九年级数学上分层优化堂堂清（2）22.1.2 二次函数 y=ax2的图像和性质（含解析）

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九年级数学上分层优化堂堂清
二十二章 二次函数
22.1.2二次函数Y=ax2的图像和性质
学习目标：
1利用描点法画二次函数y=图象。
2通过观察图象能说出二次函数y=ax 的图象特征和性质。
3由二次函数y=（a>0）的图象及性质类比地学习二次函数y=（a<0）的图象及性质，并能比较它们的异同点，培养类比学习能力，渗透数形结合的数学思想方法。
一、二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
要画出二次函数的图象，一般用描点法，分为列表、描点、连线三步，具体步骤如下：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
二、二次函数y=ax 的图象特征和性质
三、与抛物线开口大小的关系
（1）相等，抛物线形状相同，抛物线y＝ax2和y＝﹣ax2的联系：开口大小相同，开口方向相反，两条抛物线关于x轴对称，关于原点对称.
（2）越大，抛物线的开口越小，即图象越靠近y轴；
越小，抛物线的开口越大，即图象越远离近y轴.
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：画二次函数y=ax2的图像
【例1-1】通过列表、描点、连线的方法画函数的图象．
【例1-2】在同一坐标系中，作y＝x2，yx2，yx2的图象，它们的共同特点是（　　）
A．抛物线的开口方向向上
B．都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大
C．都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小
D．都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点
知识点2：二次函数y=ax2的性质
【例2-1】已知二次函数y＝（2﹣a），在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则a的值为（　　）
A． B．± C． D．0
【例2-2】已知函数y＝（m+3）是关于x的二次函数．
（1）求m的值．
（2）当m为何值时，该函数图象的开口向下？
（3）当m为何值时，该函数有最小值？
（4）试说明函数图象的增减性．
【例2-3】下列图象中，当ab＞0时，函数y＝ax2与y＝ax+b的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【例2-4】已知点（1，y1），（﹣2，y2），（3，y3）都在函数y＝﹣2x2的图象上，则（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【例2-5】如图，⊙O的半径为2，C1是函数yx2的图象，C2是函数yx2的图象，则阴影部分的面积是　 　．
能力强化 能力强化训练
1.已知抛物线y＝ax2经过点（﹣1，2），（2，m）
（1）并求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）求m的值；
（3）画出该函数的图象，并说明增减性；
（4）根据图象回答：当x满足　 时，y＞0；当x＝　 　时，y＝0．
2.对于二次函数，当取时，函数值相等，则当取时，函数值为___________ ．
2 .下列说法错误的是（ ）
A．抛物线y=ax2（a≠0）中，a越大图像开口越小，a越小图像开口越大
B．二次函数y=﹣6x2中，当x=0时，y有最大值0
C．二次函数y=3x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大
D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点
3.如图，过点的直线与抛物线交于，两点．
（1）求b值；
（2）求的值．
4.如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线AC的长为（　　）
A．2 B． C． D．
堂堂清
一、选择题（每小题4分，共32分）
1 .关于二次函数，下列说法中正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．当时，y随x的增大而增大
C．图象的顶点坐标是 D．当时，y有最小值时0
2.抛物线开口方向是（ ）
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
3.已知点A（－2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4.若二次函数的图象经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
已知二次函数的图象上有三个点，则有（　　）
A． B． C． D．
6 .二次函数y=x2和y=2x2，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点(0，0)；③当x>0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们开口的大小是一样的.其中正确的说法有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7 .在同一直角坐标系中二次函数y＝﹣x2与一次函数y＝﹣x﹣1的图象正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8 .如图，矩形ABCD的长AB＝4cm，宽AD＝2cm，O是AB的中点，以O为顶点的抛物线经过C、D，以OA、OB为直径在矩形内画两个半圆，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．2πcm2 B．（）cm2 C．πcm2 D．cm2
二、填空题（每小题4分，共20分
9 .二次函数的图像经过点，则的值为 　 　.
10 .二次函数的图像开口向　 　(填“上”或“下”)
11 .若二次函数的图象开口向下，则m的值为　 　．
12.如果抛物线 的最低点是原点，那么实数 的取值范围是　 　．
13 .二次函数的图象如图，点在轴的正半轴上，点，在二次函数的图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为　 　．
三、解答题（共48分）
14 .（6分）在平面直角坐标系中画出的图象．
15 .（8分）已知二次函数y＝ax2，当x＝3时，y＝3.
（1）求当x＝﹣2时，y的值.
（2）写出它的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向.
16 .（10分）已知函数是关于x的二次函数，求：
(1)满足条件m的值．
(2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标，这时x为何值时y随x的增大而增大？
(3)m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？这时x为何值时，y随x的增大而减小．
17 .（8分）根据下列条件分别求a的取值范围．
(1)函数，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；
(2)函数y＝有最大值；
(3)抛物线与的形状相同；
(4)函数的图象是开口向上的抛物线．
18 .（8分）已知，如图所示，直线l经过点A(4，0)和B(0，4)，它与抛物线y＝ax2在第一象限内交于点P，又AOP的面积为．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求a的值．
（8分）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于，两点．
（1）求，的值；
（2）求点的坐标；
（3）求．
拓展培优*冲刺满分
1 .已知抛物线y＝ax2经过点A(2，1)．
（1）求这个函数的解析式；
（2）画出函数的图象，写出抛物线上点A关于y 轴的对称点B 的坐标；
（3）抛物线上是否存在点C，使△ABC的面积等于△OAB面积的一半，若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．
已知直线AB过x轴上一点A（﹣2，0），且与抛物线y＝ax2交于B、C两点，C（2，﹣4）．
（1）求直线与抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点D，使得S△AOD：S△BOC＝2，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
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二十二章 二次函数
22.1.2二次函数Y=ax2的图像和性质（解析版）
学习目标：
1利用描点法画二次函数y=图象。
2通过观察图象能说出二次函数y=ax 的图象特征和性质。
3由二次函数y=（a>0）的图象及性质类比地学习二次函数y=（a<0）的图象及性质，并能比较它们的异同点，培养类比学习能力，渗透数形结合的数学思想方法。
一、二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
要画出二次函数的图象，一般用描点法，分为列表、描点、连线三步，具体步骤如下：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
二、二次函数y=ax 的图象特征和性质
三、与抛物线开口大小的关系
（1）相等，抛物线形状相同，抛物线y＝ax2和y＝﹣ax2的联系：开口大小相同，开口方向相反，两条抛物线关于x轴对称，关于原点对称.
（2）越大，抛物线的开口越小，即图象越靠近y轴；
越小，抛物线的开口越大，即图象越远离近y轴.
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：画二次函数y=ax2的图像
【例1-1】通过列表、描点、连线的方法画函数的图象．
【答案】见解析
【分析】首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象．
【详解】解：列表得：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 …
描点、连线．
【点评】本题主要是考查了利用列表描点连线法画二次函数图形，熟练掌握画函数图像的基本步骤，是求解本题的关键．
【例1-2】在同一坐标系中，作y＝x2，yx2，yx2的图象，它们的共同特点是（　　）
A．抛物线的开口方向向上
B．都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大
C．都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小
D．都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点
【分析】本题的三个抛物线解析式都符合y＝ax2形式，可以从顶点坐标和对称轴找相同点．
【解答】解：因为y＝ax2形式的二次函数对称轴都是y轴，且顶点都在原点，
所以它们的共同特点是：关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点．
故选：D．
【点评】要掌握y＝ax2形式的二次函数对称轴都是y轴，且顶点都在原点．
知识点2：二次函数y=ax2的性质
【例2-1】已知二次函数y＝（2﹣a），在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则a的值为（　　）
A． B．± C． D．0
【分析】根据二次函数的定义条件列出方程求解则可．其图象对称轴的左侧，y随x的增大而减小就说明图象开口向上，2﹣a＞0．
【解答】解：由二次函数定义可知a2﹣3＝2且2﹣a＞0，解得a．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的定义及图象．
【例2-2】已知函数y＝（m+3）是关于x的二次函数．
（1）求m的值．
（2）当m为何值时，该函数图象的开口向下？
（3）当m为何值时，该函数有最小值？
（4）试说明函数图象的增减性．
【分析】（1）根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题．
（2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下；
（3）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值；
（4）根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵函数y＝（m+3）是关于x的二次函数，
∴m2+3m﹣2＝2，m+3≠0，
解得：m1＝﹣4，m2＝1；
（2）∵函数图象的开口向下，
∴m+3＜0，
∴m＜﹣3，
∴当m＝﹣4时，该函数图象的开口向下；
（3）∵m＝﹣4或1，
∵当m+3＞0时，抛物线有最低点，函数有最小值，
∴m＞﹣3，
∵m＝﹣4或1，
∴当m＝1时，该函数有最小值．
（4）当m＝1时，x＞0时，y随x的增大而增大，x＜0时，y随x的增大而减小；
当m＝﹣4时，x＞0时，y随x的增大而减小，x＜0时，y随x的增大而增大．
【点评】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题；牢固掌握定义及其性质是解题的关键
【例2-3】下列图象中，当ab＞0时，函数y＝ax2与y＝ax+b的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据直线直线y＝ax+b经过的象限得到a＞0，b＜0，与ab＞0矛盾，则可对A进行判断；根据抛物线y＝ax2开口向上得到a＞0，而由直线y＝ax+b经过第二、四象限得到a＜0，由此可对B进行判断；根据抛物线y＝ax2开口向下得到a＜0，而由直线y＝ax+b经过第一、三象限得到a＞0，由此可对C进行判断；根据抛物线y＝ax2开口向下得到a＜0，则直线y＝ax+b经过第二、四象限，并且b＜0，得到直线与y轴的交点在x轴下方，由此可对D进行判断．
【解答】解：A、对于直线y＝ax+b，得a＞0，b＜0，与ab＞0矛盾，所以A选项错误；
B、由抛物线y＝ax2开口向上得到a＞0，而由直线y＝ax+b经过第二、四象限得到a＜0，所以B选项错误；
C、由抛物线y＝ax2开口向下得到a＜0，而由直线y＝ax+b经过第一、三象限得到a＞0，所以C选项错误；
D、由抛物线y＝ax2开口向下得到a＜0，则直线y＝ax+b经过第二、四象限，由于ab＞0，则b＜0，所以直线与y轴的交点在x轴下方，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，也考查了一次函数的性质．
【例2-4】已知点（1，y1），（﹣2，y2），（3，y3）都在函数y＝﹣2x2的图象上，则（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【分析】把点的坐标分别代入函数解析式可分别求得y1、y2、y3，再比较其大小即可．
【解答】解：∵点（1，y1），（﹣2，y2），（3，y3）都在函数y＝﹣2x2的图象上，
∴y1＝﹣2×12＝﹣2，y2＝﹣2×（﹣2）2＝﹣8，y3＝﹣2×32＝﹣18，
∴y3＜y2＜y1，
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
【例2-5】如图，⊙O的半径为2，C1是函数yx2的图象，C2是函数yx2的图象，则阴影部分的面积是　 　．
【分析】不规则图形面积通过对称转化为可求的图形面积．
【解答】解：由图形观察可知，把x轴上边的阴影部分的面积对称到下边就得到一个半圆阴影面积，则阴影部分的面积s2π．
故答案为：2π．
【点评】此题主要考查了学生的观察图形与拼图的能力．
能力强化 能力强化训练
1.已知抛物线y＝ax2经过点（﹣1，2），（2，m）
（1）并求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）求m的值；
（3）画出该函数的图象，并说明增减性；
（4）根据图象回答：当x满足　 时，y＞0；当x＝　 　时，y＝0．
【分析】（1）根据待定系数法求得函数的解析式，可找出抛物线的对称轴及顶点坐标，结合a＝2，可得出抛物线开口向上；
（2）把（2，m）代入y＝2x2即可求得；
（3）利用五点法，描点、连线，画出函数图象；
（4）观察函数图象，找出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2经过点（﹣1，2），
∴a＝2，
∴y＝2x2，
∴函数图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）；
（2）把（2，m）代入y＝2x2得，m＝2×22＝8；
（3）列表
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 8 2 0 2 8 …
描点、连线，画出函数图象，
当x＞0时，y随x的增大而增大，x＜0时，y随x的增大而减小．
（4）观察函数图象，可知：当x≠0时，y＞0；当x＝0时，y＝0．
故答案为：x≠0，0．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质，找出抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出m；（3）利用五点法画出函数图象；（4）观察函数图象，找出结论。
2.对于二次函数，当取时，函数值相等，则当取时，函数值为___________ ．
【答案】
【分析】先判断出二次函数图像对称轴为轴，再根据二次函数的性质判断出关于轴对称即可解答．
【详解】解：二次函数的对称轴为轴，
取时，函数值相等，
关于轴对称，
，
当取时，函数值为0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟记性质并判断出关于轴对称是解题的关键．
2 .下列说法错误的是（ ）
A．抛物线y=ax2（a≠0）中，a越大图像开口越小，a越小图像开口越大
B．二次函数y=﹣6x2中，当x=0时，y有最大值0
C．二次函数y=3x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大
D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点
【详解】解：A. 抛物线y=ax2（a≠0）中，越大图像开口越小，越小图像开口越大，该选项说法错误，符合题意；
B. 二次函数y=﹣6x2中，当x=0时，y有最大值0，说法正确，不符合题意；
C. 二次函数y=3x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大，说法正确，不符合题意；
D. 不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点，说法正确，不符合题意．
故选：A．
3.如图，过点的直线与抛物线交于，两点．
（1）求b值；
（2）求的值．
【详解】（1）∵直线过点，
∴．
（2）∵，
∴直线的解析式为，
由得，
∴．
4.如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线AC的长为（　　）
A．2 B． C． D．
【详解】设点B（x，y）
∵正方形OABC的顶点B在抛物线y＝的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和等于6，
∴AC=BO，+x=6，
解得（舍去），
∴B（2，4），
∴BO==，
∴AC=，
故选C．
堂堂清
一、选择题（每小题4分，共32分）
1 .关于二次函数，下列说法中正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．当时，y随x的增大而增大
C．图象的顶点坐标是 D．当时，y有最小值时0
【答案】B
【分析】根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、最值和顶点坐标，从而可以判断哪个选项是符合题意的．
【详解】解：∵，
∴图象的开口向下，故选项A错误；
∵，
∴对称轴为y轴，
当时，y随x的增大而增大，故选项B正确；
图象的顶点坐标是，故选项C错误；
∵抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∴当时，有最大值0，故选项D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数系数与图象的关系是解决问题的关键．
2.抛物线开口方向是（ ）
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质进行判断即可．
【详解】解：∵中，，
∴抛物线开口方向向下，故B正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数，当抛物线开口向下，当时，抛物线的开口向上．
3.已知点A（－2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵点A（-2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数y=-2x2图象上，
∴y1=-2×4=-8；y2=-2×1=-2；y3=-2×9=-18，
∴y3＜y1＜y2．
故选：D．
4.若二次函数的图象经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：二次函数的图象经过点，
，
解得．
故选：A．
已知二次函数的图象上有三个点，则有（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二次函数的解析式可知，此函数的对称轴为，开口向上，当时，随增大而减小，当时，随增大而增大，然后进行判断即可．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，，
∴抛物线开口向上，当时，随增大而减小，当时，随增大而增大，
∵点关于的对称点为，且，
∴．
故选：A
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，属于基础题，关键是找到二次函数的对称轴，判断出函数的增减性．
6 .二次函数y=x2和y=2x2，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点(0，0)；③当x>0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们开口的大小是一样的.其中正确的说法有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】关于二次函数y=x2和y=2x2，
①它们的图象都是开口向上，正确；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点(0，0)，正确；③当x>0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大，正确；④它们开口的大小是一样的，错误，开口大小与|a|的绝对值有关，|a|的绝对值越大，开口越小，所以正确的有3个，
故选C.
【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题的关键.
7 .在同一直角坐标系中二次函数y＝﹣x2与一次函数y＝﹣x﹣1的图象正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据图象的基本性质判断即可．
【解答】解：因为二次函数y＝﹣x2的图象开口向下，故可排除A、D；
因为一次函数y＝﹣x﹣1的图象经过二、三、四象限，故可排除B；
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数和二次函数的图象，应该识记一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
8 .如图，矩形ABCD的长AB＝4cm，宽AD＝2cm，O是AB的中点，以O为顶点的抛物线经过C、D，以OA、OB为直径在矩形内画两个半圆，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．2πcm2 B．（）cm2 C．πcm2 D．cm2
【分析】观察图形易得图中阴影部分的面积是半圆的面积，其半径为AB的，根据面积公式即可解答．
【解答】解：观察图形，
根据二次函数的对称性可得图中阴影部分的面积是半圆的面积，
其半径为AB的，
∵AB＝4cm，
∴即半径为1，其面积为：，
故选：D．
【点评】本题考查不规则图形的面积求法，要根据图形的对称性与相互关系转化为规则的图形的面积，再进行求解．
填空题（每小题4分，共20分
9 .二次函数的图像经过点，则的值为 　 　.
【答案】2
【解析】解：将代入得，解得，
故答案为：2.
10 .二次函数的图像开口向　 　(填“上”或“下”)
【答案】下
【解析】解：∵，
∴抛物线的开口向下.
故答案为：下
11 .若二次函数的图象开口向下，则m的值为　 　．
【答案】-1
【解析】解：∵二次函数 的图象开口向下，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：-1．
12.如果抛物线 的最低点是原点，那么实数 的取值范围是　 　．
【答案】m＞－1
【解析】 抛物线 的最低点是原点，且该抛物线是二次函数
开口向上，
13 .二次函数的图象如图，点在轴的正半轴上，点，在二次函数的图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为　 　．
【答案】
【解析】连接BC交OA于D，如图，
∵四边形为菱形，
∴，，，，BC平分，
∵
∴
∴
∴
设，则
∴
把代入得：
解得：（舍去），，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
三、解答题（共48分）
14 .（6分）在平面直角坐标系中画出的图象．
【答案】见解析
【分析】根据题目中的函数解析式先列表，选数值时注意正负数都要取到，然后在坐标系中描点，连线画出二次函数图象，即可解答本题．
【详解】解：函数
列表
－3 －2 －1 0 1 2 3
9 4 1 0 1 4 9
描点，连线
【点评】本题考查二次函数的图象，解答本题的关键是明确画函数图象的方法．
15 .（8分）已知二次函数y＝ax2，当x＝3时，y＝3.
（1）求当x＝﹣2时，y的值.
（2）写出它的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向.
【解析】（1）解：∵二次函数y＝ax2，当x＝3时，y＝3，
∴ ，
∴ ，
∴二次函数解析式为 ，
∴当 时， ；
（2）解：∵二次函数的解析式为 ， ，
∴二次函数的开口向上，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴.
16 .（10分）已知函数是关于x的二次函数，求：
(1)满足条件m的值．
(2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标，这时x为何值时y随x的增大而增大？
(3)m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？这时x为何值时，y随x的增大而减小．
【答案】(1)2或
(2)当时，抛物线的最低点为，当时，y随x的增大而增大
(3)当时，二次函数的最大值是0，当时，y随x的增大而减小
【分析】（1）根据二次函数的定义可求得m的值；
（2）根据二次函数的性质得当时，抛物线有最低点，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标和增减性；
（3）根据二次函数的性质得到当时，抛物线开口向下，函数有最大值，然后根据二次函数的性质确定最大值和增减性．
【详解】（1）解：根据题意得且，
解得，，
所以满足条件的m值为2或．
（2）解：当时，抛物线有最低点，
所以，
此时抛物线解析式为，
所以抛物线的最低点为，当时，y随x的增大而增大．
（3）解：当时，抛物线开口向下，函数有最大值；
此时抛物线解析式为，
所以二次函数的最大值是0，当时，y随x的增大而减小．
【点评】本题考查了二次函数的定义和二次函数的最值，解决本题的关键是要注意二次函数的二次项系数不为零．
17 .（8分）根据下列条件分别求a的取值范围．
(1)函数，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；
(2)函数y＝有最大值；
(3)抛物线与的形状相同；
(4)函数的图象是开口向上的抛物线．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) 或 ；
(4) ．
【详解】（1）解：由题意得 ，
解得 ．
（2）由题意得 ，
解得 ．
（3）由题意得 或 ，
解得 或 ；
（4）函数土象开口向上
．
18 .（8分）已知，如图所示，直线l经过点A(4，0)和B(0，4)，它与抛物线y＝ax2在第一象限内交于点P，又AOP的面积为．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求a的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得直线的解析式；
（2）先根据面积求得点的纵坐标，再代入直线的解析式可得其横坐标，然后将点的坐标代入二次函数即可得．
【详解】解：（1）设直线的解析式为，
将点代入得，解得，
故直线的表达式为；
（2）如图，过点作轴于点，
设点的坐标为，则，
，
，
∵的面积为，
∴，
解得，
将点代入得：，
解得，
则，
将点代入得：，
解得，
故的值为．
【点评】本题考查了二次函数与一次函数的综合等知识点，熟练掌握待定系数法是解题关键．
（8分）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于，两点．
（1）求，的值；
（2）求点的坐标；
（3）求．
【详解】（1）二次函数与一次函数的图象相交于，
则，解得
，解得
二次函数解析式为：
一次函数解析式为：
（2）由题意可知，已知二次函数与一次函数的图象相交于，两点
联立
解得
（3）设直线与轴的交点为,如图，
由，令，解得
，
拓展培优*冲刺满分
1 .已知抛物线y＝ax2经过点A(2，1)．
（1）求这个函数的解析式；
（2）画出函数的图象，写出抛物线上点A关于y 轴的对称点B 的坐标；
（3）抛物线上是否存在点C，使△ABC的面积等于△OAB面积的一半，若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2经过点A（2，1），
∴4a=1，解得a=，
∴这个函数的解析式为y=x2；
（2）解：∵点A（2，1），关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相同，
∴点A关于y轴的对称点B的坐标为（-2，1）
（3）解：如图：
∵点A（2，1），B（-2，1），
∴AB=2-（-2）=2+2=4，S△OAB=×4×1=2，
假设存在点C，且点C到AB的距离为h，
则S△ABC= AB h=×4h，
∵△ABC的面积等于△OAB面积的一半，
∴×4h=×2，解得h=，
①当点C在AB下面时，点C的纵坐标为，
此时，解得，，
则此时C的坐标为（，）或（，），
②点C在AB的上面时，点C的纵坐标为，
此时，解得，，
则此时C的坐标为（，）或（，），
综上，存在点C（，）或（，）或（，）或（，），使△ABC的面积等于△OAB面积的一半．
已知直线AB过x轴上一点A（﹣2，0），且与抛物线y＝ax2交于B、C两点，C（2，﹣4）．
（1）求直线与抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点D，使得S△AOD：S△BOC＝2，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法可求得直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2；然后把C点坐标代入y＝ax2可计算出a的值，从而得到抛物线解析式；
（2）先解方程组得B点坐标（﹣1，﹣1），再确定E点坐标（0，﹣2），接着计算S△OBC＝S△OBE+S△OCE＝3，所以S△AOD＝6，然后设D点坐标为（t，﹣t2），根据三角形面积公式得 2 |﹣t2|＝6，解方程得到t的值，则可确定D点坐标．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣2，0），C（2，﹣4）代入得，
解得．
所以直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2；
把C（2，﹣4）代入y＝ax2得4a＝﹣4，
解得a＝﹣1．
所以抛物线解析式为y＝﹣x2；
（2）存在．
解方程组得或，则B点坐标为（﹣1，﹣1），
当x＝0时，﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣2，则E点坐标为（0，﹣2），
所以S△OBC＝S△OBE+S△OCE2×12×2＝3，
而S△AOD：S△BOC＝2，
所以S△AOD＝6，
设D点坐标为（t，﹣t2），
所以 2 |﹣t2|＝6，解得t或，
所以D点坐标为（，﹣6）或（，﹣6）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
老师对你说：
老师对你说：
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