八年级数学上分层优化堂堂清（6）11.2.2 三角形的外角（含解析）
文档属性
| 名称 | 八年级数学上分层优化堂堂清（6）11.2.2 三角形的外角（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 5.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-10 21:02:45 | ||
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文档简介
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八年级数学上分层优化堂堂清
十一章 三角形
11.2与三角形有关的角
11.2.2 三角形的外角
学习目标：
会识别三角形的外角。
能用三角形外角的性质进行有关的计算。
经历观察、实验、归纳、猜想、证明的过程，推导三角形外角的性质，发展逻辑推理能力。
老师对你说：
三角形外角的定义
1.三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。如图∠ACD是△ABC的一个外角。
2.三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线。
三角形的外角的性质（三角形内角和定理的推论）
1.文字叙述：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
2.几何语言：∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B
3.三角形的一个外角大于任何一个与他不相邻的内角.
三角形的外角和
1.文字叙述：三角形的外角和等于360°。
2.几何语言：∵ ∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角
∴∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=360 °
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：三角形的外角的性质
【例1-1】如图，∠1＝45°，∠3＝100°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【例1-2】如图，在△ABC中，E为边AC上一点，延长AB到点F，延长BC到点D，连接DE．∠1，∠2，∠3的大小关系为（ ）
A．∠2＞∠1＞∠3 B．∠1＞∠3＞∠2 C．∠1＞∠2＝∠3 D．∠1＞∠2＞∠3
知识点2：三角形的外角的综合应用
【例2-1】如图，AB∥CD，将一块三角板（∠E＝30°）按如图所示方式摆放，若∠EHB＝55°，则∠FGC的度数为 （ ）
A．55° B．65° C．75° D．85°
【例2-2】如图，∠A+∠1＝40°，CD⊥AE，则∠2的度数为 ．
【例2-3】将一副直角三角板按如图方式叠放在一起，则∠α的度数是（ ）
A．165° B．120° C．150° D．135°
【例2-4】如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A．∠A＝∠1﹣∠2 B．2∠A＝∠1﹣∠2
C．3∠A＝2∠1﹣∠2 D．3∠A＝2（∠1﹣∠2）
知识点3：三角形外角与内外角平分线的综合运用
【例3-1】在△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线相交于点D，∠D＝40°，则∠A等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【例3-2】如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点O，若∠A＝80°，则∠O等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
能力强化提升训练
1.如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
2.如图，、的角平分线交于点，若，，则____．
3如图， ．
（1）已知直线，小亮把一块含角的直角三角尺的直角顶点放在直线上．
①若三角尺与平行线的位置如图1所示，，求的度数；
②若三角尺与平行线的位置如图2所示，且，则的度数又是多少？
（2）已知直线，小亮把一块含角的直角三角尺按图3所示放置，若，求的度数．
堂堂清
填空题（每小题4分，共32分）
1.将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2.如图，直线，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3.已知直线，将一块含30°角的直角三角板按如图方式放置（），若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4 .如图，直线AB∥CD，连接BC，点E是BC上一点，∠A＝15°，∠C＝27°，则∠AEC的大小为（ ）
A．27° B．42° C．45° D．70°
5 .在△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线相交于点D，∠D＝40°，则∠A等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
6 .如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7 .如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD．若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是（ ）
A．70° B．44° C．34° D．24°
如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，BH是∠ABC的平分线，BD和CD是△ABC两个外角的平分线，D、C、H三点在一条直线上，下列结论中：①DB⊥BH；②；③DH∥AB；④；⑤∠CBD＝∠D，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤
填空题（每小题4分，共20分）
9.如图，已知，则__________．
10 .如图，是一副三角板拼成的图形，边EF和BC在同一条直线上，则∠DNM＝ ．
11.如图所示，在中，，内角和外角的平分线交于点，则________．
12 .如图所示，在中，平分， 是高线，，，则的度数为 ．
13.如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠ABC＝40°，AE平分△ABC的外角∠BAD，射线CF将∠ACB分成1：2两部分．若AE、CF交于点G，则∠AGC＝ ．
解答题（共6小题，48分）
14 .（6分）如图，分别交的边，于点，，交的延长线于，，，，求的度数．
（6分）如图，求x和y的值．
16.（8分）如图，，分别平分，，它们交于点，求证：．
17.（8分）如图，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：4：5，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为线段BD上的任一点．
（1）试求∠BDC的度数；
（2）求证：∠BEC＞∠A．
18.（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠ABC的角平分线与外角∠EAC的角平分线交于点D．
（1）求证：AD∥BC；
（2）若∠BAC＝36°，求∠ADB的度数．
19 .（12分）综合与探究：
【情境引入】
（1）如图1，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，说明∠D＝90°∠A的理由．
【深入探究】
（2）①如图2，BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线，∠D与∠A之间的等量关系是 ；
②如图3，BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，BD，CD交于点D，探究∠D与∠A之间的等量关系，并说明理由．
拓展培优*冲刺满分
1.探究：中华人民共和国国旗上的五角星的每个角均相等，小明为了计算每个角的度数，画出了如图①的五角星，每个角均相等，并写出了如下不完整的计算过程，请你将过程补充完整．
(1)解：∵，．
∴ ．
∵ ________，
∴________，
∴________．
(2)拓展：如图②，小明改变了这个五角星的五个角的度数，使它们均不相等，请你帮助小明求，，，，的和．
(3)应用：如图③．小明将图②中的点落在上，点落在上，若，则________．
2. 问题情境已知，如图：，求证：证明：过点作过直线外有且只有一条直线与已知直线平行请按照上述思路继续完成证明过程．
尝试运用如图，若，且经过点，，，求用含的代数式表示
拓广探索
如图，在中，点是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点，若，求的度数．
八年级数学上分层优化堂堂清
十一章 三角形
11.2与三角形有关的角
11.2.2 三角形的外角（解析版）
学习目标：
会识别三角形的外角。
能用三角形外角的性质进行有关的计算。
经历观察、实验、归纳、猜想、证明的过程，推导三角形外角的性质，发展逻辑推理能力。
老师对你说：
三角形外角的定义
1.三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。如图∠ACD是△ABC的一个外角。
2.三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线。
三角形的外角的性质（三角形内角和定理的推论）
1.文字叙述：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
2.几何语言：∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B
3.三角形的一个外角大于任何一个与他不相邻的内角.
三角形的外角和
1.文字叙述：三角形的外角和等于360°。
2.几何语言：∵ ∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角
∴∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=360 °
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：三角形的外角的性质
【例1-1】如图，∠1＝45°，∠3＝100°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】C
【解答】解：根据三角形外角性质可知：∠2＝∠3﹣∠1＝100°﹣45°＝55°．
故选：C．
【例1-2】如图，在△ABC中，E为边AC上一点，延长AB到点F，延长BC到点D，连接DE．∠1，∠2，∠3的大小关系为（ ）
A．∠2＞∠1＞∠3 B．∠1＞∠3＞∠2 C．∠1＞∠2＝∠3 D．∠1＞∠2＞∠3
【答案】D
【解答】解：∵∠2是△CDE的外角，
∴∠2＝∠3+∠CED，
∴∠2＞∠3，
∵∠1是△ABC的外角，
∴∠1＝∠2+∠A，
∴∠1＞∠2，
∴∠1＞∠2＞∠3．
故选：D．
知识点2：三角形的外角的综合应用
【例2-1】如图，AB∥CD，将一块三角板（∠E＝30°）按如图所示方式摆放，若∠EHB＝55°，则∠FGC的度数为 （ ）
A．55° B．65° C．75° D．85°
【答案】B
【解答】解：三角形外角的性质可知∠EFG＝90°，
∵∠EHB＝55°，∠E＝30°，
∴∠EFB＝∠EHB﹣∠E＝55°﹣30°＝25°，
∠HFG＝∠EFG﹣∠EFB＝90°﹣25°＝65°，
∵AB∥CD，
∴∠FGC＝∠EFG＝65°．
故选：B．
【例2-2】如图，∠A+∠1＝40°，CD⊥AE，则∠2的度数为 130° ．
【答案】130°．
【解答】解：延长BC交AE于点F，如图，
∵∠DFC是△ABF的外角，∠A+∠1＝40°，
∴∠DFC＝∠A+∠1＝40°，
∵CD⊥A，
∴∠FDC＝90°，
∵∠2是△DCF的外角，
∴∠2＝∠FDC+∠DFC＝130°．
故答案为：130°．
【例2-3】将一副直角三角板按如图方式叠放在一起，则∠α的度数是（ ）
A．165° B．120° C．150° D．135°
【答案】A
【解答】解：∵图中是一副直角三角板，
∴∠A＝30°，∠DCE＝45°，
∴∠ACD＝135°，
∴α＝30°+135°＝165°．
故选：A．
【例2-4】如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A．∠A＝∠1﹣∠2 B．2∠A＝∠1﹣∠2
C．3∠A＝2∠1﹣∠2 D．3∠A＝2（∠1﹣∠2）
【答案】B
【解答】解：如右图，设翻折前A点的对应点为F；
根据折叠的性质知：∠3＝∠4，∠F＝∠A；
由三角形的外角性质知：∠DEF＝∠5+∠3＝∠A+∠2+∠3；
△DEF中，∠DEF＝180°﹣∠4﹣∠F；
故180°﹣∠4﹣∠F＝∠A+∠2+∠3，即：
180°﹣∠4﹣∠A＝∠A+∠2+∠3，
180°﹣∠4﹣∠3＝2∠A+∠2，即∠1＝2∠A+∠2，2∠A＝∠1﹣∠2，
故选：B．
知识点3：三角形外角与内外角平分线的综合运用
【例3-1】在△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线相交于点D，∠D＝40°，则∠A等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【解答】解：∵△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线，
∴2∠ACD＝2∠DBC+∠A，
又∵∠ACD＝∠DBC+∠D，
∴2（∠DBC+∠D）＝2∠DBC+∠A，
∵∠D＝40°，
∴∠A＝80°．
故选：D．
【例3-2】如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点O，若∠A＝80°，则∠O等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
【答案】B
【解答】解：∵∠A＝80°，∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，
∴∠ACB+∠ABC＝100°，
∴∠ECB+∠DBC＝260°，
∵∠CBD、∠BCE的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠DCB，∠OCB＝∠ECB，
∴∠OBC+∠OCB＝×260°＝130°，
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣130°＝50°，
故选：B．
能力强化提升训练
1.如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
【答案】C
【提示】
根据三角形内角和定理以及三角形角平分线的定义可得∠BOC=90°+∠1，再结合三角形外角性质可得∠ECD=∠OBC+∠2，从而可得∠BOC=90°+∠2，据此即可进行判断.
【详解】
∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠1=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠1，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠1）=90°-∠1，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（90°-∠1）=90°+∠1，
∵∠ACD=∠ABC+∠1，CE平分∠ACD，
∴∠ECD=∠ACD=（∠ABC+∠1），
∵∠ECD=∠OBC+∠2，
∴∠2=∠1，即∠1=2∠2，
∴∠BOC=90°+∠1=90°+∠2，
∴①④正确，②③错误，
故选C.
【点拨】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线等知识，熟练掌握相关的性质及定理、运用数形结合思想是解题的关键.
2.如图，、的角平分线交于点，若，，则____．
【答案】/度
【分析】延长交于点，根据角平分线的定义，得，，根据三角形的外角和，得，，根据等量代换，；根据，，根据等量代换，得，联立，即可求出．
【详解】延长交于点，
∵、的角平分线交于点，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
由得，，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查角平分线的定义，三角形的外角和，解题的关键是掌握角平分线的定义，三角形的外角和．
3.如图， ．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据三角形外角的性质得出，，再由三角形内角和定理即可得出结论．
本题考查的是三角形外角的性质、三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．
【解答】
解：如图：
是的外角，是的外角，
，，
，
．
故答案为：．
（1）已知直线，小亮把一块含角的直角三角尺的直角顶点放在直线上．
①若三角尺与平行线的位置如图1所示，，求的度数；
②若三角尺与平行线的位置如图2所示，且，则的度数又是多少？
（2）已知直线，小亮把一块含角的直角三角尺按图3所示放置，若，求的度数．
【答案】（1）①50°；②20°；（2）35°
【提示】
（1）①由直角三角板的性质可知∠3=180°-∠1-90°，再根据平行线的性质即可得出结论；
②首先过点B作BD∥a，由直线a∥b，可得BD∥a∥b，由两直线平行，内错角相等，即可求得答案∠4的度数，又由△ABC是含有45°角的三角板，即可求得∠3的度数，继而求得∠2的度数；
（2）先根据三角形外角的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质得出∠4的度数，由直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：（1）①如图①∵∠1=40°，
∴∠3=180°-∠1-90°=180°-40°-90°=50°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=50°；
②如图②过点B作BD∥a，
∵直线a∥b，
∴BD∥a∥b，
∴∠4=∠1=25°，
∵∠ABC=45°，
∴∠3=∠ABC-∠4=45°-25°=20°，
∴∠2=∠3=20°；
（2）如图3，∵∠3是△ADG的外角，
∴∠3=∠A+∠1=30°+25°=55°，
∵直线a∥b，
∴∠3=∠4=55°，
∵∠4+∠EFC=90°，
∴∠EFC=90°-55°=35°，
∴∠2=35°．
【点拨】本题考查的是平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
堂堂清
填空题（每小题4分，共32分）
1.将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】D
【提示】
利用两直线平行，内错角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算．
【详解】
如图，根据两直线平行，内错角相等，
∴∠1=45°，
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠α=∠1+30°=75°.
故选D.
2.如图，直线，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形的外角求得，然后根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图，
∵，，
∴
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
3.已知直线，将一块含30°角的直角三角板按如图方式放置（），若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对顶角相等，三角形的外角性质得到，再根据平行线的性质即可求解.
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B.
【点评】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4 .如图，直线AB∥CD，连接BC，点E是BC上一点，∠A＝15°，∠C＝27°，则∠AEC的大小为（ ）
A．27° B．42° C．45° D．70°
【分析】由平行线的性质可得∠ABE＝∠C＝27°，再由三角形外角性质可得∠AEC＝∠A+∠ABE即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠C＝27°，
∴∠ABE＝∠C＝27°，
∵∠A＝15°，
∴∠AEC＝∠A+∠ABE＝42°，
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和三角形的外角性质，
5 .在△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线相交于点D，∠D＝40°，则∠A等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】根据角平分线的性质及三角形内角与外角的关系解答．
【解答】解：∵△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线，
∴2∠ACD＝2∠DBC+∠A，
又∵∠ACD＝∠DBC+∠D，
∴2（∠DBC+∠D）＝2∠DBC+∠A，
∵∠D＝40°，
∴∠A＝80°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．
6 .如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据平行线的性质求出，再根据邻补角的定义求出，最后根据三角形外角性质得出．
【详解】解：如图：
，，
，
，，
，
．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线性质和三角形外角性质的应用，掌握平行线性质和三角形外角性质是解答本题的关键．
7 .如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD．若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是（ ）
A．70° B．44° C．34° D．24°
【答案】C
【提示】
易得△ABD为等腰三角形，根据顶角可算出底角，再用三角形外角性质可求出∠DAC
【详解】
∵AB=BD，∠B=40°，
∴∠ADB=70°，
∵∠C=36°，
∴∠DAC=∠ADB﹣∠C=34°．
故选C.
【点拨】本题考查三角形的角度计算，熟练掌握三角形外角性质是解题的关键.
如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，BH是∠ABC的平分线，BD和CD是△ABC两个外角的平分线，D、C、H三点在一条直线上，下列结论中：①DB⊥BH；②；③DH∥AB；④；⑤∠CBD＝∠D，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤
【分析】①根据BH、BD是∠ABC与∠CBE的平分线，可得∠ABC＝2∠CBH，∠CBE＝2∠CBD，再由邻补角的性质，可得①正确；②根据BD和CD是△ABC两个外角的平分线，可得，可得②正确；③根据∠A＝∠ABC，可得∠BCF＝∠A+∠ABC＝2∠ABC，可得∠BCD＝∠ABC，可得③正确；④根据，可得④正确；⑤根据∠ABC+∠CBE＝180°，BD平分∠CBE，可得，再由∠A＝∠ABC，可得，可得⑤正确，即可求解．
【解答】解：①∵BH、BD是∠ABC与∠CBE的平分线，
∴∠ABC＝2∠CBH，∠CBE＝2∠CBD，
∵∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠CBH+∠CBD＝90°，即∠DBH＝90°，
∴DB⊥BH，故①正确；
②∵BD和CD是△ABC两个外角的平分线，
∴∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°
，故②正确；
③∵∠A＝∠ABC，
∴∠BCF＝∠A+∠ABC＝2∠ABC，
∵CD是∠BCF的平分线，
∴，
∴DH∥AB，故③正确；
④∵，
∴，故④正确；
⑤∵∠ABC+∠CBE＝180°，BD平分∠CBE，
∴，
∵∠A＝∠ABC，
∴，
∵，
∴∠CBD＝∠D，故⑤正确．
综上所述，正确的有①②③④⑤．
故选：D．
【点评】本题主要考查了有关角平分线的计算，三角形的内角和，邻补角的性质，三角形外角的性质，平行线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
填空题（每小题4分，共20分）
9.如图，已知，则__________．
【答案】26°/26度
【分析】由平行线的性质可得，再利用三角形的外角性质即可求．
【详解】解： ，，
，
，，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
10 .如图，是一副三角板拼成的图形，边EF和BC在同一条直线上，则∠DNM＝ ．
【分析】由题意可得∠DFE，∠C，∠D的度数，利用三角形外角和定理可求得∠CMF的度数，继而可得∠DMN的度数，再利用三角形内角和定理即可求得答案．
【解答】解：由题意可得∠D＝90°，∠DFE＝45°，∠C＝30°，
∵∠DFE＝∠CMF+∠C，
∴∠CMF＝15°，
∴∠DMN＝15°，
∴∠DNM＝180°﹣∠D﹣∠DMN＝180°﹣90°﹣15°＝75°，
故答案为：75°．
【点评】本题考查三角形的内角和定理与外角性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
11.如图所示，在中，，内角和外角的平分线交于点，则________．
【答案】
【分析】利用角平分线定义可知，．再利用外角性质，可得，根据角等量关系代换得到．
【详解】解：和分别是和的角平分线，
，，
又是的一外角，
，
，
是的一外角，
，
故答案为：．
【点评】本题考查三角形外角的性质，角平分线性质，及三角形的内角和定理，解题的关键是熟记掌握三角形的内角和与外角性质．
12 .如图所示，在中，平分， 是高线，，，则的度数为 ．
【答案】
【解析】
【分析】根据角平分线定义求得，根据直角三角形的两个锐角互余求得，再根据三角形的外角的性质即可求得的度数．
【解答】解：平分，是高，，
，．
，
．
故答案为：．
13.如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠ABC＝40°，AE平分△ABC的外角∠BAD，射线CF将∠ACB分成1：2两部分．若AE、CF交于点G，则∠AGC＝ ．
【分析】先根据三角形外角的性质得到∠BAD＝100°，再由角平分线的定义得到∠DAE＝50°，再分当CF靠近AC时，当CF靠近BC时，两种情况利用三角形外角的性质求解即可．
【解答】解：∵∠ACB＝60°，∠ABC＝40°，
∴∠BAD＝∠ACB+∠ABC＝100°，
∵AE平分∠BAD，
∴；
如图1所示，当CF靠近AC时，
∵射线CF将∠ACB分成1：2两部分，
∴，
∴∠AGC＝∠DAE﹣∠ACF＝30°；
同理如图2所示，当CF靠近BC时，∠AGC＝10°；
综上所述，∠AGC的度数为10°或30°，
故答案为：10°或30°．
【点评】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键．
解答题（共6小题，48分）
14 .（6分）如图，分别交的边，于点，，交的延长线于，，，，求的度数．
【答案】
【分析】在中可求得，再结合条件和外角的性质可求得大小．
【详解】解：∵，，
∴，
又，
∴，
∴的度数为．
【点评】本题考查三角形内角和定理和外角的性质，掌握三角形内角和为及三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和是解题的关键．
（6分）如图，求x和y的值．
【分析】根据三角形内角和及外角和定理分别列出方程，求出x，y的值．
【解答】解：根据三角形的外角的性质得，
x+70＝x+x+10，
解得，x＝60，
则x+70＝130，
则y＝180°﹣130°＝50°，
答：x＝60，y＝50．
【点评】本题主要考查三角形内角和及外角和定理进行列式进行计算．
16.（8分）如图，，分别平分，，它们交于点，求证：．
【答案】见解析
【分析】延长交于点，设，，利用三角形外角的性质求出，可得，同理求出，进而可得结论．
【详解】证明：如图，延长交于点，
设，，
∴，
，
同理可得，
，
．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，角的和差计算，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的关键．
17.（8分）如图，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：4：5，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为线段BD上的任一点．
（1）试求∠BDC的度数；
（2）求证：∠BEC＞∠A．
【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出各个角，然后根据角平分线的定义求出∠ABD，再根据三角形外角的性质求出∠BDC即可；
（2）根据三角形外角的性质可得∠BEC＞∠BCD＞∠A．
【解答】（1）解：∵∠A：∠ABC：∠ACB＝3：4：5，
∴∠A180°＝45°，∠ABC180°＝60°，∠ACB180°＝75°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD∠ABC＝30°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝45°+30°＝75°，
即∠BDC的度数为75°；
（2）证明：∵∠BDC为△ABD的外角，
∴∠BDC＞∠A，
同理∠BEC＞∠BDC，
∴∠BEC＞∠A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角的性质，掌握性质是解题的关键．①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；②三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
18.（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠ABC的角平分线与外角∠EAC的角平分线交于点D．
（1）求证：AD∥BC；
（2）若∠BAC＝36°，求∠ADB的度数．
【分析】（1）首先根据三角形内角和定理和平角的概念得到∠B+∠C＝∠CAD+∠EAD，然后根据等腰三角形的性质和角平分线的概念得到∠C＝∠CAD，最后根据平行线的判定定理求解即可；
（2）首先根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠C＝72°，然后根据角平分线的概念得到∠CBD＝36°，最后根据平行线的性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠CAD+∠EAD+∠BAC＝180°，
∴∠B+∠C＝∠CAD+∠EAD，
∵∠ABC＝∠C，∠CAD＝∠EAD，
∴∠C＝∠CAD，
∴AD∥BC；
（2）解：∵∠BAC＝36°，
∴，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD＝36°．
【点评】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的概念，平行线的性质和判断，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
19 .（12分）综合与探究：
【情境引入】
（1）如图1，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，说明∠D＝90°∠A的理由．
【深入探究】
（2）①如图2，BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线，∠D与∠A之间的等量关系是 ；
②如图3，BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，BD，CD交于点D，探究∠D与∠A之间的等量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理证明即可；
（2）①根据三角形外角的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可；
②根据三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义求解即可．
【解答】（1）证明：∵BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠1∠ABC，∠2∠ACB，
∴∠1+∠2+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠1﹣∠2
＝180°（∠ABC+∠ACB）
＝180°（180°﹣∠A）
＝90°∠A；
（2）解：①∠D＝90°∠A，理由如下：
∵BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线，
∴∠DBC∠EBC（∠A+∠ACB），∠DCB∠FCB（∠A+∠ABC），
∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°（∠EBC+∠FCB）
＝180°
＝90°∠A，
故答案为：∠D＝90°∠A；
②∠D∠A，理由如下：
∵BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，
∴∠DBC∠ABC，∠DCE∠ACE，
∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠D+∠DBC，
∴∠D∠ABC（∠A+∠ABC），
∴∠D∠A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
拓展培优*冲刺满分
1.探究：中华人民共和国国旗上的五角星的每个角均相等，小明为了计算每个角的度数，画出了如图①的五角星，每个角均相等，并写出了如下不完整的计算过程，请你将过程补充完整．
(1)解：∵，．
∴ ．
∵ ________，
∴________，
∴________．
(2)拓展：如图②，小明改变了这个五角星的五个角的度数，使它们均不相等，请你帮助小明求，，，，的和．
(3)应用：如图③．小明将图②中的点落在上，点落在上，若，则________．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】（1）根据阅读材料、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、结合图形解得即可；
（2）根据阅读材料、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、结合图形解得即可；
（3）根据阅读材料、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、结合图形解得即可；
【详解】（1），．
．
，
，
；
（2），．
．
，
；
（3）．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质，掌握三角形内角和等于和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
2. 问题情境已知，如图：，求证：证明：过点作过直线外有且只有一条直线与已知直线平行请按照上述思路继续完成证明过程．
尝试运用如图，若，且经过点，，，求用含的代数式表示
拓广探索
如图，在中，点是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点，若，求的度数．
【答案】问题情境证明：过点作，
，，
，
尝试运用解：如图，过作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
；
拓广探索解：，
，．
平分，平分，
，，
，
．
【解析】本题考查了平行线的判定及性质、角平分线的性质以及三角形外角的性质，解决该题型题目时，利用平行线的性质找出相等或互补的角是关键．
问题情境过点作，根据平行线的性质得到，，根据平角的定义得到结论；
尝试运用如图，过作，根据三角形的内角和定理得到，根据平行线的性质即可得到结论；
拓广探索由结合外角的性质可得出，再根据角平分线的定义可得出，由此可得出，从而得出，根据的度数即可得出结论。
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八年级数学上分层优化堂堂清
十一章 三角形
11.2与三角形有关的角
11.2.2 三角形的外角
学习目标：
会识别三角形的外角。
能用三角形外角的性质进行有关的计算。
经历观察、实验、归纳、猜想、证明的过程，推导三角形外角的性质，发展逻辑推理能力。
老师对你说：
三角形外角的定义
1.三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。如图∠ACD是△ABC的一个外角。
2.三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线。
三角形的外角的性质（三角形内角和定理的推论）
1.文字叙述：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
2.几何语言：∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B
3.三角形的一个外角大于任何一个与他不相邻的内角.
三角形的外角和
1.文字叙述：三角形的外角和等于360°。
2.几何语言：∵ ∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角
∴∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=360 °
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：三角形的外角的性质
【例1-1】如图，∠1＝45°，∠3＝100°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【例1-2】如图，在△ABC中，E为边AC上一点，延长AB到点F，延长BC到点D，连接DE．∠1，∠2，∠3的大小关系为（ ）
A．∠2＞∠1＞∠3 B．∠1＞∠3＞∠2 C．∠1＞∠2＝∠3 D．∠1＞∠2＞∠3
知识点2：三角形的外角的综合应用
【例2-1】如图，AB∥CD，将一块三角板（∠E＝30°）按如图所示方式摆放，若∠EHB＝55°，则∠FGC的度数为 （ ）
A．55° B．65° C．75° D．85°
【例2-2】如图，∠A+∠1＝40°，CD⊥AE，则∠2的度数为 ．
【例2-3】将一副直角三角板按如图方式叠放在一起，则∠α的度数是（ ）
A．165° B．120° C．150° D．135°
【例2-4】如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A．∠A＝∠1﹣∠2 B．2∠A＝∠1﹣∠2
C．3∠A＝2∠1﹣∠2 D．3∠A＝2（∠1﹣∠2）
知识点3：三角形外角与内外角平分线的综合运用
【例3-1】在△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线相交于点D，∠D＝40°，则∠A等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【例3-2】如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点O，若∠A＝80°，则∠O等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
能力强化提升训练
1.如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
2.如图，、的角平分线交于点，若，，则____．
3如图， ．
（1）已知直线，小亮把一块含角的直角三角尺的直角顶点放在直线上．
①若三角尺与平行线的位置如图1所示，，求的度数；
②若三角尺与平行线的位置如图2所示，且，则的度数又是多少？
（2）已知直线，小亮把一块含角的直角三角尺按图3所示放置，若，求的度数．
堂堂清
填空题（每小题4分，共32分）
1.将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2.如图，直线，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3.已知直线，将一块含30°角的直角三角板按如图方式放置（），若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4 .如图，直线AB∥CD，连接BC，点E是BC上一点，∠A＝15°，∠C＝27°，则∠AEC的大小为（ ）
A．27° B．42° C．45° D．70°
5 .在△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线相交于点D，∠D＝40°，则∠A等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
6 .如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7 .如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD．若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是（ ）
A．70° B．44° C．34° D．24°
如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，BH是∠ABC的平分线，BD和CD是△ABC两个外角的平分线，D、C、H三点在一条直线上，下列结论中：①DB⊥BH；②；③DH∥AB；④；⑤∠CBD＝∠D，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤
填空题（每小题4分，共20分）
9.如图，已知，则__________．
10 .如图，是一副三角板拼成的图形，边EF和BC在同一条直线上，则∠DNM＝ ．
11.如图所示，在中，，内角和外角的平分线交于点，则________．
12 .如图所示，在中，平分， 是高线，，，则的度数为 ．
13.如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠ABC＝40°，AE平分△ABC的外角∠BAD，射线CF将∠ACB分成1：2两部分．若AE、CF交于点G，则∠AGC＝ ．
解答题（共6小题，48分）
14 .（6分）如图，分别交的边，于点，，交的延长线于，，，，求的度数．
（6分）如图，求x和y的值．
16.（8分）如图，，分别平分，，它们交于点，求证：．
17.（8分）如图，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：4：5，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为线段BD上的任一点．
（1）试求∠BDC的度数；
（2）求证：∠BEC＞∠A．
18.（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠ABC的角平分线与外角∠EAC的角平分线交于点D．
（1）求证：AD∥BC；
（2）若∠BAC＝36°，求∠ADB的度数．
19 .（12分）综合与探究：
【情境引入】
（1）如图1，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，说明∠D＝90°∠A的理由．
【深入探究】
（2）①如图2，BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线，∠D与∠A之间的等量关系是 ；
②如图3，BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，BD，CD交于点D，探究∠D与∠A之间的等量关系，并说明理由．
拓展培优*冲刺满分
1.探究：中华人民共和国国旗上的五角星的每个角均相等，小明为了计算每个角的度数，画出了如图①的五角星，每个角均相等，并写出了如下不完整的计算过程，请你将过程补充完整．
(1)解：∵，．
∴ ．
∵ ________，
∴________，
∴________．
(2)拓展：如图②，小明改变了这个五角星的五个角的度数，使它们均不相等，请你帮助小明求，，，，的和．
(3)应用：如图③．小明将图②中的点落在上，点落在上，若，则________．
2. 问题情境已知，如图：，求证：证明：过点作过直线外有且只有一条直线与已知直线平行请按照上述思路继续完成证明过程．
尝试运用如图，若，且经过点，，，求用含的代数式表示
拓广探索
如图，在中，点是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点，若，求的度数．
八年级数学上分层优化堂堂清
十一章 三角形
11.2与三角形有关的角
11.2.2 三角形的外角（解析版）
学习目标：
会识别三角形的外角。
能用三角形外角的性质进行有关的计算。
经历观察、实验、归纳、猜想、证明的过程，推导三角形外角的性质，发展逻辑推理能力。
老师对你说：
三角形外角的定义
1.三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。如图∠ACD是△ABC的一个外角。
2.三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线。
三角形的外角的性质（三角形内角和定理的推论）
1.文字叙述：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
2.几何语言：∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B
3.三角形的一个外角大于任何一个与他不相邻的内角.
三角形的外角和
1.文字叙述：三角形的外角和等于360°。
2.几何语言：∵ ∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角
∴∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=360 °
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：三角形的外角的性质
【例1-1】如图，∠1＝45°，∠3＝100°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】C
【解答】解：根据三角形外角性质可知：∠2＝∠3﹣∠1＝100°﹣45°＝55°．
故选：C．
【例1-2】如图，在△ABC中，E为边AC上一点，延长AB到点F，延长BC到点D，连接DE．∠1，∠2，∠3的大小关系为（ ）
A．∠2＞∠1＞∠3 B．∠1＞∠3＞∠2 C．∠1＞∠2＝∠3 D．∠1＞∠2＞∠3
【答案】D
【解答】解：∵∠2是△CDE的外角，
∴∠2＝∠3+∠CED，
∴∠2＞∠3，
∵∠1是△ABC的外角，
∴∠1＝∠2+∠A，
∴∠1＞∠2，
∴∠1＞∠2＞∠3．
故选：D．
知识点2：三角形的外角的综合应用
【例2-1】如图，AB∥CD，将一块三角板（∠E＝30°）按如图所示方式摆放，若∠EHB＝55°，则∠FGC的度数为 （ ）
A．55° B．65° C．75° D．85°
【答案】B
【解答】解：三角形外角的性质可知∠EFG＝90°，
∵∠EHB＝55°，∠E＝30°，
∴∠EFB＝∠EHB﹣∠E＝55°﹣30°＝25°，
∠HFG＝∠EFG﹣∠EFB＝90°﹣25°＝65°，
∵AB∥CD，
∴∠FGC＝∠EFG＝65°．
故选：B．
【例2-2】如图，∠A+∠1＝40°，CD⊥AE，则∠2的度数为 130° ．
【答案】130°．
【解答】解：延长BC交AE于点F，如图，
∵∠DFC是△ABF的外角，∠A+∠1＝40°，
∴∠DFC＝∠A+∠1＝40°，
∵CD⊥A，
∴∠FDC＝90°，
∵∠2是△DCF的外角，
∴∠2＝∠FDC+∠DFC＝130°．
故答案为：130°．
【例2-3】将一副直角三角板按如图方式叠放在一起，则∠α的度数是（ ）
A．165° B．120° C．150° D．135°
【答案】A
【解答】解：∵图中是一副直角三角板，
∴∠A＝30°，∠DCE＝45°，
∴∠ACD＝135°，
∴α＝30°+135°＝165°．
故选：A．
【例2-4】如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A．∠A＝∠1﹣∠2 B．2∠A＝∠1﹣∠2
C．3∠A＝2∠1﹣∠2 D．3∠A＝2（∠1﹣∠2）
【答案】B
【解答】解：如右图，设翻折前A点的对应点为F；
根据折叠的性质知：∠3＝∠4，∠F＝∠A；
由三角形的外角性质知：∠DEF＝∠5+∠3＝∠A+∠2+∠3；
△DEF中，∠DEF＝180°﹣∠4﹣∠F；
故180°﹣∠4﹣∠F＝∠A+∠2+∠3，即：
180°﹣∠4﹣∠A＝∠A+∠2+∠3，
180°﹣∠4﹣∠3＝2∠A+∠2，即∠1＝2∠A+∠2，2∠A＝∠1﹣∠2，
故选：B．
知识点3：三角形外角与内外角平分线的综合运用
【例3-1】在△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线相交于点D，∠D＝40°，则∠A等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【解答】解：∵△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线，
∴2∠ACD＝2∠DBC+∠A，
又∵∠ACD＝∠DBC+∠D，
∴2（∠DBC+∠D）＝2∠DBC+∠A，
∵∠D＝40°，
∴∠A＝80°．
故选：D．
【例3-2】如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点O，若∠A＝80°，则∠O等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
【答案】B
【解答】解：∵∠A＝80°，∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，
∴∠ACB+∠ABC＝100°，
∴∠ECB+∠DBC＝260°，
∵∠CBD、∠BCE的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠DCB，∠OCB＝∠ECB，
∴∠OBC+∠OCB＝×260°＝130°，
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣130°＝50°，
故选：B．
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1.如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
【答案】C
【提示】
根据三角形内角和定理以及三角形角平分线的定义可得∠BOC=90°+∠1，再结合三角形外角性质可得∠ECD=∠OBC+∠2，从而可得∠BOC=90°+∠2，据此即可进行判断.
【详解】
∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠1=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠1，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠1）=90°-∠1，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（90°-∠1）=90°+∠1，
∵∠ACD=∠ABC+∠1，CE平分∠ACD，
∴∠ECD=∠ACD=（∠ABC+∠1），
∵∠ECD=∠OBC+∠2，
∴∠2=∠1，即∠1=2∠2，
∴∠BOC=90°+∠1=90°+∠2，
∴①④正确，②③错误，
故选C.
【点拨】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线等知识，熟练掌握相关的性质及定理、运用数形结合思想是解题的关键.
2.如图，、的角平分线交于点，若，，则____．
【答案】/度
【分析】延长交于点，根据角平分线的定义，得，，根据三角形的外角和，得，，根据等量代换，；根据，，根据等量代换，得，联立，即可求出．
【详解】延长交于点，
∵、的角平分线交于点，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
由得，，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查角平分线的定义，三角形的外角和，解题的关键是掌握角平分线的定义，三角形的外角和．
3.如图， ．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据三角形外角的性质得出，，再由三角形内角和定理即可得出结论．
本题考查的是三角形外角的性质、三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．
【解答】
解：如图：
是的外角，是的外角，
，，
，
．
故答案为：．
（1）已知直线，小亮把一块含角的直角三角尺的直角顶点放在直线上．
①若三角尺与平行线的位置如图1所示，，求的度数；
②若三角尺与平行线的位置如图2所示，且，则的度数又是多少？
（2）已知直线，小亮把一块含角的直角三角尺按图3所示放置，若，求的度数．
【答案】（1）①50°；②20°；（2）35°
【提示】
（1）①由直角三角板的性质可知∠3=180°-∠1-90°，再根据平行线的性质即可得出结论；
②首先过点B作BD∥a，由直线a∥b，可得BD∥a∥b，由两直线平行，内错角相等，即可求得答案∠4的度数，又由△ABC是含有45°角的三角板，即可求得∠3的度数，继而求得∠2的度数；
（2）先根据三角形外角的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质得出∠4的度数，由直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：（1）①如图①∵∠1=40°，
∴∠3=180°-∠1-90°=180°-40°-90°=50°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=50°；
②如图②过点B作BD∥a，
∵直线a∥b，
∴BD∥a∥b，
∴∠4=∠1=25°，
∵∠ABC=45°，
∴∠3=∠ABC-∠4=45°-25°=20°，
∴∠2=∠3=20°；
（2）如图3，∵∠3是△ADG的外角，
∴∠3=∠A+∠1=30°+25°=55°，
∵直线a∥b，
∴∠3=∠4=55°，
∵∠4+∠EFC=90°，
∴∠EFC=90°-55°=35°，
∴∠2=35°．
【点拨】本题考查的是平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
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填空题（每小题4分，共32分）
1.将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】D
【提示】
利用两直线平行，内错角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算．
【详解】
如图，根据两直线平行，内错角相等，
∴∠1=45°，
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠α=∠1+30°=75°.
故选D.
2.如图，直线，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形的外角求得，然后根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图，
∵，，
∴
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
3.已知直线，将一块含30°角的直角三角板按如图方式放置（），若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对顶角相等，三角形的外角性质得到，再根据平行线的性质即可求解.
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B.
【点评】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4 .如图，直线AB∥CD，连接BC，点E是BC上一点，∠A＝15°，∠C＝27°，则∠AEC的大小为（ ）
A．27° B．42° C．45° D．70°
【分析】由平行线的性质可得∠ABE＝∠C＝27°，再由三角形外角性质可得∠AEC＝∠A+∠ABE即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠C＝27°，
∴∠ABE＝∠C＝27°，
∵∠A＝15°，
∴∠AEC＝∠A+∠ABE＝42°，
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和三角形的外角性质，
5 .在△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线相交于点D，∠D＝40°，则∠A等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】根据角平分线的性质及三角形内角与外角的关系解答．
【解答】解：∵△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线，
∴2∠ACD＝2∠DBC+∠A，
又∵∠ACD＝∠DBC+∠D，
∴2（∠DBC+∠D）＝2∠DBC+∠A，
∵∠D＝40°，
∴∠A＝80°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．
6 .如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据平行线的性质求出，再根据邻补角的定义求出，最后根据三角形外角性质得出．
【详解】解：如图：
，，
，
，，
，
．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线性质和三角形外角性质的应用，掌握平行线性质和三角形外角性质是解答本题的关键．
7 .如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD．若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是（ ）
A．70° B．44° C．34° D．24°
【答案】C
【提示】
易得△ABD为等腰三角形，根据顶角可算出底角，再用三角形外角性质可求出∠DAC
【详解】
∵AB=BD，∠B=40°，
∴∠ADB=70°，
∵∠C=36°，
∴∠DAC=∠ADB﹣∠C=34°．
故选C.
【点拨】本题考查三角形的角度计算，熟练掌握三角形外角性质是解题的关键.
如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，BH是∠ABC的平分线，BD和CD是△ABC两个外角的平分线，D、C、H三点在一条直线上，下列结论中：①DB⊥BH；②；③DH∥AB；④；⑤∠CBD＝∠D，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤
【分析】①根据BH、BD是∠ABC与∠CBE的平分线，可得∠ABC＝2∠CBH，∠CBE＝2∠CBD，再由邻补角的性质，可得①正确；②根据BD和CD是△ABC两个外角的平分线，可得，可得②正确；③根据∠A＝∠ABC，可得∠BCF＝∠A+∠ABC＝2∠ABC，可得∠BCD＝∠ABC，可得③正确；④根据，可得④正确；⑤根据∠ABC+∠CBE＝180°，BD平分∠CBE，可得，再由∠A＝∠ABC，可得，可得⑤正确，即可求解．
【解答】解：①∵BH、BD是∠ABC与∠CBE的平分线，
∴∠ABC＝2∠CBH，∠CBE＝2∠CBD，
∵∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠CBH+∠CBD＝90°，即∠DBH＝90°，
∴DB⊥BH，故①正确；
②∵BD和CD是△ABC两个外角的平分线，
∴∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°
，故②正确；
③∵∠A＝∠ABC，
∴∠BCF＝∠A+∠ABC＝2∠ABC，
∵CD是∠BCF的平分线，
∴，
∴DH∥AB，故③正确；
④∵，
∴，故④正确；
⑤∵∠ABC+∠CBE＝180°，BD平分∠CBE，
∴，
∵∠A＝∠ABC，
∴，
∵，
∴∠CBD＝∠D，故⑤正确．
综上所述，正确的有①②③④⑤．
故选：D．
【点评】本题主要考查了有关角平分线的计算，三角形的内角和，邻补角的性质，三角形外角的性质，平行线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
填空题（每小题4分，共20分）
9.如图，已知，则__________．
【答案】26°/26度
【分析】由平行线的性质可得，再利用三角形的外角性质即可求．
【详解】解： ，，
，
，，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
10 .如图，是一副三角板拼成的图形，边EF和BC在同一条直线上，则∠DNM＝ ．
【分析】由题意可得∠DFE，∠C，∠D的度数，利用三角形外角和定理可求得∠CMF的度数，继而可得∠DMN的度数，再利用三角形内角和定理即可求得答案．
【解答】解：由题意可得∠D＝90°，∠DFE＝45°，∠C＝30°，
∵∠DFE＝∠CMF+∠C，
∴∠CMF＝15°，
∴∠DMN＝15°，
∴∠DNM＝180°﹣∠D﹣∠DMN＝180°﹣90°﹣15°＝75°，
故答案为：75°．
【点评】本题考查三角形的内角和定理与外角性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
11.如图所示，在中，，内角和外角的平分线交于点，则________．
【答案】
【分析】利用角平分线定义可知，．再利用外角性质，可得，根据角等量关系代换得到．
【详解】解：和分别是和的角平分线，
，，
又是的一外角，
，
，
是的一外角，
，
故答案为：．
【点评】本题考查三角形外角的性质，角平分线性质，及三角形的内角和定理，解题的关键是熟记掌握三角形的内角和与外角性质．
12 .如图所示，在中，平分， 是高线，，，则的度数为 ．
【答案】
【解析】
【分析】根据角平分线定义求得，根据直角三角形的两个锐角互余求得，再根据三角形的外角的性质即可求得的度数．
【解答】解：平分，是高，，
，．
，
．
故答案为：．
13.如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠ABC＝40°，AE平分△ABC的外角∠BAD，射线CF将∠ACB分成1：2两部分．若AE、CF交于点G，则∠AGC＝ ．
【分析】先根据三角形外角的性质得到∠BAD＝100°，再由角平分线的定义得到∠DAE＝50°，再分当CF靠近AC时，当CF靠近BC时，两种情况利用三角形外角的性质求解即可．
【解答】解：∵∠ACB＝60°，∠ABC＝40°，
∴∠BAD＝∠ACB+∠ABC＝100°，
∵AE平分∠BAD，
∴；
如图1所示，当CF靠近AC时，
∵射线CF将∠ACB分成1：2两部分，
∴，
∴∠AGC＝∠DAE﹣∠ACF＝30°；
同理如图2所示，当CF靠近BC时，∠AGC＝10°；
综上所述，∠AGC的度数为10°或30°，
故答案为：10°或30°．
【点评】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键．
解答题（共6小题，48分）
14 .（6分）如图，分别交的边，于点，，交的延长线于，，，，求的度数．
【答案】
【分析】在中可求得，再结合条件和外角的性质可求得大小．
【详解】解：∵，，
∴，
又，
∴，
∴的度数为．
【点评】本题考查三角形内角和定理和外角的性质，掌握三角形内角和为及三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和是解题的关键．
（6分）如图，求x和y的值．
【分析】根据三角形内角和及外角和定理分别列出方程，求出x，y的值．
【解答】解：根据三角形的外角的性质得，
x+70＝x+x+10，
解得，x＝60，
则x+70＝130，
则y＝180°﹣130°＝50°，
答：x＝60，y＝50．
【点评】本题主要考查三角形内角和及外角和定理进行列式进行计算．
16.（8分）如图，，分别平分，，它们交于点，求证：．
【答案】见解析
【分析】延长交于点，设，，利用三角形外角的性质求出，可得，同理求出，进而可得结论．
【详解】证明：如图，延长交于点，
设，，
∴，
，
同理可得，
，
．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，角的和差计算，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的关键．
17.（8分）如图，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：4：5，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为线段BD上的任一点．
（1）试求∠BDC的度数；
（2）求证：∠BEC＞∠A．
【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出各个角，然后根据角平分线的定义求出∠ABD，再根据三角形外角的性质求出∠BDC即可；
（2）根据三角形外角的性质可得∠BEC＞∠BCD＞∠A．
【解答】（1）解：∵∠A：∠ABC：∠ACB＝3：4：5，
∴∠A180°＝45°，∠ABC180°＝60°，∠ACB180°＝75°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD∠ABC＝30°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝45°+30°＝75°，
即∠BDC的度数为75°；
（2）证明：∵∠BDC为△ABD的外角，
∴∠BDC＞∠A，
同理∠BEC＞∠BDC，
∴∠BEC＞∠A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角的性质，掌握性质是解题的关键．①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；②三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
18.（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠ABC的角平分线与外角∠EAC的角平分线交于点D．
（1）求证：AD∥BC；
（2）若∠BAC＝36°，求∠ADB的度数．
【分析】（1）首先根据三角形内角和定理和平角的概念得到∠B+∠C＝∠CAD+∠EAD，然后根据等腰三角形的性质和角平分线的概念得到∠C＝∠CAD，最后根据平行线的判定定理求解即可；
（2）首先根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠C＝72°，然后根据角平分线的概念得到∠CBD＝36°，最后根据平行线的性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠CAD+∠EAD+∠BAC＝180°，
∴∠B+∠C＝∠CAD+∠EAD，
∵∠ABC＝∠C，∠CAD＝∠EAD，
∴∠C＝∠CAD，
∴AD∥BC；
（2）解：∵∠BAC＝36°，
∴，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD＝36°．
【点评】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的概念，平行线的性质和判断，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
19 .（12分）综合与探究：
【情境引入】
（1）如图1，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，说明∠D＝90°∠A的理由．
【深入探究】
（2）①如图2，BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线，∠D与∠A之间的等量关系是 ；
②如图3，BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，BD，CD交于点D，探究∠D与∠A之间的等量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理证明即可；
（2）①根据三角形外角的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可；
②根据三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义求解即可．
【解答】（1）证明：∵BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠1∠ABC，∠2∠ACB，
∴∠1+∠2+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠1﹣∠2
＝180°（∠ABC+∠ACB）
＝180°（180°﹣∠A）
＝90°∠A；
（2）解：①∠D＝90°∠A，理由如下：
∵BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线，
∴∠DBC∠EBC（∠A+∠ACB），∠DCB∠FCB（∠A+∠ABC），
∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°（∠EBC+∠FCB）
＝180°
＝90°∠A，
故答案为：∠D＝90°∠A；
②∠D∠A，理由如下：
∵BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，
∴∠DBC∠ABC，∠DCE∠ACE，
∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠D+∠DBC，
∴∠D∠ABC（∠A+∠ABC），
∴∠D∠A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
拓展培优*冲刺满分
1.探究：中华人民共和国国旗上的五角星的每个角均相等，小明为了计算每个角的度数，画出了如图①的五角星，每个角均相等，并写出了如下不完整的计算过程，请你将过程补充完整．
(1)解：∵，．
∴ ．
∵ ________，
∴________，
∴________．
(2)拓展：如图②，小明改变了这个五角星的五个角的度数，使它们均不相等，请你帮助小明求，，，，的和．
(3)应用：如图③．小明将图②中的点落在上，点落在上，若，则________．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】（1）根据阅读材料、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、结合图形解得即可；
（2）根据阅读材料、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、结合图形解得即可；
（3）根据阅读材料、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、结合图形解得即可；
【详解】（1），．
．
，
，
；
（2），．
．
，
；
（3）．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质，掌握三角形内角和等于和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
2. 问题情境已知，如图：，求证：证明：过点作过直线外有且只有一条直线与已知直线平行请按照上述思路继续完成证明过程．
尝试运用如图，若，且经过点，，，求用含的代数式表示
拓广探索
如图，在中，点是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点，若，求的度数．
【答案】问题情境证明：过点作，
，，
，
尝试运用解：如图，过作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
；
拓广探索解：，
，．
平分，平分，
，，
，
．
【解析】本题考查了平行线的判定及性质、角平分线的性质以及三角形外角的性质，解决该题型题目时，利用平行线的性质找出相等或互补的角是关键．
问题情境过点作，根据平行线的性质得到，，根据平角的定义得到结论；
尝试运用如图，过作，根据三角形的内角和定理得到，根据平行线的性质即可得到结论；
拓广探索由结合外角的性质可得出，再根据角平分线的定义可得出，由此可得出，从而得出，根据的度数即可得出结论。
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