八年级数学上分层优化堂堂清（3）11.1.3 三角形的稳定性（含解析）

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八年级数学上分层优化堂堂清
十一章 三角形
11.1与三角形有关的线段
11.1.3 三角形的稳定性
学习目标：
1.了解三角形的稳定性.
2.了解三角形的稳定性和四边形不稳定性在实际生活中的应用.
老师对你说：
一、三角形的稳定性
三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.
三角形稳定性中的一些注意点：
（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．
（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．
二、四边形没有稳定性
四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：三角形的稳定性
【例1-1】如图是一个起重机的示意图，在起重架中间增加了很多斜条，它所运用的几何原理是（ ）
A．三角形两边之和大于第三边
B．三角形具有稳定性
C．三角形两边之差小于第三边
D．直角三角形的性质
【例1-2】下列是利用了三角形的稳定性的有_______个．
①自行车的三角形车架；②校门口的自动伸缩栅栏门；③照相机的三脚架；④长方形门框的斜拉条
【例1-3】我国建造的港珠澳大桥全长公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是（ ）
A．三角形的内角和为 B．三角形的稳定性
C．两点之间线段最短 D．垂线段最短
知识点2：四边形的不稳定性
【例2-1】四边形具有不稳定性，如图，挤压矩形ABCD，会产生变形，得到四边形EBCF，则在这个变化过程中，关于矩形ABCD的周长和面积，下列说法正确的是（ ）
A．周长和面积都不变 B．周长不变，面积变小
C．周长变小，面积不变 D．周长变小，面积变小
【例2-2】学校、工厂、企业等单位的大门都是收缩性大门，这种门的门体可以伸缩自由移动，以此来控制门的大小．这种方法应用的数学知识是（ ）

A．三角形的稳定形 B．四边形的不稳定性
C．勾股定理 D．黄金分割
【例2-3】下列图形中，不具有稳定性的是（ ）
B． C． D．
能力强化提升训练
1 .如图，王师傅用根木条钉成一个四边形木架，要使这个木架不变形，他至少要再订木条的根数是( )
A. B. C. D.
2. 四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上 根木条；
五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上 根木条；
六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上 根木条；
边形不具有稳定性，要使边形木架不变形，至少要再钉上 根木条．
如图这是一个由七根长度相等木条钉成的七边形木框．为使其稳定，请用四根木条（长短不限）将这个木框固定不变形，请你设计出三种方案．
堂堂清
填空题（每小题4分，共32分）
如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩即可固定，这里所用的数学道理是（ ）
A．两定确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性 D．垂线段最短
2. 如图，空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是( )
A. 三角形两边之差小于第三边 B. 三角形两边之和大于第三边
C. 垂线段最短 D. 三角形的稳定性
3. 盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，利用的几何原理是( )
A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短
C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短
4 .要使下面的木架不变形，至少需要再钉上几根木条？（ 　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
5 .下列图形中不具备稳定性的是（ ）
A．B．C． D．
6 .如图，在中，已知点，分别为边，上的中点，且，则的值为( )
A. B. C. D.
7 .如图所示，△ABD的边BD上的高是（　　）
A．线段AE B．线段DE C．线段AC D．线段BE
如图，在直角三角形中，，，，，则点到的距离是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．
填空题（每小题4分，共20分）
9 .如图，为了安全，建筑工地上的塔吊上部设计成三角形结构，这是利用了三角形的_____性．
10 .下列是利用了三角形的稳定性的有_______个．
①自行车的三角形车架；②校门口的自动伸缩栅栏门；③照相机的三脚架；④长方形门框的斜拉条
11 .如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为30cm，AB比AC长4cm，则△ACD的周长为 　__________　．
12 .如图，要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉 　　条木条．
13 .在△ABC中，CM是AB边上的中线，已知BC﹣AC＝8cm，且△MBC的周长为30cm，则△AMC的周长为　　cm．
解答题（共6小题，48分）
14 .（6分）下列图形中哪些具有稳定性？
15 （10分）.如图（1）扭动三角形木架， 它的形状会改变吗？
如图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变吗？
如图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状会改变吗？为什么？
归纳：①三角形木架的形状______，说明三角形具有______；
②四边形木架的形状______说明四边形没有______．
16 .（8分）如图，在中，，是边上的高，且，，．
求：的面积；的长
17. （8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．
（1）若∠C＝70°，∠B＝40°，求∠DAE的度数
（2）若∠C﹣∠B＝30°，则∠DAE＝　15°　．
（3）若∠C﹣∠B＝α（∠C＞∠B），求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）．
（8分）图1是一张三角形纸片．将对折使得点与点重合，如图2，折痕与的交点记为．
（1）请在图2中画出的边上的中线．
（2）若，，求与的周长差．
19 .（8分）如图，AD、BE分别是△ABC的高，AF是角平分线．
（1）若∠ABC=35°，∠C=75°，求∠DAF的度数；
（2）若AC=4，BC=6．求AD与BE的比．

拓展培优*冲刺满分
如图，点C为直线外一动点，，连接，点D、E分别是的中点，连接交于点F，当四边形的面积为5时，线段长度的最小值为______．
2.如图，为轴正半轴上一动点，，，且，满足，．
(1) 求的面积；
(2) 求点到的距离；
(3) 如图，若，轴于点，点从点出发，在射线上运动，同时另一动点从点出发向点A运动，到点A时两点停止运动，，的速度分别为个单位长度秒，个单位长度秒，当时，求点的坐标．
八年级数学上分层优化堂堂清
十一章 三角形
11.1与三角形有关的线段
11.1.3 三角形的稳定性（解析版）
学习目标：
1.了解三角形的稳定性.
2.了解三角形的稳定性和四边形不稳定性在实际生活中的应用.
老师对你说：
一、三角形的稳定性
三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.
三角形稳定性中的一些注意点：
（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．
（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．
二、四边形没有稳定性
四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：三角形的稳定性
【例1-1】如图是一个起重机的示意图，在起重架中间增加了很多斜条，它所运用的几何原理是（ ）
A．三角形两边之和大于第三边
B．三角形具有稳定性
C．三角形两边之差小于第三边
D．直角三角形的性质
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形的稳定性即可求解．
【详解】
由图可知它所运用的几何原理是三角形具有稳定性
故选B．
【例1-2】下列是利用了三角形的稳定性的有_______个．
①自行车的三角形车架；②校门口的自动伸缩栅栏门；③照相机的三脚架；④长方形门框的斜拉条
【答案】3
【解析】
【分析】
只要三角形的三边确定，则三角形的大小唯一确定，即三角形的稳定性．
【详解】
解：①自行车的三角形车架，利用了三角形的稳定性；
②校门口的自动伸缩栅栏门，利用了四边形的不稳定性；
③照相机的三脚架，利用了三角形的稳定性；
④长方形门框的斜拉条，利用了三角形的稳定性．
故利用了三角形稳定性的有3个．
故答案为：3．
【点评】此题考查了三角形的特性：稳定性，应注意在实际生活中的应用．
【例1-3】我国建造的港珠澳大桥全长公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是（ ）
A．三角形的内角和为 B．三角形的稳定性
C．两点之间线段最短 D．垂线段最短
【答案】B
【分析】根据三角形的稳定性即可求解．
【详解】解：依题意，斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的稳定性，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的稳定性，掌握三角形的稳定性是解题的关键．
知识点2：四边形的不稳定性
【例2-1】四边形具有不稳定性，如图，挤压矩形ABCD，会产生变形，得到四边形EBCF，则在这个变化过程中，关于矩形ABCD的周长和面积，下列说法正确的是（ ）
A．周长和面积都不变 B．周长不变，面积变小
C．周长变小，面积不变 D．周长变小，面积变小
【答案】B
【解析】
【分析】
平面图形的周长就是围成它的所有线段的长度和；将长方形拉成平行四边形后，每个边的长度不变，所以它的周长就不变，但是它的高变小了，因此面积就变小了．
【详解】
解：因为把长方形拉成平行四边形后，每个边的长度不变，所以它的周长就不变；但是平行四边形的高比长方形的宽变小了，所以平行四边形的面积就变小了．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查周长的定义及长方形和平行四边形的面积公式，解题的关键是动手操作观察即可知答案，理解它们的面积．
【例2-2】学校、工厂、企业等单位的大门都是收缩性大门，这种门的门体可以伸缩自由移动，以此来控制门的大小．这种方法应用的数学知识是（ ）

A．三角形的稳定形 B．四边形的不稳定性
C．勾股定理 D．黄金分割
【答案】B
【分析】由题意可知收缩大门可以伸缩自由移动，这是根据四边形的不稳定性．
【详解】由题意可知收缩大门可以伸缩自由移动，这是根据四边形的不稳定性．
故选：B
【点评】本题考查四边形的不稳定性，抓住题意的关键词从而解决问题．
【例2-3】下列图形中，不具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形具有稳定性进行解答即可．
【详解】A．选项为多个三角形组成的图形，属于三角形结构，故具有稳定性，不符合题意，故错误
B．选项为三个三角形组成的图形，属于三角形结构，故具有稳定性，不符合题意，故错误
C．选项为二个三角形组成的图形，属于三角形结构，故具有稳定性，不符合题意，故错误
D．选项为四边形，非三角形结构，故不具有稳定性，符合题意，故正确
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
能力强化提升训练
1 .如图，王师傅用根木条钉成一个四边形木架，要使这个木架不变形，他至少要再订木条的根数是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形的稳定性可得答案．
此题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
【解答】
解：如图所示：
要使这个木架不变形，他至少还要再钉上根木条，
故选：．
2. 四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上 根木条；
五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上 根木条；
六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上 根木条；
边形不具有稳定性，要使边形木架不变形，至少要再钉上 根木条．
【答案】
【解析】边形可从一个顶点与剩余的顶点相连构成三角形，从而具有稳定性
如图这是一个由七根长度相等木条钉成的七边形木框．为使其稳定，请用四根木条（长短不限）将这个木框固定不变形，请你设计出三种方案．
【答案】见解析
【解析】
【详解】
三种方案如图所示：
堂堂清
填空题（每小题4分，共32分）
如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩即可固定，这里所用的数学道理是（ ）
A．两定确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性 D．垂线段最短
【答案】C
【分析】根据加上窗钩，可以构成三角形的形状，故可用三角形的稳定性解释．
【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用．
2. 如图，空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是( )
A. 三角形两边之差小于第三边 B. 三角形两边之和大于第三边
C. 垂线段最短 D. 三角形的稳定性
【答案】D
【解析】
【分析】
钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性．
本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．
【解答】
解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故选：．
3. 盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，利用的几何原理是( )
A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短
C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短
【答案】A
【解析】
【分析】
在窗框上斜钉一根木条，构成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
【解答】
解：盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样就构成了三角形，故这样做的数学道理是三角形的稳定性．
故选：．
4 .要使下面的木架不变形，至少需要再钉上几根木条？（ 　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【分析】根据三角形具有稳定性，六边形转化成三角形即可得出答案．
【详解】解：根据三角形的稳定性可知，要使六边形木架不变形，至少要再钉上3根木条．
故答案选：C
【点评】本题主要考查的是三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
5 .下列图形中不具备稳定性的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
三角形具有稳定性，只要选项中的图形可以分解成三角形，则图形就有稳定性，据此即可确定．
【详解】
解：A、可以看成两个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误；
B、可以看成三个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误；
C、可以看成一个三角形和一个四边形，而四边形不具有稳定性，则这个图形一定不具有稳定性，故本选项正确；
D、可以看成7个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的稳定性，正确理解各个图形具有稳定性的条件是解题的关键．
6 .如图，在中，已知点，分别为边，上的中点，且，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查的是三角形的中线，三角形的面积有关知识，首先根据为的中点，可得、分别是、的中线，然后根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分，可得，，所以，据此求出的值为多少即可．
【解答】
解：为的中点，
、分别是、的中线，
、，
，
即的值为．
故选A．
7 .如图所示，△ABD的边BD上的高是（　　）
A．线段AE B．线段DE C．线段AC D．线段BE
解：△ABD的边BD上的高是线段AC，
故选：C．
如图，在直角三角形中，，，，，则点到的距离是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．
【答案】D
【分析】根据面积相等即可求出点C到的距离．
解：∵在直角三角形中，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：D．
【点拨】本题考查点到直线的距离，求直角三角形斜边上的高，用面积法列出关系式是解题关键．
填空题（每小题4分，共20分）
9 .如图，为了安全，建筑工地上的塔吊上部设计成三角形结构，这是利用了三角形的_____性．
【答案】稳定
【解析】
【分析】
利用三角形的稳定性进行解答即可．
【详解】
解：为了安全，建筑工地上的塔吊上部设计成三角形结构，这是利用了三角形的稳定性，
故答案为：稳定．
【点评】此题考查了三角形稳定性的特性，理解三角形的稳定性是解题的关键．
10 .下列是利用了三角形的稳定性的有_______个．
①自行车的三角形车架；②校门口的自动伸缩栅栏门；③照相机的三脚架；④长方形门框的斜拉条
【答案】3
【解析】
【分析】
只要三角形的三边确定，则三角形的大小唯一确定，即三角形的稳定性．
【详解】
解：①自行车的三角形车架，利用了三角形的稳定性；
②校门口的自动伸缩栅栏门，利用了四边形的不稳定性；
③照相机的三脚架，利用了三角形的稳定性；
④长方形门框的斜拉条，利用了三角形的稳定性．
故利用了三角形稳定性的有3个．
故答案为：3．
【点评】此题考查了三角形的特性：稳定性，应注意在实际生活中的应用．
11 .如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为30cm，AB比AC长4cm，则△ACD的周长为 　__________　．
解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∵△ABD的周长为30cm，
∴AB+AD+BD＝30cm，
∴AB+AD+DC＝30cm，
∵AB比AC长4cm，
∴AB＝AC+4cm，
∴AC+4cm+AD+DC＝30cm，
∴AC+AD+DC＝26cm，
∴△ACD的周长＝AC+AD+DC＝26cm．
故答案为：26cm．
12 .如图，要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉 　3　条木条．
解：再钉上三根木条，就可以使六边形分成四个三角形．故至少要再钉三根木条．
13 .在△ABC中，CM是AB边上的中线，已知BC﹣AC＝8cm，且△MBC的周长为30cm，则△AMC的周长为　22　cm．
解：根据三角形的中线定义，可知分对边的两条线段相等．
又BC﹣AC＝8cm，
故△AMC的周长比△MBC的周长小8cm，
则△AMC的周长为22cm．
解答题（共6小题，48分）
14 .（6分）下列图形中哪些具有稳定性？
【答案】（1）（4）（6）中的图形具有稳定性．
【解析】
【分析】
根据三角形的稳定性可直接进行求解．
【详解】
解：具有三角形稳定性的有（1）（4）（6）．
【点评】
本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．
15 （10分）.如图（1）扭动三角形木架， 它的形状会改变吗？
如图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变吗？
如图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状会改变吗？为什么？
归纳：①三角形木架的形状______，说明三角形具有______；
②四边形木架的形状______说明四边形没有______．
【答案】图（1）扭动三角形木架， 它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性；
图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变，四边形不稳定；
图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性；
归纳：①是三角形， 稳定性；②四边形， 稳定性 ．
【解析】
【分析】
①根据三角形的稳定性进行解答即可；
②根据四边形的不稳定性进行解答即可．
【详解】
图（1）扭动三角形木架， 它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性；
图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变，四边形不稳定；
图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性；
归纳：
①由三角形具有稳定性知， 三角形木架的形状不会改变， 这说明三角形具有稳定性 ．
故答案为： 是三角形， 稳定性；
②四边形木架的形状是四边形， 四边形具有不稳定性 ．
故答案为： 四边形， 稳定性 ．
【点评】本题考查的是三角形的稳定性，三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题，比较简单．
16 .（8分）如图，在中，，是边上的高，且，，．
求：的面积；的长．
【答案】解：的面积；
的面积，
．
【解析】本题考查三角形的面积的计算方法．
根据三角形的面积公式，即可得出结果；
根据三角形的面积的计算方法求出斜边上的高．
17. （8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．
（1）若∠C＝70°，∠B＝40°，求∠DAE的度数
（2）若∠C﹣∠B＝30°，则∠DAE＝　15°　．
（3）若∠C﹣∠B＝α（∠C＞∠B），求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）．
解：（1）由已知可得，∠BAC＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴∠CAD＝20°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝35°﹣20°＝15°；
（2）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C）＝90°﹣（∠B+∠C），
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°，
而∠ADE＝∠B+∠BAD，
∴∠BAD＝90°﹣∠B，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝（90°﹣∠B）﹣[90°﹣（∠B+∠C）]＝（∠C﹣∠B），
∵∠C﹣∠B＝30°，
∴∠DAE＝×30°＝15°，
故答案为：15°；
（3）∵∠C﹣∠B＝α，
∴∠DAE＝×α＝．
（8分）图1是一张三角形纸片．将对折使得点与点重合，如图2，折痕与的交点记为．
（1）请在图2中画出的边上的中线．
（2）若，，求与的周长差．
（1）见分析；（2）
【分析】（1）由翻折的性质可知BD＝DC，然后连接AD即可；
（2）由BD＝DC可知△ABD与△ACD的周长差等于AB与AC的差．
解：（1）如图，线段即为所求．
（2），
的周长的周长
．
【点拨】本题主要考查的是翻折的性质，由翻折的性质得到BD＝DC是解题的关键．
19 .（8分）如图，AD、BE分别是△ABC的高，AF是角平分线．
（1）若∠ABC=35°，∠C=75°，求∠DAF的度数；
（2）若AC=4，BC=6．求AD与BE的比．

【答案】（1）；（2）2：3
【分析】（1）根据题意易得，，然后根据角的和差关系可求解；
（2）根据等积法可得，然后根据题意可进行求解．
解：（1）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵是的高，
∴，
∴；
（2）∵分别是的高，
∴，
∵，
∴，
即．

【点拨】本题主要考查三角形的高线、中线及角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线及角平分线的定义是解题的关键．
拓展培优*冲刺满分
如图，点C为直线外一动点，，连接，点D、E分别是的中点，连接交于点F，当四边形的面积为5时，线段长度的最小值为______．
【答案】5
【分析】如图：连接，过点C作于点H，根据三角形中线的性质求得，从而求得，利用垂线段最短求解即可．
解：如图：连接，过点C作于点H，

∵点D、E分别是的中点，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵点到直线的距离垂线段最短，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：5．
【点拨】本题考查了三角形中线的性质、垂线段最短等知识点，正确作出辅助线、利用中线分析三角形的面积关系是解题的关键．
2.如图，为轴正半轴上一动点，，，且，满足，．
(1) 求的面积；
(2) 求点到的距离；
(3) 如图，若，轴于点，点从点出发，在射线上运动，同时另一动点从点出发向点A运动，到点A时两点停止运动，，的速度分别为个单位长度秒，个单位长度秒，当时，求点的坐标．
【答案】(1)；(2)点到的距离为；(3)或
【分析】（1）先根据算术平方根和二次方的非负性求出，，得出，，即可得出答案；
（2）过点作于，根据等积法求出即可；
（3）由三角形的面积关系列出方程，即可求解．
（1）解：∵，，，
∴，，
，，
点，点，
，，
∴；
（2）解：如图，过点作于，

∵，
∴；
点到的距离为；
（3）解：设运动时间为秒，则，，其中，
∴，
∵，
，
，
，
解得：，，
，
运动时间为秒或秒．
当时，，
，
；
当时，，
，
．
综上所述，或．
【点拨】本题是三角形综合题，考查了坐标与图形的性质，算术平方根和平方的非负性，三角形的面积公式等知识，求出的长是解题的关键．
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