4.1数列的概念 过关练（含解析）

4.1 数列的概念
一、单选题
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．数列可表示为集合
B．数列，，，与数列是相同的数列
C．数列的第项为
D．数列，可记为
2．数列的第8项是（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列，满足：；若数列为单调递减数列，则数列的通项公式可能是（ ）
A． B． C． D．
4．若数列的前项积，则的最大值与最小值的和为（ ）
A． B． C．2 D．3
5．下列数列既是递增数列，又是无穷数列的是（ ）
A．1，2，3，…，20
B．-1，-2，-3，…，-n，…
C．1，2，3，2，5，6，…
D．-1，0，1，2，…，100，…
6．已知数列 满足，则下列各数中属于数列中的项的是（ ）
A．3 B． C． D．4
7．若，则（ ）
A．55 B．56 C．45 D．46
8．“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多－斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．已知数列为“斐波那契数列”且满足：，，，则（ ）
A．12 B．16 C．24 D．39
9．数列1，3，6，10，15，…的递推公式可以是（ ）
A．， B．，，
C．， D．，，
10．已知数列的前n项和为，，且（且），若，则（ ）
A．46 B．49 C．52 D．55
11．已知数列，则该数列的第2024项为（ ）
A． B．
C． D．
12．若数列中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
13．已知数列{}满足，，，且其前n项和为，则（ ）
A．存在，使得
B．存在，使得
C．存在，且，使得
D．
14．下列通项公式中，对应的数列是递增数列的是（ ）
A． B．
C． D．
15．已知数列，则下列说法正确的是（ ）
A．此数列的通项公式是 B．是它的第项
C．此数列的通项公式是 D．是它的第项
16．已知是的前n项和，，，则（ ）
A． B．
C． D．是以3为周期的周期数列
三、填空题
17．是数列的第 项.
18．数列满足，，则的前2023项和 .
19．数列的一个通项公式为 .
20．已知数列的前项和，则 .
21．数列中，若，，则 .
四、解答题
22．已知满足，试写出该数列的前项，并用观察法写出这个数列的一个通项公式．
23．已知数列中，，且满足
(1)求数列的通项公式；
(2)记，若数列为递增数列，求的取值范围.
24．已知数列中，，，．
(1)求，的值；
(2)求的前2023项和．
26．已知数列的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的最大项是该数列的第几项；
(3)若，且数列是严格递增数列，求实数的取值范围.
参考答案：
1．C
由数列定义知A错；B中排列次序不同，错误；
C中第项为，正确；D中，错误.
2．A
观察可看为
分母是，分子为，故第8项为，
3．D
对于A，若，则，
为常数列不单调递减，故A错误；
对于B，若，则，
为单调递增数列，故B错误；
对于C，若，则，
随着增大也增大，所以为单调递增数列，故C错误；
对于D，若，则，
又因为函数在上单调递减，
所以为单调递减数列，故D正确；
4．C
∵数列的前项积，
当时，，
当时，，
，
时也适合上式，
∴，
∴当时，数列单调递减，且，
当时，数列单调递减，且，
故的最大值为，最小值为，
∴的最大值与最小值之和为2.
5．D
6．D
因为数列满足，
对于A中，令，解得，所以A不符合题意；
对于B中，令，解得，所以B不符合题意；
对于C中，令，解得，所以C不符合题意；
对于D中，令，解得，所以D符合题意.
7．D
由，
得，，
，，，
累加得，
，
当时，上式成立，
则，
所以.
8．C
，，，
，，，
所以.
9．B
设数列1，3，6，10，15，…为，则，，，，…，n=1时，A、D不合题意；而中不包含，
由此可得数列满足.
10．B
因为当时，，即，
所以．
因为
．
又，所以．
因为，所以，解得或（舍去）．
11．D
该数列的通项公式为，
所以.
12．C
因为，，可得，所以，，
故对任意的，，
所以，数列的奇数项、偶数项构成的数列均为常数列，因此，.
13．ACD
的前若干项依次为1，2，1，1，0，1，1，0，1，1，0，...，
所以，故选项A正确；
由，，可得，故选项B错误；
由，可得，故选项C正确；
，故选项D正确，
14．ABD
对于A，由于，故数列是递增数列；
对于B，由于，故数列是递增数列；
对于C，由于，，故数列不是递增数列；
对于D，由于，
当时，，，即，
又，所以数列是递增数列．
15．AB
数列，
即，
则此数列的通项公式为，A正确，C错，
令，解得，故B正确，D错.
16．ABD
由已知可得，，，，，，
所以，是以3为周期的周期数列.
对于A项，因为，所以，故A项正确；
对于B项，因为，所以，故B项正确；
对于C项，因为的周期为3，
所以，，，
所以，，故C项错误；
对于D项，由解析可知，是以3为周期的周期数列，故D项正确.
17．21
令，即，
即，
所以或，
又因为，所以.
18．1351
因为，
所以，
则从第3项起以3为周期的周期数列，
所以.
19．
观察数列可知，数列的一个通项公式为.
故答案为：.
20．
由题意可得：，
所以.
故答案为：.
21．
由题意，，可得，所以，
所以.
故答案为：.
22．，，，，，
因为，，
所以，，，，
又，，，
，，
由此可归纳出.
23．(1)1，；
(2)证明见解析
(3)不存在数列，使得，理由见解析
（1）解：由题意，,所以，故满足条件的数列的所有可能情况有：
0，1，0，此时；
0，-1，0，此时；
综上所述，的所有可能取值为1，-1；
（2）证明：由，可设，则或（，），
所以，
因为，所以，
设中有个1，个，则，
故为奇数；
（3）为奇数，是由个1和个构成的数列，
，
则当的前项取1，后项取时，最大，
此时，不符合题意；
如果的前项中恰有项取，后项中恰有项取1，
则，
若，则，
因为是奇数，所以是奇数，而是偶数，
因此不存在数列，使得.
25．(1)；
(2)
（1）当时，，所以；当时，，所以．
（2）当时，，所以．
由知，所以，故数列是以4为周期的周期数列，
即，，，，
所以．
26．(1)
(2)
(3)
（1）当时，，
当时，,不满足上式，
故数列的通项公式为；
（2）由已知得，
当时，，
，则，，
所以当时，单调递增，
，
所以数列的最大项是该数列的第项；
（3）由已知得，，
则，解得，
当时，
，
要使，即，
设，
则，
所以数列为单调递增数列，即，
综上，实数的取值范围为.