八年级数学上分层优化堂堂清（8）专题 与三角形角有关的几何模型（二）（含解析）
文档属性
| 名称 | 八年级数学上分层优化堂堂清（8）专题 与三角形角有关的几何模型（二）（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 4.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-10 21:05:53 | ||
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文档简介
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八年级数学上分层优化堂堂清
十一章 三角形
几何模型专题
与三角形角有关的几何模型（二）
模型四 双角平分线模型
1.模型1 三角形两内角平分线的夹角
如图，点P为△ABC的内角平分线BP与CP的交点，
结论：∠BPC＝90°∠A；
模型证明：∵∠PBC+∠BCP+∠BPC＝180°，
∵BP、CP是角平分线，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠BCP，
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴∠BPC＝90°∠A；
模型的应用1:
1.如图，BD和CD是△ABC的角平分线，∠BDC＝118°，则∠BAC＝_____°．
如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．
（1）∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数，并说明理由．
（2）题（1）中，如将“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改为“∠A＝70°”，求∠BOC的度数．
（3）若∠A＝n°，求∠BOC的度数．
练习巩固1
1.如图，已知△ABC，O是△ABC内的一点，连接OB、OC，将∠ABO、∠ACO分别记为∠1、∠2，则∠1、∠2、∠A、∠O四个角之间的数量关系是（ ）
A．∠1+∠0=∠A+∠2 B．∠1+∠2+∠A+∠O=180°
C．∠1+∠2+∠A+∠O=360° D．∠1+∠2+∠A=∠O
2.在中， ，若的平分线交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3.如图，已知△ABC，点D，F分别在边AB，AC上运动，点E为平面上的一个动点．当∠DEF＝∠A且点E恰在∠ABC与∠ACB的角平分线的交点处，若∠1+∠2＝140°，则∠BEC为（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
2.模型2 三角形一内角平分线和一外角平分线的夹角
2 .如图，点P为△ABC内角平分线BP与外角平分线CP交点，
结论：∠BPC∠A；
模型证明：∵△ABC的内角平分线BP与外角平分线CP交于P，
∴∠PBC∠ABC，∠PCD∠ACD，
∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠PBC+∠P，
∴（∠A+∠ABC）＝∠PBC+∠P∠ABC+∠P，
∴∠P∠A；
模型的应用2
如图，P是△ABC的∠ABC和∠ACB的外角的平分线的交点，若∠A＝90°，则∠P＝ ．
如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则______．
练习巩固2
1.如图，△ABC中，∠E=18°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，则∠A等于（ ）
A．36° B．30° C．20° D．18°
2.如图，△ABC中，∠B内角平分线和∠C外角平分线交于一点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线交于A2，继续作∠A2BC与∠A2CD的平分线可得∠A3，如此下去可得∠A4…，∠An，当∠A＝64°时，∠A2的度数为 ．
3.模型3 三角形两外角平分线夹角
3.如图，点P是△ABC的外角平分线BP与CP的交点，
结论：∠P＝90°∠A
模型证明：∵BP、CP是△ABC的外角平分线，
∴∠PBC（∠A+∠ACB），∠PCB（∠A+∠ABC），
又∵∠PBC+∠PCB+∠P＝180°，
∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
＝180°（180+∠A）
＝90°∠A．
模型的应用3
1.如图所示，在△ABC中，∠A＝α，两外角平分线交于P点，∠P＝β，则α、β之间的关系为（ ）
A．β＝90°α B．βα C．β＝90°α D．α＝90°β
2.【问题引入】（1）如图1，△ABC，点O是∠ABC和∠ACB相邻的外角平分线的交点，若∠A＝40°，请求出∠BOC的度数．
【深入探究】（2）如图2，在四边形ABCD中，点O是∠BAC和∠ACD的角平分线的交点，若∠B+∠D＝110°，请求出∠AOC的度数．
【类比猜想】（3）如图3，在△ABC中，∠CBO∠DBC，∠BCO∠ECB，∠A＝α，则∠BOC＝ （用α的代数式表示，直接写出结果，不需要写出解答过程）．
练习巩固3
1.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，设∠A=m，则∠BOC =（ ）
A． B． C． D．
2.如图，点F，C在射线AN上，点B，E在射线AM上，∠MEF与∠NFE的角平分线交于点G，∠MBC与∠NCB的角平分线交于点P．若∠G＝67°，那么∠P＝ °．
模型五 角平分线与高线的夹角
如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，
结论∠DAE＝（∠C-∠B）
模型证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC∠BAC，
∵AD是△ABC的BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠DAC＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝∠BAC﹣（90°﹣∠C）＝ （∠C-∠B），
模型的应用4
1.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE、BF是△ABC的角平分线，且两条角平分线交于点O，∠BAD＝60°，∠C＝70°．
(1)求∠EAD的度数；
(2)直接写出∠AOB＝ ．
2.在△ABC中，AD是角平分线，∠B＜∠C，
（1）如图（1），AE是高，∠B＝50°，∠C＝70°，求∠DAE的度数；
（2）如图（2），点E在AD上．EF⊥BC于F，试探究∠DEF与∠B、∠C的大小关系，并证明你的结论；
（3）如图（3），点E在AD的延长线上．EF⊥BC于F，试探究∠DEF与∠B、∠C的关系
是 （直接写出结论，不需证明）．
练习巩固4
1.如图，△ABC中，∠B＝38°，∠C＝74°，AD是BC边上的高，D为垂足，AE平分∠BAC，交BC于点E，DF⊥AE，求∠ADF的度数．
2.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，G是AD上的一点，BG，CG分别平分∠ABC，∠ACB，GH⊥BC，垂足为H，求证：
（1）∠BGC＝90°∠BAC；
（2）∠1＝∠2．
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1.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE、BF是△ABC的角平分线，且两条角平分线交于点O，∠BAD＝60°，∠C＝70°．
(1)求∠EAD的度数；
(2)直接写出∠AOB＝ ．
2.如图，∠AOB＝70°，点M，N分别在OA，OB上运动（不与点O重合），ME平分∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在M，N的运动过程中，∠F的度数（ ）
A．变大 B．变小 C．等于55° D．等于35°
3.如图，已知P是三角形ABC内一点，∠BPC＝120°，∠A＝50°，BD是∠ABP的平分线，CE是∠ACP的平分线，BD与CE交于点F，则∠BFC等于（ ）
A．100° B．90° C．85° D．95°
4.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A、B两点，点C在BA的延长线上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，则∠D的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
5.如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分线BD与AD交于点D，连接CD，求证：CD平分∠ACE
八年级数学上分层优化堂堂清
十一章 三角形
几何模型专题
与三角形角有关的几何模型（二）（解析版）
模型四 双角平分线模型
1.模型1 三角形两内角平分线的夹角
如图，点P为△ABC的内角平分线BP与CP的交点，
结论：∠BPC＝90°∠A；
模型证明：∵∠PBC+∠BCP+∠BPC＝180°，
∵BP、CP是角平分线，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠BCP，
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴∠BPC＝90°∠A；
模型的应用1:
1.如图，BD和CD是△ABC的角平分线，∠BDC＝118°，则∠BAC＝_____°．
【答案】56°
【详解】∵BD和CD是△ABC的角平分线，
∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACB＝2∠DCB，
∵∠BAC＝180° （∠ABC＋∠ACB），
∴∠BAC＝180° 2（∠DBC＋∠BCD）＝180° 2（180° ∠BDC）＝2∠BDC 180°，
∴∠BAC＝2×118° 180°＝56°，
故答案为：56°．
如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．
（1）∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数，并说明理由．
（2）题（1）中，如将“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改为“∠A＝70°”，求∠BOC的度数．
（3）若∠A＝n°，求∠BOC的度数．
【分析】如图，由BO、CO是角平分线得∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，再利用三角形内角和得到∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，则2∠1+2∠2+∠A＝180°，接着再根据三角形内角和得到∠1+∠2+∠BOC＝180°，利用等式的性质进行变换可得∠BOC＝90°∠A，然后根据此结论分别解决（1）、（2）、（3）．
【解答】解：如图，∵BO、CO是角平分线，
∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴2∠1+2∠2+∠A＝180°，
∵∠1+∠2+∠BOC＝180°，
∴2∠1+2∠2+2∠BOC＝360°，
∴2∠BOC﹣∠A＝180°，
∴∠BOC＝90°∠A，
（1）∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴∠BOC＝90°70°＝125°；
（2）∠BOC＝90°∠A＝125°；
（3）∠BOC＝90°n°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．主要用在求三角形中角的度数：①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
练习巩固1
1.如图，已知△ABC，O是△ABC内的一点，连接OB、OC，将∠ABO、∠ACO分别记为∠1、∠2，则∠1、∠2、∠A、∠O四个角之间的数量关系是（ ）
A．∠1+∠0=∠A+∠2 B．∠1+∠2+∠A+∠O=180°
C．∠1+∠2+∠A+∠O=360° D．∠1+∠2+∠A=∠O
【答案】D
【详解】
试题分析：连接AO并延长，交BC于点D，
∵∠BOD是△AOB的外角，∠COD是△AOC的外角，
∴∠BOD=∠BAD+∠1①，∠COD=∠CAD+∠2②，
①+②得，∠BOC=（∠BAD+∠CAD）+∠1+∠2，即∠BOC=∠BAC+∠1+∠2．
故选D．
2.在中， ，若的平分线交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由的度数可以求出与的和，由角平分线的性质可以得出，，即可得出与的和，即可得出的度数．
【详解】
∵，
∴+=110°，
∵为与的平分线，
∴，，
∴+=110÷2=55°，
∴=180°－55°=125°．
故选：B．
3.如图，已知△ABC，点D，F分别在边AB，AC上运动，点E为平面上的一个动点．当∠DEF＝∠A且点E恰在∠ABC与∠ACB的角平分线的交点处，若∠1+∠2＝140°，则∠BEC为（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
【分析】连接AE，根据三角形的外角性质得到∠DEF+∠A＝140°，根据题意求出∠A＝70°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：连接AE，
则∠1＝∠DAE+∠DEA，∠2＝∠FAE+∠FEA，
∵∠1+∠2＝140°，
∴∠DAE+∠DEA+∠FAE+∠FEA＝140°，
∴∠DEF+∠A＝140°，
∵∠DEF＝∠A，
∴∠DEF＝∠A＝70°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠EBC∠ABC，∠ECB∠ACB，
∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）
＝180°（∠ABC+∠ACB）
＝180°（180°﹣∠A）
＝180°（180°﹣70°）
＝125°．
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
2.模型2 三角形一内角平分线和一外角平分线的夹角
2 .如图，点P为△ABC内角平分线BP与外角平分线CP交点，
结论：∠BPC∠A；
模型证明：∵△ABC的内角平分线BP与外角平分线CP交于P，
∴∠PBC∠ABC，∠PCD∠ACD，
∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠PBC+∠P，
∴（∠A+∠ABC）＝∠PBC+∠P∠ABC+∠P，
∴∠P∠A；
模型的应用2
如图，P是△ABC的∠ABC和∠ACB的外角的平分线的交点，若∠A＝90°，则∠P＝ ．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式表示出∠ACE和∠PCE，再根据角平分线的定义表示出∠PBC和∠PCE，然后整理求出∠A＝2∠P，再代入进行计算即可得解．
【解答】解：根据三角形的外角性质，∠ACE＝∠A+∠ABC，∠PCE＝∠P+∠PBC，
∵BP平分∠ABC，CP是△ABC的外角的平分线，
∴∠PBC∠ABC，∠PCE∠ACE，
∴∠P∠ABC（∠A+∠ABC），
∴∠A＝2∠P，
∵∠A＝90°，
∴∠P＝45°
故答案为：45°
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义，准确识图并求出∠A＝2∠P是解题的关键
如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则______．
【答案】
【详解】根据题意，，与的平分线交于点
∴
∵
∴
∵
∴
同理，得；
；
；
…
∴
故答案为：．
练习巩固2
1.如图，△ABC中，∠E=18°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，则∠A等于（ ）
A．36° B．30° C．20° D．18°
【答案】A
【详解】
试题分析：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC；由角平分线的性质，得∠ECD=（∠A+∠ABC），∠EBC=∠ABC，利用等量代换，即可求得∠A与∠E的关系，即可得到结论．
证明：∵∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠ECD=（∠A+∠ABC）．
又∵∠ECD=∠E+∠EBC，
∴∠E+∠EBC=（∠A+∠ABC）．
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=∠ABC，
∴∠ABC+∠E=（∠A+∠ABC），
∴∠E=∠A=18°，
∴∠A=36°．
故选A．
2.如图，△ABC中，∠B内角平分线和∠C外角平分线交于一点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线交于A2，继续作∠A2BC与∠A2CD的平分线可得∠A3，如此下去可得∠A4…，∠An，当∠A＝64°时，∠A2的度数为 ．
【分析】依据∠B内角平分线和∠C外角平分线交于一点A1，即可得到∠A1BC∠ABC，∠A1CD∠ACD，再根据∠A1CD是△A1BC的外角，即可得到∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC（∠ACD﹣∠ABC）∠A，同理可得∠A2∠A1．
【解答】解：∵△ABC中，∠B内角平分线和∠C外角平分线交于一点A1，
∴∠A1BC∠ABC，∠A1CD∠ACD，
∵∠A1CD是△A1BC的外角，
∴∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC（∠ACD﹣∠ABC）∠A＝32°，
同理可得，∠A2∠A132°＝16°，
故答案为：16°．
【点评】本题主要考查了三角形外角性质以及角平分线的运用，解决问题的关键是掌握：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
3.模型3 三角形两外角平分线夹角
3.如图，点P是△ABC的外角平分线BP与CP的交点，
结论：∠P＝90°∠A
模型证明：∵BP、CP是△ABC的外角平分线，
∴∠PBC（∠A+∠ACB），∠PCB（∠A+∠ABC），
又∵∠PBC+∠PCB+∠P＝180°，
∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
＝180°（180+∠A）
＝90°∠A．
模型的应用3
1.如图所示，在△ABC中，∠A＝α，两外角平分线交于P点，∠P＝β，则α、β之间的关系为（ ）
A．β＝90°α B．βα C．β＝90°α D．α＝90°β
【分析】先根据BP、CP分别是∠CBE、∠BCF的平分线可知∠PBC∠EBC，∠BCP∠BCF，再由∠CBE、∠BCF是△ABC的两个外角得出∠CBE+∠BCF＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，故∠PBC+∠BCP（∠EBC+∠BCP）（180°+∠A）＝90°∠A，根据在△PBC中∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠BCP）即可得出结论．
【解答】解：∵BP、CP分别是∠CBE、∠BCF的平分线
∴∠PBC∠EBC，∠BCP∠BCF，
∵∠CBE、∠BCF是△ABC的两个外角
∴∠CBE+∠BCF＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A
∴∠PBC+∠BCP（∠EBC+∠BCP）（180°+∠A）＝90°∠A，
在△PBC中∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠BCP）＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠α．
即β＝90°α．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
2.【问题引入】（1）如图1，△ABC，点O是∠ABC和∠ACB相邻的外角平分线的交点，若∠A＝40°，请求出∠BOC的度数．
【深入探究】（2）如图2，在四边形ABCD中，点O是∠BAC和∠ACD的角平分线的交点，若∠B+∠D＝110°，请求出∠AOC的度数．
【类比猜想】（3）如图3，在△ABC中，∠CBO∠DBC，∠BCO∠ECB，∠A＝α，则∠BOC＝ （用α的代数式表示，直接写出结果，不需要写出解答过程）．
【分析】（1）由三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB，再利用邻补角可求得∠DBC+∠ECB，根据角平分线的定义可求得∠OBC+∠OCB，在△BOC中利用三角形内角和定理可求得∠BOC；
（2）根据三角形内角和等于180°，四边形内角和等于360°，结合角平分线的定义即可得到∠AOC与∠B+∠D之间的关系；
（3）如图3，根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC＝120°α；
【解答】解：（1）∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，
∴∠DBC+∠ECB＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣140°＝220°，
∵BO、CO分别平分∠DBC和∠ECB，
∴∠OBC+∠OCB（∠DBC+∠ECB）220°＝110°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣110°＝70°；
（2）∵点O是∠BAC和∠ACD的角平分线的交点，
∴∠OAC∠CAB，∠OCA∠ACD，
∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）
＝180°（∠CAB+∠ACD）
＝180°（360°﹣∠B﹣∠D）
（∠B+∠D），
∵∠B+∠D＝110°，
∴∠AOC（∠B+∠D）＝55°；
（3）如图③，在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°（∠DBC+∠ECB）
＝180°（∠A+∠ACB+∠A+ABC）
＝180°（∠A+180°）
＝120°α；
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键
练习巩固3
1.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，设∠A=m，则∠BOC =（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
试题分析：如图，
∵∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，∴∠1=180°-2∠3，∠2=180°-2∠4，∴∠1+∠2=180°-2∠3+180°-2∠4，根据图形可得：∠A=180°-∠1-∠2=m，∴∠1+∠2=180°-m，∴180°-2∠3+180°-2∠4=180°-m，∴2（∠3+∠4）=180°+m，∴∠3+∠4=，又∵在△BOC中，∠BOC=180°-（∠3+∠4），∴∠BOC=180°-=，故选B．
2.如图，点F，C在射线AN上，点B，E在射线AM上，∠MEF与∠NFE的角平分线交于点G，∠MBC与∠NCB的角平分线交于点P．若∠G＝67°，那么∠P＝ °．
【答案】见解析
【详解】∵∠MEF与∠NFE的角平分线交于点G，
∴∠G＝180°﹣（∠NCB∠MBC）
＝180°﹣[（180°﹣∠ACB）（180°﹣∠ABC）]
＝180°[180°+180°﹣（∠ACB+∠ABC）]
＝180°（180°+∠A）
＝90°﹣∠A
＝67°，
∵∠MBC与∠NCB的角平分线交于点P，
∴∠P＝180°﹣（∠NFE∠MEF）
＝180°﹣[（180°﹣∠AFE）（180°﹣∠AEF）]
＝180°[180°+180°﹣（∠AEF+∠AFE）]
＝180°（180°+∠A）
＝90°﹣∠A
＝67°，
故答案为：67°．
模型五 角平分线与高线的夹角
如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，
结论∠DAE＝（∠C-∠B）
模型证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC∠BAC，
∵AD是△ABC的BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠DAC＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝∠BAC﹣（90°﹣∠C）＝ （∠C-∠B），
模型的应用4
1.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE、BF是△ABC的角平分线，且两条角平分线交于点O，∠BAD＝60°，∠C＝70°．
(1)求∠EAD的度数；
(2)直接写出∠AOB＝ ．
【答案】(1)∠EAD=20° (2)125°
【详解】(1)∵AD是 ABC的高，∠C=70°，
∴∠CAD=90°-∠C=20°
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°
又∵AE是 ABC的平分线
∴∠BAE=∠EAC=°=40°
∴∠EAD=∠EAC-∠CAD=40°-20°=20°
(2)∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠C=180°-80°-70°=30°
又∵BF是 ABC的角平分线，
∴∠ABF=°=15°
∵∠ABO+∠AOB+∠BAO=180°
∴∠AOB=180°-∠ABO-∠BAO=180°-15°-40°=125°
2.在△ABC中，AD是角平分线，∠B＜∠C，
（1）如图（1），AE是高，∠B＝50°，∠C＝70°，求∠DAE的度数；
（2）如图（2），点E在AD上．EF⊥BC于F，试探究∠DEF与∠B、∠C的大小关系，并证明你的结论；
（3）如图（3），点E在AD的延长线上．EF⊥BC于F，试探究∠DEF与∠B、∠C的关系
是 （直接写出结论，不需证明）．
【分析】（1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到∠CAD∠BAC，∠CAE＝90°﹣∠C，进而得出∠DAE（∠C﹣∠B），由此即可解决问题．
（2）过A作AG⊥BC于G，依据平行线的性质可得∠DAG＝∠DEF，依据（1）中结论即可得到∠DEF（∠C﹣∠B）．
（3）过A作AG⊥BC于G，依据平行线的性质可得∠DAG＝∠DEF，依据（1）中结论即可得到∠DEF（∠C﹣∠B）不变．
【解答】解：（1）如图1，∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD∠BAC，
∵AE⊥BC，
∴∠CAE＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE
∠BAC﹣（90°﹣∠C）
（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）
∠C∠B
（∠C﹣∠B），
∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠DAE（70°﹣50°）＝10°．
（2）结论：∠DEF（∠C﹣∠B）．
理由：如图2，过A作AG⊥BC于G，
∵EF⊥BC，
∴AG∥EF，
∴∠DAG＝∠DEF，
由（1）可得，∠DAG（∠C﹣∠B），
∴∠DEF（∠C﹣∠B）．
（3）仍成立．
如图3，过A作AG⊥BC于G，
∵EF⊥BC，
∴AG∥EF，
∴∠DAG＝∠DEF，
由（1）可得，∠DAG（∠C﹣∠B），
∴∠DEF（∠C﹣∠B），
故答案为∠DEF（∠C﹣∠B）．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质，解题时注意：三角形内角和是180°．
练习巩固4
1.如图，△ABC中，∠B＝38°，∠C＝74°，AD是BC边上的高，D为垂足，AE平分∠BAC，交BC于点E，DF⊥AE，求∠ADF的度数．
【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，由AE平分∠BAC，利用角平分线的定义可求出∠BAE的度数，由AD⊥BC可求出∠BAD的度数，结合∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE可求出∠EAD的度数，再由DF⊥AE，利用三角形内角和定理即可求出∠ADF的度数．
【解答】解：∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∠B＝38°，∠C＝74°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝68°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE∠BAC68°＝34°．
∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣38°＝52°，
∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝52°﹣34°＝18°．
∵DF⊥AE，
∴∠ADF＝90°﹣∠EAD＝90°﹣18°＝72°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记三角形内角和是180°是解题的关键．
2.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，G是AD上的一点，BG，CG分别平分∠ABC，∠ACB，GH⊥BC，垂足为H，求证：
（1）∠BGC＝90°∠BAC；
（2）∠1＝∠2．
【分析】（1）由三角形内角和定理可知∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，然后利用角平分线的性质即可求出∠BGC＝90°∠BAC．
（2）由于AD是它的角平分线，所以∠BAD＝∠CAD，然后根据图形可知：∠1＝∠BAD+∠ABG，∠2＝90°﹣∠GCH，最后根据三角形的内角和定理以及外角的性质即可求出答案．
【解答】解：（1）由三角形内角和定理可知：∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
∵BG，CG分别平分∠ABC，∠ACB，
∠GBC∠ABC，∠GCB∠ACB
∴∠GBC+∠GCB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠BAC）＝90°∠BAC
∴∠BGC＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝180°（∠ABC+∠ACB）＝90°∠BAC；
（2）∵AD是它的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD
∴∠1＝∠BAD+∠ABG，
∵GH⊥BC，
∴∠GHC＝90°
∴∠2＝90°﹣∠GCH
＝90°∠ACB
＝90°（180°﹣∠DAC﹣∠ADC）
∠DAC∠ADC
∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD，
∴∠ADC∠ABC+∠∠BAD
＝∠ABG∠BAD，
∴∠2∠DAC∠ADC
∠BAD∠BAD+∠ABG
＝∠BAD+∠ABG，
∴∠1＝∠2，
【点评】本题考查三角形内角和综合问题，解题的关键是灵活运用三角形的内角和定理以及三角形的外角性质．本题属于中等题型．
能力强化提升训练
1.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE、BF是△ABC的角平分线，且两条角平分线交于点O，∠BAD＝60°，∠C＝70°．
(1)求∠EAD的度数；
(2)直接写出∠AOB＝ ．
【答案】(1)∠EAD=20° (2)125°
【详解】(1)∵AD是 ABC的高，∠C=70°，
∴∠CAD=90°-∠C=20°
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°
又∵AE是 ABC的平分线
∴∠BAE=∠EAC=°=40°
∴∠EAD=∠EAC-∠CAD=40°-20°=20°
(2)∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠C=180°-80°-70°=30°
又∵BF是 ABC的角平分线，
∴∠ABF=°=15°
∵∠ABO+∠AOB+∠BAO=180°
∴∠AOB=180°-∠ABO-∠BAO=180°-15°-40°=125°
2.如图，∠AOB＝70°，点M，N分别在OA，OB上运动（不与点O重合），ME平分∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在M，N的运动过程中，∠F的度数（ ）
A．变大 B．变小 C．等于55° D．等于35°
【分析】根据角平分线的定义以及三角形内角和定理进行计算即可．
【解答】解：∵ME平分∠AMN，NF平分∠MNO，
∴∠AME＝∠EMN∠AMN，∠MNF＝∠FNO∠MNO，
又∵∠AMN是△MNO的外角，
∴∠AMN＝∠MNO+∠O，
即2∠EMN＝2∠MNF+∠O，
∴∠EMN＝∠MNF∠O，
又∵∠EMN是△MNF的外角，
∴∠EMN＝∠MNF+∠F，
∴∠MNF+∠F＝∠MNF∠O，
∴∠F∠O70°＝35°，
故选：D．
【点评】本题考查角平分线，三角形的内角和，理解角平分线的定义，掌握三角形内角和定理及推论是解决问题的前提．
3.如图，已知P是三角形ABC内一点，∠BPC＝120°，∠A＝50°，BD是∠ABP的平分线，CE是∠ACP的平分线，BD与CE交于点F，则∠BFC等于（ ）
A．100° B．90° C．85° D．95°
【分析】利用三角形的内角和定理求得∠ABC+∠ACB，由∠BPC＝120°，可得∠PBC+∠PCB，利用角平分线的性质可得∠FBP+∠FCP，易得∠FBC+∠FCB，由三角形的内角和定理可得结果．
【解答】解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∵∠BPC＝120°，
∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠BPC＝60°，
∴∠ABP+∠ACP＝130°﹣60°＝70°，
∵BD是∠ABP的平分线，CE是∠ACP的平分线，
∴∠FBP+∠FCP＝35°，
∴∠FBC+∠FCB＝∠PBC+∠PCB+∠FBP+∠FCP＝60°+35°＝95°，
∴∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°﹣95°＝85°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，运用整体代入是解答此题的关键．
4.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A、B两点，点C在BA的延长线上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，则∠D的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
【分析】由OA⊥OB即可得出∠OAB+∠ABO＝90°、∠AOB＝90°，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求出∠P的度数．
【解答】解：∵OA⊥OB，
∴∠OAB+∠ABO＝90°，∠AOB＝90°．
∵AD平分∠CAO，
∴∠DAO∠OAC（180°﹣∠OAB）．
∵BD平分∠ABO，
∴∠ABD∠ABO，
∴∠D＝180°﹣∠DAO﹣∠OAB﹣∠ABD＝180°（180°﹣∠OAB）﹣∠OAB∠ABO＝90°（∠OAB+∠ABO）＝45°．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是找出∠P＝90°（∠OAB+∠ABO）．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练运用三角形内角和定理解决问题是关键
5.如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分线BD与AD交于点D，连接CD，求证：CD平分∠ACE
【答案】见解析
【详解】∵AD∥BE
∴∠ADB=∠DBE，
又∵BD平分∠GBE
∴∠ABD=∠DBE
∴∠ADB=∠ABD
∴AB=AD，
又∵AB=AC
∴AC=AD
∴∠ACD=∠ADC，
由AD∥BE可知，∠ADC=∠DCE
∴∠ACD=∠DCE
∴CD平分∠ACE
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八年级数学上分层优化堂堂清
十一章 三角形
几何模型专题
与三角形角有关的几何模型（二）
模型四 双角平分线模型
1.模型1 三角形两内角平分线的夹角
如图，点P为△ABC的内角平分线BP与CP的交点，
结论：∠BPC＝90°∠A；
模型证明：∵∠PBC+∠BCP+∠BPC＝180°，
∵BP、CP是角平分线，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠BCP，
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴∠BPC＝90°∠A；
模型的应用1:
1.如图，BD和CD是△ABC的角平分线，∠BDC＝118°，则∠BAC＝_____°．
如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．
（1）∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数，并说明理由．
（2）题（1）中，如将“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改为“∠A＝70°”，求∠BOC的度数．
（3）若∠A＝n°，求∠BOC的度数．
练习巩固1
1.如图，已知△ABC，O是△ABC内的一点，连接OB、OC，将∠ABO、∠ACO分别记为∠1、∠2，则∠1、∠2、∠A、∠O四个角之间的数量关系是（ ）
A．∠1+∠0=∠A+∠2 B．∠1+∠2+∠A+∠O=180°
C．∠1+∠2+∠A+∠O=360° D．∠1+∠2+∠A=∠O
2.在中， ，若的平分线交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3.如图，已知△ABC，点D，F分别在边AB，AC上运动，点E为平面上的一个动点．当∠DEF＝∠A且点E恰在∠ABC与∠ACB的角平分线的交点处，若∠1+∠2＝140°，则∠BEC为（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
2.模型2 三角形一内角平分线和一外角平分线的夹角
2 .如图，点P为△ABC内角平分线BP与外角平分线CP交点，
结论：∠BPC∠A；
模型证明：∵△ABC的内角平分线BP与外角平分线CP交于P，
∴∠PBC∠ABC，∠PCD∠ACD，
∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠PBC+∠P，
∴（∠A+∠ABC）＝∠PBC+∠P∠ABC+∠P，
∴∠P∠A；
模型的应用2
如图，P是△ABC的∠ABC和∠ACB的外角的平分线的交点，若∠A＝90°，则∠P＝ ．
如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则______．
练习巩固2
1.如图，△ABC中，∠E=18°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，则∠A等于（ ）
A．36° B．30° C．20° D．18°
2.如图，△ABC中，∠B内角平分线和∠C外角平分线交于一点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线交于A2，继续作∠A2BC与∠A2CD的平分线可得∠A3，如此下去可得∠A4…，∠An，当∠A＝64°时，∠A2的度数为 ．
3.模型3 三角形两外角平分线夹角
3.如图，点P是△ABC的外角平分线BP与CP的交点，
结论：∠P＝90°∠A
模型证明：∵BP、CP是△ABC的外角平分线，
∴∠PBC（∠A+∠ACB），∠PCB（∠A+∠ABC），
又∵∠PBC+∠PCB+∠P＝180°，
∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
＝180°（180+∠A）
＝90°∠A．
模型的应用3
1.如图所示，在△ABC中，∠A＝α，两外角平分线交于P点，∠P＝β，则α、β之间的关系为（ ）
A．β＝90°α B．βα C．β＝90°α D．α＝90°β
2.【问题引入】（1）如图1，△ABC，点O是∠ABC和∠ACB相邻的外角平分线的交点，若∠A＝40°，请求出∠BOC的度数．
【深入探究】（2）如图2，在四边形ABCD中，点O是∠BAC和∠ACD的角平分线的交点，若∠B+∠D＝110°，请求出∠AOC的度数．
【类比猜想】（3）如图3，在△ABC中，∠CBO∠DBC，∠BCO∠ECB，∠A＝α，则∠BOC＝ （用α的代数式表示，直接写出结果，不需要写出解答过程）．
练习巩固3
1.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，设∠A=m，则∠BOC =（ ）
A． B． C． D．
2.如图，点F，C在射线AN上，点B，E在射线AM上，∠MEF与∠NFE的角平分线交于点G，∠MBC与∠NCB的角平分线交于点P．若∠G＝67°，那么∠P＝ °．
模型五 角平分线与高线的夹角
如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，
结论∠DAE＝（∠C-∠B）
模型证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC∠BAC，
∵AD是△ABC的BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠DAC＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝∠BAC﹣（90°﹣∠C）＝ （∠C-∠B），
模型的应用4
1.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE、BF是△ABC的角平分线，且两条角平分线交于点O，∠BAD＝60°，∠C＝70°．
(1)求∠EAD的度数；
(2)直接写出∠AOB＝ ．
2.在△ABC中，AD是角平分线，∠B＜∠C，
（1）如图（1），AE是高，∠B＝50°，∠C＝70°，求∠DAE的度数；
（2）如图（2），点E在AD上．EF⊥BC于F，试探究∠DEF与∠B、∠C的大小关系，并证明你的结论；
（3）如图（3），点E在AD的延长线上．EF⊥BC于F，试探究∠DEF与∠B、∠C的关系
是 （直接写出结论，不需证明）．
练习巩固4
1.如图，△ABC中，∠B＝38°，∠C＝74°，AD是BC边上的高，D为垂足，AE平分∠BAC，交BC于点E，DF⊥AE，求∠ADF的度数．
2.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，G是AD上的一点，BG，CG分别平分∠ABC，∠ACB，GH⊥BC，垂足为H，求证：
（1）∠BGC＝90°∠BAC；
（2）∠1＝∠2．
能力强化提升训练
1.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE、BF是△ABC的角平分线，且两条角平分线交于点O，∠BAD＝60°，∠C＝70°．
(1)求∠EAD的度数；
(2)直接写出∠AOB＝ ．
2.如图，∠AOB＝70°，点M，N分别在OA，OB上运动（不与点O重合），ME平分∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在M，N的运动过程中，∠F的度数（ ）
A．变大 B．变小 C．等于55° D．等于35°
3.如图，已知P是三角形ABC内一点，∠BPC＝120°，∠A＝50°，BD是∠ABP的平分线，CE是∠ACP的平分线，BD与CE交于点F，则∠BFC等于（ ）
A．100° B．90° C．85° D．95°
4.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A、B两点，点C在BA的延长线上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，则∠D的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
5.如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分线BD与AD交于点D，连接CD，求证：CD平分∠ACE
八年级数学上分层优化堂堂清
十一章 三角形
几何模型专题
与三角形角有关的几何模型（二）（解析版）
模型四 双角平分线模型
1.模型1 三角形两内角平分线的夹角
如图，点P为△ABC的内角平分线BP与CP的交点，
结论：∠BPC＝90°∠A；
模型证明：∵∠PBC+∠BCP+∠BPC＝180°，
∵BP、CP是角平分线，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠BCP，
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴∠BPC＝90°∠A；
模型的应用1:
1.如图，BD和CD是△ABC的角平分线，∠BDC＝118°，则∠BAC＝_____°．
【答案】56°
【详解】∵BD和CD是△ABC的角平分线，
∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACB＝2∠DCB，
∵∠BAC＝180° （∠ABC＋∠ACB），
∴∠BAC＝180° 2（∠DBC＋∠BCD）＝180° 2（180° ∠BDC）＝2∠BDC 180°，
∴∠BAC＝2×118° 180°＝56°，
故答案为：56°．
如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．
（1）∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数，并说明理由．
（2）题（1）中，如将“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改为“∠A＝70°”，求∠BOC的度数．
（3）若∠A＝n°，求∠BOC的度数．
【分析】如图，由BO、CO是角平分线得∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，再利用三角形内角和得到∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，则2∠1+2∠2+∠A＝180°，接着再根据三角形内角和得到∠1+∠2+∠BOC＝180°，利用等式的性质进行变换可得∠BOC＝90°∠A，然后根据此结论分别解决（1）、（2）、（3）．
【解答】解：如图，∵BO、CO是角平分线，
∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴2∠1+2∠2+∠A＝180°，
∵∠1+∠2+∠BOC＝180°，
∴2∠1+2∠2+2∠BOC＝360°，
∴2∠BOC﹣∠A＝180°，
∴∠BOC＝90°∠A，
（1）∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴∠BOC＝90°70°＝125°；
（2）∠BOC＝90°∠A＝125°；
（3）∠BOC＝90°n°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．主要用在求三角形中角的度数：①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
练习巩固1
1.如图，已知△ABC，O是△ABC内的一点，连接OB、OC，将∠ABO、∠ACO分别记为∠1、∠2，则∠1、∠2、∠A、∠O四个角之间的数量关系是（ ）
A．∠1+∠0=∠A+∠2 B．∠1+∠2+∠A+∠O=180°
C．∠1+∠2+∠A+∠O=360° D．∠1+∠2+∠A=∠O
【答案】D
【详解】
试题分析：连接AO并延长，交BC于点D，
∵∠BOD是△AOB的外角，∠COD是△AOC的外角，
∴∠BOD=∠BAD+∠1①，∠COD=∠CAD+∠2②，
①+②得，∠BOC=（∠BAD+∠CAD）+∠1+∠2，即∠BOC=∠BAC+∠1+∠2．
故选D．
2.在中， ，若的平分线交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由的度数可以求出与的和，由角平分线的性质可以得出，，即可得出与的和，即可得出的度数．
【详解】
∵，
∴+=110°，
∵为与的平分线，
∴，，
∴+=110÷2=55°，
∴=180°－55°=125°．
故选：B．
3.如图，已知△ABC，点D，F分别在边AB，AC上运动，点E为平面上的一个动点．当∠DEF＝∠A且点E恰在∠ABC与∠ACB的角平分线的交点处，若∠1+∠2＝140°，则∠BEC为（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
【分析】连接AE，根据三角形的外角性质得到∠DEF+∠A＝140°，根据题意求出∠A＝70°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：连接AE，
则∠1＝∠DAE+∠DEA，∠2＝∠FAE+∠FEA，
∵∠1+∠2＝140°，
∴∠DAE+∠DEA+∠FAE+∠FEA＝140°，
∴∠DEF+∠A＝140°，
∵∠DEF＝∠A，
∴∠DEF＝∠A＝70°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠EBC∠ABC，∠ECB∠ACB，
∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）
＝180°（∠ABC+∠ACB）
＝180°（180°﹣∠A）
＝180°（180°﹣70°）
＝125°．
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
2.模型2 三角形一内角平分线和一外角平分线的夹角
2 .如图，点P为△ABC内角平分线BP与外角平分线CP交点，
结论：∠BPC∠A；
模型证明：∵△ABC的内角平分线BP与外角平分线CP交于P，
∴∠PBC∠ABC，∠PCD∠ACD，
∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠PBC+∠P，
∴（∠A+∠ABC）＝∠PBC+∠P∠ABC+∠P，
∴∠P∠A；
模型的应用2
如图，P是△ABC的∠ABC和∠ACB的外角的平分线的交点，若∠A＝90°，则∠P＝ ．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式表示出∠ACE和∠PCE，再根据角平分线的定义表示出∠PBC和∠PCE，然后整理求出∠A＝2∠P，再代入进行计算即可得解．
【解答】解：根据三角形的外角性质，∠ACE＝∠A+∠ABC，∠PCE＝∠P+∠PBC，
∵BP平分∠ABC，CP是△ABC的外角的平分线，
∴∠PBC∠ABC，∠PCE∠ACE，
∴∠P∠ABC（∠A+∠ABC），
∴∠A＝2∠P，
∵∠A＝90°，
∴∠P＝45°
故答案为：45°
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义，准确识图并求出∠A＝2∠P是解题的关键
如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则______．
【答案】
【详解】根据题意，，与的平分线交于点
∴
∵
∴
∵
∴
同理，得；
；
；
…
∴
故答案为：．
练习巩固2
1.如图，△ABC中，∠E=18°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，则∠A等于（ ）
A．36° B．30° C．20° D．18°
【答案】A
【详解】
试题分析：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC；由角平分线的性质，得∠ECD=（∠A+∠ABC），∠EBC=∠ABC，利用等量代换，即可求得∠A与∠E的关系，即可得到结论．
证明：∵∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠ECD=（∠A+∠ABC）．
又∵∠ECD=∠E+∠EBC，
∴∠E+∠EBC=（∠A+∠ABC）．
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=∠ABC，
∴∠ABC+∠E=（∠A+∠ABC），
∴∠E=∠A=18°，
∴∠A=36°．
故选A．
2.如图，△ABC中，∠B内角平分线和∠C外角平分线交于一点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线交于A2，继续作∠A2BC与∠A2CD的平分线可得∠A3，如此下去可得∠A4…，∠An，当∠A＝64°时，∠A2的度数为 ．
【分析】依据∠B内角平分线和∠C外角平分线交于一点A1，即可得到∠A1BC∠ABC，∠A1CD∠ACD，再根据∠A1CD是△A1BC的外角，即可得到∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC（∠ACD﹣∠ABC）∠A，同理可得∠A2∠A1．
【解答】解：∵△ABC中，∠B内角平分线和∠C外角平分线交于一点A1，
∴∠A1BC∠ABC，∠A1CD∠ACD，
∵∠A1CD是△A1BC的外角，
∴∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC（∠ACD﹣∠ABC）∠A＝32°，
同理可得，∠A2∠A132°＝16°，
故答案为：16°．
【点评】本题主要考查了三角形外角性质以及角平分线的运用，解决问题的关键是掌握：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
3.模型3 三角形两外角平分线夹角
3.如图，点P是△ABC的外角平分线BP与CP的交点，
结论：∠P＝90°∠A
模型证明：∵BP、CP是△ABC的外角平分线，
∴∠PBC（∠A+∠ACB），∠PCB（∠A+∠ABC），
又∵∠PBC+∠PCB+∠P＝180°，
∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
＝180°（180+∠A）
＝90°∠A．
模型的应用3
1.如图所示，在△ABC中，∠A＝α，两外角平分线交于P点，∠P＝β，则α、β之间的关系为（ ）
A．β＝90°α B．βα C．β＝90°α D．α＝90°β
【分析】先根据BP、CP分别是∠CBE、∠BCF的平分线可知∠PBC∠EBC，∠BCP∠BCF，再由∠CBE、∠BCF是△ABC的两个外角得出∠CBE+∠BCF＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，故∠PBC+∠BCP（∠EBC+∠BCP）（180°+∠A）＝90°∠A，根据在△PBC中∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠BCP）即可得出结论．
【解答】解：∵BP、CP分别是∠CBE、∠BCF的平分线
∴∠PBC∠EBC，∠BCP∠BCF，
∵∠CBE、∠BCF是△ABC的两个外角
∴∠CBE+∠BCF＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A
∴∠PBC+∠BCP（∠EBC+∠BCP）（180°+∠A）＝90°∠A，
在△PBC中∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠BCP）＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠α．
即β＝90°α．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
2.【问题引入】（1）如图1，△ABC，点O是∠ABC和∠ACB相邻的外角平分线的交点，若∠A＝40°，请求出∠BOC的度数．
【深入探究】（2）如图2，在四边形ABCD中，点O是∠BAC和∠ACD的角平分线的交点，若∠B+∠D＝110°，请求出∠AOC的度数．
【类比猜想】（3）如图3，在△ABC中，∠CBO∠DBC，∠BCO∠ECB，∠A＝α，则∠BOC＝ （用α的代数式表示，直接写出结果，不需要写出解答过程）．
【分析】（1）由三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB，再利用邻补角可求得∠DBC+∠ECB，根据角平分线的定义可求得∠OBC+∠OCB，在△BOC中利用三角形内角和定理可求得∠BOC；
（2）根据三角形内角和等于180°，四边形内角和等于360°，结合角平分线的定义即可得到∠AOC与∠B+∠D之间的关系；
（3）如图3，根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC＝120°α；
【解答】解：（1）∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，
∴∠DBC+∠ECB＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣140°＝220°，
∵BO、CO分别平分∠DBC和∠ECB，
∴∠OBC+∠OCB（∠DBC+∠ECB）220°＝110°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣110°＝70°；
（2）∵点O是∠BAC和∠ACD的角平分线的交点，
∴∠OAC∠CAB，∠OCA∠ACD，
∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）
＝180°（∠CAB+∠ACD）
＝180°（360°﹣∠B﹣∠D）
（∠B+∠D），
∵∠B+∠D＝110°，
∴∠AOC（∠B+∠D）＝55°；
（3）如图③，在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°（∠DBC+∠ECB）
＝180°（∠A+∠ACB+∠A+ABC）
＝180°（∠A+180°）
＝120°α；
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键
练习巩固3
1.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，设∠A=m，则∠BOC =（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
试题分析：如图，
∵∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，∴∠1=180°-2∠3，∠2=180°-2∠4，∴∠1+∠2=180°-2∠3+180°-2∠4，根据图形可得：∠A=180°-∠1-∠2=m，∴∠1+∠2=180°-m，∴180°-2∠3+180°-2∠4=180°-m，∴2（∠3+∠4）=180°+m，∴∠3+∠4=，又∵在△BOC中，∠BOC=180°-（∠3+∠4），∴∠BOC=180°-=，故选B．
2.如图，点F，C在射线AN上，点B，E在射线AM上，∠MEF与∠NFE的角平分线交于点G，∠MBC与∠NCB的角平分线交于点P．若∠G＝67°，那么∠P＝ °．
【答案】见解析
【详解】∵∠MEF与∠NFE的角平分线交于点G，
∴∠G＝180°﹣（∠NCB∠MBC）
＝180°﹣[（180°﹣∠ACB）（180°﹣∠ABC）]
＝180°[180°+180°﹣（∠ACB+∠ABC）]
＝180°（180°+∠A）
＝90°﹣∠A
＝67°，
∵∠MBC与∠NCB的角平分线交于点P，
∴∠P＝180°﹣（∠NFE∠MEF）
＝180°﹣[（180°﹣∠AFE）（180°﹣∠AEF）]
＝180°[180°+180°﹣（∠AEF+∠AFE）]
＝180°（180°+∠A）
＝90°﹣∠A
＝67°，
故答案为：67°．
模型五 角平分线与高线的夹角
如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，
结论∠DAE＝（∠C-∠B）
模型证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC∠BAC，
∵AD是△ABC的BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠DAC＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝∠BAC﹣（90°﹣∠C）＝ （∠C-∠B），
模型的应用4
1.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE、BF是△ABC的角平分线，且两条角平分线交于点O，∠BAD＝60°，∠C＝70°．
(1)求∠EAD的度数；
(2)直接写出∠AOB＝ ．
【答案】(1)∠EAD=20° (2)125°
【详解】(1)∵AD是 ABC的高，∠C=70°，
∴∠CAD=90°-∠C=20°
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°
又∵AE是 ABC的平分线
∴∠BAE=∠EAC=°=40°
∴∠EAD=∠EAC-∠CAD=40°-20°=20°
(2)∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠C=180°-80°-70°=30°
又∵BF是 ABC的角平分线，
∴∠ABF=°=15°
∵∠ABO+∠AOB+∠BAO=180°
∴∠AOB=180°-∠ABO-∠BAO=180°-15°-40°=125°
2.在△ABC中，AD是角平分线，∠B＜∠C，
（1）如图（1），AE是高，∠B＝50°，∠C＝70°，求∠DAE的度数；
（2）如图（2），点E在AD上．EF⊥BC于F，试探究∠DEF与∠B、∠C的大小关系，并证明你的结论；
（3）如图（3），点E在AD的延长线上．EF⊥BC于F，试探究∠DEF与∠B、∠C的关系
是 （直接写出结论，不需证明）．
【分析】（1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到∠CAD∠BAC，∠CAE＝90°﹣∠C，进而得出∠DAE（∠C﹣∠B），由此即可解决问题．
（2）过A作AG⊥BC于G，依据平行线的性质可得∠DAG＝∠DEF，依据（1）中结论即可得到∠DEF（∠C﹣∠B）．
（3）过A作AG⊥BC于G，依据平行线的性质可得∠DAG＝∠DEF，依据（1）中结论即可得到∠DEF（∠C﹣∠B）不变．
【解答】解：（1）如图1，∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD∠BAC，
∵AE⊥BC，
∴∠CAE＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE
∠BAC﹣（90°﹣∠C）
（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）
∠C∠B
（∠C﹣∠B），
∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠DAE（70°﹣50°）＝10°．
（2）结论：∠DEF（∠C﹣∠B）．
理由：如图2，过A作AG⊥BC于G，
∵EF⊥BC，
∴AG∥EF，
∴∠DAG＝∠DEF，
由（1）可得，∠DAG（∠C﹣∠B），
∴∠DEF（∠C﹣∠B）．
（3）仍成立．
如图3，过A作AG⊥BC于G，
∵EF⊥BC，
∴AG∥EF，
∴∠DAG＝∠DEF，
由（1）可得，∠DAG（∠C﹣∠B），
∴∠DEF（∠C﹣∠B），
故答案为∠DEF（∠C﹣∠B）．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质，解题时注意：三角形内角和是180°．
练习巩固4
1.如图，△ABC中，∠B＝38°，∠C＝74°，AD是BC边上的高，D为垂足，AE平分∠BAC，交BC于点E，DF⊥AE，求∠ADF的度数．
【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，由AE平分∠BAC，利用角平分线的定义可求出∠BAE的度数，由AD⊥BC可求出∠BAD的度数，结合∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE可求出∠EAD的度数，再由DF⊥AE，利用三角形内角和定理即可求出∠ADF的度数．
【解答】解：∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∠B＝38°，∠C＝74°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝68°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE∠BAC68°＝34°．
∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣38°＝52°，
∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝52°﹣34°＝18°．
∵DF⊥AE，
∴∠ADF＝90°﹣∠EAD＝90°﹣18°＝72°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记三角形内角和是180°是解题的关键．
2.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，G是AD上的一点，BG，CG分别平分∠ABC，∠ACB，GH⊥BC，垂足为H，求证：
（1）∠BGC＝90°∠BAC；
（2）∠1＝∠2．
【分析】（1）由三角形内角和定理可知∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，然后利用角平分线的性质即可求出∠BGC＝90°∠BAC．
（2）由于AD是它的角平分线，所以∠BAD＝∠CAD，然后根据图形可知：∠1＝∠BAD+∠ABG，∠2＝90°﹣∠GCH，最后根据三角形的内角和定理以及外角的性质即可求出答案．
【解答】解：（1）由三角形内角和定理可知：∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
∵BG，CG分别平分∠ABC，∠ACB，
∠GBC∠ABC，∠GCB∠ACB
∴∠GBC+∠GCB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠BAC）＝90°∠BAC
∴∠BGC＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝180°（∠ABC+∠ACB）＝90°∠BAC；
（2）∵AD是它的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD
∴∠1＝∠BAD+∠ABG，
∵GH⊥BC，
∴∠GHC＝90°
∴∠2＝90°﹣∠GCH
＝90°∠ACB
＝90°（180°﹣∠DAC﹣∠ADC）
∠DAC∠ADC
∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD，
∴∠ADC∠ABC+∠∠BAD
＝∠ABG∠BAD，
∴∠2∠DAC∠ADC
∠BAD∠BAD+∠ABG
＝∠BAD+∠ABG，
∴∠1＝∠2，
【点评】本题考查三角形内角和综合问题，解题的关键是灵活运用三角形的内角和定理以及三角形的外角性质．本题属于中等题型．
能力强化提升训练
1.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE、BF是△ABC的角平分线，且两条角平分线交于点O，∠BAD＝60°，∠C＝70°．
(1)求∠EAD的度数；
(2)直接写出∠AOB＝ ．
【答案】(1)∠EAD=20° (2)125°
【详解】(1)∵AD是 ABC的高，∠C=70°，
∴∠CAD=90°-∠C=20°
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°
又∵AE是 ABC的平分线
∴∠BAE=∠EAC=°=40°
∴∠EAD=∠EAC-∠CAD=40°-20°=20°
(2)∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠C=180°-80°-70°=30°
又∵BF是 ABC的角平分线，
∴∠ABF=°=15°
∵∠ABO+∠AOB+∠BAO=180°
∴∠AOB=180°-∠ABO-∠BAO=180°-15°-40°=125°
2.如图，∠AOB＝70°，点M，N分别在OA，OB上运动（不与点O重合），ME平分∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在M，N的运动过程中，∠F的度数（ ）
A．变大 B．变小 C．等于55° D．等于35°
【分析】根据角平分线的定义以及三角形内角和定理进行计算即可．
【解答】解：∵ME平分∠AMN，NF平分∠MNO，
∴∠AME＝∠EMN∠AMN，∠MNF＝∠FNO∠MNO，
又∵∠AMN是△MNO的外角，
∴∠AMN＝∠MNO+∠O，
即2∠EMN＝2∠MNF+∠O，
∴∠EMN＝∠MNF∠O，
又∵∠EMN是△MNF的外角，
∴∠EMN＝∠MNF+∠F，
∴∠MNF+∠F＝∠MNF∠O，
∴∠F∠O70°＝35°，
故选：D．
【点评】本题考查角平分线，三角形的内角和，理解角平分线的定义，掌握三角形内角和定理及推论是解决问题的前提．
3.如图，已知P是三角形ABC内一点，∠BPC＝120°，∠A＝50°，BD是∠ABP的平分线，CE是∠ACP的平分线，BD与CE交于点F，则∠BFC等于（ ）
A．100° B．90° C．85° D．95°
【分析】利用三角形的内角和定理求得∠ABC+∠ACB，由∠BPC＝120°，可得∠PBC+∠PCB，利用角平分线的性质可得∠FBP+∠FCP，易得∠FBC+∠FCB，由三角形的内角和定理可得结果．
【解答】解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∵∠BPC＝120°，
∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠BPC＝60°，
∴∠ABP+∠ACP＝130°﹣60°＝70°，
∵BD是∠ABP的平分线，CE是∠ACP的平分线，
∴∠FBP+∠FCP＝35°，
∴∠FBC+∠FCB＝∠PBC+∠PCB+∠FBP+∠FCP＝60°+35°＝95°，
∴∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°﹣95°＝85°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，运用整体代入是解答此题的关键．
4.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A、B两点，点C在BA的延长线上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，则∠D的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
【分析】由OA⊥OB即可得出∠OAB+∠ABO＝90°、∠AOB＝90°，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求出∠P的度数．
【解答】解：∵OA⊥OB，
∴∠OAB+∠ABO＝90°，∠AOB＝90°．
∵AD平分∠CAO，
∴∠DAO∠OAC（180°﹣∠OAB）．
∵BD平分∠ABO，
∴∠ABD∠ABO，
∴∠D＝180°﹣∠DAO﹣∠OAB﹣∠ABD＝180°（180°﹣∠OAB）﹣∠OAB∠ABO＝90°（∠OAB+∠ABO）＝45°．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是找出∠P＝90°（∠OAB+∠ABO）．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练运用三角形内角和定理解决问题是关键
5.如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分线BD与AD交于点D，连接CD，求证：CD平分∠ACE
【答案】见解析
【详解】∵AD∥BE
∴∠ADB=∠DBE，
又∵BD平分∠GBE
∴∠ABD=∠DBE
∴∠ADB=∠ABD
∴AB=AD，
又∵AB=AC
∴AC=AD
∴∠ACD=∠ADC，
由AD∥BE可知，∠ADC=∠DCE
∴∠ACD=∠DCE
∴CD平分∠ACE
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