本题主要考查了平均数、方差的计算，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，数列中，若，当时，，则有，由此可得，则数列是等差数列，A正确；
对于，若，，变形可得，则是等比数列，B正确；
对于，由等差数列的性质，若是等差数列，则，，成等差数列，可得C正确；
对于，等比数列中，当，为偶数时，，，，不成等比数列，D错误；
故选：．
根据题意，由等差、等比数列的性质依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查等差等比数列的性质以及应用，涉及等比数列、等差数列的求和，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于项，如图所示，
取，的中点 、，连接交于点，此时，由正方体的性质可得，，所以平面，故A正确；
对于项，如图所示，连接 ，为侧面的中心，则面与面和面分别交于线、，
若存在点使平面平面，则，又，
则四边形为平行四边形，即，而，
此时应在延长线上，故B错误；
对于项，随着移动但到面的距离始终不变即，
故是定值，即C正确；
对于项，若点靠远，如图一所示，过作，即截面为四边形，
显然该截面在为侧面的中心时取得最大，最大值为，
若靠近时，如图二所示，作，延长交、延长线于 、，连接、交、于、，则截面为六边形，当为中点时取得最大值，最大值为，，即D正确；
故选：．
对于项，可以通过取，的中点 、，连接交于点，判定即可；
对于项，通过反证，利用面与面和面的交线、是否能平行来判定；
对于项，通过等体积法转化即可判定；
对于项，讨论截面的形状并计算各交线长来判定即可．
本题主要考查直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系以及几何体的体积，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：不同的选人方案有类，既能唱歌又会跳舞的人不选有种，
既能唱歌又会跳舞的人选去唱歌有种，既能唱歌又会跳舞的人选去跳舞有种，
由分类加法计数原理得：，
所以不同的选人方案共有种．
故答案为：．
根据给定条件，利用分类加法计数原理、组合应用问题列式计算作答．
本题主要考查了排列组合知识，考查了分类加法计数原理的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：圆：的圆心，半径为，
由中，，，可得，
设圆心到直线的距离为，可得，即，
则，解得，
故答案为：．
求得圆心和半径，在中，由余弦定理计算可得，由圆和直线相交的弦长公式可得到直线的距离，再由点到直线的距离公式，解方程可得的值．
本题考查直线和圆相交的弦长公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，
，
由题意知在上有两个不相等的实根，
将其变形为，
设，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
的极大值为，又，，
画出函数的大致图象如图，
，即，
故答案为：
求得，由题意知在区间上有两个实根，即与的图象有两个交点，画出函数的大致图象即可求解．
本题考查了利用导数处理极值问题，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：设内切圆分别与，，，轴切于点，，，，
则四边形、都为正方形，
设内切圆半径为，由圆的切线性质，
则，则，
又因为，
且双曲线定义得，，
由得，
所以，
从而，，
由勾股定理得，
所以，解得．
故答案为：．
由圆的切线性质及双曲线定义，可得关系式，，从而解出、，利用勾股定理可解．
本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，数形结合思想，属中档题．
17.【答案】解：，，
数列是等差数列，设其公差为，
则，
．
由知，，
，数列，，，，，的公比，
，
．
【解析】由等差数列性质可知为等差数列，套用公式求解．
利用等比数列的概念，找出基本量，代换求解．
本题考查等差、等比数列基本量的运算，属简单题．
18.【答案】解：由已知得，，
，，
，
所以，
因为与的相关系数近似为，说明与的线性相关程度较高，
所以可以用线性回归模型拟合与的关系．
由题可得，，
，
，
故与的经验回归方程为．
由题意可得如下列联表：
青少年 中老年 合计
喜欢购买智能小家电
不喜欢购买智能小家电
合计
所以，
所以能认为是否喜欢购买智能小家电与年龄有关．
【解析】利用已知数据计算相关系数，从而可判断与的线性相关程度，再利用公式计算相关量即可得回归方程；
完成列联表，根据给定数据判断得出结论．
本题主要考查线性回归方程，独立性检验，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：函数，．
，
，令，解得．
函数在上单调递减，在上单调递增．
时，函数取得极小值，
，
函数在上单调递增，即在定义域上不存在极值．
在恒成立，在恒成立．
时，不等式成立．
时，，
令，，
，
时，，即，
时，，函数单调递减；时，，函数单调递增．
时，函数取得极小值，，
．
的取值范围是．
【解析】函数，两次求导研究函数的单调性即可得出结论．
在恒成立，即在恒成立．时，不等式成立．时，，令，，利用导数研究函数的单调性与极值即可得出结论．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及最值、分离参数法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】证明：连接，
，分别为直三棱柱的棱和的中点，且，
，，
，，
，
，，
，即，
故以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设，则，
，，
，即．
解：由知：平面，
平面的一个法向量为，
由知，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
，
，
，
当时，面与面所成的二面角的余弦值最大为，此时正弦值最小为．
【解析】本题考查空间中线与线的垂直关系，二面角的求法，熟练掌握利用空间向量证明线线垂直和求二面角的方法是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．
连接，易知，，由，再利用勾股定理求得和的长，从而证明，然后以为原点建立空间直角坐标系，证得，即可；
易知平面的一个法向量为，求得平面的法向量，再由空间向量的数量积可得，从而知当时，得解．
21.【答案】解：在前个回合中甲队恰好获得分对应的胜负情况如下：胜胜负，胜负胜，负胜胜，共种情况，
对应的概率分别为，
，
，
所以甲队在前个回合中恰好获得分的概率；
根据全概率公式得，
即，
易知，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，故，
因为，
所以，
而在每一个回合中，甲、乙两队开球的概率之和为，从而可得在此回合中甲队开球的概率大于乙队开球的概率．
【解析】甲队在前个回合中恰好获得分，分为种情况，依次求出对应的概率，即可求解；
根据已知条件，结合等比数列的性质，以及全概率公式，即可求解．
本题主要考查数列的应用，考查转化能力，属于中档题．
22.【答案】解：由圆的方程知圆的半径为，
直线，且和圆相切，又点在椭圆上且在第一象限，
所以，即，又，
解得，，
所求圆的方程为；
因为直线：和：都与圆相切，
所以，，
两边平方可得，为的两根，
可得，
因为点在椭圆上，
所以，即，
所以；
是定值，定值为．
当直线，不落在坐标轴上时，
设，，
由知，
所以，故，
因为，在椭圆上，
所以，，
即，，
所以，
整理得，
所以，
所以．
当直线，落在坐标轴上时，显然有．
综上可得，为定值．
【解析】求得圆的半径，由两直线垂直和相切的性质，可得，解方程可得圆心的坐标，进而得到圆的方程；
设出直线：和：，由直线和圆相切的条件：，化简整理，运用韦达定理，由在椭圆上，即可得到的值；
讨论当直线，不落在坐标轴上时，设，，运用点满足椭圆方程，由两点的距离公式，化简整理，即可得到定值；当直线，落在坐标轴上时，显然有．
本题考查椭圆方程的运用，以及直线和圆的位置关系：相切，考查点到直线的距离公式和直线方程的运用，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．
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