(共25张PPT)
*
§3.5.1等比数列的前n项和（一）
教学目标：
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路
2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题
教学重、难点：
1.等比数列的前n项和公式推导
2.灵活应用公式解决有关问题
§3.5.1等比数列的前n项和（一）
高2008级数学教学课件
1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;
公比通常用字母q表示(q≠0),即： =q(q≠0)
2.等比数列的通项公式:
一、复习提问：
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§3.5.1等比数列的前n项和（一）
高2008级数学教学课件
“an≠0”是数列{an}成等比数列的必要非充分条件
3.{an}成等比数列
4.既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
5.等比中项:如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项. 即G=± （a,b同号）
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§3.5.1等比数列的前n项和（一）
高2008级数学教学课件
6.等比数列的性质：
1)若m+n=p+k，则
2)若m+n=2p，则
7.判断等比数列的方法:
定义法，中项法，通项公式法
8.等比数列的增减性：
(1)当q>1, a1>0或0(2)当q>1, a1<0或00时, {an}是递减数列
(3)当q=1时, {an}是常数列
(4)当q<0时, {an}是摆动数列
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§3.5.1等比数列的前n项和（一）
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你想得到
什么样的
赏赐？
陛下赏小
人几粒麦就
搞定。
OK
陛下国库里的麦子不够小人搬啊！
国际象棋的
故 事
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§3.5.1等比数列的前n项和（一）
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让我们来分析一下:
由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的2倍,且共有64个格子,各个格子里的麦粒数依次是:
于是发明者要求的麦粒总数就是：
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§3.5.1等比数列的前n项和（一）
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问题：求以1为首项,2为公比的等比数列的前64项的和
两边同乘公比２，得：
将上面两式列在一起，进行比较
①
②
② － ①得：
说明： 超过了1 .84 ,假定千粒麦子的质量为40g,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨。所以国王是不可能同意发明者的要求。
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§3.5.1等比数列的前n项和（一）
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乘以等比数列的公比 ，
1.仿照公比为2的等比数列求和方法，等式两
边应同
Sn= a1+a1q +a1q2 +…+a1qn-2 + a1qn-1
qSn = a1q + a1q2 +…+ a1qn-1 +a1qn
两式相减有 ( 1 – q )Sn = a1 – a1 q n
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§3.5.1等比数列的前n项和（一）
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当 时，由得 .
当 时 ，由可得 ；
于是
或
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§3.5.1等比数列的前n项和（一）
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2. 用等比定理推导
当 q = 1 时 Sn = n a1
因为
所以
或
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§3.5.1等比数列的前n项和（一）
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Sn = a1 + a2 + a3 + …….+ an-1 + an
= a1 + a1q + a1q2 +…..+ a1qn-2 + a1qn-1
= a1+ q ( a1 + a1q + ….+ a1qn-3 + a1qn-2 )
= a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an )
Sn =
a1 ( 1 – q n )
1 – q
3. 用Sn与an的相关关系推导
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§3.5.1等比数列的前n项和（一）
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解: 由
n=8，得
例1.求等比数列 的前8项的和
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§3.5.1等比数列的前n项和（一）
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练习1：根据下列条件，只需列出等比数列
{an}的Sn的式子
⑶等比数列1，2，4……从第5项到第10项的
和为S=
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§3.5.1等比数列的前n项和（一）
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例2.某制糖厂第1年制糖5万吨,如果平均每年的产量比上一年增加10%,那么从第1年起,约几年内可使总产量达到30万吨(保留到个位)？
分析：第1年产量为 5
第2年产量为
5×(1+10%)=5×1.1
第3年产量为
5×(1+10%) ×(1+10%)
……
第n年产量为
则n年内的总产量为：
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§3.5.1等比数列的前n项和（一）
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解：由题意，从第1年起，每年的产量组成一个等比数列
其中
∴
即
两边取对数，得
∴
（年）
答：约5年内可以使总产量达到30万吨.
例2.某制糖厂第1年制糖5万吨,如果平均每年的产量比上一年增加10%,那么从第1年起,约几年内可使总产量达到30万吨(保留到个位)？
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§3.5.1等比数列的前n项和（一）
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可以求形如 的数列的和，其中
为等差数列， 为等比数列.
反思推导求和公式的方法——错位相减法
例3.求和：
为等比数列，公比为 ，利用错位相减法求和.
设 ，其中 为等差数列，
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§3.5.1等比数列的前n项和（一）
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解： ，
两端同乘以 ，得
两式相减得
于是 .
说明：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.
例3.求和：
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§3.5.1等比数列的前n项和（一）
高2008级数学教学课件
例4.某商场第一年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年增加10%，那么从第一年起，约几年内可以使总销售量达到30000台（保留到个位）？
分析：第1年销售量为 5000
第2年销售量为
5000×(1+10%)=5000×1.1
第3年销售量为
5000×(1+10%) ×(1+10%)
……
第n年销售量为
则n年内的总销售量为：
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§3.5.1等比数列的前n项和（一）
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解：由题意可知，这个商场从第一年起，平均每年的销售量组成一个等比数列，
记为
答：约5年内可以使总销售量达到30000台.
于是得到
整理后，得
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§3.5.1等比数列的前n项和（一）
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小结：
1.等比数列的前n项和公式：
2.对含字母的题目一般要分别考虑q=1和q≠1
两种情况。
书面作业
课后训练
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课堂练习
<<教材>>
P.128 练习1.2
<<教材>>
P.129 习题3.5– 1.2.3
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等差、等比数列的通项及求和公式
要点·疑点·考点
3.在等差(比)数列中，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…，Skn-S(k-1)n…成等差(比)数列.其中Sn为前n项的和.
1.等差数列前n项和
等比数列前n项和
2.如果某个数列前n项和为Sn，则
返回
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18-a5，则S8等于（ ）
A.18 B.36 C.54 D.72
课 前 热 身
1.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表，观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白( )内.
年龄(岁) 30 35 40 45 50 55 60 65
收缩压(水银柱 毫米) 110 115 120 125 130 135 ( ) 145
舒张压(水银柱 毫米) 70 73 75 78 80 83 ( ) 88
140
85
D
5.在等差数列{an}中，a2+a4=p，a3+a5=q．则其前6项的和S6为( )
(A) 5 (p+q)/4 (B) 3(p+q)/2 (C) p+q (D) 2(p+q)
4.等比数列{an}前n项的乘积为Tn，若Tn=1，T2n=2，则T3n的值为( )
(A)3 (B)4 (C)7 (D)8
D
B
3.设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.若{Sn}是等差数列，则q=___
1
返回
能力·思维·方法
1.设数列{an}的前n项和为Sn=2n2+3n+2，求通项an的表达式，并指出此数列是否为等差数列.
【解题回顾】公式 给出了数列的项 与和之间的关系，很重要.在利用这个关系时必须注意：
(1)公式对任何数列都适用；
(2)n＝1的情形要单独讨论.
2.已知等比数列{an}的公比为q，前n项的和为Sn，且S3，S9，S6成等差数列.
(1)求q3的值；
(2)求证a2，a8，a5成等差数列.
【解题回顾】本题方法较多，用等比数列Sn公式时一定要注意讨论q.
【解题回顾】在等差数列{an}中：
(1)项数为2n时，则S偶-S奇＝nd，S奇 / S偶＝an / an+1；
(2)项数为2n-1时，则S奇-S偶＝an，S奇/ S偶＝n/(n-1)，S2n-1=
(2n-1)an，当{an}为等比数列时其结论可类似推导得出．
3.一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求公差d.
4.已知数列{an}的前n项和Sn=32n-n2，求数列{|an|}的前n项和S’n ．
【解题回顾】
一般地，数列{an}与数列{|an|}的前n项和Sn与 ：当ak≥0
时，有 ；当ak＜0时， ( k =1，2，…，n).若在
a1，a2,…，an中，有一些项不小于零，而其余各项均小于零，设其和分别为S+、S-，则有Sn=S++S-，所以
返回
【解题回顾】这是一道高考题，开放程度较大，要注意含有字母的代数式的运算，特别要注意对公比q=1的讨论.
延伸·拓展
5.数列{an}是由正数组成的等比数列，Sn为前n项的和，是否
存在正常数c，使得 对
任意的n∈N+成立 并证明你的结论.
返回
误解分析
1.用公式an=Sn-Sn-1解决相关问题时，一定要注意条件n≥2，因n=1时，a1=S1.
2.等比数列的和或利用等比数列求和公式 解
题时，若忽视q=1的讨论.常会招致“对而不全”.
返回(共14张PPT)
§3.1.1 数 列
国王要奖赏国际象棋的发明者，让发明者自己提要求，发明者提的要求是：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，第4个格子里放上8颗麦粒，依此类推，每个格子里放置的麦粒数都是前一个格子里的2倍，直到第64个格子．”国王听了很高兴，觉得这太容易了，你觉得国王是否真的很容易就能满足发明者的要求了吗？
这些格子里放的小麦数依次是：1， 2， 22， … ，263
总和是：1＋2＋ 22＋ … ＋263
数列的一般形式可以写成:
a1，a2，a3，……，an，……， (其中an是数列的第n项。
数列的基本概念：
由数列定义知：数列中的数是有序的，数列中的数可以重复出现，这与数集中的数的无序性、互异性是不同的.
简记作数列{ an }
按一定次序排列的一列数叫做数列.
数列的通项公式: 如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
1，2，3，4，5，··· n， ··· .（1）
1，， ， ， ，··· ，··· . （2）
1，1.4，1.41，1.414， ··· . （3）
4，5，6，7，8，9，10. （4）
－1，1，－1，1， ··· . （5）
1，1，1，1， ··· . （6）
▲数列的分类：有穷数列与无穷数列
从函数的观点看,数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式则是相应函数的解析式。
如:
记作:
显然图象是一些孤立的点。
1
2
3
4
5
6
7
x
0
4
5
6
7
8
9
10
y
(n)
(an)
▲数列与函数的关系：
例1 根据下面数列的通项公式，写出它的前5项：
（1）9，16，25，36，49
（2）
（1）
（2）4，－ ， ，－ ，
例2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）2，5，8，11；
（2） ， ， ， ；
（3） ， ， ， ；
（1）an＝3n－1
（2）an＝
（3）an＝
练习：观察下面数列的特点,用适当的数填空,并写出每个数列的一个通项公式:
1. 9，99，( )，9999，99999，9999999，…
999
说明：给出数列的前若干项要确定其一个通项公式，解决这个问题的关键是找出已知的每一项与其序号之间的对应关系，然后抽象成一般形式.
2.
练习 已知数列{an} 的通项公式为an＝1＋(－1)n . (1)求数列的前5项及第2005项.
变式练习数列 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
C
2 n为偶数
an=
0 n为奇数
小结与作业
小结：对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的一些项求一些简单数列的通项公式。
作业：教材110页第1、2题(共22张PPT)
§3.3.2等差数列的前n项和
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§3.3.2等差数列的前n项和（二）
教学目标：
高2008级数学教学课件
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.
2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.
教学重、难点：
1.熟练掌握等差数列的求和公式
2.灵活应用求和公式解决问题
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§3.3.2等差数列的前n项和（二）
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一、复习提问：
1.等差数列的前n项和公式：
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§3.3.2等差数列的前n项和（二）
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二、讲解新课：
例1 .求集合M={m|m=2n－1,n∈N*,且m＜60}的元素个数及这些元素的和.
解：由2n－1＜60,得n＜ ,又∵n∈N*
∴满足不等式n＜ 的正整数一共有30个.
即 集合M中一共有30个元素，
答：集合M中一共有30个元素，其和为900.
可列为：1，3，5，7，9，…，59.
组成一个以a1=1,a30 =59,n=30的等差数列.
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§3.3.2等差数列的前n项和（二）
高2008级数学教学课件
例2.在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2，并求这些数的和.
解：分析题意可得满足条件的数属于集合:
∴n可取1，2，3，…，32，33.
由3n-1＜100,得n＜ ,且m∈N*,
即 在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2.
把这些数从小到大排列出来就是：2，5，8，…，98.
它们可组成一个以a1=2,d=3, a33=98,n=33的等差数列.
答：在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2，这些数的和是1650.
M={m|m=3n-1,m＜100,n∈N}
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§3.3.2等差数列的前n项和（二）
高2008级数学教学课件
例3.已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，
求证：S6，S12-S6，S18-S12成等差数列；
证明：(1)设{an}首项是a1 ，公差为d,则:
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§3.3.2等差数列的前n项和（二）
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是以36d为公差的等差数列
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§3.3.2等差数列的前n项和（二）
高2008级数学教学课件
结论：数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k……成公差为k2d的等差数列.
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§3.3.2等差数列的前n项和（二）
高2008级数学教学课件
例4 .已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,那么n取何值时,Sn取最大值.
解法1：设公差为d，由S3=S11,得：
d= -2
所以n=7时,取最大值.
an=13-2(n-1)=15-2n
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§3.3.2等差数列的前n项和（二）
高2008级数学教学课件
例4 .已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,那么n取何值时,Sn取最大值.
解法2:由解1得d= -2,又a1=13
∴当n=7，Sn取最大值
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§3.3.2等差数列的前n项和（二）
高2008级数学教学课件
对等差数列前项和的最值问题有两种方法:
(1)利用{an}:
(2)利用Sn：
当a1>0,d<0,前n项和有最大值可由 求得n的值.
当a1<0,d>0,前n项和有最小值可由 求得n的值.
由 利用二次函数配方法求得最值时n的值
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§3.3.2等差数列的前n项和（二）
高2008级数学教学课件
例5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3＝12.
S12>0，S13<0，
(1) 求公差d的取值范围；
(1)解：
∵ a3＝a1＋2d＝12, 代入得:
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§3.3.2等差数列的前n项和（二）
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例5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3＝12.
S12>0，S13<0，
(2) 指出S1,S2 , S3, S4…S12, 中哪一个最大，说明理由.
(2)解法1：
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§3.3.2等差数列的前n项和（二）
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§3.3.2等差数列的前n项和（二）
高2008级数学教学课件
例5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3＝12.
S12>0，S13<0，
(2) 指出S1,S2 , S3, S4…S12, 中哪一个最大，说明理由.
(2)解法2：∵ S13＝13a7<0
∴ a7<0
又∵S12＝6(a6＋a7)>0
∴ a6＋a7>0
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§3.3.2等差数列的前n项和（二）
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1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.
分析：将已知条件转化为数学语言，然后再解.
解：根据题意，得S4=24, S5－S2=27
设等差数列首项为a1,公差为d
∴ an=3+2(n-1)=2n+1
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§3.3.2等差数列的前n项和（二）
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3.一凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是10°,最小内角为100°,求边数n.
求得n－17n＋72＝0, n＝8或n＝9
解：由(n－2)·180＝100n＋ ×10，
当n＝9时, 最大内角100＋(9－1)×10＝180°
∴ n＝8.
解：由(n－2)·180＝100n＋ ×10
不合题意，舍去
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§3.3.2等差数列的前n项和（二）
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小结：
等差数列的前n项和公式：
书面作业
课后训练
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课堂练习
<<教材>>
P.118 练习3.4
<<教材>>
P.118 习题3.3– 5.6.7.8
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递推公式
复习：
按 的一列数叫做数列，
1.数列的定义：
一定次序排列
２. 通项公式：
数列{an}的第n项an与n之间的关系式。
３. 数列和函数的关系：
(１)定义域为N*
(２)图像都是一群 的点。
孤立
4.单调性：
若an＋1＞an，则｛an｝称为递增数列;
若an＋1＜an，则｛an｝称为递减数列；
若an＋1＝an，则｛an｝称为常数数列。
对任意的正整数n，
题型:1.已知通项求项, 2.已知前几项求通项
观察下面数列的特点,用适当的数填空.
36
递推公式
a1=3
a2=4=a1+1
a3=6=a2+2
…………
an=an-1+n-1
（2≤n≤7）
递推公式
Δ 递推公式反映数列中项与项间的关系.
Δ 递推公式是给出数列的一种方法.
1.定义：已知数列｛an｝的第1项（或前几 项），且任意一项an与前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式
２.累积法
1.累加法
3.Sn法：若数列的前n项和记为Sn,即
Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an
Sn-1
∴当n≥2时，有an=Sn－Sn-1
检验当a＝１时，是否符合
练习１：1.若Sn=２n＋３，求an
2.若Sn=３n2－２n，求an
3.Sn法：Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an
小结：
1.递推公式及用法
2.通项公式反映的是项和项数的关系
递推公式反映的是相邻两项(或几项)关系
3. Sn的定义和an的关系(共8张PPT)
等差数列（二）
一、等差数列的判定方法：
(1) an－an-1＝d
(2) an=pn+q
am = an+（m－n)d
an＝a1＋（n－1）d
二、等差数列的通项公式：
an = pn + q
三、如果a，A，b成等差数
列，那么A叫做a与b的等差
中项。
例5.（1）在等差数列{an}中，若m＋n
＝p＋q， 则am＋an＝ap＋aq.
（2）在等差数列{an}中，若a3＋a4＋
a5＋a6＋ a7=450,求a2＋a8.
解：∵ a2+a8= a3+a7= a4+a6=2a5
∴ 5a5=450, a5=90,
∴ a2+a8= 2×90=180
例6. 已知：lga，lgb，lgc与lga－lg2b，
lg2b－lg3c，lg3c－lga都是等差
数列，求a：b：c.
例7.已知，三个数成等差数列，其和为15
首末两项的积为9，求此数列.
若三个数成等差数列，可设三个数为a－d，a，a＋d
若四个数成等差数列，可设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.
例8.等差数列{an}中已知a10＝23，
（1）若a25＝－22，问此数列从第几
项开始为负？
（2）若数列从第17项起各项均为负，
求公差d的取值范围。(共13张PPT)
等差、等比数列的应用
要点·疑点·考点
1.复利公式
按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y=a(1+r)x
2.产值模型
原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y=N(1+p) x
3.单利公式
利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y=a(1+xr)
返回
1.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去一个…，按此规律，6小时后细胞存活的个数是( ) (A)63 (B)65 (C)67 (D)71
课 前 热 身
2.某产品的成本每年降低q%，若三年后成本是a元，则现在的成本是( )
(A)a(1+q%)3元 (B)a(1-q%)3元
(C)a(1-q%)-3元 (D)a(1+q%)-3元
3.某债券市场发行的三种债券：A种面值100元，一年到期本利共获103元．B种面值50元，半年到期，本利共50.9元，C种面值为100元，但买入时只需付97元，一年到期拿回100元，则三种投资收益比例便从小到大排列为( )
(A)BAC ? (B)ACB (C)ABC ?(D)CAB
B
C
B
D
根据某市城区家庭抽样调查统计，1998得初至2002年底，每户家庭消费支出总额每年平均增加680元，其中食品消费支出总额每年平均增加100元.1998年初该市城区家庭刚达到小康，且该年每户家庭消费支出总额为8600元，则该市城区家庭达到富裕的是( )
(A)1999年底 (B)2000年底 (C)2001年底 (D)2002年底
4.国际上常用恩格尔系数(记作n)来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为
，
各种类型家庭的n如下表所示：
食品消费支出总额
消费支出总额
n=
×100%
n≤30%
最富裕
30%＜n≤40%
富 裕
40%＜n≤50%
小 康
50%＜n≤60%
温 饱
n＞60%
贫 困
n
家庭类型
5.某林场年初有森林木材存量Sm3，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量为 xm3.为实现经过2次砍伐以后木材存量增长50%，则x的值应是( )
(A) (B) (C) (D)
C
返回
能力·思维·方法
1.一梯形的上、下底长分别是12cm，22cm，若将梯形的一腰10等分，过每一个分点作平行于底边的直线，求这些直线夹在两腰之间的线段的长度的和.
【解题回顾】本题易误认为答案是187cm，即将梯形的上、下底也算在了其中.
2.某电子管厂2001年全年生产真空电子管50万个，计划从2002年开始每年的产量比上一年增长20%，问从哪一年开始，该厂的真空电子管年产量超过200万个
【解题回顾】本题容易忽视不等式1.2n-1×50＜200.
3.某村2002年底全村共有1000人，全年工农业总产值为840万元.
(1)若从2003年起该村每年的工农业总产值较上年增加14万元，每年人口较上年净增数相同，要使该村人均产值年年都增长，那么该村每年人口的净增不超过多少人
(2)若从2003年起该村每年工农业总产值较上年增长10%，每年人口较上年净增10人，则到2012年该村能否实现年人均产值较2002年翻一番(增加一倍)的经济发展目标
【解题回顾】本题(2)用到了近似估算法.
【解题回顾】本题第(1)小题得到1.2n=7/3后，也可通过两边取对数求n，同理第(2)小题得1.2n＝6后，也可两边取对数.
4.某林场去年有木材贮量2万m3，从今年开始，林场加大了对生产的投入量，预测林场的木材贮量将以每年20%的速度增长，每年年底砍伐1000m3的木材出售作为再生产的资金补贴，问：
(1)多少年后木材贮量达到翻番的目标
(2)多少年后木材贮量达到翻两番的目标
延伸·拓展
【解题回顾】从数字角度看，本例是解决与数列有关的应用问题.必须认真审题，弄清题意，解决问题的关键在于理解复利的概念及其运算，形成用数学的意识.
5.某下岗职工准备开办一个商店，要向银行贷款若干，这笔贷款按复利计算(即本年利息计入下一年的本金生息)，利率为q(0＜q＜1).据他估算，贷款后每年可偿还A元，30年后还清.
①求贷款金额；
②若贷款后前7年暂不偿还，从第8年开始，每年偿还A元，仍然在贷款后30年还清，试问：这样一来，贷款金额比原贷款金额要少多少元
返回
1.数列应用题的误解往往是由审题不清，误解题意引起的，因此仔细审题，准确地找出模型是解题关键.
误解分析
2.数列应用题的计算往往较复杂，需认真仔细.
返回(共22张PPT)
§3.3.1等差数列的前n项和
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§3.3.1等差数列的前n项和（一）
教学目标：
高2008级数学教学课件
1．掌握等差数列前n项和公式及其获取思路．
2．会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题
教学重、难点：
1.等差数列n项和公式的理解、推导及应用
2.灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§3.3.1等差数列的前n项和（一）
高2008级数学教学课件
1+2+3+4+…+100=
高斯，不要动来动去的!
高斯，你再不停下来，我可不客气啦！！
xixi
高斯，你这么有空，罚你在放学前算完这个加法！！！
小case啦！
heihei…看你还嚣张
5050
!!
好好学习 天天向上
高斯(Carl.Friedrich.Gauss 1777~1855),德国著名数学家.
上课讲话高 斯
斐波那契
上课睡觉 康托尔
笛卡儿
小故事
高斯，算你运气好，下一道题我看你怎么解？？？
1+2+3+4+…+21=
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§3.3.1等差数列的前n项和（一）
高2008级数学教学课件
一、复习提问：
1．等差数列的定义：an－an-1=d ，（n≥2，n∈N+）
2．等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d
(an=am+(n-m)d 或 an=pn+q (p、q是常数))
3．有几种方法可以计算公差d
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§3.3.1等差数列的前n项和（一）
高2008级数学教学课件
一、复习提问：
4．等差中项： 成等差数列
5．等差数列的性质：
6．数列的前n项和Sn：
称为数列{an}的前n项和，记为Sn.
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§3.3.1等差数列的前n项和（一）
高2008级数学教学课件
二、讲解新课：
问题呈现
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。
你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
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§3.3.1等差数列的前n项和（一）
高2008级数学教学课件
探究发现
问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？
这是求奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的办法，需要把中间项11看成首、尾两项1和21的等差中项。
通过前后比较得出认识：高斯“倒序相加” 的算法还得分奇、偶个项的情况求和。
进而提出有无简单的方法？
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§3.3.1等差数列的前n项和（一）
高2008级数学教学课件
探究发现
问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？
借助几何图形之直观性，使用熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。
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§3.3.1等差数列的前n项和（一）
高2008级数学教学课件
探究发现
问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？
1
2
3
21
21
20
19
1
获得算法：
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§3.3.1等差数列的前n项和（一）
高2008级数学教学课件
探究发现
从求确定的前n个正整数之和到求一般项数的前n个正整数之和，旨在体验“倒序相加”这一算法的合理性，从心理上完成对“倒序相加求和”算法的改进。
问题2：求1到n的正整数之和。
§3.3.1等差数列的前n项和（一）
高2008级数学教学课件
探究发现
问题3：
由于前面的铺垫，学生容易得出如下过程：
为什么在等差数列中有
图形直观
等差数列的性质
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§3.3.1等差数列的前n项和（一）
高2008级数学教学课件
探究发现
问题4：
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§3.3.1等差数列的前n项和（一）
高2008级数学教学课件
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§3.3.1等差数列的前n项和（一）
高2008级数学教学课件
三、例题讲解
例1.一个堆放铅笔的V型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔？
解:由题意知,这个V型架上自下而是个层的铅笔数成等差数列,记为{an}
答：V型架上共放着7260支铅笔。
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§3.3.1等差数列的前n项和（一）
高2008级数学教学课件
例2.等差数列－10，－6，－2，2，·······前多少项和是54 ？
解: 设题中的等差数列为{an},
则 a1= -10 d= -6-(-10)=4.
设 Sn= 54,
得 n2-6n-27=0
得 n1=9, n2= －3(舍去）。
因此等差数列 -10，-6，-2，2，······· 的前9项和是54。
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§3.3.1等差数列的前n项和（一）
高2008级数学教学课件
公式应用
10500
10000
9500
9000
8500
8000
7500
例3.某长跑运动员７天里每天的训练量(单位：m)是：
这位长跑运动员７天共跑了多少米？
本例提供了许多数据信息，学生可以从首项、尾项、项数出发，使用公式1，也可以从首项、公差、项数出发，使用公式2求和。达到学生熟悉公式的要素与结构的教学目的。
通过两种方法的比较，引导学生应该根据信息选择适当的公式，以便于计算。
选用公式
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§3.3.1等差数列的前n项和（一）
高2008级数学教学课件
知三求二
本例是使用等差数列的求和公式和通项公式求未知元。
可以使用公式2，先求出首项，再使用通项公式求尾项。也可以使用公式1和通项公式，联列方程组求解。
事实上，在求和公式、通项公式中共有首项、公差、项数、尾项、前n项和五个元素，如果已知其中三个，联列方程组，就可求其余二个。
公式应用
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§3.3.1等差数列的前n项和（一）
高2008级数学教学课件
小结：
等差数列的前n项和公式：
书面作业
课后训练
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课堂练习
<<教材>>
P.118 练习1.2
<<教材>>
P.118 习题3.3– 1.2.3.4
高2008级数学教学课件
重庆市万州高级中学 曾国荣wzzxzgr@(共29张PPT)
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§3.4.1等比数列（一）
教学目标：
高2008级数学教学课件
1.掌握等比数列的定义.
2.理解等比数列的通项公式及推导.
3.会解决知道an、n、d、a1中的三个，求另外一个的问题 .
教学重、难点：
1.等比数列的定义及通项公式
2.灵活应用定义式及通项公式解决相关问题
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§3.4.1等比数列（一）
高2008级数学教学课件
复习提问：
1．等差数列：an－an-1=d (n≥2，n∈N+)
2．等差数列的通项公式：
(1)an=a1+(n-1)d
(2)an=am+(n-m)d
(3) an=pn+q (p、q是常数))
3．有几种方法可以计算公差d
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§3.4.1等比数列（一）
高2008级数学教学课件
复习提问：
6. 在等差数列{an}中a1+an = a2+ an-1= a3+ an-2 = …
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§3.4.1等比数列（一）
高2008级数学教学课件
复习提问：
10.等差数列的前n项和公式：
11.数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，
Sk，S2k-Sk，S3k-S2k……成等差数列.
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§3.4.1等比数列（一）
高2008级数学教学课件
一.提出问题
给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准.
① －2，1，4，7，10，13，16，19，…
② 8，16，32，64，128，256，…
③ 1，1，1，1，1，1，1，…
④ 243，81，27，9，3，1，，，…
⑤ 31，29，27，25，23，21，19，…
⑥ 1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…
⑦ 1，－10，100，－1000，10000，－100000，…
⑧ 0，0，0，0，0，0，0，…
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§3.4.1等比数列（一）
高2008级数学教学课件
二、讲解新课
请说出数列②、③、④、⑥、⑦的共同特性？
② 8，16，32，64，128，256，…
③ 1，1，1，1，1，1，1，…
④ 243，81，27，9，3，1，，，…
⑥ 1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…
⑦ 1，－10，100，－1000，10000，－100000，…
从第2项起，每一项与前一项的比等于同一个常数
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§3.4.1等比数列（一）
高2008级数学教学课件
细胞分裂问题
引例1.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…….一直进行下去，记录下每个单位时间的细胞分裂个数得到了一列数这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这是我们将要研究的另一类数列——等比数列.
1个这样的细胞分裂 n 次后，得到的细胞个数 an与 n 的函数关系是什么？
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§3.4.1等比数列（一）
高2008级数学教学课件
引例1
细胞分裂过程
细胞个数
第一次
第二次
第三次
2=21
8=23
4=22
…………
第n次
……
细胞个数an关于分裂次数n的表达为:
表达式
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§3.4.1等比数列（一）
高2008级数学教学课件
1.等比数列的定义
根据等比数列与等差数列的名字的区别与
联系，请尝试给等比数列下定义.
定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数(指与n无关的数),这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示。
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§3.4.1等比数列（一）
高2008级数学教学课件
请指出等比数列②③④⑥⑦各自的公比 .
② 8，16，32，64，128，256，…
③ 1，1，1，1，1，1，1，…
④ 243，81，27，9，3，1，，，…
⑤ 31，29，27，25，23，21，19，…
⑥ 1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…
⑦ 1，－10，100，－1000，10000，－100000，…
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§3.4.1等比数列（一）
高2008级数学教学课件
2.对定义的认识
（2）等比数列的每一项都不为0，即
（1）等比数列的首项不为0；
问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等
比数列的什么条件？
（3）公比不为0.
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§3.4.1等比数列（一）
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用数学式子表示等比数列的定义
如写成 行不行？
是等比数列
.
能否改写为
是等比数列
？
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§3.4.1等比数列（一）
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与第 项
式子 给出了数列第 项
的数量关系，但能否确定一个等比数列？
确定一个等比数列需要几个条件？
当给定了首项及公比后，如何求任意一项的值？
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§3.4.1等比数列（一）
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3.等比数列的通项公式
问题：用 和 表示第 项 .
①不完全归纳法
由此等比数列的通项公式为:
其中，
与q 均不为0。由于当n=1时等式也成立.
即对一切
成立.
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§3.4.1等比数列（一）
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②叠乘法
当n=1时，左边=a1,右边=a1所以等式成立.
所以等比数列通项公式为：
若将上述n-1个等式相乘，便可得
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§3.4.1等比数列（一）
高2008级数学教学课件
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§3.4.1等比数列（一）
高2008级数学教学课件
数列：1，2，4，8，16，…
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0
●
●
●
●
●
等比数列的图象
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§3.4.1等比数列（一）
高2008级数学教学课件
数列：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
●
●
●
●
●
●
●
等比数列的图象
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§3.4.1等比数列（一）
高2008级数学教学课件
数列：4，4，4，4，4，4，4，…
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
●
●
●
●
●
●
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●
●
●
等比数列的图象
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§3.4.1等比数列（一）
高2008级数学教学课件
数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，…
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
●
●
●
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●
●
●
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等比数列的图象
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§3.4.1等比数列（一）
高2008级数学教学课件
例1.培育水稻新品种，如果第1代得到120粒种子，并且从第1代起，以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这种新品种的种子多少粒（保留两个有效数字）？
，其中
解： 由于每代的种子数是它的前一代种子数的120倍，
逐代的种子数组成等比数列，记为
因此，
答： 到第5代大约可以得到种子
粒。
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§3.4.1等比数列（一）
高2008级数学教学课件
例2.一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.
解： 设这个等比数列的第1项是
,公比是q，那么
把②的两边分别除以①的两边，得
③
①
②
把③代入①，得
因此
答 ：这个数列的第1项与第2项分别是
与8。
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§3.4.1等比数列（一）
高2008级数学教学课件
1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;
公比通常用字母q表示(q≠0),即： =q(q≠0)
2.等比数列的通项公式:
小结：
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§3.4.1等比数列（一）
高2008级数学教学课件
“an≠0”是数列{an}成等比数列的必要非充分条件
3.{an}成等比数列
4.既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
书面作业
课后训练
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
课堂练习
<<教材>>
P.124 练习1.2
<<教材>>
P.125 习题3.4– 1.2.3
高2008级数学教学课件
重庆市万州高级中学 曾国荣wzzxzgr@(共12张PPT)
等差、等比数列的运用
要点·疑点·考点
1.差数列前n项和的最值
设Sn是{an}的前n项和，则{an}为等差数列
Sn=An2+Bn，其中A、B是常数.
{an}为等差数列，
若a1＞0，d＜0，则Sn有最大值，n可由 确定
若a1＜0，d＞0，则Sn有最小值，n可由 确定.
an ≥0
an+1≤0
an≤0
an+1≥0
2.递推数列
可用an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)或
求数列的通项公式.
返回
课 前 热 身
1.{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1=0,Cn＝an+bn，若数列{Cn}是1，1，5，…则{Cn}的前10项和为___________.
2.如果b是a，c的等差中项，y是x与z的等比中项，且x，y，z都是正数，则(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)logmz=_______.
3.下列命题中正确的是( )
A.数列{an}的前n项和是Sn=n2+2n-1，则{an}为等差数列
B.数列{an}的前n项和是Sn=3n-c，则c=1是{an}为等比数列的充要条件
C.数列既是等差数列，又是等比数列
D.等比数列{an}是递增数列，则公比q大于1
90或29434
0
B
4.等差数列{an}中，a1＞0，且3a8=5a13，则Sn中最大的是( )
(A)S10? (B)S11? (C)S20? (D)S21
5.等差数列{an}中，Sn为数列前n项和，且Sn/Sm＝n2/m2 (n≠m)，则an / am值为( )
(A)m/n (B)(2m-1)/n
(C)2n/(2n-1) (D)(2n-1)/(2m-1)
返回
C
D
能力·思维·方法
【解题回顾】这是2000年高考题，因是填空题，本题也可由条件求出a1=1，a2=1/2，a3=1/3，a4=1/4…后，猜想
an=1/n
1.设{an}是首项为1的正项数列，且(n+1)a2n+1-na2n+an+1an
=0(n=1,2,3,…)，则它的通项公式是an= 1/n.
2.一个首项为正数的等差数列中，前3项和等于前11项和，问此数列前多少项的和最大
【解题回顾】另外，本例还可通过考查项的符号确定n取何值时Sn取得最大值，即寻求这样的一项：使得这项及它前面所有项皆取正值或0，而它后面所有各项皆取负值，则第一项起到该项的和为最大.这是寻求Sn最大值或最小值的基本方法之一.还有在学习研究中我们不难发现在等差数列{an}中，若a1＞0，且Sp=Sq(p≠q)，(1)当p+q为偶数时，则n=p+q2时，Sn取得最大值；(2)当p+q为奇数时，则n=p+q-12或p+q+12时Sn取得最大值这一规律.
3.已知等比数列{an}的首项a1＞0，公比q＞0.设数列{bn}的通项bn=an+1+an+2(n∈N*)，数列{an}与{bn}的前n项和分别记为An与Bn，试比较An与Bn的大小.
【解题回顾】遇到涉及等比数列的和的问题时，要根据题意作具体分析，不要贸然使用求和公式，如本例就是直接利用数列前n项和的定义，从而避免了运用求和公式所带来的繁杂运算.
【解题回顾】本例解法一是依据等差数列均匀分段求和后组成的数列仍为等差数列；解法二是依据等差数列的前n项的算术平均数组成的数列仍为等差数列；解法三是利用数列的求和定义及等差数列中两项的关系，熟记等差数列的这些性质常可起到简化解题过程的作用.
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10=100，S100=10，试求S110.
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延伸·拓展
【解题回顾】题设中有a1+2a2+…+nan，应将其看做数列{nan}的和Sn．而本题要证an+1-an为常数，故应在等式中消去a1+2a2+…+(n-1)an-1，即消去Sn-1，因此，利用Sn-Sn-1，就达到了用{bn}中的项表示an的目的.作差法是解决与数列和有关的问题的常用方法.
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5.已知数列{an}和{bn}满足 (n∈
N+)，试证明：{an}成等差数列的充分条件是{bn}成等差数列.
1.在利用an≥0，an+1≤0或an≤0、an+1≥0求等差数列前n项和Sn的最值时，符号不能丢掉.
误解分析
2.在能力·思维·方法4中，如果数不清项数，看不清下标，将会出错.
返回(共43张PPT)
[学习内容]
1、数列的概念。
2、等差数列与等比数列的基本概念与运算。
3、等差等比数列的性质。
4、数列求和。
[学习要求]
（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义。了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。
（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的实际问题。
（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的实际问题。
[学习指导]
从命题趋势看，数列与不等式、函数、应用问题等相结合将会与为热点，尤其值的注意的是2005高考试题有关数列的大题就有两道，因此在选题时我们要注意选择这方面的综合型题目，以此加强学生综合解题能力的训练。在数学思想方法方面，突出函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想。在本章复习时要注意以下几点：
1、要正确理解等差数列、等比数列的意义、掌握其通项公式、前n项和公式及其联系和内在规律。数列的通项an和前n项和有密切关系，但要注意：an=Sn-Sn-1中的n≥2，当n=1时，a1=S1。一般的数列求和，首先要考虑是否能转化为等差（等比）数列求和，其次再考虑错位相减、倒序相加、裂项相消等方法。
2、要善于使用数列问题中的一些技巧和思想方法，如用函数的观点认识数列，以方程的思想指导数列运算。同时还要指导学生解题时做到，回归定义、巧用性质。
3、对客观题，应注意寻求简捷方法
解答历年有关数列的客观题，就会发现，除了常规方法外，还可以用更简捷的方法求解。现介绍如下：
①借助特殊数列。
②灵活运用等差数列、等比数列的有关性质，可更加准确、快速地解题，这种思想在解客观题时表现得更为突出，很多数列客观题都有灵活、简捷的解法。
4、在数列的学习中加强能力训练。
数列问题对能力要求较高，特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出。一般来说，考题中选择、填空题解法灵活多变，而解答题更是考查能力的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起我们足够的重视。因此，在平时要加强对能力的培养。
5、树立应用意识，能应用数列有关知识解决生产、生活中的一些问题。
[典型例题分析]
例1、已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求{an}的通项公式。
（1）Sn=2n2-3n（2）Sn=3n-2
[分析]先确定首项，再确定n≥2的情况。
解：（1）a1=S1=-1当n≥2时
an=Sn-Sn-1
=2n2-3n-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5
a1也适合此等式 ∴an=4n-5
（2）a1=S1=1当n≥2时
an=Sn-Sn-1=3n-2-(3n-1-2)=2·3n-1
an=
小结：已知Sn求an一般要分n=1和n≥2来考虑，两种情况能统一则统一。
1 (n=1)
2·3n-1 (n≥2)
例2、已知{an}是等差数列
（1）前4项和为21末4项和为67，且各项和为286，求项数。
（2）Sn=20 S2n=28求S3n
（3）项数为奇数，奇数项和为44，偶数项和为33，求数列中间项和项数。
解:(1)a1+a2+a3+a4=21
an-3+an-2+an-1+an=67
∴a1+an= =22
又∵Sn=286 =286 ∴n=26
(2)Sn、S2n-Sn、S3n-S2n成等差数列
即2(S2n-Sn)=Sn+S3n-S2n
∴S3n=24
(3)解法1，设项数为2k+1则
a1+a3+…+a2k+1=44= (a1+a2k+1)
a2+a4+…+a2k=33= (a2+a2k)
由a1+a2k+1=a2+a2k
k=3 n=7中间项为 =11
解法2 S奇+S偶=Sn Sn=77
S奇-S偶=a中 a中=11
Sn-nS中 na中=Sn
小结：在等差数列中性质：m+n=p+q am+an=ap+aq等的灵活应用，可提高解题速度。
n=7
a中=11
例3、有一个首项为正数的等差数列S3=S11问这个数列前几项和最大。
解： ∴a1=- d
a1>0 ∴d<0
an=a1+(n-1)d=- d+(n-1)d≥0
n≤7.5 ∴这个数列前7项和最大。
小结：（1）等差数列前n项和最大值与最小值。
①当公差d<0时Sn有最大值，当d>0时Sn有最小值。
②求Sn的最大值与最小值，可以不采用直接求Sn的最大值与最小值，而是由an单调性求出前几项最大或最小。
当a1>0，若d<0这时{an}是减数列，满足an≥0的最大自然数为n。则Sn0为Sn的最大值。当a1<0,d<0则S1=a1为Sn最大值；当a1>0,d>0时S1=a1为Sn最小值；当a1<0,d>0这时{an}是增数列，满足an≤0的最大自然数为n0，则Sn0为Sn的最小值。
（2）本题要求Sn的最大值，就一定可由条件判断d<0，从而解不等式an≥0，求得n最大值为7，即S7最大。
例4、设等比数列{an}中前n项和为Sn若S3+S6=2S9，求公比q。
解法1,若q=1则S3=3a1 S6=6a1 S9=9a1(a1≠0) S3+S6≠2S9 ∴q≠1
由S3+S6=2S9 ∴
∴q3(2q6-q3-1)=0
2q6-q3-1=0 ∴q3=- q=-
法2：S3+S6=2S9又S3 S6-S3 S9-S6成等比数列∴ S3+S6=2S9 消去S9
S3(S9-S6)=(S6-S3)2 ∴S3=2S6
法3，在等比数列{an}中由S3+S6=2S9
知S3，S9，S6成等差数列∵q≠1
∴a3,a9,a6也成等差数列
a3+a6=2a9 2q6-q3-1=0以下同法1。
小结：（1）在等比数列{an }中在求前n项和时一定要分q=1与q=1两种情况。
（2）Sn、S2n-Sn、S3n-S2n也成等比数列。
（3）若Sn，Sk，Sm成等差则an，ak，am也成等差。
例5、等比数列{an}的公比为q>1，其第十七项的平方等于第24项，求使a1+a2+…+an>
成立的自然数n的取值范围。
[分析]从寻找数列{an}的规律入手
解：由已知(aq16)2=aq23 ∴aq9=1
又由已知
把q12=q-18代入得q-18(qn-1)>q(1- )
∴qn>q19 ∵q>1 ∴n>19
∴n的取值范围为n≥20
小结：抓住{an}与{ }的关系是解决本题的关键。
例6、是否存在常数k和等差数列{an}，使kan2-1=S2n+Sn+1其中S2n,Sn+1分别是等差数列{an}前2n项，前n+1项的和，若存在试求出常数k和{an}的通项；若不存在说明理由。
[分析]本题是一道探究性问题，解题时，先假设存在常数k通项公式an 代入已知等式后，看能否求出相应的k和an ，若能求出，则结论是肯定的，若不能，则可否定结论。
解：假设存在常数k与an=an+b(a、b为常数)满足题设，则ka2n-1=ka2n2+2kabn+kb2-1,
Sn= (a+b+an+b)n= an(n+1)+bn,
S2n-Sn+1= an2+(b- )n-(a+b), 依题意，
得ka2n2+2kabn+kb2-1= an2+(b- )n-(a+b),
ka2= a, ①
比较系数有 2kab=b- , ②
kb2-1=-(a+b) ③
由①得a=0或ka=
若a=0，由②得b=0，而a=b=0不适合③，故a≠0。
把ka= 代入②，得b=- ，将此代入③，又ka= ，得a=
从而b=- ，k= =
故存在常数k= 及等差数列an = n-
满足已知等式ka2n-1=S2n-Sn-1
反思：对本题的解答过程中，有一种误解是，认为由ka2n2+2kabn+kb2-1= an2+(b- )
n-(a+b)无法得出k、a、b的具体数值。故不存在k、an满足题设，事实上，由于ka2n2+2kabn+kb2-1= an2+(b- )n-(a+b)对所有的n∈都成立，故只有对应的系数相等时，即①、②、③同时成立时才有可能。
例7、设各项均为正数的数列{an}的前n项之和为Sn，对任意的正整数n，都有等式 =Sn成立。
（1）求a1，并证明等式Sn=
(n∈N);
（2）求数列{an}的前n项的公式。
解：（1）当n=1时， =S1，解得a1=2； 当n≥2时，由等式
两式相减得
即Sn=
（2）当n≥2时，
an=Sn-Sn-1=
整理得(an+an-1)(an-an-1-2)=0。由题意知an+an-1≠0，所以an-an-1=2。即数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列。所以an=2+2(n-1)=2n。故Sn=n2+n。
例8、从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业。根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少 。本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 。
（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元。写出an,bn的表达式；
（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？
解：（1）第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1- )万元，……，第n年投入为800×(1- )n-1万元。
所以，n年内的总投入为
an=800+800×(1- )+…+800×(1- )n-1
= 800×(1- )k-1
=4000×[1-( )n];
第1年收入为400万元，第2年收入为400×(1- )万元，……，第n年收入为400×(1- )n-1万元。
所以，n年内的总收入为
（II）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此 bn – an > 0，即
化简得
设
代入上式得5x2-7x+2>0,
解此不等式，得
即
答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入。
例9：已知f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,且a1,a2,a3,…an组成等差数列（n是正偶数）
（1）当f(-1)=n时，求数列 an 的公差d
（2）当f(1)=n2时，比较 与3的大小，并说明理由。
解：(1)因为f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,且a1,a2,a3,…an成等差数列，所以
例10：数列{an}中，a1=8,a4=2,且满足an+2-2an+1+an=0(n∈N*)
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Sn;
[分析]
（1） an+2-2an+1+an=0可变形成an+2-an+1=
an+1-an可知为等差数列；
（2）分情况讨论去掉绝对值符号后再求
和；
（3）利用裂项法先求出{bn}的前n项和，
再判断Tn的单调性。
解: (1) 由an+2-2an+1+an=0得an+2-
an+1= an+1-an,∴{an}为等差数
列，由a1=8,a4=2得：公差
(2) 当n≤5时，Sn=-n2+9n；
当n>5时，Sn=n2-9n+40(共22张PPT)
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§3.4.3等比数列（三）
教学目标：
高2008级数学教学课件
1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.
2.深刻理解等比中项概念.
3.熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法
教学重、难点：
1.等比中项的理解与应用
2.灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§3.4.3等比数列（三）
高2008级数学教学课件
一、复习提问：
1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;
公比通常用字母q表示(q≠0),即： =q(q≠0)
2.等比数列的通项公式:
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§3.4.3等比数列（三）
高2008级数学教学课件
一、复习提问：
“an≠0”是数列{an}成等比数列的必要非充分条件
3.{an}成等比数列
4.既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
5.等比中项:如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项. 即G=± （a,b同号）
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§3.4.3等比数列（三）
高2008级数学教学课件
6.等比数列的性质：
1)若m+n=p+k，则
2)若m+n=2p，则
7.判断等比数列的方法:
定义法，中项法，通项公式法
8.等比数列的增减性：
(1)当q>1, a1>0或0(2)当q>1, a1<0或00时, {an}是递减数列
(3)当q=1时, {an}是常数列
(4)当q<0时, {an}是摆动数列
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§3.4.3等比数列（三）
高2008级数学教学课件
1.定义
2.公比(差)
3.等比(差)
中项
4.通项公式
5.性质
(若m+n=p+q)
q不可以是0,
d可以是0
等比中项
等差中项
等差数列(A P)
等比数列(G P)
等差数列与等比数列的关系
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§3.4.3等比数列（三）
高2008级数学教学课件
{an}是公差为d的等差数列 {bn}是公比为q的等比数列
性质１: an=am+(n-m)d 猜想１：
性质２:若an-k,an,an+k是{an}中的三项 则2an=an-k+an+k 猜想2：
性质３: 若n+m=p+q
则am+an=ap+aq 猜想3：
性质４:从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)
猜想４：
性质５: 若{cn}是公差为d′的等差数列，则数列{an+cn}是公差为d+d′的等差数列。 猜想５：
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§3.4.3等比数列（三）
高2008级数学教学课件
由等差数列的性质，猜想等比数列的性质
{an}是公差为d的等差数列 {bn}是公比为q的等比数列
性质１： an=am+(n-m)d
性质２：
若an-k,an,an+k是{an}中的三项 则2an=an+k+ an-k 猜想2：
性质３： 若n+m=p+q
则:am+an=ap+aq
猜想1：
若bn-k,bn,bn+k是{bn}中的三项 则
猜想3：若n·m=p·q
则: bn·bm=bp·bq
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§3.4.3等比数列（三）
高2008级数学教学课件
性质４：从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)
性质５: 若{cn}是公差为d′的等差数列，则数列{an+cn}是公差为d+d′的等差数列。
猜想４：从原数列中取出偶数项，组成的新数列公比为 . (可推广)
猜想５：若{dn}是公比为q′的等比数列,则数列{bn dn}是公比为q·q′的等比数列.
性质３： 若n+m=p+q 猜想3：若n+m=p+q
则am+an=ap+aq 则bn·bm=bp·bq,
由等差数列的性质，猜想等比数列的性质
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§3.4.3等比数列（三）
高2008级数学教学课件
{an}是公差为d的等差数列 {bn}是公比为q的等比数列
性质１: an=am+(n-m)d 猜想１：
性质２:若an-k,an,an+k是{an}中的三项,则2an=an-k+an+k 猜想2:若an-k,an,an+k是{an}
的三项，则 =bn-kbn+k
性质３： 若n+m=p+q
则am+an=ap+aq 猜想3：若n+m=p+q
则bn·bm=bp·bq,
性质４：从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广) 猜想４：从原数列中取出偶数项，组成的新数列公比为 .(可推广)
性质５: 若{cn}是公差为d′的等差数列，则数列{an+cn}是公差为d+d′的等差数列。 猜想５：若{dn}是公比为q′的等比数列,则数列{bn dn}是公比为q·q′的等比数列.
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§3.4.3等比数列（三）
高2008级数学教学课件
练习
1.
的等比中项是——————
2.如果三角形的三边成等比数列，则公比 q 的
取值范围是——————————————.
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§3.4.3等比数列（三）
高2008级数学教学课件
练习
3.已知正数等比数列{an}中对所有的自然数 n
都成立，则公比 q =————
4.设数列{an}是等比数列，且
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§3.4.3等比数列（三）
高2008级数学教学课件
5.已知等差数列{an}的公差 且
成等比数列，则
6.等比数列{an}中，
公比为整数，则
512
练习
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§3.4.3等比数列（三）
高2008级数学教学课件
例1.四个数,前三个成等比数列,它们的和是19;后三个成
等差数列,和是12,求此四个数.
解法1:
如图:a1,a2,a3,a4
等比
(a2)2=a1a3
等差2a3=a2+a4
已知:
a1+a2+a3=19
已知:
a2+ a3+ a4 =12
a1+a2+a3=19
(a2)2=a1a3
a2+ a3+ a4 =12
2a3=a2+a4
a1=9
a2=6
a3=4
a4 =2
a1=25
a2=-10
a3=4
a4 =18
或
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§3.4.3等比数列（三）
高2008级数学教学课件
如图:a1,a2,a3,a4
解法2:
a-d,a,a+d
等差
等比a1, a-d,a
已知和为12
=>a-d+a+a+d=12
已知三数和为19=>
=>
或
四数为:
9,6,4,2或
25,-10,4,18.
19
例1.四个数,前三个成等比数列,它们的和是19;后三个成
等差数列,和是12,求此四个数.
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§3.4.3等比数列（三）
高2008级数学教学课件
为了便于解方程，应该充分分析条件的
特征,尽量减少未知数的个数, 用最少的未知
数表达出数列的有关项的数量关系，促使复
杂的问题转化为较简单的问题，获得最佳的
解决方法。
归 纳
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§3.4.3等比数列（三）
高2008级数学教学课件
练习
1. 已知等比数列{an}中,an>0,
且a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5= ( )
(A)5 (B)10 (C)15 (D) 20
2.数列{an}是等差数列,且S10=100,
S100=10,则S110= ( )
(A)90 (B)-90 (C)110 (D)-110
A
D
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§3.4.3等比数列（三）
高2008级数学教学课件
1. 已知等比数列{an}中,an>0,
且a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=
a2a4=(a3)2
a4a6=(a5)2
原式=(a3+a5)2=25=> a3+a5=5
(an>0)
提示:
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§3.4.3等比数列（三）
高2008级数学教学课件
2.数列{an}是等差数列,且S10=100,
S100=10,则S110= ( )
(A)90 (B)-90 (C)110 (D)-110
S10,S20-S10,S30-S20,........,S110-S100成等差数列,公差100d.
解:
∴ (S20-S10)-S10=100d)
∴S110-S100=S10+(11-1)100d=100+100(-11/5)=-120
S110=-120+S100=-110
=>10d=-11/5
S110-S100=S10+(11-1)100d
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§3.4.3等比数列（三）
高2008级数学教学课件
小结：
书面作业
课后训练
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课堂练习
<<教材>>
P.124 练习3.4.5
<<教材>>
P.125 习题3.4– 9.10.11
高2008级数学教学课件
重庆市万州高级中学 曾国荣wzzxzgr@(共25张PPT)
*
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§3.5.2等比数列的前n项和（二）
教学目标：
高2008级数学教学课件
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路
2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题
教学重、难点：
1.等比数列的前n项和公式推导
2.灵活应用公式解决有关问题
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§3.5.2等比数列的前n项和（二）
高2008级数学教学课件
1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;
公比通常用字母q表示(q≠0),即： =q(q≠0)
2.等比数列的通项公式:
一、复习提问：
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§3.5.2等比数列的前n项和（二）
高2008级数学教学课件
“an≠0”是数列{an}成等比数列的必要非充分条件
3.{an}成等比数列
4.既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
5.等比中项:如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项. 即G=± （a,b同号）
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§3.5.2等比数列的前n项和（二）
高2008级数学教学课件
6.等比数列的性质：
1)若m+n=p+k，则
2)若m+n=2p，则
7.判断等比数列的方法:
定义法，中项法，通项公式法
8.等比数列的增减性：
(1)当q>1, a1>0或0(2)当q>1, a1<0或00时, {an}是递减数列
(3)当q=1时, {an}是常数列
(4)当q<0时, {an}是摆动数列
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§3.5.2等比数列的前n项和（二）
高2008级数学教学课件
9.等比数列的前n项和公式：
(3)对含字母的题目一般要分别考虑q=1和
q≠1两种情况。
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§3.5.2等比数列的前n项和（二）
高2008级数学教学课件
3.数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，
Sk，S2k-Sk，S3k-S2k……成等差数列.
在等差数列中有如下性质：
那么，在等比数列中是否也有如下性质？
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§3.5.2等比数列的前n项和（二）
高2008级数学教学课件
3.数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和，
Sk，S2k-Sk，S3k-S2k……是否也成等比数列？
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§3.5.2等比数列的前n项和（二）
高2008级数学教学课件
解：设{an}首项是a1，公比为q.
①当q=－1且k为偶数时，
不是等比数列.
如：数列1,-1,1,-1,…是公比为-1的等比数列
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§3.5.2等比数列的前n项和（二）
高2008级数学教学课件
②当q≠－1或k为奇数时，
评述：应注意等比数列中的公比q的各种取值情况的讨论，还易忽视等比数列的各项应全不为0的前提条件.
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§3.5.2等比数列的前n项和（二）
高2008级数学教学课件
例1.已知等差数列{an}的第二项为8，前十项的和为185，从数列{an}中，依次取出第2项、第4项、第8项、……、2n第项按原来的顺序排成一个新数列{bn}，求数列{bn}的通项公式和前项和公式Sn .
∴ an＝3n＋2
Sn=(3×2+2)+(3×22+2)+(3×23+2)+……+(3×2n+2)
分组求和法
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§3.5.2等比数列的前n项和（二）
高2008级数学教学课件
例2. 求 前n项的和.
解：
（错项相减法）
①
②
① ②得：
当 时
当 时
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§3.5.2等比数列的前n项和（二）
高2008级数学教学课件
例3.设首项为正数的等比数列{an},它的前n项之和为80,前2n项之和为6560,且前n项中数值最大的项为54，求此数列.
代入(1)
，
得：
∴递{an}增，∴前n项中数值最大的项应为第n项
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§3.5.2等比数列的前n项和（二）
高2008级数学教学课件
例4.求和：
分析：上面各个括号内的式子均由两项组成，
其中括号内的前一项
后一项
都是等比数列
首项 公比
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§3.5.2等比数列的前n项和（二）
高2008级数学教学课件
解：当
时，
原式=
例4.求和：
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§3.5.2等比数列的前n项和（二）
高2008级数学教学课件
⑴.
分析：当
时，对x分两种情况讨论
⑵.
同例4
原式
变形1.求和：
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§3.5.2等比数列的前n项和（二）
高2008级数学教学课件
分析：当
时，对y分两种情况讨论
⑴.
原式=
⑵.
同例4
变形2.求和：
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§3.5.2等比数列的前n项和（二）
高2008级数学教学课件
分析：当
时，对x，y分四种情况讨论
⑷
同例4
⑶
同变形2.(1)
⑵
同变形1.(1)
⑴
原式
变形3.求和：
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§3.5.2等比数列的前n项和（二）
高2008级数学教学课件
练习.求和
当
当
时
时
解
∵
∴
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§3.5.2等比数列的前n项和（二）
高2008级数学教学课件
小结：
1.等比数列的前n项和公式：
(3)对含字母的题目一般要分别考虑q=1和
q≠1两种情况。
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§3.5.2等比数列的前n项和（二）
高2008级数学教学课件
4.①当q=－1且k为偶数时，
不是等比数列.
②当q≠－1或k为奇数时，
书面作业
课后训练
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课堂练习
<<教材>>
P.129 练习3.4
<<教材>>
P.129 习题3.5– 4.5.6
高2008级数学教学课件(共12张PPT)
数列的通项与求和
要点·疑点·考点
求数列的前n项和Sn，重点应掌握以下几种方法：
1.倒序相加法：如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法.
2.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.
3.分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法.
4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称
为裂项相消法.
5.公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式法求和，常用的公式有：
返回
课 前 热 身
1.数列{an}的前n项和Sn=n2+1，则an=_________________.
2.已知{an}的前n项和Sn=n2-4n+1，则|a1|+|a2|+…|a10|=( )
(A)67 (B)65 (C)61 (D)56
3.一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为( )
(A)12 (B)10 (C)8 (D)6
A
C
5.数列 的前n项之和
为Sn，则Sn的值得等于( )
(A) (B)
(C) (D)
4.计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢2进1”，如(1101)2表示二进制数，将它转换成十进制形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制数(111…11)2位转换成十进制形式是( )
(A) 217-2 (B) 216-2 (C) 216-1 (D)215-1
16
C
A
返回
能力·思维·方法
1.求下列各数列前n项的和Sn：
(1) 1×4，2×5，3×6，…n(n+3)…
(2)
(3)
【解题回顾】对类似数列(3)的求和问题，我们可以推广到一般情况：设{an}是公差为d的等差数列，则有
特别地，以下等式都是①式的具体应用：
①
上述方法也称为“升次裂项法”.
；
2.求数列a，2a2，3a3，…，nan，…(a为常数)的前n项的和.
【解题回顾】若一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积组成，则求此数列的前n项和多采用错位相减法．
【解题回顾】当本题解出Sn+1/Sn=(n+1)2/(n+2)n，下面要想到迭代法求Sn，(即选乘)，同样如得出Sn+1-Sn=f(n)，可用迭差.
3.已知数列{an}中的a1=1/2，前n项和为Sn．若Sn=n2an，求Sn与an的表达式.
4．若数列{an}中，an=-2[n-(-1) n]，求S10和S99．
【解题回顾】若构成数列的项中含有(-1)n，则在求和Sn时，一般要考虑n是奇数还是偶数.
返回
延伸·拓展
返回
5.在数列{an}中，an＞0， 2√Sn = an +1(n∈N)
①求Sn和an的表达式；
②求证：
【解题回顾】利用 ，再用裂项法求和.利用
此法求和时，要细心观察相消的规律，保留哪些项等.必要时可适当地多写一些项，防止漏项或增项.
误解分析
2．求数列前n项和时，一定要数清项数，选好方法，否则易错．
1.求数列通项时，漏掉n=1时的验证是致命错误.
返回(共11张PPT)
等差数列与等比数列
要点·疑点·考点
1.等差(比)数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差(比)等于同一个常数，这个数列叫做等差(比)数列.
2.通项公式
等差 an=a1+(n-1)d，等比an=a1qn-1
3.等差(比)中项
如果在a、b中间插入一个数A，使a、A、b成等差(比)数列，则A叫a、b的等差(比)中项．A＝(a+b)/2或A＝±√ab
4.重要性质：
am+an＝ap+aq(等差数列)
am·an＝ap·aq(等比数列)
m+n=p+q
(m、n、p、q∈N*)
特别地 m+n=2p
am+an＝2ap(等差数列)
am·an＝a2p(等比数列)
返回
课 前 热 身
1.观察数列：30，37，32，35，34，33，36，( )，38的特点，在括号内适当的一个数是_____.
2.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a,b∈R且a≠b)的四个根组成首项为1/4的等差数列，则a+b的值为( )
A. 3/8 B. 11/24 C. 13/24 D. 31/72
3.等比数列{an}的各项都是正数，且a2 ,a3/2,a1成等差数列，则a4+a5a5+a6的值是( )
A. B. C. D. 或
31
D
B
4.等比数列{an}中，a4+a6=3，则a5(a3+2a5+a7)=_________
5.在等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120,则2a10-a12的值为( )
A.20 B.22 C.24 D.28
C
9
返回
能力·思维·方法
【解题回顾】本题是利用等差数列、等比数列的条件设未知数，充分分析题设条件中量与量的关系，从而确定运用哪些条件设未知数，哪些条件列方程是解这类问题的关键所在.
1.四个正数成等差数列，若顺次加上2，4，8，15后成等比数列，求原数列的四个数.
2.{an}是等差数列，且a1-a4-a8-a12+a15=2，求a3+a13的值.
【解题回顾】本题若用通项公式将各项转化成a1、d关系后再求，也是可行的，但运算量较大.
【解题回顾】本题将函数、不等式穿插到数列中考查，用到了数学中重要的思想方法.
3.已知点An(n,an)为函数F1∶y=√x2+1上的点，Bn(n,bn)为函数F2∶y=x上的点，其中n∈N+，设cn=an-bn(n∈N+).
(1)求证：数列{cn}既不是等差数列也不是等比数列；
(2)试比较cn与cn+1的大小.
返回
【解题回顾】本题对sin2a2降次非常关键，不宜盲目积化和差
4.若a1，a2，a3成等差数列，公差为d；sina1，sina2，sina3成等比数列，公比为q，则公差d=kπ，k∈Z
延伸·拓展
【解题回顾】依定义或通项公式，判定一个数列为等差或等比数列，这是数列中的基本问题之一.
5.数列{an}与{bn}的通项公式分别为an=2n，bn=3n+2，它们的
公共项由小到大排成的数列是{cn}.
①写出{cn}的前5项.
②证明{cn}是等比数列.
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误解分析
2.延伸拓展5中，证明一个数列是等比数列(或等差数列)，用有限项作比(差)得出常数是典型错误，应用an+1与an关系.
1.在用性质m+n=p+q则am+an=ap+aq时，如果看不清下标关系，常会出现错误.
返回(共19张PPT)
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§3.4.2等比数列（二）
教学目标：
高2008级数学教学课件
1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.
2.深刻理解等比中项概念.
3.熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法
教学重、难点：
1.等比中项的理解与应用
2.灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题
§3.4.2等比数列（二）
高2008级数学教学课件
一、复习提问：
1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;
公比通常用字母q表示(q≠0),即： =q(q≠0)
2.等比数列的通项公式:
3.既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
“an≠0”是数列{an}成等比数列的必要非充分条件
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§3.4.2等比数列（二）
高2008级数学教学课件
数 列 等 差 数 列 等 比 数 列
定 义
公差（比）
定义变形
通项公式
一般形式
an+1-an=d
d 叫公差
q叫公比
an+1=an+d
an+1=an q
an= a1+(n-1)d
an=a1qn-1
an=am+(n-m)d
an=amqn-m
一、复习提问：
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§3.4.2等比数列（二）
高2008级数学教学课件
1.等比中项:如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项. 即G=± （a,b同号）
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列
反之,若G2=ab,则 即a,G,b成等比数列
∴a,G,b成等比数列 G2=ab（a·b≠0）
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§3.4.2等比数列（二）
高2008级数学教学课件
1.同号的两项才有等比中项，且有两个。
3. 是等比数列
二、讲解新课：
2.公比为的q等比数列中，
成等差数列时， 成等比数列。
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§3.4.2等比数列（二）
高2008级数学教学课件
二、讲解新课：
2.等比数列的性质：
若m+n=p+k，则
在等比数列中,m+n=p+q, 有什么关系呢？
由定义得：
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§3.4.2等比数列（二）
高2008级数学教学课件
二、讲解新课：
3.判断等比数列的方法:
定义法，中项法，通项公式法
4.等比数列的增减性：
(1)当q>1, a1>0或0(2)当q>1, a1<0或00时, {an}是递减数列
(3)当q=1时, {an}是常数列
(4)当q<0时, {an}是摆动数列
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§3.4.2等比数列（二）
高2008级数学教学课件
例3. 已知{an}是等比数列,
且 求
∴ a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a32 ＋2a3a5 ＋a52
解：∵{an}是等比数列，
＝(a3＋a5)2＝25,
又an>0, ∴a3＋a5＝5.
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§3.4.2等比数列（二）
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例4. a≠c,三数a, 1, c成等差数列， 成
等比数列，求
解： ∵a, 1, c成等差数列, ∴ a＋c＝2,
又a2, 1, c2成等比数列,
∴(a c)2＝1, 有ac＝1或ac＝－1,
当ac＝1时, 由a＋c＝2得a＝1, c＝1,与a≠c矛盾
∴ ac＝－1,
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§3.4.2等比数列（二）
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证明:(1) (常数)
∴该数列成等比数列.
例5.已知无穷数列:
求证:(1)这个数列成等比数列
(2)这个数列中的任一项是它后面第五项的
(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中.
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∴这个数列的任意两项的积仍在这个数列中.
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例6.设a,b,c,d均为非零实数，
求证：a,b,c成等比数列且公比为d.
∴a,b,c成等比数列
证一:关于d的二次方程 有实根
设公比为q，则b=aq，c=aq2代入得:
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§3.4.2等比数列（二）
高2008级数学教学课件
例6.设a,b,c,d均为非零实数，
求证：a,b,c成等比数列且公比为d.
证二：
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§3.4.2等比数列（二）
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1.a,G,b成等比数列 G2=ab（a·b≠0）
2.若m+n=p+k，则
若m+n=2p，则
3.判断等比数列的方法:
定义法，中项法，通项公式法
4.等比数列的增减性：
(1)当q>1, a1>0或0(2)当q>1, a1<0或00时, {an}是递减数列
(3)当q=1时, {an}是常数列
(4)当q<0时, {an}是摆动数列
小结：
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1.定义
2.公比(差)
3.等比(差)
中项
4.通项公式
5.性质
(若m+n=p+q)
q不可以是0,
d可以是0
等比中项
等差中项
等差数列(A P)
等比数列(G P)
等差数列与等比数列的关系
书面作业
课后训练
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P.124 练习3.4.5
<<教材>>
P.125 习题3.4– 6.7.8
高2008级数学教学课件
重庆市万州高级中学 曾国荣wzzxzgr@(共12张PPT)
等差数列（一）
一.指出下列数列的 特征：
（1）1，3，5，7……；
（2）3，0，－3，－6……；
（3） ……..
特征：从第2项起，每一项与前一项的差
都等于一个常数.
二.等差数列
1.定义：对于数列{an}，若a n＋1－ a n＝ d （ d为常数，n为正整 数）
则这个数列为等差数列，常数d叫公差.
2.已知：等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
求an
∴a 2＝a1＋d
a 3＝a2＋d＝a1＋2d
a 4＝a3＋d＝a1＋3d
a 5＝a3＋d＝a1＋4d ……
由此得: an＝a1＋（n－1）d （ n∈N*)
解：由等差数列得定义得： a n＋1＝an＋d
3.已知： 等差数列{an}中，公差为d，
则am与an（n，k∈N*)有何关系？
解：∵ am＝a1＋（m－1） d ①
an＝a1＋（n－1）d ②
① －②得：
am－an＝（m－n)d
∴ am = an+（m－n)d
例1. 求等差数列8，5，2，……的第
20项.
例2. －401是不是等差数列－5，－9，
－13，……的项？如果是，是第
几项？
例3. 在等差数列{an}中，已知a5＝10
a12＝31，求首项a1与公差d.
例4. 梯子的最高一级宽33㎝，最低
一级宽110㎝，中间还有10级，
各级的宽度成等差数列，计算
中间各级的宽度。
4.如果a，A，b成等差数列，则A满足什
么条件？
解：由a，A，b成等差数列，得：
A－a＝b－A
所以
反过来 如果 ，那么2A＝a＋b，
A－a＝b－A，即a，A，b成等差数列。
5.如果a，A，b成等差数列，那么A叫做
a与b的等差中项。
例4.已知数列的通项公式为an＝pn＋q
其中p，q是常数，且p≠0，那么
这个数列是否是等差数列？如果
是，其首项与公差是什么？
等差数列的判定方法：
(1) an＋1－an＝d {an}是等差数列
(2) 2an＋1=an+ an+ 2 {an}是等差数列
(3) an=kn+b {an}是等差数列
例5.（1）在等差数列{an}中，若m＋n
＝p＋q， 则am＋an＝ap＋aq.
（2）在等差数列{an}中，若a3＋a4＋
a5＋a6＋ a7=450,求a2＋a8.
解：∵ a2+a8= a3+a7= a4+a6=2a5
∴ 5a5=450, a5=90,
∴ a2+a8= 2×90=180
例6. 已知：lga，lgb，lgc与lga－lg2b，
lg2b－lg3c，lg3c－lga都是等差
数列，求a：b：c.
例7.已知，三个数成等差数列，其和为15
首末两项的积为9，求此数列.
若三个数成等差数列，可设三个数为a－d，a，a＋d
若四个数成等差数列，可设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.
例8.等差数列{an}中已知a10＝23，
（1）若a25＝－22，问此数列从第几
项开始为负？
（2）若数列从第17项起各项均为负，
求公差d的取值范围。
