人教版九年级上册21.2 解一元二次方程 同步练习 （含解析）

人教版九年级上册21.2 解一元二次方程 同步练习
一、选择题
1．方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
2．用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．方程的解是（　　）
A． B．， C．， D．，
4．代数式的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
5．一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
6．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是( )
A． B． C． D．
7．利用公式法求解可得一元二次方程式 的两解为、，且，求a值为何（　　）
A． B． C． D．
8．下列关于x的方程中，两实数根之和为3的是（ ）
A． B． C． D．
9．设方程的两个根为与，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
10．若是方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．将方程配方得到，则 ．
12．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 .
13．对于任意实数a，b，定义，已知，则实数a的值为 ．
14．若，求的值为 ．
15．三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是方程的根，则三角形的周长＝ ．
16．已知，，是方程的两根，则的值为 ．
三、解答题
17．解方程：
(1)； (2)
18．配方法解方程．
19．用公式法解方程：．
20．解下列方程：
(1)；
(2)．
21．已知关于 的一元二次方程：．
(1)求证：方程总有两个实根；
(2)若是整数，方程的根也是整数，求 的值．
22．阅读材料，解答问题.
解方程：.
解：把视为一个整体，设，则原方程可化为．
解得：，，
或，
，．
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解决下列问题：
(1)解方程；
(2)已知，求的值.
23．阅读材料，若关于的一元二次方程的两根为，，则根据求根公式可知，，．
由此可得，，
．
根据上述材料，结合自己所学知识，解决如下问题：
(1)一元二次方程的两根为，，则________，________；
(2)一元二次方程的两根为，，则________；
(3)若，满足，，且．求的值．
参考答案
1．C
【分析】移项后提公因式分解因式求解即可．
【详解】解：移项得，
提公因式得，
解得，，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是熟知一元二次方程的解法．
2．A
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式，即可得出答案．
【详解】解：，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
3．D
【分析】先将方程化简为：，再利用因式分解法将方程化为：，由此即可求得方程的解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是利用因式分解法解一元二次方程，解题关键在于熟练掌握因式分解法．
4．C
【分析】利用配方法对代数式做适当变形即可解答．
【详解】解：
∵
∴
即代数式
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式、不等式等知识点，掌握运用配方法求最值是解题的关键．
5．C
【分析】计算判别式，判断即可．
【详解】∵一元二次方程，
∴，
故方程无实数根．
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握计算根的判别式是解题的关键．
6．C
【分析】先根据根的判别式的意义得到，然后解一次方程即可．
【详解】解：根据题意得，
解得，
即的值为．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
7．D
【分析】利用公式法即可求解．
【详解】解：，
这里，，，
△，
，
一元二次方程式 的两解为、，且，
的值为．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键．
8．C
【分析】利用一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、整理得：， ，该方程有两个不相等实数根，，故本选项不符合题意；
B、，该方程实数根，故本选项不符合题意；
C、整理得：，，该方程有两个不相等实数根，，故本选项符合题意；
D、，该方程有两个不相等实数根，，故本选项符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．
9．D
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之积即可．
【详解】解：∵方程的两个根为与，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，两根之和是，两根之积是．
10．D
【分析】是方程的两个实数根，则，，代入即可得到答案．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴，
故选：D
【点睛】此题考查了一元二次方程根的定义和根与系数关系，整体代入是解题的关键．
11．2
【分析】利用配方法的步骤，把方程变形为的形式后确定的值．
【详解】解：移项，得，
方程的两边都加，得，
．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的配方法是解决本题的关键．
12．/
【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，由关于的一元二次方程有实数根得到，解不等式即可得到答案．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数范围，熟记一元二次方程根的情况与判别式的关系是解决问题的关键．
13．1或/或1
【分析】根据新定义得到，整理得到，解方程即可得到实数a的值．
【详解】解：∵，
∴，
整理得：，
解方程得：，
即实数a的值为1或，
故答案为：1或
【点睛】此题考查了新定义实数运算，根据题意得到是解题的关键．
14．4
【分析】设，把原方程变形，求得x，即可得出的数值．
【详解】解：设，则原方程为，
整理得，
，
∴，，
解得，，
∵是非负数，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题考查利用换元法解一元二次方程，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
15．11
【分析】根据三角形的三边关系以及一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】解：，
或，
当时，
，
能组成三角形，
三角形的周长为，
当时，
，
不能组成三角形，
故答案为：11．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
16．13
【分析】先将该方程化为一般式，根据一元二次方程根与系数关系得出，再根据即可求解．
【详解】解：将化为一般式为，
则，
∵，是方程的两根，
∴，
，
故答案为：13．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数关系，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据直接开平方法求解即可；
（2）根据直接开平方法求解即可．
【详解】（1）解：，
，
∴，
∴；
（2）解：，
，
，
．
【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程，正确计算是关键．
18．．
【分析】先将方程整理为一般式，再进行配方求解即可．
【详解】解：整理，得：，
∴，
则，即，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的方法和步骤．
19．
【分析】先找出方程中的值，再利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：．变形得：．
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了利用公式法解一元二次方程，牢记公式是解题关键．
20．(1)，
(2)，
【分析】（1）用十字相乘法将方程因式分解为，则或，求出方程的两个解即可；
（2）先移项，再用提取公因式法将方程因式分解为，则或，求出方程的两个解即可．
【详解】（1）解：，
因式分解得：，
或，
解得：，
（2）解：，
，
因式分解得：，
或，
解得：，
【点睛】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握用十字相乘法、提取公因式法来因式分解是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）计算，即可得出结论；
（2）公式法解一元二次方程，得出，根据题意，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，，
方程总有两个实根．
（2），
，
均为整数，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键．
22．(1) ，
(2)的值是6
【分析】（1）根据题目中给出的信息，利用换元法解方程即可；
（2）设，原方程可化为，解关于a的一元二次方程，最后注意，不合题意，舍去，即可得出答案．
【详解】（1）解：，
设，
则原方程可化为，
整理，得，
解得，，
当时，即，解得：；
当时，即，解得；
综上所述，原方程的解为 ，；
（2）解：设，则原方程可化为，
整理，得，
分解因式得：，
解得，，
∵ ，
∴
∴不合题意，舍去，
∴，
即的值是6．
【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是理解题意，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确计算．
23．(1)2，
(2)2
(3)
【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系即可得；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系求出，的值，由此即可得；
（3）先得出是一元二次方程的两个不相等的根，再根据一元二次方程的根与系数的关系求出，的值，然后利用完全平方公式求解即可得．
【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根为，，且方程中的，
，，
故答案为：2，．
（2）解：∵一元二次方程的两根为，，且方程中的，
，，
，
故答案为：2．
（3）解：满足，，且，
是一元二次方程的两个不相等的根，
，，
．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．