【暑假复习】苏教版五年级数学下册第三单元因数与倍数巩固复习一（含答案解析）

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【暑假复习】苏教版五年级数学下册第三单元因数与倍数巩固复习一
一、选择题
1．有两个数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是18，这两个数是（ ）。
A．1和18 B．2和9 C．3和6 D．1和18或2和9
2．在长4.8米，宽4.2米的房间内铺正方形地砖。选择边长（ ）分米的方砖不需要切割。
A．4 B．5 C．6 D．8
3．一个两位数，个位上与十位上的数字都是质数，它们的和是10，积是21，这样的数有（ ）个。
A．1 B．2 C．3 D．4
4．甲、乙两人轮流值日，甲每4天值一次，乙每6天值一次。3月3日他们两人同时值日，他们下次同时值日是（ ）。
A．3月14日 B．3月15日 C．3月27日 D．3月28日
5．学校图书室新买了一些图书，如果每8本一包，能够正好包完。如果每12本一包，也能正好包完。学校图书室至少买了（ ）本图书。
A．96 B．48 C．24
6．著名的“哥德巴赫猜想”被誉为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：任何大于2的偶数都可以写成两个质数之和。下面算式中，符合这个猜想的是（ ）。
A．4＝1＋3 B．13＝2＋11 C．20＝9＋11 D．36＝17＋19
二、填空题
7．三个连续的奇数，中间一个是h，其余两个奇数分别是( )和( )，这三个奇数的和是( )。如果这三个奇数的和是99，那么最大的一个数是( )。
8．社团课上张老师准备了两根彩带（如图）折五角星，把这两根彩带剪成同样长的短彩带，并且没有剩余，每根短彩带最长是( )厘米，一共能剪成( )根。
9．幼儿园里有一些小朋友（人数多于5），王老师拿了32颗糖，平均分给他们，正好分完。小朋友的人数最少是( )人，最多是( )人，还有可能是( )人。
10．同学们参加拓展训练。每排10人或每排12人，最后都剩5人。至少有( )人参加军训。
11．一个数的最小倍数与最小因数的差是24，这个数的因数有( )个，把这个数分解质因数是( )。
12．学校买来40箱垃圾袋和20个垃圾桶，平均分给五年级各个班，结果垃圾袋多4箱，垃圾桶少4个。五年级最多有( )个班。
三、判断题
13．如果两个数都是质数，那它们一定没有公因数。( )
14．如果3a＝b，a和b的最大公因数是a。( )
15．12×3＝36，所以，12和3是因数，36是倍数。( )
16．把一张长是18厘米、宽是12厘米的长方形裁成同样大的正方形，如果要求纸没有剩余，裁出的正方形边长最大是6厘米。( )
四、计算题
17．求出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。
8和2 12和20 7和8 15和75
18．求下列每组数的最大公因数和最小公倍数。
7和11 6和16 8和9 17和51
五、解答题
19．一块长方形布，长12分米，宽8分米。把它裁成同样大小的正方形且没有剩余，每小块正方形布的边长最长是多少分米？能裁成多少块这样的布？
20．一个三角形花坛的三条边的长度分别是15米、18米、27米。要在它的三条边上摆若干盆花（三个顶点都要摆），且每相邻两盆花之间的距离相等，这个花坛至少可以摆多少盆花？
21．一桶巧克力有五十多颗。平均分给6个人，多3颗，平均分给8个人，少5颗。这桶巧克力有多少颗？
22．1路和2路公共汽车早上7时同时从起始站发车，1路车每隔5分发一辆车，2路车每隔6分发一辆车。列表找出这两路车第二次同时发车的时间。
1路车 7：00 7：05
2路车 7：00 7：06
23．迷你马拉松正在某城市举行，如图，这是赛道的一部分，赛道在B点拐弯，根据赛会要求需要在路的一边安排志愿者，志愿者之间的距离必须相等，而且A、B、C处必须安排。那么这段赛道最少要安排多少名志愿者？请先算一算，并用“*”表示出志愿者大致的位置。
24．甲、乙两人做抽卡片游戏，每人从卡片2、4、6、7中任意抽取一张。如果它们的和能被2整除，则甲获胜；如果它们的和能被3整除，则乙获胜。如果和既能被2整除又能被3整除，或者既不能被2整除又不能被3整除则重来。谁胜的可能性大？为什么？
25．把一张长12厘米、宽9厘米的长方形纸（如图）裁成同样大的正方形。如果要求纸没有剩余，裁出的正方形边长最大是多少厘米？一共可以裁出多少个这样的正方形？
（在图中画一画，再回答）
26．如图是一张4×4的方格图，它由16个小正方形组成，每个小正方形里都写了一个数。
（1）在这个方格图上框出形，那么框出的4个数的和一共有多少种？其中和最大是多少？最小呢？
（2）在这个方格图上框出形，那么框出的5个数的和一共有多少种？每5个数的和一定是15的倍数吗？为什么？
3 6 9 12
15 18 21 24
27 30 33 36
39 42 45 48
参考答案
1．D
【分析】由题意可知：这两个数的最大公因数是1，说明这两个数是互质数，然后把18进行分解，找出符合题意的即可。
【详解】18
＝1×18
＝2×9
＝3×6
因为3和6的最大公因数是3，最小公倍数是6，不合题意，舍去；
所以这两个数是1和18，或者是2和9；
故答案为：D
【点睛】此题求解最大公约数和最小公倍数的逆运算，有多种可能性，要细心解答。
2．C
【分析】由题意可知：4.8米＝48分米，4.2米＝42分米，方砖的边长是48和42的公因数，根据找一个数因数的方法，分别找出48和42的因数，再找出两数的公因数，最后结合选项选择即可。
【详解】4.8米＝48分米，4.2米＝42分米
48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×6
48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48
42＝1×42＝2×21＝3×14＝6×7
42的因数有：1、2、3、6、7、14、21、42
所以48和42的公因数有：1、2、3、6，即方砖的边长可以是1分米、2分米、3分米、6分米，只有选项C符合题意。
故答案为：C
【点睛】本题主要考查公因数的简单应用，明确方砖边长是48和42的公因数是解题的关键。
3．B
【分析】自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，据此解答即可。
【详解】3＋7＝10
3×7＝21
这个两位数是37或73；有2个。
一个两位数，个位上与十位上的数字都是质数，它们的和是10，积是21，这样的数有2个。
故答案为：B
【点睛】熟练掌握质数的意义是解答本题的关键。
4．B
【分析】要求下次两人同时值日的具体时间，那么就是求4和6的最小公倍数，求出他俩的最小公倍数即是经过多少天，据此解答即可。
【详解】4＝2×2
6＝2×3
4和6的最小公倍数是2×2×3＝12，所以他们隔12天后再次同时值日；
3月3日＋12日＝3月15日
他们下次同时值日是3月15日。
故答案为：B
【点睛】本题主要考查最小公倍数的求法，熟练掌握最小公倍数的求法并灵活运用。
5．C
【分析】求图书室至少买了多少本图书，也就是求8和12的最小公倍数，根据求两个数最小公倍数的方法：先把8和12进行分解质因数，这两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；据此解答即可。
【详解】8＝2×2×2
12＝2×2×3
所以8和12的最小公倍数是：
2×2×2×3
＝4×2×3
＝8×3
＝24
图书室至少买了24本图书。
故答案为：C
【点睛】此题考查了求两个数的最小公倍数的应用题：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数。
6．D
【分析】因数只有1和本身的数是质数，2的倍数是偶数。据此，一一分析各个选项中的算式是否符合猜想，从而解题。
【详解】A．“4＝1＋3”中1既不是质数，也不是合数，不符合猜想；
B．“13＝2＋11”中13是奇数，不是偶数，不符合猜想；
C．“20＝9＋11”中9是合数，不是质数，不符合猜想；
D．“36＝17＋19”中36是偶数，17和19是质数，符合猜想。
故答案为：D
【点睛】本题考查了质数和偶数，掌握质数和偶数的概念是解题的关键。
7． h－2 h＋2 3h 35
【分析】已知相邻的奇数相差2，中间一个是h，则前一个数是（h－2），后一个数是（h＋2），用h－2＋h＋h＋2即可求出三个奇数的和，如果这三个奇数的和是99，则列方程为h－2＋h＋h＋2＝99，然后解出方程，即可求出中间的数，进而求出最大的数。
【详解】h－2＋h＋h＋2＝3h
h－2＋h＋h＋2＝99
解：3h＝99
3h÷3＝99÷3
h＝33
33＋2＝35
三个连续的奇数，中间一个是h，其余两个奇数分别是（h－2）和（h＋2），这三个奇数的和是3h。如果这三个奇数的和是99，那么最大的一个数是35。
【点睛】本题考查了用字母表示数、含未知数式子的化简和求值，以及根据等式的性质2解方程。
8． 12 7
【分析】问每根短彩带最长是多少厘米，即找出两个数的最大公因数即可，再用总长除以这个最大公因数，即可得出一共剪了多少根。
【详解】36＝2×2×3×3
48＝2×2×2×2×3
36和48的最大公因数是：2×2×3＝12
彩带最长是12厘米。
（36＋48）÷12
＝84÷12
＝7（根）
每根短彩带最长是12厘米，一共能剪7根。
【点睛】熟练掌握求最大公因数的方法是解答本题的关键。
9． 8 32 16
【分析】根据求一个数因数的方法，找出32的因数，去掉小于或等于5的因数，据此解答。
【详解】32的因数有：1，2，4，8，16，32。
因为人数多于5人，所以小朋友的人数是8人、16人或32人。
幼儿园里有一些小朋友（人数多于5），王老师拿了32颗糖，平均分给他们，正好分完。小朋友的人数最少是8人，最多是32人，还有可能是16人。
【点睛】熟练掌握求一个数的因数方法是解答本题的关键。
10．65人
【分析】由题意可知：总人数减去5得到的数既是10的倍数又是12的倍数，那么就是10和12的公倍数，又问至少有多少人参加，所以先求出10和12的最小公倍数，然后再加5即可求解。
【详解】
10和12的最小公倍数为：2×5×6＝60
60＋5＝65（人）
所以至少有65人加军训。
【点睛】本题考查最小公倍数，学生需掌握用短除法求最小公倍数。
11． 3 25＝5×5
【分析】一个数的最小因数是1，最大因数和最小倍数都是它本身，根据“最小倍数与最小因数的差是24”可知此数为24＋1＝25；分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式；据此解答即可。
【详解】由“一个数的最小倍数与最小因数的差是24”可知，这个数是：24＋1＝25
25的因数有：1，5，25，共3个；
把25分解质因数是：25＝5×5
【点睛】考查了一个数的因数、倍数的求法，以及分解质因数的方法。
12．12
【分析】要想求获奖的学生最多有几人，就是求40－4＝36和20＋4＝24的最大公因数，先分别把36和24分解质因数，把它们公有的质因数相乘所得的积就是它们的最大公因数。
【详解】36＝2×2×3×3
24＝2×2×2×3
36和24的最大公因数是
2×2×3
＝4×3
＝12
五年级最多有12个班。
【点睛】此题解答的关键在于求出36和24的最大公因数，进而解决问题。
13．×
【分析】根据互质数的意义，公因数只有1的两个数叫做互质数。成为互质数的两个数不是没有公因数，而是公因数只有1。
【详解】两个质数一定是互质数，成为互质数的两个数不是没有公因数，而是公因数只有1。
因此两个质数没有公因数.此说法错误。
故答案为：×
【点睛】此题考查的目的是理解公因数的意义，明确：两个质数一定是互质数，成为互质数的两个数不是没有公因数，而是公因数只有1。
14．√
【分析】求两个数的最大公因数如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1；如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数；如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积；据此解答。
【详解】因为3a＝b
b是a的3倍，
所以b和a是倍数关系，则它们的最大公因数是其中较小的数，也就是a。原题干说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题考查了求最大公因数的方法。
15．×
【分析】根据因数与倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数，据此解答。
【详解】因为12×3＝36，所以36÷12＝3，36是12和3倍数，12和3是36的因数，因数和倍数相互的，不能单独存在。
12×3＝36，所以，12和3是36的因数，36是12和3的倍数。
原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】此题应根据因数和倍数的意义进行分析、解答。
16．√
【分析】根据题意，裁出的正方形边长最大是18和12的最大公因数。据此解题。
【详解】18＝2×3×3
12＝3×2×2
2×3＝6
所以，裁出的正方形边长最大是6厘米。
故答案为：√
【点睛】本题考查了最大公因数。求最大公因数时，先将两个数分解质因数，再将两数共有的质因数相乘即可。
17．2，8；4，60；1，56；15，75
【分析】成倍数关系的两个数，其中的较小数就是它们的最大公因数，较大数就是它们的最小公倍数；如果两个数是互质数，则它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
用质因数分解法可以求两个数的最大公因数和最小公倍数。全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这两个数的最大公因数；全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这两个数的最小公倍数。
【详解】（1）8是2的倍数，则8和2的最大公因数是2，最小公倍数是8。
（2）12＝2×2×3
20＝2×2×5
12和20的最大公因数是2×2＝4，最小公倍数是2×2×3×5＝60。
（3）7和8是互质数，则7和8的最大公因数是1，最小公倍数是7×8＝56。
（4）75是15的倍数，则它们的最大公因数是15，最小公倍数是75。
18．7和11的最大公因数是1，最小公倍数是77；
6和16的最大公因数是2，最小公倍数是48；
8和9的最大公因数1，最小公倍数是72；
17和51的最大公因数是17，最小公倍数是51
【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；
如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是其中较大的数；
如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，据此解答。
【详解】7和11互质，
7×11＝77
7和11的最大公因数是1，最小公倍数是77；
6＝2×3
16＝2×2×2×2
2×2×2×2×3＝48；
6和16的最大公因数是2，最小公倍数是48；
8和9互质，
8×9＝72
8和9的最大公因数是1，最小公倍数是72；
51÷17＝3
17和51是倍数关系，它们的最大公因数是17，最小公倍数是51。
19．4分米；6块
【分析】“裁成同样大小的正方形且没有剩余”，那么小正方形的边长是12和8的公因数，要求每小块正方形布的边长最长是多少分米，所以求12和8的最大公因数即可。
【详解】
12和8的最大公因数为：2×2＝4
12÷4＝3（块）
8÷4＝2（行）
3×2＝6（块）
答：每小块正方形布的边长最长是4分米，能裁成6块这样的布。
【点睛】本题考查求两个数的最大公因数，学生需熟练掌握运用短除法求最大公因数。
20．17盆
【分析】根据题意，要求这个花坛至少可以摆多少盆花，就需要先求出相邻两盆花之间的最大距离，也就是求15、18和27的最大公因数。因为三个顶点的花重复计算，用三角形花坛的周长除以相邻两盆花之间的最大距离，再减去3，即可求出这个花坛至少可以摆多少盆花。
【详解】15＝3×5
18＝2×3×3
27＝3×3×3
则15、18、27的最大公因数是3。
（15＋18＋27）÷3
＝60÷3
＝20（盆）
20—3＝17（盆）
答：这个花坛至少可以摆17盆花。
【点睛】本题考查最大公因数的应用。明确“相邻两盆花之间的最大距离，就是15、18和27的最大公因数”是解题的关键。还要注意三个顶点的花重复计算，所以最后要减去3。
21．51颗
【分析】由于平均分给6个人多3颗，那么去掉3颗的话，这个糖的数量是6的倍数；平均分给8个人，少5颗，此时已经去掉3颗，那么相当于少8颗，也就是说此时的数量也是8的倍数，那么找出6和8的公倍数，之后再加上3，那么此时的数量是50到60之间即可。
【详解】6＝2×3
8＝2×2×2
6和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24
6和8的公倍数是：24、48、72……
由于数量是五十多颗，则选择去掉3颗后是48颗。
48＋3＝51（颗）
答：这通巧克力有51颗。
【点睛】本题主要考查公倍数的找法，要清楚本题求出6和8的公倍数之后，还需要加上之前少算的3颗是解题的关键。
22．见详解。
【分析】由于1路车每隔5分钟发一辆车，2路车每隔6分钟发一辆，要使两辆车再次同时发车，那么经过的时间是5和6的最小公倍数为30分钟后，所以7：00时，1路车和二路车同时发车，再过30分钟后即7时30分两车第二次同时发车。
【详解】
路车 7：00 7：05 7：10 7：15 7：20 7：25 7：30 7：35
2路车 7：00 7：06 7：12 7：18 7：24 7：30 7：36
5和6的最小公倍数为：5×6＝30
所以30分钟后，两车第二次同时发车；
7时＋30分＝7时30分
答：7时30分时刻这两路车第二次同时发车。
【点睛】本题关键是理解：两辆车同时发车的两次之间间隔时间就是5和6的最小公倍数。
23．6名；图见详解
【分析】根据赛会要求需要在路的一边安排志愿者，志愿者之间的距离必须相等，先根据求两个数最大公因数的方法，求出两名志愿者之间的间距，即60和40的最大公因数，因为A、B、C处必须安排志愿者，就是植树问题中两端都植树，再用全长÷间距＝间隔数，再加上1，就是植树的棵数，也就是需要志愿者的人数，据此解答。
【详解】60＝2×2×3×5
40＝2×2×2×5
60和40的最大公因数：2×2×5＝20
（60＋40）÷20＋1
＝100÷20＋1
＝5＋1
＝6（名）
图如下：
答：这段赛道最少要安排6名志愿者。
【点睛】熟练掌握植树问题的解答方法以及最大公因数的求法是解答本题的关键。
24．甲获胜可能性大；原因见详解
【分析】先把任意两个数的和列出来，看一共有几种情况，再看能被2整除和能被3整除的数的个数，再进行比较，个数越多，获胜的可能性越大，据此解答。
【详解】2＋4＝6
2＋6＝8
2＋7＝9
4＋6＝10
4＋7＝11
6＋7＝13
甲获胜的数字有6，8，10，一共3个；
乙获胜的数字有6，9，一共2个；
和既能被2整除又能被3整除的数字没有，既不能被2整除，又不能被3整除的数有11，13一共2个。
3＞2，甲获胜的可能性大于乙获胜的可能性。
答：甲获胜的可能性大，因为几个数字任意抽取一张，和能被2整除的可能性大于和能被3整除的可能性。
【点睛】本题考查可能性大小，明确可能性的大小与数量的多少有关是解答本题的关键。
25．3厘米；12个；图见详解
【分析】根据题意，裁出的正方形边长最大是多少，是求12和9的最大公因数，求至少可以裁成多少个这样的正方形，用这张纸的面积除以正方形面积；由此解答即可。
【详解】12＝2×2×3
9＝3×3
12和9的最大公因数是3。
正方形边长最大是3厘米
12×9÷（3×3）
＝108÷9
＝12（个）
答：正方形边长最大是3厘米，一共可以裁出12个这样的正方形。
【点睛】利用求两个数的最大公因数的方法，以及正方形面积公式的应用解答本题。
26．（1）6种；最大165，最小57
（2）4种；原因见详解
【分析】（1）根据题意，按一定的规律，找出所有，进而找出和的最大值和最小值；
（2）框出形，那么中心的数有4个，分别是18、21、30、33，是有意一共有4中，如果这5个数的和既是3的倍数，又是5的倍数，那么它就是15的倍数，据此解答。
【详解】（1）可框出的四个数有3、15、18、21；6、18、21、24；15、27、30、33；18、30、33、36；27、39、42、45；30、42、45、48。一共有6种情况；
最大：30＋42＋45＋48＝165；
最小：3＋15＋18＋21＝57。
（2）一共有4种，根据框中心数与周围数的关系，可知和是中心数的5倍，中心的数18、21、30、33都是3的整数倍，5×3＝15，所以每5个数的和一定是15的倍数。
【点睛】此题考查了数表的规律以及3和5的倍数特征，根据题意认真解答即可，注意按照一定的顺序防止多写或漏写。
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