初中数学九年级上册人教版22.2二次函数与一元二次方程（含解析）

初中数学九年级上册人教版22.2二次函数与一元二次方程
一、填空题
1．已知抛物线的对称轴是直线.若关于x的一元二次方程的一个根为4，则该方程的另一个根为　 　.
2．抛物线经过点、两点，则关于x的一元二次方程的解是　 　．
3．已知抛物线的部分图象如图所示，则方程的解是　 　
4．已知抛物线 的图像与x轴分别交于点 ， ，则关于x的方程 的根为　 　．
5．如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 的对称轴为直线 ，与x轴的一个交点为 ，则关于x的方程 的解为　 　．
6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x … －5 －4 －3 －2 －1 …
y … 3 －2 －5 －6 －5 …
则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－2的根是　 　.
二、选择题
7．如表是一组二次函数y＝x2﹣x﹣3的自变量和函数值的关系，那么方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根是（　　）
x 1 2 3 4
y ﹣3 ﹣1 3 9
A．1.2 B．2.3 C．3.4 D．4.5
8．根据以下表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　）
x 0 0.5 1 1.5 2
y＝ax2+bx+c ﹣1 ﹣0.5 1 3.5 7
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
9．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过原点O，与x轴另一个交点为A点，则方程ax2+bx+c＝0的解是（　　）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．0和一个正根
11．若方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两个根是﹣3和1，则对于二次函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，x的取值范围是（　　）
A．﹣3＜x＜1 B．x＜﹣3或x＞1
C．x＞﹣3 D．x＜1
12．对于一个函数，自变量x取c时，函数值为0，则称c为这个函数的零点.若关于x的二次函数y＝﹣x2﹣8x＋m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2＋8x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列式子一定正确的是（　　）
A．0＜ ＜1 B． ＞1
C．0＜ ＜1 D． ＞1
三、解答题
13．若二次函数的对称轴为直线，求关于x的方程的解.
14．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，已知点A在点B的左侧，求点A和点B的坐标．
15．已知二次函数 ．求证：不论 为何实数，此二次函数的图象与 轴都有两个不同交点．
16．已知二次函数y=kx2﹣2x﹣1的图像与x轴有两个不同的交点，求实数k的取值范围．
17．画出函数 的图像，观察函数图象，请直接写出方程 的根.
18．已知关于x的一元二次方程ax2－3x－1＝0有两个不相等的实数根，且两个实数根都在－1和0之间(不包含－1和0)，求a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】－6
【解析】【解答】解：由题意抛物线的对称轴x=-1，与x轴的交点为（4，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标（-6，0），
∴一元二次方程ax2+bx+c=0的另一个根为-6.
故答案为：-6.
【分析】根据对称性可得抛物线与x轴的另一个交点的坐标，然后结合二次函数与对应的一元二次方程的关系进行解答.
2．【答案】
【解析】【解答】解： 抛物线经过点、两点，
关于x的一元二次方程的解是
故答案为：
【分析】根据二次函数的图象与一元二次方程的关系可得。
3．【答案】或
【解析】【解答】解：由图象可知抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
设抛物线与x轴的另一个交点为，则，
解得：．
∴方程的解为或．
故答案为：或
【分析】根据函数图象求出二次函数的图象与x轴的交点坐标，即可得到方程的解为或。
4．【答案】 ，
【解析】【解答】解：∵ 的图象与x轴分别交于点A（-2，0），B（-4，0），
∴ 的根为 ， ，
故答案为： ， ．
【分析】根据 的图象与x轴分别交于点A（-2，0），B（-4，0），得出 的根，即可得出答案。
5．【答案】 ，
【解析】【解答】解：∵抛物线 的对称轴为直线 ，与x轴的一个交点为 ，
∴抛物线与x轴的另一个交点为 ，
∴关于x的方程 的解为 ， ，
故答案为： ， ．
【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点为 ，再求出关于x的方程 的解为 ， ，即可作答。
6．【答案】x1=-4，x2=0
【解析】【解答】解：∵x=﹣3，x=﹣1的函数值都是﹣5，相等，
∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2.
∵x=﹣4时，y=﹣2，∴x=0时，y=﹣2，
∴方程ax2+bx+c=3的解是x1=﹣4，x2=0.
故答案为：x1=﹣4，x2=0.
【分析】根据表格中的信息和二次函数的性质可得抛物线的对称轴为直线x=-2；于是可得当y=-2时，x=-4或x=0，然后把y=-3代入函数解析式可得y=ax2+bx+c，从而可得关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-2的根.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：观察表格得：方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根在2和3之间.
故答案为：B.
【分析】根据表格中的数据可得当x=2时，y<0；当x=3时，y>0，据此可得方程的近似根.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：观察表格可知：当x＝0.5时，y＝﹣0.5；当x＝1时，y＝1，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1.
故答案为：B.
【分析】观察表格可知：当x＝0.5时，y＝-0.5<0；当x＝1时，y＝1>0，据此不难得到方程ax2+bx+c＝0的解的范围.
9．【答案】B
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数是1．
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程解的个数和二次函数与x轴的交点个数的关系求解即可。
10．【答案】D
【解析】【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过原点O，与x轴另一个交点为A点，根据函数图象可知，点在轴正半轴，
所以方程ax2+bx+c＝0的解是0和一个正根
故答案为：D
【分析】根据抛物线与一元二次方程的关系可得：函数与x轴的交点即是方程的解，即可得到答案。
11．【答案】B
【解析】【解答】解：∵a＞0，故抛物线开口向上，由题意知，抛物线与x轴的两个交点坐标为（﹣3，0）、（1，0），
∴当y＞0时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞1，
故答案为：B.
【分析】由a＞0可知，抛物线开口向上，在x轴上方的图象所对应的y值大于0，此时x的取值在抛物线与x轴的两个交点之外，即：当y＞0时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞1.
12．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意关于x的方程x2＋8x﹣m﹣2＝0的两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），就是关于x的二次函数y＝﹣x2﹣8x＋m（m≠0）与直线y＝﹣2的交点的横坐标，
画出函数的图象草图如下：
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣4，
∴x3＜x1＜﹣4，
由图象可知：0＜ ＜1一定成立，
故答案为：A.
【分析】 根据二次函数y＝﹣x2﹣8x＋m（m≠0），确定函数的图象：开口方向向下，对称轴是x=-4，与x轴的交点x1，x2（x1＜x2）.关于x的方程x2＋8x﹣m﹣2＝0 ，就是二次函数y＝﹣x2﹣8x＋m中y=-2.所以，方程x2＋8x﹣m﹣2＝0 的根 x3，x4（x3＜x4），就是二次函数y＝﹣x2﹣8x＋m和直线y=-2的交点的横坐标.所以，x3＜x1＜0，即0＜ ＜1一定成立.
13．【答案】解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
解得.
将代入中，得：，
解得，.
【解析】【分析】利用二次函数的对称轴公式即可算出b的值，将求得的b代入方程，用因式分解法解关于x的一元二次方程即可.
14．【答案】解：当 时， ，
解得 ， ，
所以 ， ．
【解析】【分析】根据题意求出 ， 再解方程求解即可。
15．【答案】解： ，不论 为何值时，都有 ，此时二次函数图象与 轴有两个不同交点．
【解析】【分析】利用判别式的值得到 ，从而得到 ，然后根据判别式的意义得到结论．
16．【答案】解：令y＝0，则kx2﹣2x﹣1＝0．
∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个不同的交点，
∴一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的解，
解得：k＞﹣1且k≠0．
∴实数k的取值范围k＞﹣1且k≠0．
【解析】【分析】根据题意将该题转化为求一元二次方程根的判别式求解。
17．【答案】解：y=x2+2x-3=（x+1）2-4， ∴图象的顶点为（-1，-4）， 当y=0，则0=（x+1）2-4， 解得：x1=1，x2=-3， ∴图象与x轴交点坐标为：（1，0），（-3，0）， 故函数图形如图所示， 观察图象，方程x2+2x-3=0的解为：x1=1，x2=-3.
【解析】【分析】观察此函数图象，可得出抛物线与x轴的两交点坐标。根据抛物线 与x轴的两交点的横坐标就是一元二次方程 的两个根。 即可求解。
18．【答案】解：∵关于x的一元二次方程ax2－3x－1=0有两个不相等的实数根
∴△= ，解得，a＞
令y=ax2－3x－1，则该二次函数的图象与y轴交于(0，－1)
∵方程ax2－3x－1=0的两个实数根都在－1和0之间
∴二次函数y=ax2－3x－1与x轴两交点的横坐标都在－1和0之间
∴a＜0，其大致图象如图所示：
当x=－1时，y=ax2－3x－1=a＋2＜0
解得，a＜－2
综上可得： ＜a＜－2．
【解析】【分析】由已知关于x的一元二次方程ax2－3x－1=0有两个不相等的实数根，可得出b2-4ac＞0，建立关于a的不等式，求出不等式的解集；再由两个实数根都在－1和0之间(不包含－1和0)， 将一元二次方程转化为二次函数y=ax2－3x－1，画出函数图象，可知抛物线的开口向下，由x=-1，可知y＜0，建立关于x的不等式，求出不等式的解集，结合（1）中a的取值范围，即可求出a的取值范围。