云南省大理白族自治州民族中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含解析）

大理白族自治州民族中学2022-2023学年高二下学期期中考试
数学
注意：1.试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.客观题用2B铅笔填涂，主观题用黑色水性笔填写.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数是复数的共轭复数，则（ ）
A. B. C.4 D.2
3.甲、乙、丙、丁、戊五人周末去某景点游玩，到达景点时，他们站成一排拍照留念，则甲不站在正中间的站法有（ ）
A.24种 B.48种 C.72种 D.96种
4.沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）.在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时1小时.当上方圆锥中沙子的高度漏至一半时，所需时间为（ ）
A.小时 B.小时 C.小时 D.小时
5.由数字0，1，2，3组成的无重复数字的4位数中，比2019大的数的个数为（ ）
A.10 B.11 C.12 D.13
6.在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，的面积为，则（ ）
A. B. C. D.
7.的展开式中的系数为6，则实数a的值为（ ）
A. B. C. D.
8.若对任意的，且当时，都有，则m的最小值是（ ）
A. B. C.3 D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.关于的展开式，下列结论正确的是（ ）
A.二项式系数之和为64 B.所有项的系数之和为1
C.常数项为160 D.项的系数为240
10.已知7名同学排成一排，下列说法正确的是（ ）
A.甲不站两端，共有种排法
B.甲、乙必须相邻，共有种排法
C.甲、乙不相邻，共有种排法
D.甲不排左端，乙不排右端，共有种排法
11.如图所示，在正方体中，Q为的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（ ）
A.，，三点共线 B.平面
C.直线与平面所成角的为 D.直线和直线是共面直线
12.已知顶点在原点O的抛物线，过抛物线焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点，当直线l垂直于y轴时，面积为8.下列结论正确的是（ ）
A.抛物线方程为. B.若，则的中点到x轴距离为4.
C.有可能为直角三角形. D.的最小值为18.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13.计算：__________________.
14.已知是等差数列的前n项和，且，，则__________________.
15.已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，，，，则多面体的外接球的表面积为__________________.
16.点是抛物线的焦点，点为抛物线C的对称轴与其准线的交点，过作拋物线C的切线，切点为A，若点A恰好在以，为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为__________________.
四、解答题：本大题满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题10.0分）
小明每天去学校有A，B两条路线可供选择，小明上学时随机地选择一条路线.如果小明上学时选择A路线，那么放学时选择A路线的概率为0.6；如果小明上学时选择B路线，那么放学时选择A路线的概率为0.8.
（1）求小明放学时选择A路线的概率；
（2）已知小明放学时选择A路线，求小明上学时选择B路线的概率.
18.（本小题12.0分）
设向量，，.
（1）若，求x的值；
（2）设函数，求的最大值.
19.（本小题10.0分）
已知数列的前n项和为，，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
20.（本小题12.0分）
如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的六面体中（其中平面），四边形是正方形，平面，，且平面平面.
（1）设M为棱的中点，证明：A，C，F，M四点共面；
（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
21.（本小题12.0分）
已知函数.
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）讨论函数在上的单调性.
22.（本小题12.0分）
已知双曲线的左焦点为F，右顶点为A，渐近线方程为，F到渐近线的距离为.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直线l过F，且与C交于P，Q两点（异于C的两个顶点），直线与直线，的交点分別为M，N.是否存在实数t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
高二数学答案和解析
1.【答案】B
【解答】解：由题意得，，故选B．
2.【答案】C
【解答】解：由题知，
，，故．
3.【答案】D
【解答】解：甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排，总的站法有种，
其中甲站在正中间的站法有种，
则甲不站在正中间的站法有种．故选D．
4.【答案】B
【解答】解：如图，
依题意可知：
，，，
所以，. 故选：B.
5.【答案】B
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①、当首位为3时，将剩下的三个数字全排列，
安排在后面的三个数位，有种情况，即有6个符合条件的4位数；
②、当首位为2时，若百位为1或3时，将剩下的两个数字全排列，
安排在后面的两个数位，有种情况，即有4个符合条件的4位数；
若首位为2，百位为0时，只有2031一个符合条件的4位数；
综上共有个符合条件的4位数；故选：B．
6.【答案】C
【解答】解：在中，，，的面积为，
，解得，
由余弦定理得：，解得，
由正弦定理，可得，
. 故答案选：C.
7.【答案】B
【解答】解：的二项展开式的通项，
的展开式中含的项包含两部分，即，，
故的展开式中的系数为，
所以. 故选B.
8.【答案】C
【解答】解：由，且，且，，
可得，
构造函数，，则，
故题干的条件转化为函数在区间上单调递增.
，，
由得，解得，
故函数的单调递增区间为，
由得，
故m的最小值为3.
9.【答案】ABD
【解答】解：的展开式的所有二项式系数和为，故A正确；
取，可得所有项的系数和为1，故B正确；
二项展开式的通项为，
由，得，代入通项得常数项为，C错误，
由，得，含项的系数为240，故D正确.
故选：ABD.
10.【答案】AD
【解答】解：A，特殊元素优先考虑，先确定甲，有情况，共有种排法，A正确；
B，捆绑法，甲、乙必须相邻，有情况，看作是6个元素的全排列，共有种排法，B错误；
C，利用插空法，甲乙不相邻，其余五人先排，有，剩下有6个空位置，既有，一共，C错误；
D，间接法，一共种排法，甲在左端，有种排法；乙在右端，有种排法，甲在左端，乙在右端，有种排法，所以甲不排左端，乙不排右端，共有种排法，D正确.
故选AD.
11.【答案】ABC
【解答】解：由于为正方体的体对角线，
在平面内，据此可得平面，
又交平面于点M，点M在上，
，，三点共线，故A项正确；
很明显平面，平面，故，
同理，，于点B，故平面，故B项正确；
设正方体的边长为1，直线与平面的夹角为，则，
点到平面的距离为，故，，C项正确；
直线与直线为异面直线，故D项错误. 故选：ABC.
12.【答案】ABD
【解答】
解：当直线l垂直于y轴时，可得，则面积为，可得，故A正确；
抛物线的准线为，取中点M，过M作垂直准线于点N，
由梯形中位线定理，故M到x轴距离为，故B正确；
由题意知直线l的斜率存在，则可设直线，且，，
联立可得，
则有，，
于是，由题意知与不共线，
故，即一定是钝角三角形，故C错误；
由题意知，，
则，
当且仅当，时，取等号，故D正确.
13.【答案】5
【解答】解：原式.
14.【答案】
【解答】解：由题意可得，
即，解得.
15.【答案】
【解答】解：设球心到平面的距离为d，则
所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，
到平面的距离为，，，
，
，，
多面体的外接球的表面积为.
故答案为：.
16.【答案】
【解答】解：由题意得，，
设过作拋物线C的切线为，
联立，所以，
取时，可得切点
所以，即椭圆的，
又因为，所以椭圆的离心率.
17.【答案】解：（1）设“上学时选择A路线”，“上学时选择B路线”，“放学时选择A路线”，则与互斥，
根据题意得
，，，
由全概率公式，得
，
所以小明放学时选择A路线的概率为0.7；
（2）由（1）得
，
所以已知小明放学时选择A路线，上学选择B路线的概率为.
18.【答案】解：（1）由题意可得
，，
由，可得，即.
，，即.
（2）函数
.
，，
当，取得最大值为.
19.【答案】解：（1）因为在数列中，，
所以.
因为，
所以，即.
又因为，所以，即，
所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，其通项公式为.
（2）由（1）得，
所以，①
，②
由，得
，
所以.
20.【答案】解：（1）证明：连接，交于点N，连接，，
如图所示：
由，得，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
由平面，平面，得，
又因为四边形是正方形，，
且，平面，平面，
所以平面，
得，故A，C，F，M四点共面.
（2）因为平面，，平面，
所以，，
又四边形是正方形，所以，
则，，两两垂直，
以点D为坐标原点，以，，方向分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
因为，平面，平面，
所以平面，
而平面，且平面平面，故，
由（1）知，，故四边形为平行四边形，
得，
由于，，所以，
又平面，所以平面，
故，，，，
则，，，，
设平面的法向量为，
由，得，令，得，
设平面的法向量为，
由，得，令，得，
则，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
21.【答案】解：（1）当时，，则，
故切线的斜率.又.
所以函数在处的切线方程为：.
（2）由，得，
①当时，，在上单调递减；
②当时，，在上单调递减；
③当时，令，得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
④当时，，在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在[1，2]上单调递增.
22.【答案】解：（Ⅰ）由题意可知，
又焦点到的距离为，
所以，
所以，解得，，
所以C的方程为.
（Ⅱ）假设存在实数t满足题意．
由题意知直线l斜率不为0，可设直线l的方程为，
设，，
联立方程，得，
可得，
直线，直线，
当时，可得，，
若，则，
可得，
即，
因为
，
所以，可得，
所以存在实数满足题意.