八年级数学上分层优化堂堂清（4）11.2.1 第一课时 三角形的内角（含解析）
文档属性
| 名称 | 八年级数学上分层优化堂堂清（4）11.2.1 第一课时 三角形的内角（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 4.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-10 20:57:48 | ||
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文档简介
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八年级数学上分层优化堂堂清
十一章 三角形
11.2与三角形有关的角
11.2.1 第一课时 三角形的内角
学习目标：
1.阐述并验证三角形内角和定理.
2.会用三角形内角和探索直角三角形性质与判定.
3.会运用三角形内角和定理进行计算.
老师对你说：
三角形内角和定理
◆1. 三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
◆2.三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
◆3.三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
◆4.三角形内角和定理的应用：主要用在求三角形中角的度数．
①直接根据两已知角求第三个角；
②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：三角形的内角和
【例1-1】在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B和∠C的度数．
【例1-2】在△ABC中，∠A＝80°，∠B是∠C的4倍，则∠B等于（ ）
A．85° B．80° C．75° D．70°
知识点2：三角形的内角和应用
【例2-1】如图，直线，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，若，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】如图，在中，，，平分，平分，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【例2-3】如图，将沿着平行于的直线折叠，得到，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
能力强化提升训练
1.如图，在中，D、E、F三点分别在上，过点D的直线与线段相交于点M，已知
(1)说明：
(2)若，，，求的度数．
2.如图所示的几何图形，的度数为（ ）
A． B． C． D．
3.将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，则∠5的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AC于点E，交DA的延长线于点F，若∠ABC＝22°，∠C＝34°，求∠F的度数．
堂堂清
填空题（每小题4分，共32分）
已知，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝80°，则∠B＝（ ）
A．60° B．30° C．20° D．40°
在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，点E是AB上一点，且DE∥CB．若∠A＝60°，∠C＝70°，则∠BDE的大小为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
3.如图，直线，且于点，若，则的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
4.如图，在中，，，平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
一个缺角的三角形ABC残片如图所示，量得∠A＝60°，∠B＝75°，则这个三角形残缺前的∠C的度数为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．40°
如图，直线，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，，垂足为C．若，则（ ）
A．52° B．45° C．38° D．26°
如图，李明同学在东西方向的滨海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，他向东走400米至B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上，则从灯塔P观测A．B两处的视角∠P的度数是（ ）
A．30° B．32° C．35° D．40°
如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，这个关系是（ ）
A． B．
C． D．
填空题（每小题4分，共20分）
已知△ABC中，∠B＝2∠A，∠C＝∠A+40°，则∠A的度数为 ．
10.将一副直角三角板按如图所示位置摆放（∠D＝∠ECF＝90°），点C在直角边BD上，点F在直角边AD上，若∠AFE＝160°，则∠BCE＝
11 .如图，在中，，平分，若，，则的度数为_____________．
12 .如图，△ABC中，∠A＝54°，∠B＝46°，点D、E分别在AB、AC上，连接DE并延长，交BC的延长线于F，若∠F＝25°，则∠1的度数为 ．
13 .如图，在中，沿折叠，点落在三角形所在的平面内的处， 若，，则_________．
解答题（共6小题，48分）
14.（6分）如图，△ABC中，∠ABC：∠C＝5：7，∠C比∠A大10°，BD是△ABC的高，求∠A与∠CBD的度数．
15.（8分）如图，在中，是的平分线，高与相交于点．若，．求：
(1)的度数；
(2)的度数．
（8分）如图，点为的内角平分线与的交点，求证：．
17.（8分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AC于点E，交DA的延长线于点F，若∠ABC＝22°，∠C＝34°，求∠F的度数．
18.（8分）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，已知：如图，,求证：
方法一证明：如图，过点A作 方法二证明：如图，过点C作
19 .（10分）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD．
（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）如图2，∠CAB与∠BDC的平分线AP、DP相交于点P，求证：∠B+∠C＝2∠P．
拓展培优*冲刺满分
1.在锐角△ABC中，AC边上的高所在直线和AB边上的高所在直线的交点为P，∠BPC＝110°，求∠A的度数．
（2）如图1，AF和CE分别平分∠BAD和∠BCD，当点D在直线AC上时，且B、P、D三点共线，∠APC＝100°，则∠B＝ ．
（3）在（2）的基础上，当点D在直线AC外时，如图2：∠ADC＝130°，∠APC＝100°，求∠B的度数．
2.阅读材料：我们知道，探究不规则图形的角之间的关系时，可以通过辅助线将不规则图形转化为三角形，利用三角形内角和与内外角的关系获得结论．如图1，想要找到∠BDC与∠A+∠B+∠C之间的关系时，通过连接AD并延长到点E，得到△ABD和△ADC，进而求得∠BOC＝∠A+∠B+∠C．请你应用材料中的方法，探究图2中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
3.我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与∠COD为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B＝∠C+∠D．
性质理解：
（1）如图1，在“对顶三角形”△AOB与∠COD中，则∠AOB＝70°，则∠C+∠D＝ 110 °．
性质应用：
（2）如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C＝60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度数．
拓展提高：
（3）如图3，BE、CD是△ABC的角平分线，且∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，设∠A＝α，直接写出∠P的度数（用含α的式子表示∠P）．
八年级数学上分层优化堂堂清
十一章 三角形
11.2与三角形有关的角
11.2.1 第一课时 三角形的内角（解析版）
学习目标：
1.阐述并验证三角形内角和定理.
2.会用三角形内角和探索直角三角形性质与判定.
3.会运用三角形内角和定理进行计算.
老师对你说：
三角形内角和定理
◆1. 三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
◆2.三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
◆3.三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
◆4.三角形内角和定理的应用：主要用在求三角形中角的度数．
①直接根据两已知角求第三个角；
②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：三角形的内角和
【例1-1】在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B和∠C的度数．
【分析】题中给出两个条件：∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C＝180°就可以求出∠A，∠B和∠C的度数．
【解析】
解：由∠A+∠B＝80°及∠A+∠B+∠C＝180°，
知∠C＝100°．
又∵ ∠C＝2∠B，
∴ ∠B＝50°．
∴ ∠A＝80°-∠B＝80°-50°＝30°．
【点评】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C＝180°．本题可以设∠B＝x，则∠A＝80°-x，∠C＝2x建立方程求解．
【例1-2】在△ABC中，∠A＝80°，∠B是∠C的4倍，则∠B等于（ ）
A．85° B．80° C．75° D．70°
【分析】根据题意设∠C是x°，则∠B就是4x°，根据内角和为180°可列式为80°+x+4x＝180°，解得x，即可求解．
【解答】解：设∠C是x°，则∠B就是4x°，根据题意可得：
80°+x+4x＝180°，
解得：x＝20，
20×4＝80（度），
∴∠B＝80°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，熟练使用三角形内角关系和三角形内角和定理是解决本题的关键．
知识点2：三角形的内角和应用
【例2-1】如图，直线，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，若，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义求出∠6和∠7的度数，再利用平行线的性质以及三角形内角和求出∠3，∠8，∠2的度数，最后利用邻补角互补求出∠4和∠5的度数．
【详解】
首先根据三角尺的直角被直线m平分，
∴∠6=∠7=45°；
A、∵∠1=60°，∠6=45°，∴∠8=180°-∠1-∠6=180-60°-45°=75°，m∥n，∴∠2=∠8=75°结论正确，选项不合题意；
B、∵∠7=45°，m∥n，∴∠3=∠7=45°，结论正确，选项不合题意；
C、∵∠8=75°，∴∠4=180-∠8=180-75°=105°，结论正确，选项不合题意；
D、∵∠7=45°，∴∠5=180-∠7=180-45°=135°，结论错误，选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和，邻补角互补，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
【例2-2】如图，在中，，，平分，平分，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用角平分线的定义先求得和的大小，然后利用三角形的内角和定理即可得到答案．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，．
由三角形的内角和定理可知：
．
故选；B．
【点评】本题主要考查的是角平分线的定义、三角形的内角和定理，掌握角平分线的定义和三角形的内角和定理是解题的关键．
【例2-3】如图，将沿着平行于的直线折叠，得到，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得，结合三角形内角和定理可得，最后根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：由题意得，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质和折叠的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
能力强化提升训练
1.如图，在中，D、E、F三点分别在上，过点D的直线与线段相交于点M，已知
(1)说明：
(2)若，，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【思路点拨】（1）根据邻补角及题意得出，再由平行线的判定证明即可；
（2）根据平行线的判定和性质得出，再由三角形内角和定理求解即可．
【规范解答】（1）证明：∵，
∴
∴；
（2）∵，
∴，
∵
∴ ，
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
【考点评析】题目主要考查平行线的判定和性质及三角形内角和定理，找准各角之间的关系是解题关键．
2.如图所示的几何图形，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路点拨】连接，根据三角形的内角和等于，可得，再根据，即可求解．
【规范解答】解；如图，连接，则，
∵，
∴
，
故选：D．
【考点评析】本题考查三角形内角和定理、对顶角相等，整体思想的利用是解题的关键．
3.将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，则∠5的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【分析】利用三角形的内角和定理计算即可．
【解答】解：如图，在△ADE中，
∵∠A+∠1+∠2＝180°，
∴∠A＝180°﹣（∠1+∠2），
在△BMN中，
∵∠B+∠3+∠4＝180°，
∴∠B＝180°﹣（∠3+∠4），
在△ABC中，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴180°﹣（∠1+∠2）+180°﹣（∠3+∠4）+∠5＝180°，
∴∠5＝（∠1+∠2+∠3+∠4）﹣180°，
∵∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，
∴∠5＝220°﹣180°＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查的三角形的内角和定理，找到每一个三角形的内角是解题的关键．
如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AC于点E，交DA的延长线于点F，若∠ABC＝22°，∠C＝34°，求∠F的度数．
【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，和对顶角相等即可求出结果．
【解答】解：∵∠ABC＝22°，∠C＝34°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝124°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD62°，
∴∠FAE＝62°，
∵BE⊥AC，
∴∠FEA＝90°，
∴∠F＝180°﹣∠FEA﹣∠FAE＝28°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
堂堂清
填空题（每小题4分，共32分）
已知，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝80°，则∠B＝（ ）
A．60° B．30° C．20° D．40°
【分析】直接根据三角形内角和定理进行解答即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝80°，
∴∠B＝180°﹣60°﹣80°＝40°．
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，点E是AB上一点，且DE∥CB．若∠A＝60°，∠C＝70°，则∠BDE的大小为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，再根据BD平分∠ABC，求出∠DBC，根据DE∥CB即可证明．
【解答】证明：∵∠A＝60°，∠C＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣60°﹣70°＝50°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC∠ABC＝25°．
∵DE∥BC，
∴∠BDE＝∠DBC＝25°，
故选：B．
【点评】本题考查平行线的判定，解题关键是掌握三角形内角和定理，平行线的判定定理．
3.如图，直线，且于点，若，则的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和求得，再根据平行线的性质可得到的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查三角形的内角和、平行线的性质，熟练运用平行线的性质定理是解题的关键．
4.如图，在中，，，平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在中，利用三角形内角和为求，再利用平分，求出的度数，再在利用三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】∵在中，，．
∴．
∵平分．
∴．
∴．
故选C．
【点评】本题考查了三角形的内角和和角平分线的性质，熟练应用性质是解决问题的关键．
一个缺角的三角形ABC残片如图所示，量得∠A＝60°，∠B＝75°，则这个三角形残缺前的∠C的度数为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．40°
【答案】C
【分析】利用三角形内角和定理求解即可.
【详解】因为三角形内角和为180°，且∠A = 60°，∠B = 75°，所以∠C=180°–60°–75°=45°.
如图，直线，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，，垂足为C．若，则（ ）
A．52° B．45° C．38° D．26°
【答案】C
【分析】根据平行线的性质可得∠ABC=52°，根据垂直定义可得∠ACB=90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答．
【详解】解：∵ab，
∴∠1=∠ABC=52°，
∵AC⊥b，
∴∠ACB=90°，
∴∠2=90°-∠ABC=38°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，垂线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
如图，李明同学在东西方向的滨海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，他向东走400米至B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上，则从灯塔P观测A．B两处的视角∠P的度数是（ ）
A．30° B．32° C．35° D．40°
【分析】在△ABP中，求出∠PAB、∠PBA的度数即可解决问题；
【解答】解：∵∠PAB=30°，∠ABP=120°，
∴∠APB=180°﹣∠PAB﹣∠ABP=30°．
故选：A．
【点评】本题考查了方向角，利用三角形的内角和是解题关键．
如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，这个关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据折叠的性质和平角的定义先得到，再由三角形内角和定理得到，由此即可得到结论．
【详解】解：由折叠的性质可知 ，
∴，
由三角形内角和定理可知，
∴，
∴，
∴
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
填空题（每小题4分，共20分）
已知△ABC中，∠B＝2∠A，∠C＝∠A+40°，则∠A的度数为 ．
【分析】利用题目条件结合三角形内角和180°即可列出关于∠A的方程，进而求出结果．
【解答】解：又三角形内角和定理可知：
∠A+∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝2∠A，∠C＝∠A+40°，
∴∠A+2∠A+∠A+40°＝180°，
解得：∠A＝35°．
故答案为：35°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，属于基础题．
10.将一副直角三角板按如图所示位置摆放（∠D＝∠ECF＝90°），点C在直角边BD上，点F在直角边AD上，若∠AFE＝160°，则∠BCE＝
解：∵∠AFE＝160°，
∴∠EFD＝180°﹣∠AFE＝20°，
∵∠CFE＝45°，
∴∠DFC＝∠CFE﹣∠EFD＝25°，
∵∠D＝∠ECF＝90°，
∴∠DCF＝180°﹣∠DFC﹣∠D＝65°，
∴∠DCE＝∠ECF﹣∠DCF＝25°，
∴∠BCE＝180°﹣∠DCE＝155°．
故答案为：155°．
11 .如图，在中，，平分，若，，则的度数为_____________．
【答案】/度
【分析】先利用角平分线的定义求得，在利用直角三角形的两锐角互余求得，最后在中利用三角形的内角和即可求解．
【详解】解：∵平分，，，
∴，
∵，AD⊥BC，
∴，
∴在中，，
故答案为：．
【点评】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握定义和定理是解题的关键．
12 .如图，△ABC中，∠A＝54°，∠B＝46°，点D、E分别在AB、AC上，连接DE并延长，交BC的延长线于F，若∠F＝25°，则∠1的度数为 ．
解：∵∠1＝∠F+∠ECF，∠ECF＝∠A+∠B，
∴∠1＝∠F+∠A+∠B，
∵∠A＝54°，∠B＝46°，∠F＝25°，
∴∠1＝54°+46°+25°＝125°．
故答案为：125°．
13 .如图，在中，沿折叠，点落在三角形所在的平面内的处， 若，，则_________．
【答案】/度
【分析】根据折叠的性质得出，，根据，得出，根据，即可求解．
【详解】解：∵沿折叠，点落在三角形所在的平面内的处，
∴，，
∵，
∴，
∴
∴
∴
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了折叠问题中的三角形内角和定理的应用，掌握折叠的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．
解答题（共6小题，48分）
14.（6分）如图，△ABC中，∠ABC：∠C＝5：7，∠C比∠A大10°，BD是△ABC的高，求∠A与∠CBD的度数．
【分析】由∠ABC：∠C＝5：7，设∠ABC＝5x，∠C＝7x，然后由∠C比∠A大10°，可得：∠A＝7x﹣10，然后根据三角形内角和定理可求∠A和∠C的度数，然后由BD是△ABC的高，可得：∠BDC＝90°，然后根据三角形内角和定理可求∠CBD的度数．
【解答】解：∵∠ABC：∠C＝5：7，
∴设∠ABC＝5x，∠C＝7x，
∵∠C比∠A大10°，
∴∠A＝7x﹣10，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
即：7x﹣10+5x+7x＝180°，
解得：x＝10，
∴∠C＝7x＝70°，∠A＝7x﹣10＝60°，
∵BD是△ABC的高，
∴∠BDC＝90°，
∵∠BDC+∠C+∠CBD＝180°，
∴∠CBD＝20°．
【点评】此题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．解题的关键是：根据三角形内角和定理求出∠A和∠C的度数．
15.（8分）如图，在中，是的平分线，高与相交于点．若，．求：
(1)的度数；
(2)的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可求出答案．
（2）利用角平分线求出度数，在根据三角形内角和定理即可求出的度数，利用对顶角相等可求出的度数．
【详解】（1）解：，，
；
（2）解：，是的平分线，
，
高与相交于点，
，
，
，
（对顶角相等），
.
【点评】本题主要考查的知识点有三角形内角和定理、角平分线的定义和对顶角相等，解题过程中是否能熟练运用定理和性质是解题的关键．
（8分）如图，点为的内角平分线与的交点，求证：．
【答案】见解析
【分析】由角平分线的定义求得，，再利用三角形的内角和定理即可证明．
【详解】证明：、是角平分线，
，，
，
，
又，
．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
17.（8分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AC于点E，交DA的延长线于点F，若∠ABC＝22°，∠C＝34°，求∠F的度数．
【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，和对顶角相等即可求出结果．
【解答】解：∵∠ABC＝22°，∠C＝34°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝124°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD62°，
∴∠FAE＝62°，
∵BE⊥AC，
∴∠FEA＝90°，
∴∠F＝180°﹣∠FEA﹣∠FAE＝28°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
18.（8分）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，已知：如图，,求证：
方法一证明：如图，过点A作 方法二证明：如图，过点C作
【答案】答案见解析
【分析】选择方法一，过点作，依据平行线的性质，即可得到，，再根据平角的定义，即可得到三角形的内角和为．
【详解】证明：过点作，
则，． 两直线平行，内错角相等）
点，，在同一条直线上，
．（平角的定义）
．
即三角形的内角和为．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
19 .（10分）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD．
（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）如图2，∠CAB与∠BDC的平分线AP、DP相交于点P，求证：∠B+∠C＝2∠P．
【分析】（1）根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和三角形的内角和解答即可．
【解答】证明：（1）在△AOC中，∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，
在△BOD中，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）在AP、CD相交线中，有∠CAP+∠C＝∠P+∠CDP，
在AB、DP相交线中，有∠B+∠BDP＝∠P+∠BAP，
∴∠B+∠C+∠CAP+∠BDP＝2∠P+∠CDP+∠BAP，
∵AP、DP分别平分∠CAB、∠BDC，
∴∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，
∴∠B+∠C＝2∠P．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线的定义．
拓展培优*冲刺满分
1.在锐角△ABC中，AC边上的高所在直线和AB边上的高所在直线的交点为P，∠BPC＝110°，求∠A的度数．
（2）如图1，AF和CE分别平分∠BAD和∠BCD，当点D在直线AC上时，且B、P、D三点共线，∠APC＝100°，则∠B＝ ．
（3）在（2）的基础上，当点D在直线AC外时，如图2：∠ADC＝130°，∠APC＝100°，求∠B的度数．
解：（1）如图1中，
∵AF，CE是高，
∴∠AFB＝∠AEC＝90°，
∵∠BPC＝∠BEP+∠PBE，
∴∠PBE＝110°﹣90°＝20°，
∴∠A＝90°﹣∠PBE＝90°﹣20°＝70°；
（2）∵∠APC＝100°，
∴∠PAC+∠PCA＝180°﹣100°＝80°，
∵∠BAC＝2∠PAC，∠BCA＝2∠PCA，
∴∠BAC+∠BCA＝160°，
∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180°﹣160°＝20°，
故答案为：20°；
（3）∵∠ADC＝∠2+∠4+∠APC＝130°，∠APC＝∠1+∠3+∠B＝100°，
∴∠2+∠4＝30°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2+∠3＝∠1+∠4＝30°，
∴∠B＝∠APC﹣（∠1+∠4）＝70°．
2.阅读材料：我们知道，探究不规则图形的角之间的关系时，可以通过辅助线将不规则图形转化为三角形，利用三角形内角和与内外角的关系获得结论．如图1，想要找到∠BDC与∠A+∠B+∠C之间的关系时，通过连接AD并延长到点E，得到△ABD和△ADC，进而求得∠BOC＝∠A+∠B+∠C．请你应用材料中的方法，探究图2中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
解：连接AF并延长至点M．
∴∠BAC＝∠BAM+∠CAM．
∵∠BFM＝∠B+∠BAM，∠CFM＝∠C+∠CAM，
∴∠BFC＝∠BFM+∠CFM＝∠BAC+∠B+∠C．
∵∠D+∠E+∠EFD＝180°，∠EFD＝∠BFC，
∴∠D+∠E+∠BFC＝180°．
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
3.我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与∠COD为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B＝∠C+∠D．
性质理解：
（1）如图1，在“对顶三角形”△AOB与∠COD中，则∠AOB＝70°，则∠C+∠D＝ 110 °．
性质应用：
（2）如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C＝60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度数．
拓展提高：
（3）如图3，BE、CD是△ABC的角平分线，且∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，设∠A＝α，直接写出∠P的度数（用含α的式子表示∠P）．
解：（1）在“对顶三角形”△AOB与∠COD中，则∠AOB＝70°，
∴∠C+∠D＝∠A+∠B＝180°﹣∠AOB＝110°，
故答案为：110；
（2）在△ABC中，∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°．
∵AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，
∴，
∴∠ADE+∠BED＝60°．
又∵∠ADE﹣∠BED＝6°，
∴∠ADE＝33°，∠BED＝27°；
（3）在△ABC中，∠A＝α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α．
∵BE、CD分别平分∠ABC和∠ACB，
∴，，
∴．
∵∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，
∴，．
∵∠CEP+∠ACD＝∠CDP+∠P，
∴＝＝．
即
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八年级数学上分层优化堂堂清
十一章 三角形
11.2与三角形有关的角
11.2.1 第一课时 三角形的内角
学习目标：
1.阐述并验证三角形内角和定理.
2.会用三角形内角和探索直角三角形性质与判定.
3.会运用三角形内角和定理进行计算.
老师对你说：
三角形内角和定理
◆1. 三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
◆2.三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
◆3.三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
◆4.三角形内角和定理的应用：主要用在求三角形中角的度数．
①直接根据两已知角求第三个角；
②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：三角形的内角和
【例1-1】在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B和∠C的度数．
【例1-2】在△ABC中，∠A＝80°，∠B是∠C的4倍，则∠B等于（ ）
A．85° B．80° C．75° D．70°
知识点2：三角形的内角和应用
【例2-1】如图，直线，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，若，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】如图，在中，，，平分，平分，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【例2-3】如图，将沿着平行于的直线折叠，得到，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
能力强化提升训练
1.如图，在中，D、E、F三点分别在上，过点D的直线与线段相交于点M，已知
(1)说明：
(2)若，，，求的度数．
2.如图所示的几何图形，的度数为（ ）
A． B． C． D．
3.将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，则∠5的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AC于点E，交DA的延长线于点F，若∠ABC＝22°，∠C＝34°，求∠F的度数．
堂堂清
填空题（每小题4分，共32分）
已知，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝80°，则∠B＝（ ）
A．60° B．30° C．20° D．40°
在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，点E是AB上一点，且DE∥CB．若∠A＝60°，∠C＝70°，则∠BDE的大小为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
3.如图，直线，且于点，若，则的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
4.如图，在中，，，平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
一个缺角的三角形ABC残片如图所示，量得∠A＝60°，∠B＝75°，则这个三角形残缺前的∠C的度数为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．40°
如图，直线，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，，垂足为C．若，则（ ）
A．52° B．45° C．38° D．26°
如图，李明同学在东西方向的滨海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，他向东走400米至B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上，则从灯塔P观测A．B两处的视角∠P的度数是（ ）
A．30° B．32° C．35° D．40°
如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，这个关系是（ ）
A． B．
C． D．
填空题（每小题4分，共20分）
已知△ABC中，∠B＝2∠A，∠C＝∠A+40°，则∠A的度数为 ．
10.将一副直角三角板按如图所示位置摆放（∠D＝∠ECF＝90°），点C在直角边BD上，点F在直角边AD上，若∠AFE＝160°，则∠BCE＝
11 .如图，在中，，平分，若，，则的度数为_____________．
12 .如图，△ABC中，∠A＝54°，∠B＝46°，点D、E分别在AB、AC上，连接DE并延长，交BC的延长线于F，若∠F＝25°，则∠1的度数为 ．
13 .如图，在中，沿折叠，点落在三角形所在的平面内的处， 若，，则_________．
解答题（共6小题，48分）
14.（6分）如图，△ABC中，∠ABC：∠C＝5：7，∠C比∠A大10°，BD是△ABC的高，求∠A与∠CBD的度数．
15.（8分）如图，在中，是的平分线，高与相交于点．若，．求：
(1)的度数；
(2)的度数．
（8分）如图，点为的内角平分线与的交点，求证：．
17.（8分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AC于点E，交DA的延长线于点F，若∠ABC＝22°，∠C＝34°，求∠F的度数．
18.（8分）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，已知：如图，,求证：
方法一证明：如图，过点A作 方法二证明：如图，过点C作
19 .（10分）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD．
（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）如图2，∠CAB与∠BDC的平分线AP、DP相交于点P，求证：∠B+∠C＝2∠P．
拓展培优*冲刺满分
1.在锐角△ABC中，AC边上的高所在直线和AB边上的高所在直线的交点为P，∠BPC＝110°，求∠A的度数．
（2）如图1，AF和CE分别平分∠BAD和∠BCD，当点D在直线AC上时，且B、P、D三点共线，∠APC＝100°，则∠B＝ ．
（3）在（2）的基础上，当点D在直线AC外时，如图2：∠ADC＝130°，∠APC＝100°，求∠B的度数．
2.阅读材料：我们知道，探究不规则图形的角之间的关系时，可以通过辅助线将不规则图形转化为三角形，利用三角形内角和与内外角的关系获得结论．如图1，想要找到∠BDC与∠A+∠B+∠C之间的关系时，通过连接AD并延长到点E，得到△ABD和△ADC，进而求得∠BOC＝∠A+∠B+∠C．请你应用材料中的方法，探究图2中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
3.我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与∠COD为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B＝∠C+∠D．
性质理解：
（1）如图1，在“对顶三角形”△AOB与∠COD中，则∠AOB＝70°，则∠C+∠D＝ 110 °．
性质应用：
（2）如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C＝60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度数．
拓展提高：
（3）如图3，BE、CD是△ABC的角平分线，且∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，设∠A＝α，直接写出∠P的度数（用含α的式子表示∠P）．
八年级数学上分层优化堂堂清
十一章 三角形
11.2与三角形有关的角
11.2.1 第一课时 三角形的内角（解析版）
学习目标：
1.阐述并验证三角形内角和定理.
2.会用三角形内角和探索直角三角形性质与判定.
3.会运用三角形内角和定理进行计算.
老师对你说：
三角形内角和定理
◆1. 三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
◆2.三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
◆3.三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
◆4.三角形内角和定理的应用：主要用在求三角形中角的度数．
①直接根据两已知角求第三个角；
②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：三角形的内角和
【例1-1】在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B和∠C的度数．
【分析】题中给出两个条件：∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C＝180°就可以求出∠A，∠B和∠C的度数．
【解析】
解：由∠A+∠B＝80°及∠A+∠B+∠C＝180°，
知∠C＝100°．
又∵ ∠C＝2∠B，
∴ ∠B＝50°．
∴ ∠A＝80°-∠B＝80°-50°＝30°．
【点评】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C＝180°．本题可以设∠B＝x，则∠A＝80°-x，∠C＝2x建立方程求解．
【例1-2】在△ABC中，∠A＝80°，∠B是∠C的4倍，则∠B等于（ ）
A．85° B．80° C．75° D．70°
【分析】根据题意设∠C是x°，则∠B就是4x°，根据内角和为180°可列式为80°+x+4x＝180°，解得x，即可求解．
【解答】解：设∠C是x°，则∠B就是4x°，根据题意可得：
80°+x+4x＝180°，
解得：x＝20，
20×4＝80（度），
∴∠B＝80°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，熟练使用三角形内角关系和三角形内角和定理是解决本题的关键．
知识点2：三角形的内角和应用
【例2-1】如图，直线，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，若，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义求出∠6和∠7的度数，再利用平行线的性质以及三角形内角和求出∠3，∠8，∠2的度数，最后利用邻补角互补求出∠4和∠5的度数．
【详解】
首先根据三角尺的直角被直线m平分，
∴∠6=∠7=45°；
A、∵∠1=60°，∠6=45°，∴∠8=180°-∠1-∠6=180-60°-45°=75°，m∥n，∴∠2=∠8=75°结论正确，选项不合题意；
B、∵∠7=45°，m∥n，∴∠3=∠7=45°，结论正确，选项不合题意；
C、∵∠8=75°，∴∠4=180-∠8=180-75°=105°，结论正确，选项不合题意；
D、∵∠7=45°，∴∠5=180-∠7=180-45°=135°，结论错误，选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和，邻补角互补，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
【例2-2】如图，在中，，，平分，平分，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用角平分线的定义先求得和的大小，然后利用三角形的内角和定理即可得到答案．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，．
由三角形的内角和定理可知：
．
故选；B．
【点评】本题主要考查的是角平分线的定义、三角形的内角和定理，掌握角平分线的定义和三角形的内角和定理是解题的关键．
【例2-3】如图，将沿着平行于的直线折叠，得到，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得，结合三角形内角和定理可得，最后根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：由题意得，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质和折叠的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
能力强化提升训练
1.如图，在中，D、E、F三点分别在上，过点D的直线与线段相交于点M，已知
(1)说明：
(2)若，，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【思路点拨】（1）根据邻补角及题意得出，再由平行线的判定证明即可；
（2）根据平行线的判定和性质得出，再由三角形内角和定理求解即可．
【规范解答】（1）证明：∵，
∴
∴；
（2）∵，
∴，
∵
∴ ，
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
【考点评析】题目主要考查平行线的判定和性质及三角形内角和定理，找准各角之间的关系是解题关键．
2.如图所示的几何图形，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路点拨】连接，根据三角形的内角和等于，可得，再根据，即可求解．
【规范解答】解；如图，连接，则，
∵，
∴
，
故选：D．
【考点评析】本题考查三角形内角和定理、对顶角相等，整体思想的利用是解题的关键．
3.将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，则∠5的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【分析】利用三角形的内角和定理计算即可．
【解答】解：如图，在△ADE中，
∵∠A+∠1+∠2＝180°，
∴∠A＝180°﹣（∠1+∠2），
在△BMN中，
∵∠B+∠3+∠4＝180°，
∴∠B＝180°﹣（∠3+∠4），
在△ABC中，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴180°﹣（∠1+∠2）+180°﹣（∠3+∠4）+∠5＝180°，
∴∠5＝（∠1+∠2+∠3+∠4）﹣180°，
∵∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，
∴∠5＝220°﹣180°＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查的三角形的内角和定理，找到每一个三角形的内角是解题的关键．
如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AC于点E，交DA的延长线于点F，若∠ABC＝22°，∠C＝34°，求∠F的度数．
【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，和对顶角相等即可求出结果．
【解答】解：∵∠ABC＝22°，∠C＝34°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝124°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD62°，
∴∠FAE＝62°，
∵BE⊥AC，
∴∠FEA＝90°，
∴∠F＝180°﹣∠FEA﹣∠FAE＝28°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
堂堂清
填空题（每小题4分，共32分）
已知，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝80°，则∠B＝（ ）
A．60° B．30° C．20° D．40°
【分析】直接根据三角形内角和定理进行解答即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝80°，
∴∠B＝180°﹣60°﹣80°＝40°．
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，点E是AB上一点，且DE∥CB．若∠A＝60°，∠C＝70°，则∠BDE的大小为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，再根据BD平分∠ABC，求出∠DBC，根据DE∥CB即可证明．
【解答】证明：∵∠A＝60°，∠C＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣60°﹣70°＝50°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC∠ABC＝25°．
∵DE∥BC，
∴∠BDE＝∠DBC＝25°，
故选：B．
【点评】本题考查平行线的判定，解题关键是掌握三角形内角和定理，平行线的判定定理．
3.如图，直线，且于点，若，则的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和求得，再根据平行线的性质可得到的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查三角形的内角和、平行线的性质，熟练运用平行线的性质定理是解题的关键．
4.如图，在中，，，平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在中，利用三角形内角和为求，再利用平分，求出的度数，再在利用三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】∵在中，，．
∴．
∵平分．
∴．
∴．
故选C．
【点评】本题考查了三角形的内角和和角平分线的性质，熟练应用性质是解决问题的关键．
一个缺角的三角形ABC残片如图所示，量得∠A＝60°，∠B＝75°，则这个三角形残缺前的∠C的度数为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．40°
【答案】C
【分析】利用三角形内角和定理求解即可.
【详解】因为三角形内角和为180°，且∠A = 60°，∠B = 75°，所以∠C=180°–60°–75°=45°.
如图，直线，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，，垂足为C．若，则（ ）
A．52° B．45° C．38° D．26°
【答案】C
【分析】根据平行线的性质可得∠ABC=52°，根据垂直定义可得∠ACB=90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答．
【详解】解：∵ab，
∴∠1=∠ABC=52°，
∵AC⊥b，
∴∠ACB=90°，
∴∠2=90°-∠ABC=38°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，垂线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
如图，李明同学在东西方向的滨海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，他向东走400米至B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上，则从灯塔P观测A．B两处的视角∠P的度数是（ ）
A．30° B．32° C．35° D．40°
【分析】在△ABP中，求出∠PAB、∠PBA的度数即可解决问题；
【解答】解：∵∠PAB=30°，∠ABP=120°，
∴∠APB=180°﹣∠PAB﹣∠ABP=30°．
故选：A．
【点评】本题考查了方向角，利用三角形的内角和是解题关键．
如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，这个关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据折叠的性质和平角的定义先得到，再由三角形内角和定理得到，由此即可得到结论．
【详解】解：由折叠的性质可知 ，
∴，
由三角形内角和定理可知，
∴，
∴，
∴
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
填空题（每小题4分，共20分）
已知△ABC中，∠B＝2∠A，∠C＝∠A+40°，则∠A的度数为 ．
【分析】利用题目条件结合三角形内角和180°即可列出关于∠A的方程，进而求出结果．
【解答】解：又三角形内角和定理可知：
∠A+∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝2∠A，∠C＝∠A+40°，
∴∠A+2∠A+∠A+40°＝180°，
解得：∠A＝35°．
故答案为：35°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，属于基础题．
10.将一副直角三角板按如图所示位置摆放（∠D＝∠ECF＝90°），点C在直角边BD上，点F在直角边AD上，若∠AFE＝160°，则∠BCE＝
解：∵∠AFE＝160°，
∴∠EFD＝180°﹣∠AFE＝20°，
∵∠CFE＝45°，
∴∠DFC＝∠CFE﹣∠EFD＝25°，
∵∠D＝∠ECF＝90°，
∴∠DCF＝180°﹣∠DFC﹣∠D＝65°，
∴∠DCE＝∠ECF﹣∠DCF＝25°，
∴∠BCE＝180°﹣∠DCE＝155°．
故答案为：155°．
11 .如图，在中，，平分，若，，则的度数为_____________．
【答案】/度
【分析】先利用角平分线的定义求得，在利用直角三角形的两锐角互余求得，最后在中利用三角形的内角和即可求解．
【详解】解：∵平分，，，
∴，
∵，AD⊥BC，
∴，
∴在中，，
故答案为：．
【点评】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握定义和定理是解题的关键．
12 .如图，△ABC中，∠A＝54°，∠B＝46°，点D、E分别在AB、AC上，连接DE并延长，交BC的延长线于F，若∠F＝25°，则∠1的度数为 ．
解：∵∠1＝∠F+∠ECF，∠ECF＝∠A+∠B，
∴∠1＝∠F+∠A+∠B，
∵∠A＝54°，∠B＝46°，∠F＝25°，
∴∠1＝54°+46°+25°＝125°．
故答案为：125°．
13 .如图，在中，沿折叠，点落在三角形所在的平面内的处， 若，，则_________．
【答案】/度
【分析】根据折叠的性质得出，，根据，得出，根据，即可求解．
【详解】解：∵沿折叠，点落在三角形所在的平面内的处，
∴，，
∵，
∴，
∴
∴
∴
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了折叠问题中的三角形内角和定理的应用，掌握折叠的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．
解答题（共6小题，48分）
14.（6分）如图，△ABC中，∠ABC：∠C＝5：7，∠C比∠A大10°，BD是△ABC的高，求∠A与∠CBD的度数．
【分析】由∠ABC：∠C＝5：7，设∠ABC＝5x，∠C＝7x，然后由∠C比∠A大10°，可得：∠A＝7x﹣10，然后根据三角形内角和定理可求∠A和∠C的度数，然后由BD是△ABC的高，可得：∠BDC＝90°，然后根据三角形内角和定理可求∠CBD的度数．
【解答】解：∵∠ABC：∠C＝5：7，
∴设∠ABC＝5x，∠C＝7x，
∵∠C比∠A大10°，
∴∠A＝7x﹣10，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
即：7x﹣10+5x+7x＝180°，
解得：x＝10，
∴∠C＝7x＝70°，∠A＝7x﹣10＝60°，
∵BD是△ABC的高，
∴∠BDC＝90°，
∵∠BDC+∠C+∠CBD＝180°，
∴∠CBD＝20°．
【点评】此题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．解题的关键是：根据三角形内角和定理求出∠A和∠C的度数．
15.（8分）如图，在中，是的平分线，高与相交于点．若，．求：
(1)的度数；
(2)的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可求出答案．
（2）利用角平分线求出度数，在根据三角形内角和定理即可求出的度数，利用对顶角相等可求出的度数．
【详解】（1）解：，，
；
（2）解：，是的平分线，
，
高与相交于点，
，
，
，
（对顶角相等），
.
【点评】本题主要考查的知识点有三角形内角和定理、角平分线的定义和对顶角相等，解题过程中是否能熟练运用定理和性质是解题的关键．
（8分）如图，点为的内角平分线与的交点，求证：．
【答案】见解析
【分析】由角平分线的定义求得，，再利用三角形的内角和定理即可证明．
【详解】证明：、是角平分线，
，，
，
，
又，
．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
17.（8分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AC于点E，交DA的延长线于点F，若∠ABC＝22°，∠C＝34°，求∠F的度数．
【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，和对顶角相等即可求出结果．
【解答】解：∵∠ABC＝22°，∠C＝34°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝124°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD62°，
∴∠FAE＝62°，
∵BE⊥AC，
∴∠FEA＝90°，
∴∠F＝180°﹣∠FEA﹣∠FAE＝28°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
18.（8分）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，已知：如图，,求证：
方法一证明：如图，过点A作 方法二证明：如图，过点C作
【答案】答案见解析
【分析】选择方法一，过点作，依据平行线的性质，即可得到，，再根据平角的定义，即可得到三角形的内角和为．
【详解】证明：过点作，
则，． 两直线平行，内错角相等）
点，，在同一条直线上，
．（平角的定义）
．
即三角形的内角和为．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
19 .（10分）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD．
（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）如图2，∠CAB与∠BDC的平分线AP、DP相交于点P，求证：∠B+∠C＝2∠P．
【分析】（1）根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和三角形的内角和解答即可．
【解答】证明：（1）在△AOC中，∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，
在△BOD中，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）在AP、CD相交线中，有∠CAP+∠C＝∠P+∠CDP，
在AB、DP相交线中，有∠B+∠BDP＝∠P+∠BAP，
∴∠B+∠C+∠CAP+∠BDP＝2∠P+∠CDP+∠BAP，
∵AP、DP分别平分∠CAB、∠BDC，
∴∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，
∴∠B+∠C＝2∠P．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线的定义．
拓展培优*冲刺满分
1.在锐角△ABC中，AC边上的高所在直线和AB边上的高所在直线的交点为P，∠BPC＝110°，求∠A的度数．
（2）如图1，AF和CE分别平分∠BAD和∠BCD，当点D在直线AC上时，且B、P、D三点共线，∠APC＝100°，则∠B＝ ．
（3）在（2）的基础上，当点D在直线AC外时，如图2：∠ADC＝130°，∠APC＝100°，求∠B的度数．
解：（1）如图1中，
∵AF，CE是高，
∴∠AFB＝∠AEC＝90°，
∵∠BPC＝∠BEP+∠PBE，
∴∠PBE＝110°﹣90°＝20°，
∴∠A＝90°﹣∠PBE＝90°﹣20°＝70°；
（2）∵∠APC＝100°，
∴∠PAC+∠PCA＝180°﹣100°＝80°，
∵∠BAC＝2∠PAC，∠BCA＝2∠PCA，
∴∠BAC+∠BCA＝160°，
∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180°﹣160°＝20°，
故答案为：20°；
（3）∵∠ADC＝∠2+∠4+∠APC＝130°，∠APC＝∠1+∠3+∠B＝100°，
∴∠2+∠4＝30°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2+∠3＝∠1+∠4＝30°，
∴∠B＝∠APC﹣（∠1+∠4）＝70°．
2.阅读材料：我们知道，探究不规则图形的角之间的关系时，可以通过辅助线将不规则图形转化为三角形，利用三角形内角和与内外角的关系获得结论．如图1，想要找到∠BDC与∠A+∠B+∠C之间的关系时，通过连接AD并延长到点E，得到△ABD和△ADC，进而求得∠BOC＝∠A+∠B+∠C．请你应用材料中的方法，探究图2中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
解：连接AF并延长至点M．
∴∠BAC＝∠BAM+∠CAM．
∵∠BFM＝∠B+∠BAM，∠CFM＝∠C+∠CAM，
∴∠BFC＝∠BFM+∠CFM＝∠BAC+∠B+∠C．
∵∠D+∠E+∠EFD＝180°，∠EFD＝∠BFC，
∴∠D+∠E+∠BFC＝180°．
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
3.我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与∠COD为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B＝∠C+∠D．
性质理解：
（1）如图1，在“对顶三角形”△AOB与∠COD中，则∠AOB＝70°，则∠C+∠D＝ 110 °．
性质应用：
（2）如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C＝60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度数．
拓展提高：
（3）如图3，BE、CD是△ABC的角平分线，且∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，设∠A＝α，直接写出∠P的度数（用含α的式子表示∠P）．
解：（1）在“对顶三角形”△AOB与∠COD中，则∠AOB＝70°，
∴∠C+∠D＝∠A+∠B＝180°﹣∠AOB＝110°，
故答案为：110；
（2）在△ABC中，∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°．
∵AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，
∴，
∴∠ADE+∠BED＝60°．
又∵∠ADE﹣∠BED＝6°，
∴∠ADE＝33°，∠BED＝27°；
（3）在△ABC中，∠A＝α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α．
∵BE、CD分别平分∠ABC和∠ACB，
∴，，
∴．
∵∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，
∴，．
∵∠CEP+∠ACD＝∠CDP+∠P，
∴＝＝．
即
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