(共22张PPT)
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26.1
二次函数
函数
你知道吗？
一次函数
反比例函数
二次函数
正比例函数
y=kx+b (k≠0)
y=kx(k≠0)
一条直线
双曲线
喷泉(1)
源于生活的数学
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
假设果园增种x棵橙子树,果园橙子
的总产量为y(个),那么请你写出y与x之
间的关系式.
解: 果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x）个橙子,
y=(100+x)(600-5x)
=-5x +100x+60000.
亲历知识的发生和发展
设人民币一年教育储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税).
y=100(x+1) =100x +200x+100.
你能答对吗
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m )与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？
解：S=a( －a)=a(30－a)
=30a－a = -a +30a .
二次函数
y=-5x +100x+60000, y=100x +200x+100 . s= -a +30a .
有何特点？
定义：一般地,形如y=ax +bx+c 的函数叫做x的二次函数.
提示:
(1)关于自变量的代数式一定是二次整式,a,b,c为常数,且a≠0.
(2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.
(a,b,c是常数,a≠ 0)
在实践中感悟
1.下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1) +1
(3) s=3-2t
(5)y=(x+3) -x
(6)v=10πr
（是）
（否）
（是）
（否）
（否）
（是）
(7) y=x +x +25
(8)y=2 +2x
（否）
（否）
(2)
小试牛刀
圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加ycm .
（1）写出y与x之间的函数关系表达式；
（2）当圆的半径分别增加1cm, ,2cm时,圆的面积增加多少？
如果函数y=(k-3) +kx+1是二次函数,则k的值一定是______
敢于创新
0
如果函数y= +kx+1是二次函数,
则k的值一定是______
0,3
知识的升华
已知函数
(1) k为何值时，y是x的一次函数？
(2) k为何值时，y是x的二次函数？
解（1）根据题意得
∴k=1时,y是x的一次函数。
在种树问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？
x - 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 -
y - -
60375
60420
60455
60480
60495
60500
60495
60480
60455
60420
60375
问题再探究
y=-5x +100x+60000,
你能根据表格中的数据作出猜测吗？
60375
60455
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60495
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60455
60420
60375
60420
你发现了吗？
回味无穷
定义中应该注意的几个问题:
小结 拓展
1.定义：一般地,形如y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.
y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax (a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax +c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax +bx(a≠0,b≠0,c=0).
2.定义的实质是：ax +bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.
结束寄语
书山有路勤为径,
学海无涯苦作舟,
黑发不知勤学早,
白首方悔读书迟.(共21张PPT)
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26.3.5
实践与探索
面积问题
复习：
（一）提问：
1、 结合二次函数图象的性
质，怎样求抛物线y=ax2+bx+c
(a≠0) 与x轴、y轴的交点坐标？
2、怎样求平面直角坐标系内一点到x轴、y轴的距离？
设平面直角坐标系内任一点P的坐标为（m，n），则：
点P到x轴的距离=│n│
点P到y轴的距离=│m│
x
y
o
P（m，n）
3、怎样求抛物线与x轴的两个交点的距离？
设抛物线与x轴的两个
交点坐标为A(x1，0)，
B(X2，0)， 则：
AB=│x1-x2│
=│x2-x1│
x
y
x1
x2
A
B
o
（二）例题
如图，二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，设抛物线的顶点为P
（1）求△ABC、△COB
的面积
（2）求四边形CAPB的面积
C
O
A
B
x
y
P
解：∵ y=x2-4x+3=(x-2)2-1
∴顶点坐标是(2，-1)
∵ y=x2-4x+3=0时，
x1=1，x2=3
∴A (1，0) , B(3，0)
∵二次函数y=x2-4x+3与y轴的交点是C（0，3）
∴│AB│=│3-1 │= 2 ，│OB│=│3-0 │=3
△ABC的高=│3│=3 ，△ ABP的高=│-1│=1
∴ S△ABC=2×3÷2=3
S△COB=3×3÷2=4.5
∵ S△ABP=2×1÷2=1
∴ S四边形CAPB= S△ABC +S △ABP=3+1=4
x
y
C
O
A
B
P
（三）练习题
如图，二次函数
的图象经过A、B
C三点。
（1）这个二次函数
的解析式。
（2）抛物线上是否
存在一点P(P不与C重合)，
使△PAB的面积等于△ABC的面积，
如果存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由？
x
y
o
-2
4
-3
A
B
C
解：（1）
∵抛物线与x轴交于
A(-2,0), B(4,0)两点
∴设抛物线的解析式为
y=a(x-x1)(x-x2)
=a(x+2)(x-4)
∵抛物线过点C(0,-3)
∴-3=a(0+2)(0-4) 得a=3/8
∴y=3/8(x+2)(x-4)
=3/8x2-3/4x-3
x
y
-2
0
4
-3
A
B
C
(2)存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积
设点P的坐标为(x0, y0)
∵ S △ABC =│4-(-2)│×│-3│÷2=9
∴ S △ABP =│4-(-2)│×│y0│÷2=9
∴│y0│=3 即 y0= ±3
当y0=3时，
3/8x2-3/4x-3=3
解得
当y0= - 3时，
3/8x2-3/4x-3=-3 解得x1=0，x2=2
∴ 符合条件的P有三个，即(2,-3)
x
y
-2
4
0
-3
A
B
C
二次函数
的图像与
轴只有一个公共点P,与
过点Q的直线
与
与这个二次函数的图像交于另一点B，若
求这个二次函数的解析式；
轴交点为Q,
轴交于点A，
练习题：
1、如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x轴交于A、B两点，于y轴交于C点。点A、C的坐标分别是（-1，0），（0，3/2）。
(1)求此抛物线对应的函数解析式。
(2)若点P是抛物线上位于x轴上方
的一个动点，求△APB面积的最大值。
2、已知函数y=x2+kx-3的图象的顶点坐标为C，并与x轴相交于两点A、B，且AB=4。
(1)求实数k的值。
(2)若P为抛物线上的一个动点（除点C外），
求使S△ABP=S△ABC成立的点P的坐标。
x
y
0
A
C
B
(1).设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
M
N
40cm
30cm
A
B
C
D
┐
(1)设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
A
B
C
D
┐
M
N
40cm
30cm
xcm
bcm
(1)如果设矩形的一边AD=xcm,那么AB边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
A
B
C
D
┐
M
N
40cm
30cm
bcm
xcm
(1).设矩形的一边BC=xcm,那么AB边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.
A
B
C
D
┐
M
N
P
40cm
30cm
xcm
bcm
H
G
┛
┛
何时窗户通过的光线最多
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m) 此时,窗户的面积是多少
x
x
y
4.如果抛物线y= -x2+2(m-1)x+m+1与x轴交于A、B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b．
(1)求m的取值范围；
(2)若a∶b=3∶1，求m的值，并写出此时抛物线的解析式；
(3)设(2)中的抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点是M，问：抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于△BCM面积的8倍？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
结束寄语
不知道并不可怕和有害,任何人都不可能什么都知道,可怕的和有害的是不知道而伪装知道.(共13张PPT)
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26.3.1
实践与探索
二次函数解析式的几种表达式
一般式：y=ax2+bx+c
顶点式：y=a(x-h)2+k
两根式：y=a(x-x1)(x-x2)
1.已知二次函数的图象过
点(- 2,0),在y轴上的截距
为- 3,对称轴 x=2,求它的
解析式.
2.抛物线y=x2-2(m+1)x+n过点(2,4),且其顶点在直线y=2x+1上,
(1)求这抛物线的解析式.
(2)求直线y=2x+1与抛物线的对称轴x轴所围成的三角形的面积.
问题1
某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中
央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装
一个喷头向外喷水．连喷头在内，柱高为
0.8 m．水流在各个方向上沿形状相同的抛
物线路径落下，根据设计图纸已知：图中所
示直角坐标系中，水流喷出的高度y（m）
与水平距离x（m）之间的函数关系式是
．喷出的水流距水平面的
最大高度是多少？如果不计其他因素，那么
水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水
流都落在水池内？
问题2
一个涵洞成抛物线形，它的截面如图．
现测得，当水面宽AB＝1.6 m时，涵洞
顶点与水面的距离为2.4 m．这时，离
开水面1.5 m处，涵洞宽ED是多少？
是否会超过1 m？
问题3
画出 函数的图象，根据图象
回答下列问题．
图象与x 轴交点的坐标是什么？
当x 取何值时，y＝0？这里x的取值
与方程 有什么关系
(3)当x 取何值时，y＜0？当x取何值时，
y＞0？
(4)能否用含有x的不等式来描述（3）
中的问题？
1、抛物线的对称轴是直线x=1,它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点. 点A、C的坐标分别是（－1，0）、（0， ）.
(1) 求此抛物线对应的函数解析式；
(2) 若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，求△ABP面积的最大值.
2、已知抛物线
与x轴有两个交点.
（1）求k的取值范围;
（2）设抛物线与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，点D是抛物线的顶点．如果⊿ABD是等腰直角三角形，求抛物线的解析式;
（3）在（2）的条件下．抛物线与y轴交于点C， 点E在y轴的正半轴上且以A、O、E为顶点的三角形与⊿AOC相似。求点E坐标.(共12张PPT)
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26.3.6
实践与探索
1.如图，△ABC中，∠C=900，BC=3，AC=4，两个动点M从A点出发，以1cm/秒的速度沿AC行进，动点N以2cm的速度沿AB行进，过t秒后，到D、E点，
求S△DEC与t的函数
关系，并求自变量
t的取值范围。
A
B
C
D
E
2.如图，在ABC中，M是BC上的动点，过M分别作AB、AC的平行线，交AC和AB于点F、E，设BM：BC=x，平行四边形AEFM的面积为y，若△ABC的面积为p，试求：
（1）y关于x的函数解析式；
（2）当x为何值时，
y有最大值或最小值，
并求此最大
值或最小值。
A
B
C
E
F
M
3、如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，P是AC上的动点，PE与AD相交于E，且∠BPE=900，设CP=x，AE=y，（1）求y与x的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）当AE=PE时，
求四边形ABPE的
面积。
A
B
C
D
E
P
4.如图，正三角形ABC的边长为20cm，P、Q是动点，点P从A点开始向B以2cm/秒的速度移动，点Q从B点以4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，
（1）求△PBQ的面积S
与时间t的函数关系；
（2）求多少秒钟后，
四边形APQC的面积
等于 cm2？
A
B
C
P
Q
在△ABC中，∠B=30 ，∠C=60 ，AC=a.有动点M、N同时从A出发沿三角形的周界运动，M沿ABC方向，N沿ACB方向，运动到两点相遇为止，且N的速度是M的速度的3倍.设AM的长为x，△AMN的面积是y。
（1）当0≤x≤ 时,与当0≤x≤ 时，分别求出y与x的函数关系式。
（2）当这两点在什么位置时，△AMN的面积
最大？
已知抛物线
（n为常数）。
（1）当抛物线经过直角坐标系的原点，且顶点在第四象限时，求出它的函数关系式；
(2) 假设点A是（1）中所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点。过点A作x轴的平行线，交抛物线于另一个点D，再作AB⊥x轴，CD⊥x轴。试问：矩形ABCD的周长是否存在最大值？若存在，请求出；若不存在，请说明理由.
为了参加市科技节展览,同学们制造了一个截面为抛物线形的隧道模型,用了三种正方形的钢筋支架.在画设计图时,如果在直角坐标系中,抛物线的函数解析式为y=-x2+c,正方形ABCD的边长和正方形EFGH的边长之比为5︰1。
求：(1)抛物线解析式
中常数c的值；
(2)正方形MNPQ的边长。
结束寄语
不知道并不可怕和有害,任何人都不可能什么都知道,可怕的和有害的是不知道而伪装知道.课件中心精品资料 www. 找精品资料 到课件中心
二次函数单元测试（2）
（满分100分；完卷时间60分钟）
班级 姓名 成绩
一．选择题（每题3分，共24分）
1． 下列各式中，y是的二次函数的是 ( )
A． B． C． D．
2．已知点（2，8）在抛物线y=ax2上，则a的值为 （ ）
A、±2 B、±2 C、2 D、－2
3．二次函数y=x2＋4x＋a的最小值是2，则a的值是 （ ）
A、4 B、5 C、6 D、7
4．若二次函数的图象经过原点，则的值必为 ( )
A． 0或2 B． 0 C． 2 D． 无法确定
5．抛物线则图象与轴交点为 （ ）
A． 二个交点 B． 一个交点 C． 无交点 D． 不能确定
6．对于的图象下列叙述正确的是 （ ）
A 顶点坐标为(－3，2) B 对称轴为直线x=3
C 当x=3时，y有最大值2 D 当时随增大而减小
7．抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到 （ ）
A B
C D
8．二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是： （ ）
A a>0 b<0 c>0 B a<0 b<0 c>0
C a<0 b>0 c<0 D a<0 b>0 c>0
二．填空题：（每题3分，共30分）
9．抛物线y=－2x2－1的顶点坐标是 。
10．抛物线y=－2x2－x+3与y轴交点的坐标是 。
11．把二次函数y=－2x2＋4x+3化成y=a（x+h）2+k的形式是 。
12．已知函数y=x2+3kx+k+1的图象过（-1，4），那么的值是 。
13．已知抛物线的顶点在轴上，则的值是 。
14． 写出一个开口向上，且对称轴为直线的二次函数解析式 。
15．若抛物线y=－x2+8x－12的顶点是P，与X轴的两个交点是C、D两点，则PCD的面积是 。
16．已知二次函数，则它的对称轴是直线 。
17．抛物线与直线的交点坐标是 。
18．已知二次函数的最大值是3，则的值是 。
三．解答题(共52分)
19．（6分）用配方法或公式法求二次函数的对称轴、顶点坐标和最值。
20．（6分）已知一条抛物线过点和，且它的对称轴为直线，试求这条抛物线的解析式。
21．（10分）已知二次函数的图象的顶点坐标为（3，-2）且与轴交与（0，）
（1）求这个二次函数的解析式，并画于它的图象；
（2）若这抛物线经过点，试比较的大小。
22．（12分）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价一元，日销售量将减少20千克。
（1）现要保证每天盈利6000元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济角度看，那么每千克应涨价多少元，能使商场获利最多。
23．（12分）某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）。若已知OP＝3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米。
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外。
参考答案
一：选择题：1、C 2、C 3、C 4、A 5、B 6、B 7、A 8、D
二：填空题： 9、（0，-1） 10、（0，3） 11、 12、-1 13、2
14、例如 15、8 16、 17、（1，-1）（-2，8） 18、-1
三：解答题：
19．对称轴为直线，顶点坐标是，当X=3时，Y有最大值。
20．或
21．，图象略！
。
22．解：1）、设每千克应涨价元，由题意得：
解得，
要让顾客得到实惠则应每千克应涨价5元。
2）、设商场的利润为元，有：
当时，的值最大，为6125元！
23．解：1）、设这条抛物线解析式为
由题意知：顶点A为（1，4），P为（0，3）
∴ ，，。
所以这条抛物线的解析式为。
2）、令，则，
所以若不计其它因素，水池的半径至少3米，才能使喷出的水流不至于落在池外。
y
x
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二次函数单元测试卷(1)
班级： 姓名： 成绩：
一、 精心选一选（每题3分，共30分）
1．下列函数中，是二次函数的有 （ ）
① ② ③ ④
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
2．若二次函数的图象经过原点，则m的值必为 （ ） A、-1或3 B、-1 C、3 D、无法确定
3．二次函数的图象与x轴 （ ）
A、没有交点 B、只有一个交点 C、只有两个交点 D、至少有一个交点
4．二次函数有 （ ）
A、最大值1 B、最大值2 C、最小值1 D、最小值2
5．二次函数的图象可由的图象 （ ）
A．向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到
B．向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到
C．向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到
D．向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到
6. 抛物线的顶点坐标是 （ ）
A、（2，0） B、（-2，0） C、（1，-3） D、（0，-4）
7．若（2，5）、（4，5）是抛物线上的两个点，则它的对称轴是 （ ）
A、 B、 C、 D、
8．已知反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而减小，则函数 的图象经过的象限是 （ ）
A、第三、四象限 B、第一、二象限
C、第二、三、四象限 D、第一、二、三象限
9．抛物线与x轴的两个交点为（-1，0），（3，0），其形状与抛物线
相同，则的函数关系式为 （ ）
A、 B、
C、 D、
10.函数y=x2-1可由下列哪个函数的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位得到。（ ） A、y=(x-1)2+1 B、y=(x+1)2+1 C、y=(x-1)2-3 D、y=(x+1)2+3
二、细心填一填（每题3分，共30分）
1．若是二次函数，则m= 。
2．二次函数的开口 ，对称轴是 。
3．抛物线的最低点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大。
4．已知二次函数的图象经过点（1，-1），则这个二次函数的关系式为 ，它与x轴的交点的个数为 个。
5．经过点（0，3）、（1，0）、（3，0）的二次函数的解析式是： 。
6．抛物线与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 。
7.方程ax2+bx+c=0的两根为-3，1则抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线____________。
8．抛物线与直线只有一个公共点，则b= 。
9．已知抛物线与x轴交点的横坐标为 –1，则= 。
10.请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式 y=(x－2)2＋3等 。
三、认真答一答（每题12分，共60分）
1．已知二次函数的图象经过点（3，2）。
（1）求这个二次函数的关系式； （2）指出图象的顶点坐标；
（3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围。
2．已知抛物线与x轴的一个交点为A（-1，0）。
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的函数关系式。
3.如图二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A 、B、C三点， C
（1）观察图象，写出A 、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式，
（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴
（3）观察图象，当x取何值时，y<0？y=0？y>0
4．心理学家研究发现,一般情况下, 学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的注意力逐步增强, 中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态,随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知, 学生的注意力y随时间t（分钟）的变化规律有如下关系式: （y值越大表示接受能力越强）
(1)讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较, 何时学生的注意力更集中
(2)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中 能持续多少分钟
(3)一道数学难题,需要讲解24分钟,为了效果较好,要求学生的注意力最低达到180,那么经过适当安排,老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目
5．如图是某段河床横断面的示意图.查阅该河段水文资料，得到下表中的数据
x/m 5 10 20 30 40 50
y/m 0.125 0.5 2 4.5 8 12.5
请你以上表中的各对数据(x,y)作为点的坐标，尝试在坐标系中
画出y关于x的函数图象.
（2）填写下表
x 5 10 20 30 40 50
根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用x表示
y的二次函数的表达式： .
当水面宽度为36m时，一艘吃水深度（船底部到
水面的距离）为1.8m的货船能否在这个河段安全通过？
为什么？
二次函数单元测试卷答案
一、 精心选一选
1、C 2、C 3、D 4、C 5、D 6、D 7、D 8、B 9、D 10、B
二、细心填一填
1、m=－2 2、向下，直线x=－1 3、（－1，－2）；x>－1 4、y=x2－2; 2 5、y=x2－4x+3 6、(0,－4) ;(－4,0) (1,0) 7、x=－1 8、b=3 9、1 10、y=(x－2)2－1
三、认真答一答
1、解：①因为图象经过（3，2）所以可得：2=9+3b－1 得b=－2
所以解析式为：y=x2－2x－1
②因为y=x2－2x－1=(x2－2x+1)－2=(x－1)2-2
所以顶点的坐标为：（1，－2）
③当y=2时，可得x2－2x－1=2
x2－2x－3=0
(x-3)(x+1)=0
x1=3 x2=-1
所以x≥3时,y≥2
2、解：①因为图象过（-1，0） 所以可得：a-4a+t=0 t=3a 所以y=ax2+4ax+3a
=a(x2+4x+3)
=a(x+3)(x+1)
所以另一个交点为B(-3,0) AB=2 D(0,3a)
②因为对称轴为 x=-2 所以CD=4 因为S梯形ABCD=1/2×(2+4)h=9
所以h=3
所以a=1 或 a=-1
所以解析式为y=x2+4x+3; y=-x2-4x-3
3、 ① A(-1,0) B(0,-3) C(4,5)
设解析式为 y=ax2+bx+c
所以可得： 解得：
所以解析式为：y=x2-2x-3
② y=x2-2x-3=(x-1)2-4
所以顶点坐标为：(1,-4) 对称轴为直线x=1
③观察图象可得：当x<-1或x>3时 y>0；当 x=-1或 x=3 时y=0 ；当-14、解：①当t=5时,y=195;t=25,y=205
所以第25分钟时注意力更集中。
② y=-t2+24t+100=-(t-12)2+244
所以t=10时,y=240
所以讲课后第10分钟注意力最集中，能持续10分钟。
③当y=180时，可得-t2+24t+100=180
解得：t1=4 t2=20
其中t=20不合题意，应该舍去。
当y=180时，可得-7t+380=180, t=200/7
而200/7-4>24
所以能讲解完该题目。
5、解：（1）图略
（2）①表中值都为200
②y=1/200x2
③由题意可得，当x=18时 y=1.62
而 1.62<1.8
所以货船不能安全通过
y
4
-1
x
A
B
5
O
y
X
X
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26.3.3
实践与探索
根据下列条件求关于x的二次函数的解析式
1.当x=3时，y最小值=-1，且图象过（0，7）;
2.图象过点（0，-2）（1，2）且对称轴为直线 x=1.5;
3.图象经过点（0，1）（1，0）（3，0）;
4.当x=1时，y=0; x=0时,
y=-2，x=2时，y=3;
5. 顶点坐标为（-1，-2）,且通过点（1，10）;
6. 对称轴为x=2,函数的最小值为3,且图象经过点(-1,5).
例1.某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数．
(1)试求y与x之间的关系式；
(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？
例2.如图，有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4。
乙：与x轴两个交点A、B点的横坐标
都是整数。
丙：与y轴的交点C点的纵坐标也是整数，
且S⊿ABC= 3。
请你写出满足上述条件的全部特点的所有的
二次函数的解析式为 。
O
C
A
B
x
y
x=4
例3．抛物线y=ax2+bx+c与x轴的负半轴、正半轴分别相交于点A、点B，与y轴的正半轴相交于点C，且线段OB＝2OC＝2OA
① 求代数式abc的值;
② 若直线y=ax+b,经过点C，
求证：对一切实数x,代数式ax2+bx+c的值不大于
1.如图，直线x= –1是二次函数
的图象的对称轴，则下列代数式abc，a+b+c，b2-4ac，2a-b，3a-b，中负数有（ ）个。
（A）1（B）2
（C）3（D）4
3、如图，在Rt△ABC中，P在斜边上移动，PM⊥BC，PN⊥AC，M、N是垂足，已知AC=1，AB=2，求：何时矩形的面积最大？并求出最大面积。
P
N
M
C
B
A
4、已知二次函数
，
设抛物线顶点为A，与x轴交于B、C两点，问是否存在实数m,使△ABC为等腰直角三角形，如果存在求m;若不存在说明理由。(共14张PPT)
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26.2.1
二次函数y=ax2的
图象和性质
一. 平面直角坐标系:
1. 有关概念:
x(横轴)
y(纵轴)
o
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
P
a
b
(a,b)
2. 平面内点的坐标:
3. 坐标平面内的点与有序
实数对是:
一一对应.
坐标平面内的任意一点M,都有唯一一对
有序实数(x,y)与它对应;任意一对有序实数
(x,y),在坐标平面内都有唯一的点M与它对应.
4. 点的位置及其坐标特征:
①.各象限内的点:
②.各坐标轴上的点:
③.各象限角平分线上的点:
④.对称于坐标轴的两点:
⑤.对称于原点的两点:
x
y
o
(+,+)
(-,+)
(-,-)
(+,-)
P(a,0)
Q(0,b)
P(a,a)
Q(b,-b)
M(a,b)
N(a,-b)
A(x,y)
B(-x,y)
C(m,n)
D(-m,-n)
x
y=x2
y= - x2
...
...
...
...
...
...
0
-2
-1.5
-1
-0.5
1
1.5
0.5
2
函数图象画法
列表
描点
连线
0
0.25
1
2.25
4
0.25
1
2.25
4
描点法
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
0
-0.25
-1
-2.25
-4
-0.25
-1
-2.25
-4
注意：列表时自变量
取值要均匀和对称。
画出下列函数的图象。
x
y=2x2
...
...
...
...
0
-2
-1.5
-1
-0.5
1
1.5
0.5
2
x
y=x2
...
...
...
...
0
-4
-3
-2
-1
2
3
1
4
0
0.5
2
4.5
8
0.5
2
4.5
8
列表参考
0
0.5
2
4.5
8
0.5
2
4.5
8
x
y=2x2
...
...
...
...
0
-3
-1.5
-1
1.5
1
-2
2
3
0
1.5
-6
1.5
-6
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时
所经过的路线，我们把它叫做抛物线。
这条抛物线关于y轴
对称，y轴就是它的
对称轴。
这条抛物线关于y轴
对称，y轴就是它的
对称轴。
这条抛物线关于y轴
对称，y轴就是它的
对称轴。
对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点。
对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点。
对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点。
1、观察右图，
并完成填空。
抛物线
y=x2
y=-x2
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
极值
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方（除顶点外）
在x轴的下方（除顶点外）
向上
向下
当x=0时，最小值为0。
当x=0时，最大值为0。
二次函数y=ax2的性质
１、顶点坐标与对称轴
２、位置与开口方向
３、增减性与极值
2、练习2
3、想一想
在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线
y= -x2的位置有什么关系？ 如果在同一坐标系内
画函数y=ax2与y= -ax2的图象，怎样画才简便？
4、练习4
动画演示
在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线
y= -x2的位置有什么关系？ 如果在同一坐标系内
画函数y=ax2与y= -ax2的图象，怎样画才简便？
答：抛物线抛物线y=x2与抛物线 y= -x2 既关于x轴对称，又关于原点对称。只要画出y=ax2与y= -ax2中的一条抛物线，另一条可利用关于x轴对称或关于原点 对称来画。
当a>0时，在对称轴的
左侧，y随着x的增大而
减小。
当a>0时，在对称轴的
右侧，y随着x的增大而
增大。
当a<0时，在对称轴的
左侧，y随着x的增大而
增大。
当a<0时，在对称轴的
右侧，y随着x的增大而
减小。
当x=-2时，y=4
当x=-1时，y=1
当x=1时，y=1
当x=2时，y=4
当x=-2时，y=-4
当x=-1时，y=-1
当x=1时，y=-1
当x=2时，y=-4
1、抛物线y=ax2的顶点是原点，对称轴是y轴。
2、当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且向上无限伸展；
当a<0时，抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外），它的开口向下，并且向下无限伸展。
3、当a>0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大。当x=0时函数y的值最小。 当a<0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x增大而减小，当x=0时，函数y的值最大。
二次函数y=ax2的性质
2、根据左边已画好的函数图象填空：
（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,
对称轴是 ，在 侧，
y随着x的增大而增大；在 侧，
y随着x的增大而减小，当x= 时，
函数y的值最小，最小值是 ,抛物
线y=2x2在x轴的 方（除顶点外）。
（2）抛物线 在x轴的 方（除顶点外），在对称轴的
左侧，y随着x的 ；在对称轴的右侧，y随着x的
，当x=0时，函数y的值最大，最大值是 ，
当x 0时，y<0.
（0，0）
y轴
对称轴的右
对称轴的左
0
0
上
下
增大而增大
增大而减小
0
1、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得
-8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为
y= -2x2.
（2）因为 ，所以点B（-1 ，-4）
不在此抛物线上。
（3）由-6=-2x2 ,得x2=3,
所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是
y=-2x2
中考语录
一场、两场、三场、四场考试，
最终为了一场中考；
一次、两次、三次、四次痛苦，
最终为了一次微笑。(共13张PPT)
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26.2.5
求二次函数的
函数关系式
二次函数解析式有哪几种表达式？
一般式：y=ax2+bx+c
顶点式：y=a(x-h)2+k
1.若把抛物线y=x2+bx+c向左平移2个单位,再向上平
移3个单位,得抛物线y = x2 - 2x+1,则
A.b=2 B.b= - 6 , c= 6
C.b= - 8 D.b= - 8 , c= 18
2.若一次函数 y= ax + b 的图象经过第二、三、四象限，
则二次函数y = ax2 + bx - 3的大致图象是 ( )
( )
B
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
A
B
C
D
-3
-3
-3
-3
C
3.在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c的大致图象可能是 （ ）
C
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
A
B
C
D
应用1
用6 m长的铝合金型材做一个形状如
图所示的矩形窗框．应做成长、宽各为
多少时，才能使做成的窗框的透光面积
最大？最大透光面积是多少？
如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，
求（1）以这一部分抛物线为图
象的函数解析式，并写出x的取
值范围；
（2） 有一辆宽2.8米，高3米的
农用货车（货物最高处与地面AB
的距离）能否通过此隧道？
O
x
y
A
B
C
如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛
物线型（曲线AOB）的薄壳屋顶．它的
拱宽AB为4 m，拱高CO为0.8 m．施
工前要先制造建筑模板，怎样画出模板
的轮廓线呢？
例1.已知一个二次函数的图象过点
（0，1），它的顶点坐标是（8，9），
求这个二次函数的关系式．
例2.已知二次函数的图象过（0，1）、
（2，4）、（3，10）三点，求这个二次
函数的关系式．
已知抛物线与x轴交于A（－1，0），
B（2,0）并经过点M(0,1），求抛物
线的解析式？
两根式：y=a(x-x1)(x-x2)
例3
1.已知二次函数的图象过点(- 2,0),
在y轴上的截距为- 3,对称轴 x=2,
求它的解析式.
2.抛物线y=x2-2(m+1)x+n过点
(2,4),且其顶点在直线y=2x+1上,
(1)求这抛物线的解析式.
(2)求直线y=2x+1与抛物线的对称
轴x轴所围成的三角形的面积.
二次函数解析式的几种表达式
一般式：y=ax2+bx+c
顶点式：y=a(x-h)2+k
两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(共28张PPT)
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26.3.4
实践与探索
(1)二次函数 的图象
如图所示，则a 0， b 0， c 0
(2)二次函数 的图象
如图所示，那么下列四个结论：
<0 ；② >0
③ >0 ;④ <0中，
正确的结论有( )个
(3) 已知：抛物线 （a＜0）
经过点(－1，0),且满足4a＋2b＋c＞0．
以下结论：
①a＋b＞0；②a＋c＞0；
③－a＋b＋c＞0；④ ＞ 0 ．
其中正确的个数有（ ）个
4.抛物线 过第
二、三、四象限，则 0， 0， 0．
(1)抛物线 过第一、
二、四象限，则 0, 0， 0．
(2)已知抛物线 与 轴
的交点都在原点的右侧，则点M（ ）
在第 象限．
5.二次函数 的图象如图
所示，
则a 0，
b 0，
c 0，
b2-4ac 0，
a＋b＋c 0，
a－b＋c 0；
6.已知二次函数 中
，则此函数的图象
不经过第 象限
(1)已知二次函数 中
，则此函数的图象不经
过第 象限
7.已知抛物线 经过三点
A（2，6），B（－1，2），C（0，1）
，那么它的解析式是 ，
(1)已知二次函数图象经过（－1，10）,
（2，7）和（1，4）三点，这个函数的
解析式是 .
(2) 若抛物线与x轴交于点（－1，0）和
（3，0），且过点（0， ），那么抛物
线的解析式是
8.已知抛物线经过三个点A（2，6），
B（－1，0），C（3，0），那么二次
函数的解析式是 ，
它的顶点坐标是
(1)抛物线与x轴的两个交点的横坐标是
－3和1，且过点（0， ），此抛物线
的解析式是
9. 已知二次函数的图象顶点坐标（2,1）
，且与x 轴相交两点的距离为2，则其
表达式为 .
10.抛物线的顶点为（－1，－8），它与
x轴的两个交点间的距离为4，此抛物线
的解析式是 .
(1)设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
M
N
40cm
30cm
A
B
C
D
┐
(1)设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
A
B
C
D
┐
M
N
40cm
30cm
xcm
bcm
(1).如果设矩形的一边AD=xcm,那么AB边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
A
B
C
D
┐
M
N
40cm
30cm
bcm
xcm
(1).设矩形的一边BC=xcm,那么AB边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.
A
B
C
D
┐
M
N
P
40cm
30cm
xcm
bcm
H
G
┛
┛
何时窗户通过的光线最多
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m) 此时,窗户的面积是多少
x
x
y
1.理解问题;
“二次函数应用” 的思路
回顾上一节“最大利润”和本节“最大面积”解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流.
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;
3.用数学的方式表示出它们之间的关系;
4.做数学求解;
5.检验结果的合理性,拓展等.
结束寄语
不知道并不可怕和有害,任何人都不可能什么都知道,可怕的和有害的是不知道而伪装知道.(共14张PPT)
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26.3.2
实践与探索
二次函数解析式的几种表达式
一般式：y=ax2+bx+c
顶点式：y=a(x-h)2+k
两根式：y=a(x-x1)(x-x2)
你能否画出适当的函数图象，求方程
的解？
2.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，判断以下各式的值是正值还是负值: (1)a；(2)b；
(3)c；(4)b2-4ac；
(5)2a＋b；
(6)a＋b＋c；
(7)a-b＋c;
(8)a+2b+4c.
3.已知：二次函数
y=x2+2ax-2b+1和
y=-x2+(a-3)x+b2-1
的图象都经过x轴上两个不同的点M、N，求 a，b的值．
4.如果抛物线y= -x2+2(m-1)x+m+1与x轴交于A、B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b．
(1)求m的取值范围；
(2)若a∶b=3∶1，求m的值，并写出此时抛物线的解析式；
(3)设(2)中的抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点是M，问：抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于△BCM面积的8倍？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
5.某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数．
(1)试求y与x之间的关系式；
(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？
1.如图，有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4。
乙：与x轴两个交点A、B点的横坐标
都是整数。
丙：与y轴的交点C点的纵坐标也是整数，
且S⊿ABC= 3。
请你写出满足上述条件的全部特点的所有的
二次函数的解析式为 。
O
C
A
B
x
y
x=4
2．抛物线y=ax2+bx+c与x轴的负半轴、正半轴分别相交于点A、点B，与y轴的正半轴相交于点C，且线段OB＝2OC＝2OA
① 求代数式abc的值;
② 若直线y=ax+b,经过点C，
求证：对一切实数x,代数式ax2+bx+c的值不大于(共9张PPT)
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二次函数的
图象和性质2
26.2.2
1.用描点法画出y=-2x2的图象，并指出它的开口方向、对称轴以及顶点坐标。
例题1：参照下表画出函数y=x2+1与y=x2-1的图象。
x
y=x2+1
y=x2-1
...
...
...
...
...
...
0
...
-2
-1
2
3
1
...
...
...
-3
...
...
10
5
2
1
2
5
8
10
3
0
3
8
-1
0
y=x2-1
y=x2+1
想一想：三条抛物线
有什么关系？
答：形状相同，位置不同。
三个图象之间通过沿y轴平
移可重合。
动画演示
画出下列函数的图象，
观察他们的位置关系，
说出它们的开口方向、
对称轴、顶点的位置。
能说出抛物线
的开口方向及对称轴、
顶点的位置吗？
小结
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=ax2(a>0)
y=ax2+k(a>0)
y=ax2(a<0)
y=ax2+k(a<0)
小 结
向上
向上
向下
向下
Y 轴
Y 轴
Y 轴
Y 轴
（0，0）
（0，k）
（0，0）
（0，k）
x
y=-1/2(x+1)2
...
...
...
...
...
...
0
...
-3
-2
-1
2
3
1
...
y=-1/2(x-1)2
-2
-0.5
0
-0.5
-2
-4.5
-4.5
-2
-0.5
0
-0.5
-2
x=-1
x=1
想一想：三条抛物线
有什么关系？
答：形状相同，位置不同。
三个图象之间通过沿x轴平
移可重合。
画出下列函数的图象，
观察他们的位置关系，
说出它们的开口方向、
对称轴、顶点的位置。
能说出抛物线
的开口方向及对称轴、
顶点的位置吗？
小结
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=ax2(a>0)
y=a(x-h)2(a>0)
y=ax2(a<0)
y=a(x+h)2(a<0)
小 结
向上
向上
向下
向下
Y轴
X = -h
Y轴
X = h
（0，0）
（h，0）
（0，0）
（-h，0）
中考语录
中考是一场跳高比赛，取胜关键在于你起跳时对大地用力多少!(共13张PPT)
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26.2.4
二次函数的
图象和性质
回答问题:
说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标：
函数y=ax +bx+c的对称轴，顶点坐标是什么？
回答问题:
1. 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标：
例：指出抛物线:
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标。并画出草图。
对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口
方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴
的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交点时）
，这样就可以画出它的大致图象。
指出下列抛物线的开口方向、求出
它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交
点坐标、与x轴的交点坐标。并画出
草图。
B
1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在 （ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.不论k 取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0)的
顶点都在
A.直线y = x上 B.直线y = - x上
C.x轴上 D.y轴上
3.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a的值是
4 B. -1 C. 3 D.4或-1
4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x
轴的一个交点为(1,0),则下列
各式中不成立的是( )
A.b2-4ac>0 B.abc>0
C.a+b+c=0 D.a-b+c<0
1
C
A
x
y
o
-1
B
( )
（ ）
5.若把抛物线y=x2+bx+c向左平移2个单位,再向上平
移3个单位,得抛物线y = x2 - 2x+1,则
A.b=2 B.b= - 6 , c= 6
C.b= - 8 D.b= - 8 , c= 18
6.若一次函数 y= ax + b 的图象经过第二、三、四象限，
则二次函数y = ax2 + bx - 3的大致图象是 ( )
( )
B
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
A
B
C
D
-3
-3
-3
-3
C
7.在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c的大致图象可能是 （ ）
C
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
A
B
C
D
应用
用6 m长的铝合金型材做一个形状如
图所示的矩形窗框．应做成长、宽各为
多少时，才能使做成的窗框的透光面积
最大？最大透光面积是多少？
如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，
求（1）以这一部分抛物线为图
象的函数解析式，并写出x的取
值范围；
（2） 有一辆宽2.8米，高1米的
农用货车（货物最高处与地面AB
的距离）能否通过此隧道？
O
x
y
A
B
C
O
x
y
A
B
C
