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25．2 用列举法求概率
疑难分析
1．当一次试验中，可能出现的结果是有限个，并且各种结果发生的可能性相等时，可以用被关注的结果在全部试验结果中所占的比分析出事件中该结果发生的概率，此时可采用列举法．
2．列举法就是把要数的对象一一列举出来分析求解的方法．但有时一一列举出的情况数目很大，此时需要考虑如何去排除不合理的情况，尽可能减少列举的问题可能解的数目.
3．利用列举法求概率的关键在于正确列举出试验结果的各种可能性，而列举的方法通常有直接分类列举、列表、画树形图等.
4．通常，计数方法可分为分类计数和分步计数，需分别用到下列两个计数原理：
加法原理：完成一件工作有n类方法，其中，第i类方法中有mi种方法（i=1,2,3,…n），那么，完成这件工作共有m1+m2+…+mn种方法．
乘法原理：完成一件工作共有n个步骤，其中，完成第i步有mi种方法（i=1,2,3,…n），那么，完成这件工作共有m1·m2·…·mn种方法．
例题选讲
例1．用重量分别为1克、2克、4克、8克、16克的五个砝码和一架天平可一次称出的不同重量有多少种？
解答：[1]、[2]、[4]、[8]、[16]、[1+2]、[1+4]、[1+8]、[1+16]、[2+4]、[2+8]、[2+16]、 [4+8]、[4+16]、[8+16]、[1+2+4]、[1+2+8]、[1+2+16]、[1+4+8]、[1+4+16]、[1+8+16]、[2+4+8]、[2+4+16]、[2+8+16]、[4+8+16]、[1+2+4+8]、[1+2+4+16]、[1+2+8+16]、[1+4+8+16]、[2+4+8+16]、[1+2+4+8+16]．
可称出：1、2、4、8、16、3、5、9、17、6、10、18、12、20、24、7、11、19、13、21、25、14、22、26、28、15、23、27、29、30、31共31种不同的重量．
评注：(1)为防止重数或漏数，列举时应注意分类处理：按砝码的个数、各组中最小砝码的质量进行两重分类；
(2)本题中实际用到了2进制记数法：1=20，2=21，4=22，8=23，16=24, 1～25-1的所有整数都可以用它们中的一个或多个的和表示．
例2 某电脑公司现有A，B，C三种型号的甲品牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑．希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．
(1) 写出所有选购方案(利用树状图或列表方法表示）；
(2) 如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号电脑被选中的概率是多少？
(3) 现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共36台(价格如图所示)，恰好用了10万元人民币，其中甲品牌电脑为A型号电脑，求购买的A型号电脑有几台．
解：(1) 树状图如下：
列表如下：
有6种可能结果：(A，D)，（A，E），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E）．
(2) 因为以上6种结果出现的可能性相等，而其中选中A型号电脑有2种方案，即(A，D)（A，E），所以A型号电脑被选中的概率是，即．
(3) 由(2)可知，当选用方案（A，D）时，设购买A型号、D型号电脑分别为x，y台，根据题意，得 HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.3
解得 经检验不符合题意，舍去；
当选用方案（A，Ｅ）时，设购买A型号、Ｅ型号电脑分别为x，y台，根据题意，得
HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.3 解得
所以希望中学购买了7台A型号电脑．
评注：列表和画树形图都是列举的有效方法，但若列举是分步进行且是步步递推的（比如用列举法统计多位数个数），用树形图列举效率更高．
基础训练
一、选一选（请将唯一正确答案的代号填入题后的括号内）
1．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（ ）．
A． B． C． D．1．
2．从甲地到乙地可坐飞机、火车、汽车，从乙地到丙地可坐飞机、火车、汽车、轮船，某人乘坐以上交通工具，从甲地经乙地到丙地的方法法有（ ）种．
A．4 B．7 C．12 D．81．
3．设有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品3只，三等品2只．则从中任意取1只，是二等品的概率等于( )．
A． B． C． D．1．
4．如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是( ) ．
A. B． C． D．
5．掷两个普通的正方体骰子，把两个点数相加．则下列事件中发生的机会最大的是 ( )
A．和为11 B．和为8 C．和为3 D．和为2
6．一个均匀的立方体六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．右图是这个立方体表面的展开图．抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的的概率是（ ）．
A. B. C. D.
7. 中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到它就不得奖。参加这个游戏的观众有三次翻牌的机会。某观众前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那 ( http: / / www.1230.org / )么这位观众第三次翻牌获奖的概率是（ ）．
A. B. C. D.
8．用1、2、3、4、5这5个数字（数字可重复，如“522”）组成3位数，这个3位数是奇数的概率为（ ）．
A． B． C． D．
二、填一填
9．一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B、C、D三人随机坐到其他三个座位上．则A与B不相邻而坐的概率为_____________．
10. 有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们12个月大的婴儿拼排3块分别写有“20”，“08"和“北京”的字块，如果婴儿能够排成"2008北京”或者“北京2008"．则他们就给婴儿奖励，假设婴儿能将字块横着正排，那么这个婴儿能得到奖励的概率是___________．
11．5个完全相同的白色球全部放入两个完全相同的抽屉，可以有一个抽屉空着，那么两个抽屉中都至少有2个球的概率是_____．
12．你喜欢玩游戏吗 现请你玩一个转盘游戏．如图所示的两上转盘中指针落在每一个数字上的机会均等，现同时自由转动甲、乙两个转盘，转盘停止后，指针各指向一个数字 ( http: / / www.1230.org / )，用所指的两个数字作乘积．所有可能得到的不同的积分别为_______________________；数字之积为奇数的概率为______．
三、做一做
13．小明、小华用4张扑克牌（方块2、黑桃4、黑桃5、梅花5）玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，小明先抽，小华后抽，抽出的牌不放回．
（1）若小明恰好抽到了黑桃4．①请在下边框中绘制这种情况的树状图；②求小华抽出的牌面数字比4大的概率．
（2）小明、小华约定：若小明抽到的牌面数字比小华的大，则小明胜；反之，则小明负．你认为这个游戏是否公平？说明你的理由．
14．《列子》中《歧路亡羊》写道：
杨子之邻人亡羊，既率其党，又请杨子之竖追之。杨 子曰：“嘻!亡一羊，何追者之众 ”邻人日：“多歧路。”既 反，问：“获羊乎 ”日：“亡之矣。”曰：“奚亡之 ”曰：“歧路 之中又有歧焉，吾不知所之，所以反也.”如图，假定所有的分叉口都各有两条新的歧路，并且丢失的羊走每条歧路的可能性 ( http: / / www.1230.org / )
如图，假定所有的分叉口都各有两条新的歧路，并且丢失的羊走每条歧路的可能性都相等.（1）到第n次分歧时，共有多少条歧路？以当羊走过n个三叉路口后，找到羊的概率是多少？（2）当n=5时，派出6个人去找羊，找到羊的概率是多少？
15. 两人要去某风景区游玩，每天某—时段开往该风景区有三辆汽车(票价相同)，但是他们不知道这些车的舒适程度，也不知道汽车开过来的顺序，两人采用了不同的乘车方案：
甲无论如何总是上开来的第一辆车，而乙则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况，如果第二辆乍的状况比第一辆好，他就上第二辆车；如果第二辆不比第—辆好，他就上第三辆车．若把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等.请问：
(1)三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能
(2)你认为甲、乙两人采用的方案，哪一种方案使自己乘坐上等车的可能性大 为什么
四、试一试
16. 如图是9×7的正方形点阵，其水平方向和竖起直方向的两格点间的长度都为1个单位，以这些点为顶点的三角形称为格点三角形．请通过画图分析、探究回答下列问题：
(1)请在图中画出以AB为边且面积为2的一个网格三角形；
(2)任取该网格中能与A、B构成三角形的一点M，求以A、B、M为顶点的三角形的面积为2的概率；
(3)任取该网格中能与A、B构成三角形的一点M，求以A、B、M为顶点的三角形为直角三角形的概率.
参考解答
一、
1．A 2．C 3．C 4．B 5．B 6．A 7．B 8．A
二、
9． 10. 11． 12．1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,16,18,20,24 ；.
三、
13．（1）树形图略；；（2）这个游戏对先抽牌的小明不利，因为12种可能结果中，先抽牌的人能获胜的只有5种，即先抽牌者获胜的概率为.
14. （1）到第n次分歧时，共有2n条歧路；当羊走过n个三叉路口后，找到羊的概率为；
（2）当n=5，6个人去找羊时，找到羊的概率为.
15．这是一道方案决策型的题．解这类题应根据题中条件，把所有可能的情况—用表格形式列出来．再来逐一分析得出最佳方案．
顺序 甲 乙
上、中、下 上 下
上、下、中 上 中
中、上、下 中 上
中、下、上 中 上
下、上、中 下 上
下、中、上 下 中
(1)三辆车开来的先后顺序有6种可能：(上、中、下)、(上、下、中)、(中、上、下)、(中、下、上)、(下、中、上)、(下、上、中)．
(2)由于不知道任何信息，所以只能假定6种顺序出现的可能性相同．我们来研究在各种可能性的顺序之下，甲、乙二人分别会上哪一辆汽车：
于是不难得出，甲乘上、中、下三辆车的概率都是；而乙乘上等车的概率是；乘中等车的概率是，乘下等车的概率是 HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 ．乙采取的方案乘坐上等车的可能性大．
16. （1）图形略，共12个三角形；（2）以A、B、M为顶点的三角形的面积为2的概率为 HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 ；(3)以A、B、M为顶点的三角形为直角三角形的概率为 HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 .
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25．3 利用频率估计概率
疑难分析：
1．当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率．
2．利用频率估计概率的数学依据是大数定律：当试验次数很大时，随机事件A出现的频率，稳定地在某个数值P附近摆动．这个稳定值P，叫做随机事件A的概率，并记为P(A)=P．
3．利用频率估计出的概率是近似值.
例题选讲
例1 某篮球运动员在最近的几场大赛中罚球投篮的结果如下：
投篮次数n 8 10 12 9 16 10
进球次数m 6 8 9 7 12 7
进球频率
(1)计算表中各次比赛进球的频率；
(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？
解答：（1）0.75,0.8,0.75,0.78,0.75,0.7；
（2）0.75．
评注：本题中将同一运动员在不同比赛中的投篮视为同等条件下的重复试验，所求出的概率只是近似值．
例2 某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，并规定：顾客购物10元以上能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据：
(1) 计算并完成表格：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 546 701
落在“铅笔”的频率
(2) 请估计，当很大时，频率将会接近多少？
(3) 转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少？
(4) 在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少？(精确到1°)
解答：（1）0.68、0.74、0.68、0.69、0.6825、0.701；
（2）0.69；
（3）0.69；
（4）0.69×360°≈248°．
评注：（1）试验的次数越多，所得的频率越能反映概率的大小；（2）频数分布表、扇形图、条形图、直方图都能较好地反映频数、频率的分布情况，我们可以利用它们所提供的信息估计概率．
基础训练
一、选一选（请将唯一正确答案的代号填入题后的括号内）
1．盒子中有白色乒乓球8个和黄色乒乓球若干个，为求得盒中黄色乒乓球的个数，某同学进行了如下实验：每次摸出一个乒乓球记下它的颜色，如此重复360次，摸出白色乒乓球90次，则黄色乒乓球的个数估计为 ( )
A．90个 B．24个 C．70个 D．32个
2．从生产的一批螺钉中抽取1000个进行质量检查，结果发现有5个是次品，那么从中任取1个是次品概率约为（ ）．
A． B． HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 C． HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 D．
3．下列说法正确的是( )．
A．抛一枚硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会一样大；
B．为了解汉口火车站某一天中通过的列车车辆数，可采用全面调查的方式进行；
C．彩票中奖的机会是1％，买100张一定会中奖；
D．中学生小亮，对他所在的那栋住宅楼的家庭进行调查，发现拥有空调的家庭占100％，于是他得出全市拥有空调家庭的百分比为100％的结论．
4．小亮把全班50名同学的期中数学测试成绩，绘成如图所示的条形图，其中从左起第一、二、三、四个小长方形高的比是1∶3∶5∶1．从中同时抽一份最低分数段和一份最高分数段的成绩的概率分别是（ ）．
A．、 B．、
C．、 D．、
5．某人把50粒黄豆染色后与一袋黄豆充分混匀，接着抓出100黄豆，数出其中有10粒黄豆被染色，则这袋黄豆原来有（ ）．
A．10粒 B．160粒 C．450粒 D．500粒
6．某校男生中，若随机抽取若干名同学做“是否喜欢足球”的问卷调查，抽到喜欢足球的同学的概率是，这个 HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.3 的含义是（ ）．
A．只发出5份调查卷，其中三份是喜欢足球的答卷；
B．在答卷中，喜欢足球的答卷与总问卷的比为3∶8；
C．在答卷中，喜欢足球的答卷占总答卷的；
D．在答卷中，每抽出100份问卷，恰有60份答卷是不喜欢足球．
7．要在一只口袋中装入若干个形状与大小都完全相同的球，使得从袋中摸到红球的概率为，四位同学分别采用了下列装法，你认为他们中装错的是（ ）．
A．口袋中装入10个小球，其中只有两个红球；
B．装入1个红球，1个白球，1个黄球，1个蓝球，1个黑球；
C．装入红球5个，白球13个，黑球2个；
D．装入红球7个，白球13个，黑球2个，黄球13个．
8．某学生调查了同班同学身上的零用钱数，将每位同学的零用钱数记录了下来（单位：元）：2，5，0，5，2，5，6，5，0，5，5，5，2，5，8，0，5，5，2，5，5，8，6，5，2，5，5，2，5，6，5，5，0，6，5，6，5，2，5，0.
假如老师随机问一个同学的零用钱，老师最有可能得到的回答是（ ）．
A． 2元 B．5元 C．6元 D．0元
二、填一填
9． 同时抛掷两枚硬币，按照正面出现的次数，可以分为“2个正面”、“1个正面”和“没有正面”这3种可能的结果，小红与小明两人共做了6组实验，每组实验都为同时抛掷两枚硬币10次，下表为实验记录的统计表：
结果 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组
两个正面 3 3 5 1 4 2
一个正面 6 5 5 5 5 7
没有正面 1 2 0 4 1 1
由上表结果，计算得出现“2个正面”、“1个正面”和“没有正面”这3种结果的频率分别是___________________．当试验组数增加到很大时，请你对这三种结果的可能性的大小作出预测：______________．
10．红星养猪场400头猪的质量(质量均为整数千克)频率分布如下，其中数据不在分点上
组别 频数 频率
46 ~ 50 40
51 ~ 55 80
56 ~ 60 160
61 ~ 65 80
66 ~ 70 30
71~ 75 10
从中任选一头猪，质量在65kg以上的概率是_____________．
11．为配和新课程的实施，某市举行了“应用与创新”知识竞赛，共有1万名学生参加了这次竞赛（满分100分，得分全为整数）。为了解本次竞赛成绩情况，从中随机抽取了部分学生的竞赛成绩，进行统计，整理见下表：
组别 分 组 频 数 频率
1 49.5～59.5 60 0.12
2 59.5～69.5 120 0.24
3 69.5～79.5 180 0.36
4 79.5～89.5 130 c
5 89.5～99.5 b 0.02
合 计 a 1.00
表中a=________,b=________, c＝_______；若成绩在90分以上（含90分）的学生获一等奖，估计全市获一等奖的人数为___________．
三、做一做
12．小颖有20张大小相同的卡片，上面写有1~20这20个数字，她把卡片放在一个盒子中搅匀，每次从盒中抽出一张卡片，记录结果如下：
实验次数 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
3的倍数的频数 5 13 17 26 32 36 39 49 55 61
3的倍数的频率
（1）完成上表；
（2）频率随着实验次数的增加，稳定于什么值左右？
（3）从试验数据看，从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率估计是多少？
（4）根据推理计算可知，从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率应该是多少？
13．甲、乙两同学开展“投球进筐”比赛，双方约定：① 比赛分6局进行，每局在指定区域内将球投向筐中，只要投进一次后该局便结束；② 若一次未进可再投第二次，以此类推，但每局最多只能投8次，若8次投球都未进，该局也结束；③ 计分规则如下 ( http: / / www.1230.org / )：a. 得分为正数或0；b. 若8次都未投进，该局得分为0；c. 投球次数越多，得分越低；d.6局比赛的总得分高者获胜 .
(1) 设某局比赛第n(n=1,2,3,4,5,6,7,8)次将球投进，请你按上述约定，用公式、表格或语言叙述等方式，为甲、乙两位同学制定一个把n换算为得分M的计分方案；
(2) 若两人6局比赛的投球情况如下(其中的数字表示该局比赛进球时的投球次数，“×”表示该局比赛8次投球都未进)：
第一局 第二局 第三局 第四局 第五局 第六局
甲 5 × 4 8 1 3
乙 8 2 4 2 6 ×
根据上述计分规则和你制定的计分方案，确定两人谁在这次比赛中获胜.
四、试一试
16．理论上讲，两个随机正整数互质的概率为P= HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 ．请你和你班上的同学合作，每人随机写出若干对正整数（或自己利用计算器产生），共得到n对正整数，找出其中互质的对数m，计算两个随机正整数互质的概率，利用上面的等式估算的近似值．
参考解答
一、
1．D 2．B 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．B
二、
9． HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 ； HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 10. 0.1,0.2,0.4,0.2,0.075,0.025；0.1
11．50,10,0.26；200
三、
12．（1）0.25,0.33,0.28,0.33,0.32,0.30,0.33,0.31,0.31,0.31；
（2）0.31；
（3）0.31；
（4）0.3
13．解：(1)计分方案如下表：
n(次) 1 2 3 4 5 6 7 8
M(分) 8 7 6 5 4 3 2 1
(用公式或语言表述正确，同样给分.)
(2) 根据以上方案计算得6局比赛，甲共得24分，乙共得分23分，所以甲在这次比赛中获胜．
四、
14. 略
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概率初步单元测试（2）
（时间：45分钟 满分：100分）
班级 学号 姓名 得分
1、 选择题：（每题4分，共32分）
1、下列模拟掷硬币的实验不正确的是 （ ）
A、用计算器随机地取数，取奇数相当于下面朝上，取偶数相当于硬币正面朝下
B、袋中装两个小球，分别标上1和2，随机地摸，摸出1表示硬币正面朝上
C、在没有大小王的扑克中随机地抽一张牌，抽到红色牌表示硬币正面朝上
D、将1、2、3、4、5分别写在5张纸上，并搓成团，每次随机地取一张，取到奇数号表示硬币正面朝上
2、把一个质地均匀的骰子掷两次，至少有一次骰子的点数为2的概率是 （ ）
A、 B、 C、 D、
3、有6张背面相同的扑克牌，正面上的数字分别是4、5、6、7、8、9，若将这六张牌背面向上洗匀后，从中任意抽取一张，那么这张牌正面上的数字是3的倍数的概率为（ ）
A、 B、 C、 D、
4、如图，小明周末到公园走到十字路口处，记不清前面哪条路通往公园，那么他能一次选对路的概率是（ ）
A、 B、 C、 D、0
5、如图，两个用来摇奖的转盘，其中说法正确的是（ ）
A、转盘（1）中蓝色区域的面积比转盘（2）中的蓝色区域面积要大，所以摇转盘（1）比摇转盘（2）时，蓝色区域得奖的可能性大
B、两个转盘中指针指向蓝色区域的机会一样大
C、转盘（1）中，指针指向红色区域的概率是
D、在转盘（2）中只有红、黄、蓝三种颜色，指针指向每种颜色的概率都是
6、把一个沙包丢在如图所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样），那么沙包落在黑色格中的概率是（ ）
A、 B、 C、 D、
7、中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到它就不得奖。参加这个游戏的观众有三次翻牌的机会，某观众前两次翻牌均得若干奖金，已经翻过的牌不能再翻，那么这位获奖的概率是（ ）
A、 B、 C、 D、
8、如图，高速公路上有A、B、C三个出口，A、B之间路程为a千米，B、C之间的路程为b千米，决定在A、C之间的任意一处增设一个服务区，则此服务区设在A、B之间的概率是（ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题（每题3分，共18分）
9、“抛出的蓝球会下落”，这个事件是 事件。（填“确定”或“不确定”）
10、有五张卡片，每张卡片上分别写有1，2，3，4，5，洗匀后从中任取一张，放回后再抽一张，两次抽到的数字和为 的概率最大，抽到和大于8的概率为 。
11、在体育测试中，2分钟跳160次为达标，小敏记录了她预测时2分钟跳的次数分别为145，155，140，162，164，则她在该次预测中达标的概率是 。
12、两位同学进行投篮，甲同学投20次，投中15次；乙同学投15次，投中9次，命中率高的是 ，对某次投篮而言，二人同时投中的概率是 。
13、某口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃共72个，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球、蓝球的频率为35%、25%和40%，估计口袋中黄色玻璃球有 个。
14、口袋里有红、绿、黄三种颜色的球，其中红球4个，绿球5个，任意摸出一个绿球的概率是，则摸出一个黄球的概率是 。
三、解答题（50分）
15、（10分）为了调查今年有多少名学生参加中考，小华从全市所有家庭中随机抽查了200个家庭，发现其中有10个家庭有子女参加中考。（1）本次抽查的200个家庭中，有子女参加中考的家庭的频率是多少？（2）如果你随机调查一个家庭，估计 ( http: / / www.1230.org / )
（1）本次抽查的200个家庭中，有子女参加中考的家庭的频率是多少？
（2）如果你随机调查一个家庭，估计该家庭有子女参加中考的概率是多少？
（3）已知全市约有1.3×106个家庭，假设有子女参加中考的每个家庭中只有一名考生，请你估计今年全市有多少名考生参加中考？
16、（10分）小明、小华用四张扑克牌玩游戏（方块2、黑桃4、红桃5、梅花5），他俩将扑克牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，小明先抽，小华后抽，抽出的牌不放回。
（1）若小明恰好抽到黑桃4。
①请绘制这种情况的树状图；②求小华抽的牌的牌面数字比4大的概率。
（2）小明、小华约定：若小明抽到的牌的牌面数字比小华的大，则小明胜，反之则小明负；若牌面数字一样，则不分胜负，你认为这个游戏是否公平？说明你的理由。
17、（10分）某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并做如下规定：顾客购物80元以上就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据。
（1）计算并完成表格；
（2）请估计，当n很大时，频率将会接近多少？
（3）假如你去转动该盘一次，你获得洗衣粉的概率约是多少？
（4）在该转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是多少？（精确到1°）
18、（10分）一台名为帕斯卡三角的仪器，如图所示，当一实心小球从入口落下，它在依次碰到每层菱形挡块时，会可能地向左或向右落下。试问小球通过第二层A位置的概率是多少？第三层B位置的概率是多少？
19、（10分）某商场进行有奖促销活动，转盘分为5个扇形区域，分别是特等奖、一等奖、二等奖、三等奖及不获奖，制作转盘时，将获奖扇形区域圆心角分配如下表：
如果不用转盘，请设计一种等效实验方案（要求写清楚替代工具和实验规则）。
参考解答
一、1、D 2、D 3、D 4、B 5、B 6、B 7、B 8、D
二、9、确定 10、6 11、 12、甲 13、18 14、
三、15、（1）5% （2）约5% （3）4.5×104名 16、（1）①图略 ② （2）这个游戏公平。因为小明和小华获胜的概率都是 17、（1）0.68 0.74 0.68 0.69 0.705 0.701 （2）当n很大时，估计频率将会接近0.7 （3）概率约是0.7 （4） 18、 19、可采用“抓阄”或“抽签”等方法替代，在一个不透明的箱子里放进36个除标号不同外，其他均一样的乒乓球，其中一个标“特”，2个标“1”，3个标“2”，9个标“3”，其余不标数字，摸出标有哪个奖次的乒乓球，则获相应等级的奖品。
C
B
A
公园
小明家
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概率初步单元测试（3）
班级 学号 姓名 得分
1、 选择题（每题4分，共32分）
1． 下列事件是必然事件的是 （ ）
A． 明天天气是多云转晴
B． 农历十五的晚上一定能看到圆月
C． 打开电视机，正在播放广告
D． 在同一月出生的32名学生，至少有两人的生日是同一天
2． 下列说法中正确的是 （ ）
A． 可能性很小的事件在一次实验中一定不会发生
B． 可能性很小的事件在一次实验中一定会发生
C． 可能性很小的事件在一次实验中有可能发生
D． 不可能事件在一次实验中也可能发生
3． 在10000张奖券中，有200张中奖，如果购买1张奖券中奖的概率是（ ）
A． B． C． D．
4． 一个袋子中有4个珠子，其中2个是红色，2个蓝色，除颜色外其余特征均相同，若在这个袋中任取2个珠子，都是红色的概率是 （ ）
A． B． C． D．
5． 有5条线段的长分别为2、4、6、8、10，从中任取三条能构成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
6． 一个均匀的立方体六个面上分别标有1，2，3，4，5，6，下图是这个立方体表面的展开图，抛掷这个立方体，则朝上一面的数恰好等于朝下一面的数的的概率是（ ）
A． B． C． D．
7． 四张完全相同的卡片上，分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率为 （ ）
A． B． HYPERLINK "http://www.1230.org" EMBED Equation.3 C． HYPERLINK "http://www.1230.org" EMBED Equation.3 D．
8． 如果小明将飞镖随意投中如图所示的图形木板，那么镖落在小圆内的概率为 （ ）
A． B．
C． D．
2、 填空题（每题4分，共24分）
9．10张卡片分别写有0至9十个数字，将它们放入纸箱后，任意摸出一张，则P（摸到数字2）＝ ，P（摸到奇数）＝ 。
10．一只布袋中有三种小球（除颜色外没有任何区别），分别是2个红球，3个黄球和5个蓝球，每一次只摸出一只小球，观察后放回搅匀，在连续9次摸出的都是蓝球的情况下，第10次摸出黄球的概率是 。
11．掷两枚普通硬币，出现两个正面的概率是 12．小华与父母一同从南京乘火车到苏州乐园游玩，火车车厢里每排有左、中、右三个座位，小华一家三口随意坐某排的三个座位，则小华恰好坐在中间的概率是 13．小明和小颖按如下规则做游戏：桌面上放有5支铅笔，每次取1支或2支，由小明先取，最后取完铅笔的人获胜，如果小明获胜的概率为1，那么小明第一次应取走 支 ( http: / / www.1230.org )
12．小华与父母一同从南京乘火车到苏州乐园游玩，火车车厢里每排有左、中、右三个座位，小华一家三口随意坐某排的三个座位，则小华恰好坐在中间的概率是
13．小明和小颖按如下规则做游戏：桌面上放有5支铅笔，每次取1支或2支，由小明先取，最后取完铅笔的人获胜，如果小明获胜的概率为1，那么小明第一次应取走 支
14．一副没有大小王的扑克，共52张，抽出一张是红桃的概率为
3、 解答题（共44分）
15．（8分）一个口袋中有10个红球和若干个白球，请通过以下实验估计口袋中白球的个数，从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程，实验中共摸200次，其中50次摸到红球。
16．（8分）一张椭圆形桌旁有六个座位，A、E、F先坐在如图所示的座位上，B、C、D三人随机坐到其他三个座位，求A与B不相邻而座的概率。
17．（10分）在摸奖活动中，游乐场在一只黑色的口袋里装有只颜色不同的50只小球，其中红球1只、黄球2只、绿球10只，其余为白球，搅拌均匀后，每2元摸1个球，奖品的标准在球上（如下图）。
(1) 如果花2元摸1个球，那么摸不到奖的概率是多少？
(2) 如果花4元同时摸2个球，那么获得10元奖品的概率是多少？
18．（8分）小明和小刚用如图的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，当两个转盘所转到的数字之积 ( http: / / www.1230.org )为奇数时，小明得2分；当所转到的数字之积为偶数时，小刚得1分，这个游戏对双方公平吗？若公平，说明理由；若不公平，如何修改规则才能使游戏双方公平？
19．（10分）两人去某风景区游玩，每天某一时段开往该风景区有三辆汽车，票价相同，但是他们不知道这些车的舒适程度，也不知道汽车开过来的顺序，两人采用了不同的乘车方案：甲无论如何总是上开来的第一辆车，而乙则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况，如果第二辆车的舒适程度比第一辆好，他就上第二辆车；如果第二辆车的舒适程度不比第一辆好，他就上第三辆车。如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等。请尝试着解决下面的问题 ( http: / / www.1230.org )
甲无论如何总是上开来的第一辆车，而乙则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况，如果第二辆车的舒适程度比第一辆好，他就上第二辆车；如果第二辆车的舒适程度不比第一辆好，他就上第三辆车。如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等。请尝试着解决下面的问题：
(1) 三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？
(2) 你认为甲、乙采用的方案，哪一种方案使自己乘坐上等车的可能性大？为什么？
参考答案：
一、1．D 2．C 3．A 4．D 5．D 6．A 7．A 8．D 9。 10。 11。 12。 13。2 14。 15。设口袋中有个白球， HYPERLINK "http://www.1230.org" EMBED Equation.3 ，口袋中大约有30个白球 16。 17。（1）白球的个数摸不到奖的概率是（2）获10元的奖品只有一种可能即同时摸出两个黄球的获得10元奖品的概率是 HYPERLINK "http://www.1230.org" EMBED Equation.3 18。P（积为奇数）=，P（积为偶数）=小明的积分，小刚的积分 HYPERLINK "http://www.1230.org" EMBED Equation.3 游戏对双方公平 19。（1）有6种可能（上、中、下）（上、下、中）（中、上、下）（中、下、上）（下、上、中）（下、中、上）（2）甲、乙二人分别会上哪一辆车的可能性见下表；甲乘坐上等车的概率，而乙乘坐上等车的概率是，所以乙采取的方案乘坐上等车的可能性较大。
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概率初步单元测试（1）
一、选一选
1．从A地到C地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中.从A地到B地有2条水路、2条陆路，从B地到C地有3条陆路可供选择，走空中从A地不经B地直接到C地.则从A地到C地可供选择的方案有（ ）．
A．20种 B．8种 C． 5种 D．13种
2．一只小狗在图中方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是（ ）．
A． B． C． HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.3 D． HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.3
3．下列事件发生的概率为0的是（ ）．
A．随意掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上
B．今年冬天黑龙江会下雪
C．随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为1
D．一个转盘被分成6个扇形，按红、白、白、红、红、白排列，转动转盘，指针停在红色区域
4．某商店举办有奖储蓄活动，购货满100元者发对奖券一张，在10000张奖券中，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖100个。若某人购物满100元，那么他中一等奖的概率是 （ ）．
A． B． C． HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.3 D． HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.3 1
5．有6张写有数字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意一张是数字3的概率是（ ）．
A． B． C． HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.3 D．
6．盒子中装有2个红球和4个绿球,每个球除颜色外都相同,从盒子中任意摸出一个球,是绿球的概率是( )．
A． B． C． D． HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.3
7．如图,一飞镖游戏板,其中每个小正方形的大小相等,则随意投掷一个飞镖,击中黑色区域的概率是 ( )．
A． B． C． HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.3 D．
8．在转盘游戏中，若每次随意转动转盘，指针落在红区域的概率是，则下列说法正确的是（ ）．
A．转盘被均匀涂上红、黄、黑、白四种颜色(过中心的扇形区)
B．若转动转盘4次，一定有1次指针落在红色区域
C．若转动转盘20次，一定有15次指针不落在红色区域
D．红色区域的面积占整个转盘面积的(区域指过转盘中心的扇形)
9．连掷两次骰子，它们的点数都是4的概率是（ ）．
A． B． C． HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.3 D．
10．从长度分别为l，3，5，7，9个单位的5条线段中任取3条作边，能组成三角形（不含等腰三角形）的概率为( )．
A． B． HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.3 C． D．
二、填一填
11．任意掷一枚均匀硬币两次，两次都是同一面朝上的概率是____．
12．小明、小刚、小亮三人正在做游戏，现在要从他们三人中选出一人去帮王奶奶干活，则小明被选中的概率为_____, 小明未被选中的概率为____．
13．张强的身高将来会长到40米，这个事件得概率为_____．
14．从一副扑克牌（除去大小王）中任抽一张．则抽到红心的概率为 ；抽到黑桃的概率为_____ ；抽到红心3的概率为 ___ ．
15．任意翻一下2004年日历，翻出1月6日的概率为 ；翻出4月31日的概率为 ．
16．单项选择题是数学试题的重要组成部分，当你遇到不懂做的情况时，如果你随便选一个答案（假设每个题目有4个备选答案），那么你答对的概率为 ___ ．
17．某班的联欢会上，设有一个摇奖节目，奖品为钢笔、图书和糖果，标于一个转盘的相应区域上（转盘被均匀等分为四个区域，如图）．转盘可以自由转动。参与者转动转盘，当转盘停止时，指针落在哪一区域，就获得哪种奖品，则获得钢笔的概率为 ____ ．18．一位汽车司机准备去商场购物，然后他随意把汽车停在某个停车场内，停车场分A、B两区，停车场内一个停车位置正好占一个方格且每一个方格除颜色外完全一样，则汽 ( http: / / www.1230.org / )
18．一位汽车司机准备去商场购物，然后他随意把汽车停在某个停车场内，停车场分A、B两区，停车场内一个停车位置正好占一个方格且每一个方格除颜色外完全一样，则汽车停在A区蓝色区域 的概率是 ，B区蓝色区域的概率是 ___ ．
19．如图表示某班21位同学衣服上口袋的数目。若任选一位同学，则其衣服上口袋数目为5的概率是 ___．
20．一个小妹妹将10盒蔬菜的标签全部撕掉了。现在每个盒子看上去都一样．但是她知道有三盒玉米，两盒菠菜，四盒豆角，一盒土豆．她随机地拿出一盒并打开它．则盒子里面是玉米的概率是_______
， 盒子里面不是菠菜的概率是_______．
三、做一做
21．将下面事件的字母写在最能代表它的概率的点上．
( http: / / www.1230.org / )
A:投掷一枚硬币时，得到一个正面；
B:在一小时内，你步行可以走80千米；
C:给你一个骰子中，你掷出一个3；
D:明天太阳会升起来．
22．一个桶里有60个弹珠——一些是红色的，一些是蓝色的，一些是白色的．拿出红色弹珠的概率是35%，拿出蓝色弹珠的概率是25%．桶里每种颜色的弹珠各有多少？
23．飞镖随机地掷在下面的靶子上．
（1）、在每一个靶子中，飞镖投到区域A、B、C的概率是多少？
（2）、在靶子1中，飞镖投在区域A或B中的概率是多少？
（3）、在靶子2中，飞镖没有投在区域C中的概率是多少？
24．小猫在如图所示的地板上自由地走来走去，它最终停留在红色方砖上的概率是 1/4 ，你试着把每块砖的颜色涂上 ( http: / / www.1230.org / )．
25．如图，转盘被均匀分为37格，分别标以0～36这37个数字，且所有写有偶数(0除外)的格子都涂成了红色，写有奇数的格子都涂成了蓝色，而0所在的格子被涂成了绿色．游戏者用此转盘(如图)做游戏，每次游戏游戏者须交游戏费1元．游戏时，游戏者先押一个数字，然后快速地转动转盘，若转盘停止转动时，指针所指格子中的数字恰为游戏者所押数字，则游戏者将获得奖励36元．该游戏对游戏者有利吗 转动多次后，游戏者平均每次将获利或损失多少元
参考解答
一
1．D 2．B 3．C 4．B 5．B 6．C 7．B 8．D 9．D 10．C
二
11．； 12．、 ； 13．0 ； 14．、 HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 、； 15．、0； 16．； 17．； 18．、 HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 ； 19．； 20． HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 、
21．A．； B、0； C、 HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 ； D、1
22．显然拿出白色弹珠的概率是40%；红色弹珠有60×25%=15；蓝色弹珠有60×35%=21；白色弹珠有60×40%=24
．
23．（1）靶子1：1/3；1/3；1/3。靶子2：1/2；1/4；1/4；
（2）2/3；
（3）3/4.
24．任意4块染成红色都可以．
25．该游戏对游戏方不利．
因为他押中的概率为，而每押中一次获得奖金（36－1）=35元，他押错的概率为，因此转动多次后，游戏者平均每次获利 HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.3 （元）．
A区
B区
图书
糖果
糖果
钢笔
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第25章 概率初步
25．1 概率
疑难分析：
1．在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件．由于在一定的条件下某些结果是一定发生或一定不发生或可能发生也可能不发生，所以事件被分为必然事件、不可能事件和随机事件三种.
2．随机事件在现实世界中是广泛存在的．在一次试验中，事件A是否发生虽然带有偶然性，但在大量重复试验下，它的发生呈现出一定的规律性(随机事件频率的稳定性)，即事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数就叫做事件A的概率，记作 P（A）．它从数量上反映了事件A发生的可能性的大小．
3．事件A在各次试验中可能发生，也可能不发生，它在n次试验中发生的次数（称为频数）m可能等于 0（n 次试验中A一次也不发生），可能等于1（n次试验中A只发生一次），……,也可能等于 n（n 次试验中 A每次都发生）. 即事件A在n次试验中发生的频数m可能取得 0、1、2、…、n 这 n+1 个数中的任一个值.于是，随机事件 A 的频率 P（A）=可能取得的值介于 0 与 1之间，即0≤P(A)≤1.特别，必然事件的概率为 1；不可能事件的概率为0.
4．概率是针对大量试验而言的，大量试验反映的规律并非在每次试验中一定存在的．
例题选讲
例1下列事件中，是随机事件的有_______________．
（1）如果a，b 都是实数，那么a·b=b·a
（2）打开电视机，正在播少儿节目
（3）校对印刷厂送来的清样，每一万字中有错、漏字 10 个
（4）掷一枚骰子，“点数不超过5”
解答：（2）、（3）、（4）．
评注：理解“随机事件”的含义是解本题的关键．
例2 对某工厂生产的大批同类产品进行合格率检查，分别抽取5件、10件、60件、150件、600件、900件、1200件、1800件，检查结果如下表所示：
抽取件数/n 5 10 60 150 600 900 1200 1800
合格件数/m 5 8 53 131 542 820 1091 1631
合格频率/（m/n） 1 0.8 0.883 0.873 0.913 0.911 0.909 0.906
求该厂产品的合格率．
解析：从上表的数据可看到，当抽取件数(即重复试验次数)n越大，“一件产品合格”事件发生的频率就越接近常数0.9，所以“一件产品合格”的概率约为0.9，我们通常说该厂产品的合格率为90%．
评注：事件A发生的频率接近某个常数，这个常数就是事件A的概率，它反映了事件A发生的可能性的大小，这个常数的值越接近1，事件A发生的可能性就越大．
基础训练
一、选一选（请将唯一正确答案的代号填入题后的括号内）
1．下列事件中是随机事件有（ ）个．
(1)在标准大气压下水在0℃时开始结成冰；
(2)掷一枚六个面分别标有l～6的数字的均匀骰子，骰子停止转动后偶数点朝上；
(3)从一副扑克牌中任意抽出一张牌，花色是红桃；
(4)打开电视机，正在转播足球比赛；
(5)小麦的亩产量为1000公斤．
A． 1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列说法：(1)不可能发生和必然发生的都是确定的；(2)可能性很大的事情是必然发生的；(3)不可能发生的事情包括几乎不可能发生的事情；(4)冬天里武汉一定会下雪．其中，正确的个数为（ ）．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3．如图，小明周末到外婆家，走到十字路口处，记不清前面哪条路通往外婆家，那么他能一次选对路的概率是（ ）．
A. B. C. D. 0
4．下图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1，2，3，4，5，6这六个数字，指针停在每个扇形的可能性相等．四位同学各自发表了下述见解：
甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形；
乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在6号扇形；
丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等；
丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形，指针停在6号扇形的可能性就会加大．其中，你认为正确的见解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．在中考体育达标跳绳项目测试中，1分钟跳160次为达标。小敏记录了他预测时1分钟跳的次数分别为145、155、140、162、164，则他在该次预测中达标的概率是（ ）．
A. B. C. D. 1
6.有两组扑克牌各三张,牌面数字分别为1、2、3，随意从每组中牌中各抽取一张，数字和是奇数的概率是（ ）．
A． B． C． D．
7．一个骰子，六个面上的数字分别为1，2，3，4，5，6投掷一次，向上面为数字3的概率及向上面的数字大于3的概率分别是（ ）．
A. 、 B. 、 C. HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 、 D. 、
8．某商店举办有奖销售活动，购物满100元者发对奖券一张．在10000张奖券中，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖100个．若某人购物刚好满100元，那么他中一等奖的概率是（ ）．
A． B． C． HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.3 D． HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.3
二、填一填
9．粉笔盒中有8支红粉笔，6支黄粉笔1支绿粉笔，从中任取—支，是红粉笔的概率为________．
10. 某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别是0.24、0.28、0.19，那么，这个射手在这次射击中，射中10环或9环的概率为________；不够8环的概率为________．
11．初三(1)班共有48名团员要求参加青年志愿者活动，根据实际需要，团支部从中随机选择12名团员参加这次活动，该班团员李明能参加这次活动的概率是 ．
12．一次抽奖活动中印发奖券1000张，其中一等奖20张，二等奖80张，三等奖200张，那么每一位抽奖者（仅买一张奖券）中奖的概率都是_______.
三、做一做
13．某电视台综艺节目接到热线电话3000个，现要从中抽取“幸运观众”10名，张华同学打通了一次热线电话，那么他成为“幸运观众”的概率为多少
14．甲班56人，其中身高在160厘米以上的男同学10人，身高在160厘米以上的女同学3人，乙班80人，其中身高在160厘米以上的男同学20人，身高在160厘米以上的女同学8人．如果想在两个班的160厘米以上的女生中抽出一个作为旗手，在哪个班成功的机会大 为什么
15. 如图所示，每个转盘被分成3个面积相等的扇形，小红和小芳利用它们做游戏：同时自由转动两个转盘，如果两个转盘的指针所停区域的颜色相同，则小红获胜；如果两个转盘的指针所停区域的颜色不相同，则小芳获胜，此游戏对小红和小芳两人公平吗？谁获胜的概率大？
四、试一试
16. 如图，用两个相同的转盘(每个圆都平均分成六个扇形)玩配紫色游戏(—个转盘转出“红”，另一个转盘转出“蓝”，则为配成紫色)．在所给转盘中的扇形里，分别填上“红’’或“蓝”，使得到紫色的概率是．
( http: / / www.1230.org / )
]
参考解答
一、
1．D 2．A 3．B 4．A 5．A 6．C 7．D 8．C
二、
9．； 10. 0.52、0.29； 11． ； 12． HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 ；
三、
13．.
14. 因为已经限定在身高160厘米以上的女生中抽选旗手，在甲班被抽到的概率为,在乙甲班被抽到的概率为，∵>，∴在甲班被抽到的机会大．
15.不公平，小芳获胜的概率（）大于小红的（）．
四、
16． HYPERLINK "http://www.1230.org/" [解答] 本题是一道答案不惟一的开放题，在解这类题时，可从最简单的形式入手．由已知条件及要求只要符合题意即可．如可把其中一个转盘的六个扇形都填“红”，而另一个转盘的一个扇形填“蓝”，即可保证得到紫色的概率为．
如图，一个转盘的六个扇形都填“红”，另一个转盘的一个扇形填“蓝”，余下的五个扇形不填或填其他颜色．(注：一个填两个“红”，另一个填三个“蓝”等也可)．
蓝
蓝
黄
黄
红
红
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