八年级数学上分层优化堂堂清（12）第十一章 三角形 综合素质测评（含解析）
文档属性
| 名称 | 八年级数学上分层优化堂堂清（12）第十一章 三角形 综合素质测评（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 3.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-10 21:12:55 | ||
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文档简介
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八年级数学上分层优化堂堂清
十一章 三角形
本章综合素质测评
时间90分钟满分120分
填空题（每小题3分，共30分）
1.已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．1 B．2 C．8 D．11
2.如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是（ ）
A．两点之间的线段最短
B．长方形的四个角都是直角
C．长方形是轴对称图形
D．三角形有稳定性．
3 .在直角三角形中，有一个锐角为52°，那么另一个锐角的度数（ ）
A．30° B．48° C．38° D．52°
4.一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）
A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9
5 .如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后向左转，再沿直线前进10米后，又向左转，这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（ ）米
A．70 B．80 C．90 D．100
6 .已知△ABC的三条边分别为a，b，c，化简|a＋b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|＋|a﹣b＋c|（ ）
A．3a﹣b＋c B．a＋b﹣c C．a﹣b﹣c D．﹣a＋3b﹣3c
7 .如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠1+∠2＝120°，则∠BA'C的度数为（ ）
A．120° B．110° C．100° D．90°
8 .如图,D为AC上一点,AD=DC,E为BC上一点,BE=EC,则下列说法不正确的是 （ ）
A.DE是△BDC的中线 B.BD是△ABC的中线
C.D是AC的中点,E是BC的中点 D.DE是△ABC的中线
9 .图1是一盏可折叠台灯．图为其平面示意图，底座于点，支架，为固定支撑杆，是的两倍，灯体可绕点旋转调节．现把灯体从水平位置旋转到位置（如图中虚线所示），此时，灯体所在的直线恰好垂直支架，且，则∠的度数为（ ）．
A． B． C． D．
10 .如图，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，，于点G，则下列结论 ①∠CEG = 2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC =∠GCD；④∠DFB=∠A；⑤∠DFE=135°，其中正确的结论是( )
A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④
填空题（每小题3分，共15分）
11 .已知三角形的两边长分别为和，则第三边的取值范围_____．
12 .如图，在中，，是斜边的中点，将沿直线折叠，点落在点处，如果恰好与垂直，则_______°．
13 .如图，的度数为______度．
14 .如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠CBG＝ ．
15 .有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝30°，∠C＝50°，点D在边AB上，请在边BC上找一点E，将纸片沿直线DE折叠，点B落在点F处，若EF与三角形纸片ABC的边AC平行，则∠BED的度数为 ．
解答题（共8小题，75分）
16 .（10分）（1）求12边形内角和度数；
（2）若一个n边形的内角和与外角和的差是720°，求n．
17 .（7分）如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长．
18.（8分）如图，在中，，的平分线与的外角平分线交于点．
(1)求的度数；
(2)你能说出与之间存在怎样的数量关系吗？
19 .（8分）如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，．
(1)的度数为______；
(2)若，求的度数．
20 .（9分）已知：线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，和的平分线AP和CP相交于点P，与CD，AB相交于M，N，如图2：
（1）在图1中，直接写出，，，之间的数量关系；
（2）图中有几个八字模型？
（3）在图2中，与为任意角，试探究与，之间是否存在一定的数量关系，若存在，请写出它们之间的数量关系并证明；若不存在，请说明理由
21 .（8分）【教材呈现】如图是华师版七年级下册数学教材第76页的部分内容如图．
如图，分别用、、表示的三个内角，证明．
延长至点，以点为顶点，在的上侧作，则（同位角相等，两直线平行）．
(1)请根据教材提示，结合图①，将证明过程补充完整．
【结论应用】
(2)如图②，在中，，平分，平分，求的度数．
22 .（12分）在和（共边且不重合）中，，．
(1)如图1，当和均为钝角三角形，在直线两侧时，和之间的数量关系为______．
(2)如图2，当和均为锐角三角形，且在直线两侧时，和之间的数量关系为______．
(3)如图3，当为钝角三角形，为锐角三角形，且在直线同侧时，求证：．
(4)分别作和的角平分线，两条角平分线所在直线交于点（点不与点或者点重合），当时，直接写出的度数．
23 .（13分）如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF的平分线CQ与DP相交于点Q．
（1）若∠A＝50°，∠B＝60°，则∠DPC＝ °，∠Q ；
（2）若∠A＝50°，当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数是否发生变化？并说明理由；
（3）若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的∠A的度数 ．
八年级数学上分层优化堂堂清
十一章 三角形
本章综合素质测评（解析版）
时间90分钟满分120分
填空题（每小题3分，共30分）
1.已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．1 B．2 C．8 D．11
【答案】C．
【解析】根据三角形的三边关系可得7﹣3＜x＜7+3，再解即可．
设三角形第三边的长为x，由题意得：7﹣3＜x＜7+3，
4＜x＜10，故选C
2.如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是（ ）
A．两点之间的线段最短
B．长方形的四个角都是直角
C．长方形是轴对称图形
D．三角形有稳定性
【答案】D
【分析】根据三角形的稳定性，即可求解．
【详解】解：根据题意得：用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是三角形有稳定性．
故选：D
【点评】本题主要考查三角形的稳定性，三角形的稳定性有着稳固、坚定、耐压的特点，因此题中用木条固定门框，使其不变形．
3 .在直角三角形中，有一个锐角为52°，那么另一个锐角的度数（ ）
A．30° B．48° C．38° D．52°
【答案】C
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余即可求得．
【详解】解：由题意可得，
另一个锐角度数为：90°-52°=38°，
故选C．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，解决本题的关键是直角三角形的两个锐角互余．
4.一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）
A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9
【答案】D．
【解析】本题考查了多边形的内角和定理，一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变．
首先求得内角和为1080°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．
设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2） 180°=1080°，
解得：n=8．
则原多边形的边数为7或8或9．
5 .如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后向左转，再沿直线前进10米后，又向左转，这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（ ）米
A．70 B．80 C．90 D．100
【答案】C
【分析】利用多边形的外角和得出小明回到出发地A点时左转的次数，即可解决问题．
【详解】解：由题意可知，小明第一次回到出发地A点时，他一共转了360°，且每次都是向左转40°，
所以共转了9次，一次沿直线前进10米，9次就前进90米．
故选：C．
【点评】本题考查根据多边形的外角和解决实际问题，注意多边形的外角和是360°．
6 .已知△ABC的三条边分别为a，b，c，化简|a＋b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|＋|a﹣b＋c|（ ）
A．3a﹣b＋c B．a＋b﹣c C．a﹣b﹣c D．﹣a＋3b﹣3c
【答案】B
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边可得a＋b c＞0，a b＋c＞0，b a c＜0，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后利用整式的加减运算进行计算即可得解．
【详解】解：∵a、b、c分别为△ABC的三边长，
∴a＋b c＞0，b a c＜0，a b＋c＞0，
∴|a＋b c| |b a c|＋|a b＋c|
＝a＋b c （a＋c b）＋a b＋c
＝a＋b c a c＋b＋a b＋c
＝a＋b c．
故选：B．
7 .如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠1+∠2＝120°，则∠BA'C的度数为（ ）
A．120° B．110° C．100° D．90°
解：∵∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角，
∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE，
∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，
∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED＝2∠A+∠AED+∠ADE，
即∠1+∠2＝2∠A，
∵∠1+∠2＝120°，
∴∠A＝60°，
∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，
∴∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠A）
＝90°﹣∠A．
∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB），
＝180°﹣（90°﹣∠A）
＝90°+∠A
＝90°+×60°
＝120°．
故选：A．
8 .如图,D为AC上一点,AD=DC,E为BC上一点,BE=EC,则下列说法不正确的是 （ ）
A.DE是△BDC的中线 B.BD是△ABC的中线
C.D是AC的中点,E是BC的中点 D.DE是△ABC的中线
【答案】D
【解析】A.点E是BC的中点,所以DE是△BDC的中线,故A正确,与要求不相符;
B.因为D是△ABC的边AC的中点,所以BD是AC边的中线,故B正确,与要求不相符;
C.由D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点可知AD=DC,BE=EC,故C正确,与要求不相符;
D.由三角形的中线的定义可知DE不是△ABC的中线,故D错误,与要求相符.故选D.
9 .图1是一盏可折叠台灯．图为其平面示意图，底座于点，支架，为固定支撑杆，是的两倍，灯体可绕点旋转调节．现把灯体从水平位置旋转到位置（如图中虚线所示），此时，灯体所在的直线恰好垂直支架，且，则∠的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长交于点，延长交于点，则，得到，在四边形中，利用四边形的内角和为，列出等式，即可求出的度数．
【详解】解：延长交于点，延长交于点，如图：
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在四边形中，有
，
，
解得：；
故选：B．
【点评】本题考查了四边形的内角和的应用，同角的补角相等，邻补角的定义，几何图形中角度的和差关系，解题的关键是正确的作出辅助线，利用四边形的内角和为进行解题．
10 .如图，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，，于点G，则下列结论 ①∠CEG = 2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC =∠GCD；④∠DFB=∠A；⑤∠DFE=135°，其中正确的结论是( )
A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；只需要证明∠ADC+∠ACD=90°，∠GCD+∠BCD=90°，即可判断③；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出，即可判断④⑤；根据现有条件无法推出②．
【详解】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠DCA，∠ACD=∠BCD
∵，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCA，故①正确；
∵∠A=90°，CG⊥EG，，
∴∠ADC+∠ACD=90°，CG⊥BC，即∠BCG=90°，
∴∠GCD+∠BCD=90°，
又∵∠BCD=∠ACD，
∴∠ADC=∠GDC，故③正确；
∵∠A=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∵BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，
∴，
∴，
∴∠DFB=180°-∠BFC=45°，
∴，故④正确；
∵∠BFC=135°，
∴∠DFE=∠BFC=135°，故⑤正确；
根据现有条件，无法推出CA平分∠BCG，故②错误；
故选C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键．
填空题（每小题3分，共15分）
11 .已知三角形的两边长分别为和，则第三边的取值范围_____．
【答案】
【分析】设第三边为，根据三角形的三边关系列出不等式即可得到答案．
【详解】解：设第三边为，
已知三角形的两边长分别为和，则第三边的取值范围是，即，
故答案为：．
【点评】本题考查三角形三边关系，熟记三角形三边关系：任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边是解决问题的关键．
12 .如图，在中，，是斜边的中点，将沿直线折叠，点落在点处，如果恰好与垂直，则_______°．
【答案】30
【分析】根据折叠的性质可知，折叠前后的两个三角形全等，则 ，从而求得答案．
【详解】解：如图，
在中，，
∵是斜边上的中线，
∴，
∴，
将沿直线折叠，点落在点处，
设度，
∵，
∴，
如果恰好与垂直，
在中，，
即，
解得， ，
∴，
∵，
∴，
即
故答案为：30
【点评】本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．
13 .如图，的度数为______度．
【答案】
【分析】如图，交于点，交于点，利用外角的性质，得到：进而得到：，即可得解．
【详解】解：如图，交于点，交于点，
则：，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查三角形外角的性质和三角形的内角和定理．熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，以及三角形的内角和定理，是解题的关键．
14 .如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠CBG＝ ．
解：在正六边形ABCDEF内，正五边形ABGHI中，∠ABC＝120°，∠ABG＝108°，
∴∠CBG＝∠ABC﹣∠ABG＝120°﹣108°＝12°．
故答案为：12°．
15 .有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝30°，∠C＝50°，点D在边AB上，请在边BC上找一点E，将纸片沿直线DE折叠，点B落在点F处，若EF与三角形纸片ABC的边AC平行，则∠BED的度数为 ．
解：①当点F在AB的上方时，如图：
∵AC∥EF，∠C＝50°，
∴∠BEF＝∠C＝50°，
∴∠BED＝∠FED＝∠BEF＝×50°＝25°；
②当点F在BC的下方时，如图：
∵AC∥EF，∠C＝50°，
∴∠CEF＝∠C＝50°，
∵∠F＝∠B＝30°，
∴∠BGD＝50°+30°＝80°，
∴∠BDG＝180°﹣80°﹣30°＝70°，
∴∠BDE＝∠BDG＝×70°＝35°；
∴∠BED＝180°﹣∠B﹣∠BDE＝180°﹣30°﹣35°＝115°
综上所述，∠BDE的度数为25°或115°．
故答案为：25°或115°．
解答题（共8小题，75分）
16 .（10分）（1）求12边形内角和度数；
（2）若一个n边形的内角和与外角和的差是720°，求n．
【答案】（1）1800°；（2）8
【分析】（1）根据内角和公式，可得答案；
（2）根据多边形内角和公式（n-2） 180°可得内角和，再根据外角和为360°可得方程（n-2） 180°-360°=720°，再解方程即可．
【详解】解：（1）由题意，得
（12-2）×180°=1800°；
（2）由题意得：
（n-2） 180°-360°=720°，
解得：n=8．
【点睛】此题主要考查了多边形的内角和和外角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式与外角和定理．
17 .（7分）如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长．
【答案】AC的长为5cm．
【解析】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD＝BD，②△BCD的周长比△ACD的周长大3．
依题意：△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，
故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．
又∵ CD为△ABC的AB边上的中线，
∴ AD＝BD，即BC-AC＝3．
又∵ BC＝8，∴ AC＝5．
18.（8分）如图，在中，，的平分线与的外角平分线交于点．
(1)求的度数；
(2)你能说出与之间存在怎样的数量关系吗？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由角平分线的定义可得，，由三角形的外角性质可得：，，再结合，从而可求解；
（2）令，结合（1）的解答过程进行判断即可．
【详解】（1）解：如图所示：
的平分线与的外角平分线交于点，
，，
是的外角，也是的外角，
，，
则有，
是的外角，
，
，
，
即，
得；
（2）当时，
的平分线与的外角平分线交于点，
，，
是的外角，也是的外角，
，，
则有，
是的外角，
，
，
，
即，
．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，角平分线的定义，解答的关键是结合图形，分析清楚各角之间的关系．
19 .（8分）如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，．
(1)的度数为______；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理得出，进而即可求解；
（2）根据三角形内角和定理求得，根据是的角平分线，得出，根据 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵、是、的角平分线，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵在中，是高，，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴ ，
∴．
【点评】本题考查了三角形中线，角平分线，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
20 .（9分）已知：线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，和的平分线AP和CP相交于点P，与CD，AB相交于M，N，如图2：
（1）在图1中，直接写出，，，之间的数量关系；
（2）图中有几个八字模型？
（3）在图2中，与为任意角，试探究与，之间是否存在一定的数量关系，若存在，请写出它们之间的数量关系并证明；若不存在，请说明理由
【答案】（1）；（2）6个；（3），证明见详解.
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求解；
（2）可以以三角形的公共点为中心寻找；
（3）利用（1）中所得到得结论，列出两组关系式，然后结合角平分线性质即可得证；
【详解】（1） 在和中：
, ,且
（2）一共有6组，分别是：和,和,和，和，和，和；
（3） ,证明如下：
由（1）得：
又 和分别是和的平分线
【点评】本题主要考查了三角形的“8”字模型，充分理解“8”字模型的结论，并利用它进行角度的计算是解决本题的关键.
21 .（8分）【教材呈现】如图是华师版七年级下册数学教材第76页的部分内容如图．
如图，分别用、、表示的三个内角，证明．
延长至点，以点为顶点，在的上侧作，则（同位角相等，两直线平行）．
(1)请根据教材提示，结合图①，将证明过程补充完整．
【结论应用】
(2)如图②，在中，，平分，平分，求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）利用平行线的性质得，即可解答；
（2）利用角平分线的定义和三角形内角和定理可得；
【详解】（1）由题意得：，，
两直线平行，内错角相等，
，
即．
（2），分别平分和，
，，
，
，
，
．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．
22 .（12分）在和（共边且不重合）中，，．
(1)如图1，当和均为钝角三角形，在直线两侧时，和之间的数量关系为______．
(2)如图2，当和均为锐角三角形，且在直线两侧时，和之间的数量关系为______．
(3)如图3，当为钝角三角形，为锐角三角形，且在直线同侧时，求证：．
(4)分别作和的角平分线，两条角平分线所在直线交于点（点不与点或者点重合），当时，直接写出的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】（1）根据三角形的外角的性质定理即可求解；
（2）根据多边形的内角和的公式即可求解；
（3）根据三角形的外角和定理，角的等量代换即可求解；
（4）根据题意，结合（1）、（2）、（3）的结论，角平分线的性质，三角形的内角和定理，外角和定理，分类讨论，由此即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，延长，
在，中，，，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：根据四边形的内角和可知，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
（3）证明：如图所示，设交于点，
∵在中，，在中，，
∴，
又∵，，
∴
，
∵，
∴．
（4）解：①如图所示，，分别是的平分线，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴；
②如图所示，，分别是的平分线，，且，，
∴，，
∴，
由（2）可知，，
∴，
在四边形中，根据四边形内角和可得，；
③如图所示，，分别是的平分线，，设交于点，
在中，，在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由（3）可知，，
∴，
∴；
综上所示，的度数为．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，外角和定理，四边形的内角和定理，角平分线的性质的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
23 .（13分）如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF的平分线CQ与DP相交于点Q．
（1）若∠A＝50°，∠B＝60°，则∠DPC＝ °，∠Q ；
（2）若∠A＝50°，当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数是否发生变化？并说明理由；
（3）若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的∠A的度数 ．
解：（1）∵∠A＝50°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝70°，
∴∠BCP＝∠ACB＝35°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝60°，∠PGD＝∠PCB＝35°，
∵∠PDE＝∠ADE＝30°，
∴∠DPC＝180°﹣∠PDE﹣∠PGD＝115°；
又∵∠ACQ＝∠ACF，
∴∠PCQ＝∠ACQ+∠ACP＝（∠ACF+∠ACB）＝90°，
∴∠Q＝∠DPC﹣∠QCP＝25°；
故答案为：115，25；
（2）∠DPC、∠Q的度数不会发生变化．
理由：由（1）得：∵∠PDE＝∠ADE＝∠B，∠PGD＝∠BCP＝∠ACB，
∴∠DPC＝180°﹣∠PDE﹣∠PGD＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣（∠B+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝115°；
∴∠Q＝∠DPC﹣∠QCP＝25°；
（3）设∠A＝x，则，
∵CP平分∠ACB，CQ平分∠ACF，
∴，，
∴，，
因为△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，
∴①当∠Q＝3∠QPC时，，
∴x＝135°，
②当∠QPC＝3∠Q时，，
∴x＝45°，
③当∠PCQ＝3∠Q时，，
∴x＝60°，
④当∠PCQ＝3∠QPC时，，
∴x＝120°，
综上①②③④可知∠A＝45°或60°或120°或135°．
故答案为：45°或60°或120°或135°．
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八年级数学上分层优化堂堂清
十一章 三角形
本章综合素质测评
时间90分钟满分120分
填空题（每小题3分，共30分）
1.已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．1 B．2 C．8 D．11
2.如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是（ ）
A．两点之间的线段最短
B．长方形的四个角都是直角
C．长方形是轴对称图形
D．三角形有稳定性．
3 .在直角三角形中，有一个锐角为52°，那么另一个锐角的度数（ ）
A．30° B．48° C．38° D．52°
4.一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）
A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9
5 .如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后向左转，再沿直线前进10米后，又向左转，这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（ ）米
A．70 B．80 C．90 D．100
6 .已知△ABC的三条边分别为a，b，c，化简|a＋b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|＋|a﹣b＋c|（ ）
A．3a﹣b＋c B．a＋b﹣c C．a﹣b﹣c D．﹣a＋3b﹣3c
7 .如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠1+∠2＝120°，则∠BA'C的度数为（ ）
A．120° B．110° C．100° D．90°
8 .如图,D为AC上一点,AD=DC,E为BC上一点,BE=EC,则下列说法不正确的是 （ ）
A.DE是△BDC的中线 B.BD是△ABC的中线
C.D是AC的中点,E是BC的中点 D.DE是△ABC的中线
9 .图1是一盏可折叠台灯．图为其平面示意图，底座于点，支架，为固定支撑杆，是的两倍，灯体可绕点旋转调节．现把灯体从水平位置旋转到位置（如图中虚线所示），此时，灯体所在的直线恰好垂直支架，且，则∠的度数为（ ）．
A． B． C． D．
10 .如图，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，，于点G，则下列结论 ①∠CEG = 2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC =∠GCD；④∠DFB=∠A；⑤∠DFE=135°，其中正确的结论是( )
A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④
填空题（每小题3分，共15分）
11 .已知三角形的两边长分别为和，则第三边的取值范围_____．
12 .如图，在中，，是斜边的中点，将沿直线折叠，点落在点处，如果恰好与垂直，则_______°．
13 .如图，的度数为______度．
14 .如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠CBG＝ ．
15 .有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝30°，∠C＝50°，点D在边AB上，请在边BC上找一点E，将纸片沿直线DE折叠，点B落在点F处，若EF与三角形纸片ABC的边AC平行，则∠BED的度数为 ．
解答题（共8小题，75分）
16 .（10分）（1）求12边形内角和度数；
（2）若一个n边形的内角和与外角和的差是720°，求n．
17 .（7分）如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长．
18.（8分）如图，在中，，的平分线与的外角平分线交于点．
(1)求的度数；
(2)你能说出与之间存在怎样的数量关系吗？
19 .（8分）如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，．
(1)的度数为______；
(2)若，求的度数．
20 .（9分）已知：线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，和的平分线AP和CP相交于点P，与CD，AB相交于M，N，如图2：
（1）在图1中，直接写出，，，之间的数量关系；
（2）图中有几个八字模型？
（3）在图2中，与为任意角，试探究与，之间是否存在一定的数量关系，若存在，请写出它们之间的数量关系并证明；若不存在，请说明理由
21 .（8分）【教材呈现】如图是华师版七年级下册数学教材第76页的部分内容如图．
如图，分别用、、表示的三个内角，证明．
延长至点，以点为顶点，在的上侧作，则（同位角相等，两直线平行）．
(1)请根据教材提示，结合图①，将证明过程补充完整．
【结论应用】
(2)如图②，在中，，平分，平分，求的度数．
22 .（12分）在和（共边且不重合）中，，．
(1)如图1，当和均为钝角三角形，在直线两侧时，和之间的数量关系为______．
(2)如图2，当和均为锐角三角形，且在直线两侧时，和之间的数量关系为______．
(3)如图3，当为钝角三角形，为锐角三角形，且在直线同侧时，求证：．
(4)分别作和的角平分线，两条角平分线所在直线交于点（点不与点或者点重合），当时，直接写出的度数．
23 .（13分）如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF的平分线CQ与DP相交于点Q．
（1）若∠A＝50°，∠B＝60°，则∠DPC＝ °，∠Q ；
（2）若∠A＝50°，当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数是否发生变化？并说明理由；
（3）若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的∠A的度数 ．
八年级数学上分层优化堂堂清
十一章 三角形
本章综合素质测评（解析版）
时间90分钟满分120分
填空题（每小题3分，共30分）
1.已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．1 B．2 C．8 D．11
【答案】C．
【解析】根据三角形的三边关系可得7﹣3＜x＜7+3，再解即可．
设三角形第三边的长为x，由题意得：7﹣3＜x＜7+3，
4＜x＜10，故选C
2.如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是（ ）
A．两点之间的线段最短
B．长方形的四个角都是直角
C．长方形是轴对称图形
D．三角形有稳定性
【答案】D
【分析】根据三角形的稳定性，即可求解．
【详解】解：根据题意得：用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是三角形有稳定性．
故选：D
【点评】本题主要考查三角形的稳定性，三角形的稳定性有着稳固、坚定、耐压的特点，因此题中用木条固定门框，使其不变形．
3 .在直角三角形中，有一个锐角为52°，那么另一个锐角的度数（ ）
A．30° B．48° C．38° D．52°
【答案】C
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余即可求得．
【详解】解：由题意可得，
另一个锐角度数为：90°-52°=38°，
故选C．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，解决本题的关键是直角三角形的两个锐角互余．
4.一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）
A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9
【答案】D．
【解析】本题考查了多边形的内角和定理，一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变．
首先求得内角和为1080°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．
设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2） 180°=1080°，
解得：n=8．
则原多边形的边数为7或8或9．
5 .如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后向左转，再沿直线前进10米后，又向左转，这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（ ）米
A．70 B．80 C．90 D．100
【答案】C
【分析】利用多边形的外角和得出小明回到出发地A点时左转的次数，即可解决问题．
【详解】解：由题意可知，小明第一次回到出发地A点时，他一共转了360°，且每次都是向左转40°，
所以共转了9次，一次沿直线前进10米，9次就前进90米．
故选：C．
【点评】本题考查根据多边形的外角和解决实际问题，注意多边形的外角和是360°．
6 .已知△ABC的三条边分别为a，b，c，化简|a＋b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|＋|a﹣b＋c|（ ）
A．3a﹣b＋c B．a＋b﹣c C．a﹣b﹣c D．﹣a＋3b﹣3c
【答案】B
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边可得a＋b c＞0，a b＋c＞0，b a c＜0，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后利用整式的加减运算进行计算即可得解．
【详解】解：∵a、b、c分别为△ABC的三边长，
∴a＋b c＞0，b a c＜0，a b＋c＞0，
∴|a＋b c| |b a c|＋|a b＋c|
＝a＋b c （a＋c b）＋a b＋c
＝a＋b c a c＋b＋a b＋c
＝a＋b c．
故选：B．
7 .如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠1+∠2＝120°，则∠BA'C的度数为（ ）
A．120° B．110° C．100° D．90°
解：∵∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角，
∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE，
∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，
∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED＝2∠A+∠AED+∠ADE，
即∠1+∠2＝2∠A，
∵∠1+∠2＝120°，
∴∠A＝60°，
∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，
∴∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠A）
＝90°﹣∠A．
∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB），
＝180°﹣（90°﹣∠A）
＝90°+∠A
＝90°+×60°
＝120°．
故选：A．
8 .如图,D为AC上一点,AD=DC,E为BC上一点,BE=EC,则下列说法不正确的是 （ ）
A.DE是△BDC的中线 B.BD是△ABC的中线
C.D是AC的中点,E是BC的中点 D.DE是△ABC的中线
【答案】D
【解析】A.点E是BC的中点,所以DE是△BDC的中线,故A正确,与要求不相符;
B.因为D是△ABC的边AC的中点,所以BD是AC边的中线,故B正确,与要求不相符;
C.由D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点可知AD=DC,BE=EC,故C正确,与要求不相符;
D.由三角形的中线的定义可知DE不是△ABC的中线,故D错误,与要求相符.故选D.
9 .图1是一盏可折叠台灯．图为其平面示意图，底座于点，支架，为固定支撑杆，是的两倍，灯体可绕点旋转调节．现把灯体从水平位置旋转到位置（如图中虚线所示），此时，灯体所在的直线恰好垂直支架，且，则∠的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长交于点，延长交于点，则，得到，在四边形中，利用四边形的内角和为，列出等式，即可求出的度数．
【详解】解：延长交于点，延长交于点，如图：
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在四边形中，有
，
，
解得：；
故选：B．
【点评】本题考查了四边形的内角和的应用，同角的补角相等，邻补角的定义，几何图形中角度的和差关系，解题的关键是正确的作出辅助线，利用四边形的内角和为进行解题．
10 .如图，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，，于点G，则下列结论 ①∠CEG = 2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC =∠GCD；④∠DFB=∠A；⑤∠DFE=135°，其中正确的结论是( )
A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；只需要证明∠ADC+∠ACD=90°，∠GCD+∠BCD=90°，即可判断③；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出，即可判断④⑤；根据现有条件无法推出②．
【详解】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠DCA，∠ACD=∠BCD
∵，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCA，故①正确；
∵∠A=90°，CG⊥EG，，
∴∠ADC+∠ACD=90°，CG⊥BC，即∠BCG=90°，
∴∠GCD+∠BCD=90°，
又∵∠BCD=∠ACD，
∴∠ADC=∠GDC，故③正确；
∵∠A=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∵BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，
∴，
∴，
∴∠DFB=180°-∠BFC=45°，
∴，故④正确；
∵∠BFC=135°，
∴∠DFE=∠BFC=135°，故⑤正确；
根据现有条件，无法推出CA平分∠BCG，故②错误；
故选C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键．
填空题（每小题3分，共15分）
11 .已知三角形的两边长分别为和，则第三边的取值范围_____．
【答案】
【分析】设第三边为，根据三角形的三边关系列出不等式即可得到答案．
【详解】解：设第三边为，
已知三角形的两边长分别为和，则第三边的取值范围是，即，
故答案为：．
【点评】本题考查三角形三边关系，熟记三角形三边关系：任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边是解决问题的关键．
12 .如图，在中，，是斜边的中点，将沿直线折叠，点落在点处，如果恰好与垂直，则_______°．
【答案】30
【分析】根据折叠的性质可知，折叠前后的两个三角形全等，则 ，从而求得答案．
【详解】解：如图，
在中，，
∵是斜边上的中线，
∴，
∴，
将沿直线折叠，点落在点处，
设度，
∵，
∴，
如果恰好与垂直，
在中，，
即，
解得， ，
∴，
∵，
∴，
即
故答案为：30
【点评】本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．
13 .如图，的度数为______度．
【答案】
【分析】如图，交于点，交于点，利用外角的性质，得到：进而得到：，即可得解．
【详解】解：如图，交于点，交于点，
则：，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查三角形外角的性质和三角形的内角和定理．熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，以及三角形的内角和定理，是解题的关键．
14 .如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠CBG＝ ．
解：在正六边形ABCDEF内，正五边形ABGHI中，∠ABC＝120°，∠ABG＝108°，
∴∠CBG＝∠ABC﹣∠ABG＝120°﹣108°＝12°．
故答案为：12°．
15 .有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝30°，∠C＝50°，点D在边AB上，请在边BC上找一点E，将纸片沿直线DE折叠，点B落在点F处，若EF与三角形纸片ABC的边AC平行，则∠BED的度数为 ．
解：①当点F在AB的上方时，如图：
∵AC∥EF，∠C＝50°，
∴∠BEF＝∠C＝50°，
∴∠BED＝∠FED＝∠BEF＝×50°＝25°；
②当点F在BC的下方时，如图：
∵AC∥EF，∠C＝50°，
∴∠CEF＝∠C＝50°，
∵∠F＝∠B＝30°，
∴∠BGD＝50°+30°＝80°，
∴∠BDG＝180°﹣80°﹣30°＝70°，
∴∠BDE＝∠BDG＝×70°＝35°；
∴∠BED＝180°﹣∠B﹣∠BDE＝180°﹣30°﹣35°＝115°
综上所述，∠BDE的度数为25°或115°．
故答案为：25°或115°．
解答题（共8小题，75分）
16 .（10分）（1）求12边形内角和度数；
（2）若一个n边形的内角和与外角和的差是720°，求n．
【答案】（1）1800°；（2）8
【分析】（1）根据内角和公式，可得答案；
（2）根据多边形内角和公式（n-2） 180°可得内角和，再根据外角和为360°可得方程（n-2） 180°-360°=720°，再解方程即可．
【详解】解：（1）由题意，得
（12-2）×180°=1800°；
（2）由题意得：
（n-2） 180°-360°=720°，
解得：n=8．
【点睛】此题主要考查了多边形的内角和和外角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式与外角和定理．
17 .（7分）如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长．
【答案】AC的长为5cm．
【解析】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD＝BD，②△BCD的周长比△ACD的周长大3．
依题意：△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，
故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．
又∵ CD为△ABC的AB边上的中线，
∴ AD＝BD，即BC-AC＝3．
又∵ BC＝8，∴ AC＝5．
18.（8分）如图，在中，，的平分线与的外角平分线交于点．
(1)求的度数；
(2)你能说出与之间存在怎样的数量关系吗？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由角平分线的定义可得，，由三角形的外角性质可得：，，再结合，从而可求解；
（2）令，结合（1）的解答过程进行判断即可．
【详解】（1）解：如图所示：
的平分线与的外角平分线交于点，
，，
是的外角，也是的外角，
，，
则有，
是的外角，
，
，
，
即，
得；
（2）当时，
的平分线与的外角平分线交于点，
，，
是的外角，也是的外角，
，，
则有，
是的外角，
，
，
，
即，
．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，角平分线的定义，解答的关键是结合图形，分析清楚各角之间的关系．
19 .（8分）如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，．
(1)的度数为______；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理得出，进而即可求解；
（2）根据三角形内角和定理求得，根据是的角平分线，得出，根据 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵、是、的角平分线，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵在中，是高，，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴ ，
∴．
【点评】本题考查了三角形中线，角平分线，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
20 .（9分）已知：线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，和的平分线AP和CP相交于点P，与CD，AB相交于M，N，如图2：
（1）在图1中，直接写出，，，之间的数量关系；
（2）图中有几个八字模型？
（3）在图2中，与为任意角，试探究与，之间是否存在一定的数量关系，若存在，请写出它们之间的数量关系并证明；若不存在，请说明理由
【答案】（1）；（2）6个；（3），证明见详解.
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求解；
（2）可以以三角形的公共点为中心寻找；
（3）利用（1）中所得到得结论，列出两组关系式，然后结合角平分线性质即可得证；
【详解】（1） 在和中：
, ,且
（2）一共有6组，分别是：和,和,和，和，和，和；
（3） ,证明如下：
由（1）得：
又 和分别是和的平分线
【点评】本题主要考查了三角形的“8”字模型，充分理解“8”字模型的结论，并利用它进行角度的计算是解决本题的关键.
21 .（8分）【教材呈现】如图是华师版七年级下册数学教材第76页的部分内容如图．
如图，分别用、、表示的三个内角，证明．
延长至点，以点为顶点，在的上侧作，则（同位角相等，两直线平行）．
(1)请根据教材提示，结合图①，将证明过程补充完整．
【结论应用】
(2)如图②，在中，，平分，平分，求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）利用平行线的性质得，即可解答；
（2）利用角平分线的定义和三角形内角和定理可得；
【详解】（1）由题意得：，，
两直线平行，内错角相等，
，
即．
（2），分别平分和，
，，
，
，
，
．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．
22 .（12分）在和（共边且不重合）中，，．
(1)如图1，当和均为钝角三角形，在直线两侧时，和之间的数量关系为______．
(2)如图2，当和均为锐角三角形，且在直线两侧时，和之间的数量关系为______．
(3)如图3，当为钝角三角形，为锐角三角形，且在直线同侧时，求证：．
(4)分别作和的角平分线，两条角平分线所在直线交于点（点不与点或者点重合），当时，直接写出的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】（1）根据三角形的外角的性质定理即可求解；
（2）根据多边形的内角和的公式即可求解；
（3）根据三角形的外角和定理，角的等量代换即可求解；
（4）根据题意，结合（1）、（2）、（3）的结论，角平分线的性质，三角形的内角和定理，外角和定理，分类讨论，由此即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，延长，
在，中，，，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：根据四边形的内角和可知，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
（3）证明：如图所示，设交于点，
∵在中，，在中，，
∴，
又∵，，
∴
，
∵，
∴．
（4）解：①如图所示，，分别是的平分线，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴；
②如图所示，，分别是的平分线，，且，，
∴，，
∴，
由（2）可知，，
∴，
在四边形中，根据四边形内角和可得，；
③如图所示，，分别是的平分线，，设交于点，
在中，，在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由（3）可知，，
∴，
∴；
综上所示，的度数为．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，外角和定理，四边形的内角和定理，角平分线的性质的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
23 .（13分）如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF的平分线CQ与DP相交于点Q．
（1）若∠A＝50°，∠B＝60°，则∠DPC＝ °，∠Q ；
（2）若∠A＝50°，当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数是否发生变化？并说明理由；
（3）若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的∠A的度数 ．
解：（1）∵∠A＝50°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝70°，
∴∠BCP＝∠ACB＝35°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝60°，∠PGD＝∠PCB＝35°，
∵∠PDE＝∠ADE＝30°，
∴∠DPC＝180°﹣∠PDE﹣∠PGD＝115°；
又∵∠ACQ＝∠ACF，
∴∠PCQ＝∠ACQ+∠ACP＝（∠ACF+∠ACB）＝90°，
∴∠Q＝∠DPC﹣∠QCP＝25°；
故答案为：115，25；
（2）∠DPC、∠Q的度数不会发生变化．
理由：由（1）得：∵∠PDE＝∠ADE＝∠B，∠PGD＝∠BCP＝∠ACB，
∴∠DPC＝180°﹣∠PDE﹣∠PGD＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣（∠B+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝115°；
∴∠Q＝∠DPC﹣∠QCP＝25°；
（3）设∠A＝x，则，
∵CP平分∠ACB，CQ平分∠ACF，
∴，，
∴，，
因为△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，
∴①当∠Q＝3∠QPC时，，
∴x＝135°，
②当∠QPC＝3∠Q时，，
∴x＝45°，
③当∠PCQ＝3∠Q时，，
∴x＝60°，
④当∠PCQ＝3∠QPC时，，
∴x＝120°，
综上①②③④可知∠A＝45°或60°或120°或135°．
故答案为：45°或60°或120°或135°．
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