九年级数学上分层优化堂堂清（3）22.1.3 二次函数 y=ax2+k 的图像和性质（含解析）

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九年级数学上分层优化堂堂清
二十二章 二次函数
22.1.3二次函数Y=ax2+k的图像和性质
学习目标：
会用描点法画出二次函数 y=ax +k（a≠0）的图像，并结合图像理解抛物线、对称轴、顶点坐标及开口方向等概念；
掌握二次函数 y=ax +k（a≠0）性质，掌握y=ax （a≠0）与y=ax +k（a≠0）之间联系。
一、二次函数y＝ax ＋h的图象和性质
y＝ax ＋h(a≠0) a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
顶点坐标 (0，h) (图象有最低点) (0，h) (图象有最高点)
对称轴 y轴(直线x＝0) y轴(直线x＝0)
增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小(在对称轴的左侧，从左向右看，图象呈下降趋势)；当x＞0时，y随x的增大而增大(在对称轴的右侧，从左向右看，图象呈上升趋势). 当x＜0时，y随x的增大而增大(在对称轴的左侧，从左向右看，图象呈上升趋势)；当x＞0时，y随x的增大而减小(在对称轴的右侧，从左向右看，图象呈下降趋势).
最值 当x＝0时，y最小＝h. 当x＝0时，y最大＝h.
草图
二、二次函数y＝ax 与二次函数y＝ax ＋h的图象关系
二次函数y＝ax 向上平移k个单位长度 二次函数y＝ax ＋h(k＞0)，
二次函数y＝ax 向下平移k个单位长度 二次函数y＝ax ＋h(k＜0)
口诀：上加下减．
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：二次函数y=ax2+k的图像开口方向，对称轴，顶点坐标
【例1-1】二次函数的图象的对称轴为　 　．
【例1-2】关于二次函数的图像，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线开口向下
B．对称轴为直线
C．顶点坐标为
D．当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大
【例1-3】已知：二次函数y＝x2﹣1．
(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(2)画出它的图象．
知识点2：二次函数y=ax +c图像性质
【例2-1】下列关于二次函数的图像说法中错误的是（　　）
A．它的对称轴是直线
B．它的图像有最高点
C．它的顶点坐标是
D．在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小
【例2-2】已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向上 B．图象的顶点坐标为
C．图象的对称轴是直线 D．有最大值，为－3
【例2-2】已知二次函数，当x取x1，x2（）时，函数值相等，则当x取时，函数值为( )
A． B． C．-k D．k
【例2-3】对于二次函数，当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
能力强化 能力强化训练
1 .若抛物线与关于x轴对称，则_________.
2.已知函数是关于x的二次函数．
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？
3.我们把横、纵坐标都为整数的点称为格点
（1）如图，直线上的格点坐标为_______；
（2）若抛物线与x轴所围成的封闭图形（不含边界）中仅有一个格点，则c的取值范围是_______________．
4.在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx+n2与二次函数y＝x2+m的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
堂堂清
一、选择题（每小题4分，共32分）
1 .函数与的图象的不同之处是（ ）
A．对称轴 B．开口方向 C．顶点 D．形状
2.二次函数y＝x2+1的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
3 .若一条抛物线与的形状相同且开口向下，顶点坐标为，则这条抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4.对于二次函数y＝﹣x2+2，当x为x1和x2时，对应的函数值分别为y1和y2．若x1＞x2＞0，则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法比较
5.在同一平面直角坐标中，直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+b的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
如图，两条抛物线 与分别过点（ ， ）（2， ）且平行于 y 轴的两条平行线围成的阴部分的面积为（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
7 .关于二次函数 的图象，下列说法中，正确的是（　　）．
A．对称轴为直线
B．顶点坐标为（-2，1）
C．可以由二次函数 的图象向左平移1个单位得到；
D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降．
8 .设点（﹣1，y1），，（2，y3）是抛物线y＝﹣2x2+1上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y2＞y3 D．y2＞y3＞y1
二、填空题（每小题4分，共20分
9 .已知函数y＝2x2﹣3，当x＝　 　时，函数值等于5．
10 .二次函数有最　 　值为　 　．
11 .从抛物线y=2x2﹣3的图象上可以看出，当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是_____．
12 .已知二次函数y=2x2的图象如图所示，将x轴沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A、B两点，则△AOB的面积为____.
13 .在线段上取点，分别以、为边在的同一侧构造正方形和正方形，点、分别是、的中点，连接，若，则线段的最小值为______．
解答题（共48分）
14 .（6分）已知一抛物线与抛物线yx2+3形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（﹣5，0），根据以上特点，试写出该抛物线的解析式．
15 .（8分）在同一直角坐标系中画出二次函数yx2+1与二次函数yx2﹣1的图形．
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；
（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．
16 .（8分）已知：二次函数y＝x2﹣1．
（1）写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）画出它的图象．
17.（6分）已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c．
（1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；
（2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝　 　；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，则c＝　 　；
（3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表：
x ﹣2 1 5
y m n p
表中m、n、p的大小关系为　 　（用“＜”连接）．
18 .（10分）已知：抛物线与直线交于点（m，3）．
（1）求m和n的值；
（2）试说出抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）当x何值时，二次函数中y随x的增大而减小；
（4）函数与的图象是否还存在其它交点，若存在，请求出交点坐标；若没有，请说明理由．
19 .（10分）已知抛物线
（1）填空：抛物线的顶点坐标是（ ， ），对称轴是 ；
（2）已知y轴上一点A（0，-2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点 N，使以点O、点A、点M、点N为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
拓展培优*冲刺满分
1.探究函数的图象与性质
(1)函数的自变量x的取值范围是___；
(2)下列四个函数图象中,函数的图象大致是___；
A． B．
C． D．
(3)对于函数，求当时，y的取值范围．
请将下面求解此问题的过程补充完整：
解：∵x>0
∴
=
∵
∴y=____.
【拓展应用】
(4)若函数，求y的取值范围.
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二十二章 二次函数
22.1.3二次函数Y=ax2+k的图像和性质（解析版）
学习目标：
会用描点法画出二次函数 y=ax +k（a≠0）的图像，并结合图像理解抛物线、对称轴、顶点坐标及开口方向等概念；
掌握二次函数 y=ax +k（a≠0）性质，掌握y=ax （a≠0）与y=ax +k（a≠0）之间联系。
一、二次函数y＝ax ＋h的图象和性质
y＝ax ＋h(a≠0) a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
顶点坐标 (0，h) (图象有最低点) (0，h) (图象有最高点)
对称轴 y轴(直线x＝0) y轴(直线x＝0)
增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小(在对称轴的左侧，从左向右看，图象呈下降趋势)；当x＞0时，y随x的增大而增大(在对称轴的右侧，从左向右看，图象呈上升趋势). 当x＜0时，y随x的增大而增大(在对称轴的左侧，从左向右看，图象呈上升趋势)；当x＞0时，y随x的增大而减小(在对称轴的右侧，从左向右看，图象呈下降趋势).
最值 当x＝0时，y最小＝h. 当x＝0时，y最大＝h.
草图
二、二次函数y＝ax 与二次函数y＝ax ＋h的图象关系
二次函数y＝ax 向上平移k个单位长度 二次函数y＝ax ＋h(k＞0)，
二次函数y＝ax 向下平移k个单位长度 二次函数y＝ax ＋h(k＜0)
口诀：上加下减．
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：二次函数y=ax2+k的图像开口方向，对称轴，顶点坐标
【例1-1】二次函数的图象的对称轴为　 　．
【答案】y轴或直线x=0
【解析】∵二次函数，
∴对称轴为；
故答案是：y轴或直线x=0．
【例1-2】关于二次函数的图像，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线开口向下
B．对称轴为直线
C．顶点坐标为
D．当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质依次判断．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
∴A，B，C正确，D错误，
故选：D．
【点评】此题考查了二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题的关键．
【例1-3】已知：二次函数y＝x2﹣1．
(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(2)画出它的图象．
【答案】(1)抛物线的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，﹣1）．
(2)图像见解析．
【分析】（1）根据二次函数y=a(x-h)2+k，当a>0时开口向上；顶点式可直接求得其顶点坐标为(h，k)及对称轴x=h；
（2）可分别求得抛物线顶点坐标以及抛物线与x轴、y轴的交点坐标，利用描点法可画出函数图象．
【详解】（1）解：（1）∵二次函数y＝x2﹣1，
∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴；
（2）解：在y＝x2﹣1中，令y＝0可得x2﹣1=0．
解得x＝﹣1或1，所以抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)和(1，0)；
令x＝0可得y＝﹣1，所以抛物线与y轴的交点坐标为(0，-1)；
又∵顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴，
再求出关于对称轴对称的两个点，
将上述点列表如下：
x -2 -1 0 1 2
y＝x2﹣1 3 0 -1 0 3
描点可画出其图象如图所示：
【点评】本题考查了二次函数的开口方向、对称轴以及顶点坐标．以及二次函数抛物线的画法．解题的关键是把二次函数的一般式化为顶点式．描点画图的时候找到关键的几个点，如：与x轴的交点与y轴的交点以及顶点的坐标．
知识点2：二次函数y=ax +c图像性质
【例2-1】下列关于二次函数的图像说法中错误的是（　　）
A．它的对称轴是直线
B．它的图像有最高点
C．它的顶点坐标是
D．在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小
【答案】D
【解析】解：二次函数的表达式为
，开口向下，抛物线有最高点，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小
，对称轴
将代入解析式得
顶点坐标为
故答案为：D
【例2-2】已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向上 B．图象的顶点坐标为
C．图象的对称轴是直线 D．有最大值，为－3
【详解】解：∵二次函数，
∴，解得：，
∴，
∴二次函数，
∵，
∴图象开口向下，
∴A选项错误，不符合题意；
顶点坐标为（0，-3），
∴B选项错误，不符合题意；
对称轴为直线，
∴C选项错误，不符合题意；
∵图象开口向下，顶点坐标为（0，-3），
∴有最大值，为－3，
∴D选项正确，符合题意．
故选：D．
【例2-2】已知二次函数，当x取x1，x2（）时，函数值相等，则当x取时，函数值为( )
A． B． C．-k D．k
【详解】解：，
抛物线对称轴为轴，
，
将代入得，
故选：D．
【例2-3】对于二次函数，当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：二次函数的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线开口向上，
，
当时，取得最小值，
当时，，
当时，，
当时，的取值范围是，
故选：C．
能力强化 能力强化训练
1 .若抛物线与关于x轴对称，则_________.
【详解】解：∵抛物线y=ax2+c与抛物线关于x轴对称，
∴抛物线的解析式为：．
∴a=4，c=-3，
∴a+c=4-3=1，
故答案为：1．
2.已知函数是关于x的二次函数．
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？
【详解】（1）∵函数是关于x的二次函数，
∴m2+m﹣4=2，
解得：m1=2，m2=﹣3；
（2）当m=2时，抛物线有最低点，
此时y=4x2+1，
则最低点为：（0，1），
由于抛物线的对称轴为y轴，
故当x＞0时，y随x的增大而增大；
（3）当m=﹣3时，函数有最大值，
此时y=﹣x2+1，故此函数有最大值1，
由于抛物线的对称轴为y轴，
故当x＞0时，y随x的增大而减小．
3.我们把横、纵坐标都为整数的点称为格点
（1）如图，直线上的格点坐标为_______；
（2）若抛物线与x轴所围成的封闭图形（不含边界）中仅有一个格点，则c的取值范围是_______________．
【答案】
【详解】（1）横、纵坐标都为整数的点称为格点，
由图可知，当时，，
直线上的格点坐标为，
故答案为：；
（2）抛物线与x轴所围成的封闭图形（不含边界）中仅有一个格点，
如图所示：
当时，，即，
当时，，即，
．
故答案为：．
4.在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx+n2与二次函数y＝x2+m的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误，不符合题意；
B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误，不符合题意；
C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误，不符合题意；
D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，符合题意．
故选：D．
堂堂清
一、选择题（每小题4分，共32分）
1 .函数与的图象的不同之处是（ ）
A．对称轴 B．开口方向 C．顶点 D．形状
【答案】C
【分析】
根据二次函数的性质得出，a决定开口大小以及方向，再利用顶点坐标位置得出不同．
解：y=x2+1与y=x2的图象顶点坐标为：(0,1)，(0,0)，
故图象的不同之处是顶点坐标位置.
故答案选：C.
【点拨】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.
2.二次函数y＝x2+1的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：二次函数y＝x2+1中，
a＝1＞0，图象开口向上，顶点坐标为（0，1），
符合条件的图象是B．
故选：B．
3 .若一条抛物线与的形状相同且开口向下，顶点坐标为，则这条抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据抛物线与的形状相同且开口向下，可知；再由顶点坐标为（0，-2）可得抛物线解析式为.
解：∵抛物线与的形状相同且开口向下，
∴
∵顶点坐标为（0，-2）
∴抛物线解析式为
故答案是：C.
【点拨】本题考查了y=ax2+k中a的意义及根据顶点坐标来写解析式，熟练掌握相关性质是解题的关键.
4.对于二次函数y＝﹣x2+2，当x为x1和x2时，对应的函数值分别为y1和y2．若x1＞x2＞0，则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法比较
【答案】B
【解答】解：∵y＝﹣x2+2中，﹣＜0且对称轴为直线x＝0，
∴当x＞0时，y随x的增大而减小，
∵x1＞x2＞0，
∴y1＜y2，
故选：B．
5.在同一平面直角坐标中，直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+b的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、∵直线y＝ax+b经过第一、二、三象限，
∴a＞0，b＞0，
∴抛物线y＝ax2+b开口向上，对称轴为y轴，顶点为（0，b），
∴该选项图象符合题意；
B、∵直线y＝ax+b经过第一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴抛物线y＝ax2+b开口向下，对称轴为y轴，顶点为（0，b），
∴该选项图象不符合题意；
C、∵直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+b的交点坐标为（0，b），
∴该选项图象不符合题意；
D、∵直线y＝ax+b经过第一、二、三象限，
∴a＞0，b＞0，
∴抛物线y＝ax2+b开口向上，对称轴为y轴，顶点为（0，b），
∴该选项图象不符合题意．
故选：A．
如图，两条抛物线 与分别过点（ ， ）（2， ）且平行于 y 轴的两条平行线围成的阴部分的面积为（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【解答】解：根据题意可知，两个抛物线的形状相同
∴y1-y2=-x2+1-（-x2-1）=2
∴阴影部分面积=（y1-y2）×|2-（-2）|=2×4=8
故答案为：B.
7 .关于二次函数 的图象，下列说法中，正确的是（　　）．
A．对称轴为直线
B．顶点坐标为（-2，1）
C．可以由二次函数 的图象向左平移1个单位得到；
D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降．
【答案】D
【解答】关于二次函数 的对称轴为直线x=0，开口向下，在对称轴左侧，图像上升，在对称轴右侧，图像下降，顶点坐标（0，1），可以由二次函数 的图像向上平移1个单位得到．
故答案为：D．
8 .设点（﹣1，y1），，（2，y3）是抛物线y＝﹣2x2+1上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y2＞y3 D．y2＞y3＞y1
【答案】B
【解答】解：当x＝﹣1时，y1＝﹣2x2+1＝﹣2×（﹣1）2+1＝﹣1，
当x＝时，y2＝﹣2x2+1＝﹣2×（）2+1＝，
当x＝2时，y3＝﹣2x2+1＝﹣2×22+1＝﹣7，
∴y2＞y1＞y3．
故选：B．
二、填空题（每小题4分，共20分
9 .已知函数y＝2x2﹣3，当x＝　 　时，函数值等于5．
【答案】±2．
【解答】解：∵函数值为5，
∴2x2﹣3＝5，
∴x＝±2．
故答案为：±2．
10 .二次函数有最　 　值为　 　．
【答案】大；5
【解答】【解答】解：由可知：
，开口向下，
∴二次函数有最大值，
又其对称轴为y轴，
∴当x=0时，y最大为5，
故答案为：大，5．
11 .从抛物线y=2x2﹣3的图象上可以看出，当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是_____．
【答案】﹣3≤y≤5
【解析】解：试题分析：可先求得二次函数的对称轴为x=0，在对称轴两侧分别求其最值，可求得答案．
解：∵y=2x2﹣3，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=0，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x=0时，y有最小值，最小值为﹣3，
当﹣1≤x＜0时，可知当x=﹣1时，y有最大值，最大值为﹣1，
当0≤x≤2时，可知当x=2时，y有最大值，最大值为5，
∴当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是﹣3≤y≤5，
故答案为﹣3≤y≤5．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键．
12 .已知二次函数y=2x2的图象如图所示，将x轴沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A、B两点，则△AOB的面积为____.
【答案】2
【解析】解：∵二次函数y=2x2的图象沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A，B两点，
∴2x2=2，x=±1，
∴A，B两点相当于在原坐标系中的坐标为（-1，2），（1，2），
∴S△OAB=×2×2=2，
故答案为2．
13 .在线段上取点，分别以、为边在的同一侧构造正方形和正方形，点、分别是、的中点，连接，若，则线段的最小值为______．
【答案】4
【分析】
过点Q作QH⊥BG，垂足为H，求出PH，设CG=2x，利用勾股定理表示出PQ，根据x的值即可求出PQ的最小值．
解：如图，过点Q作QH⊥BG，垂足为H，
∵P，Q分别为BC，EF的中点，BG=8，
∴H为CG中点，
∴PH=4，设CG=2x，
则CH=HG=EQ=x，QH=2x，
∴PQ===，
则当x=0时，PQ最小，且为4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，勾股定理，线段最值问题，解题的关键是表示出PQ的长．
解答题（共48分）
14 .（6分）已知一抛物线与抛物线yx2+3形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（﹣5，0），根据以上特点，试写出该抛物线的解析式．
【解答】解：设所求的抛物线解析式为y＝a（x+5）2，
因为抛物线y＝a（x+5）2与抛物线yx2+3形状相同，开口方向相反，
所以a，
所以该抛物线的解析式为y（x+5）2．
15 .（8分）在同一直角坐标系中画出二次函数yx2+1与二次函数yx2﹣1的图形．
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；
（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．
【解答】解：如图：
，
（1）yx2+1与yx2﹣1的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y轴，
yx2+1与yx2﹣1的不同点是：yx2+1开口向上，顶点坐标是（0，1），yx2﹣1开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）；
（2）性质的相同点：开口程度相同，不同点：yx2+1 当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；
yx2﹣1当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小。
16 .（8分）已知：二次函数y＝x2﹣1．
（1）写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）画出它的图象．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣1，
∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴；
（2）在y＝x2﹣1中，令y＝0可得0＝x2﹣1．
解得x＝﹣1或1，
令x＝0可得y＝﹣1，结合（1）中的顶点坐标及对称轴，可画出其图象如图所示：
．
17.（6分）已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c．
（1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；
（2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝　 　；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，则c＝　 　；
（3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表：
x ﹣2 1 5
y m n p
表中m、n、p的大小关系为　 　（用“＜”连接）．
【详解】解：（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；
（2）∵函数y＝ax2与函数y＝﹣2x2+c的形状相同，
∴a＝±2，
∵抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位得到y＝ax2﹣2，与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，
∴c＝﹣2，
故答案为：±2，﹣2．
（3）由函数y＝﹣2x2+c可知，抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∵1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0，
∴p＜m＜n，
故答案为：p＜m＜n．
18 .（10分）已知：抛物线与直线交于点（m，3）．
（1）求m和n的值；
（2）试说出抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）当x何值时，二次函数中y随x的增大而减小；
（4）函数与的图象是否还存在其它交点，若存在，请求出交点坐标；若没有，请说明理由．
10 .（10分）已知抛物线
（1）填空：抛物线的顶点坐标是（ ， ），对称轴是 ；
（2）已知y轴上一点A（0，-2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点 N，使以点O、点A、点M、点N为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
拓展培优*冲刺满分
1.探究函数的图象与性质
(1)函数的自变量x的取值范围是___；
(2)下列四个函数图象中,函数的图象大致是___；
A． B．
C． D．
(3)对于函数，求当时，y的取值范围．
请将下面求解此问题的过程补充完整：
解：∵x>0
∴
=
∵
∴y=____.
【拓展应用】
(4)若函数，求y的取值范围.
（1）x≠0；（2）C；（3）2，2；（4）y 7.
【分析】
（1）根据分母不能等于零，可以解答本题；
（2）根据函数解析式可以判断函数图象所在的位置，本题得以解决；
（3）根据题目中的解答过程可以将没写的补充完整；
（4）根据（3）的特点可以解答本题．
解：(1)∵，
∴x≠0，
故答案为x≠0；
(2)∵，
∴x>0时，y>0，
当x<0时，y<0，故选项B. D错误，
∵x≠0，
∴选项A错误，
故选C；
(3)∵x>0
∴
∵，
∴y 2，
故答案为2，2；
(4) =x+5+=(x+)+5 7，
故答案为y 7.
【点拨】此题考查二次函数的性质，一次函数图象与系数的关系，二次函数的图象，解题关键在于掌握运算法则利用二次函数的性质进行解答。
2．如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为 _____．
【详解】解：设p(x，x2-1)，则OH=|x|，PH=|x2-1|，
当点P在x轴上方时，∴x2-1>0,
∴PH=|x2-1|=x2-1，
在Rt△OHP中，由勾股定理，得
OP2=OH2+PH2=x2+(x2-1)2=(x2+1)2，
∴OP=x2+1，
∴OP-PH=（x2+1）-（x2-1）=2，
故答案为：2．
老师对你说：
老师对你说：
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