九年级数学上分层优化堂堂清（4）22.1.3 二次函数 y=a(x-h)²的图象与性质（含解析）

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九年级数学上分层优化堂堂清
二十二章 二次函数
22.1.3二次函数y=a(x-h) 的图象与性质
学习目标：
会用描点法画出二次函数 y=a(x-h) 的图像，并结合图像理解抛物线、对称轴、顶点坐标及开口方向等概念；
掌握二次函数 y=a(x-h) 性质，掌握y=ax （a≠0）与y=a(x-h) （a≠0）之间联系。
一、二次函数 y=a(x-h)2(a ≠ 0)的性质
y=a(x-h)2 a>0 a<0
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 （h，0） （h，0）
最值 当x= h时，y取最小值0 当x= h时，y取最大值0
对称轴 直线x=h 直线x=h
增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。
二、y=ax （a≠0）与 y=a(x-h） （a≠0）之间的关系
二次函数y=a(x-h)2的图象可以由y=ax2的图象平移得到：
当h > 0 时,向右平移h个单位长度得到.当h < 0 时,向左平移-h个单位长度得到.
左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：二次函数y=a(x-h) 的图像开口方向，对称轴，顶点坐标
【例1-1】对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为（1，0） D．当时，y随x的增大而减小
【例1-2】抛物线的对称轴是直线x=-2，则m的值是（ ）
A． B．- C．2 D．-2
【例1-3】抛物线的顶点坐标是（ ）．
A． B． C． D．
知识点2：二次函数 y=a(x-h)2(a ≠ 0)图像性质
【例2-1】如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点(点M在点N的左侧)，其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为(-2，-3)，(1，-3)，点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为( )
A．-1 B．-3 C．-5 D．-7
【例2-2】画出二次函数y＝（x﹣2）2的图象，结合图象直接写出y＞0时，
自变量x的取值范围是　 　；
x … …
y＝（x﹣2）2 … …
【例2-3】同一坐标系中，二次函数y＝（x﹣a）2与一次函数y＝a+ax的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【例2-4】点A（2，y1）、B（3，y2）在二次函数y＝2（x﹣1）2的图象上，则（　　）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．0＜y1＜y2 D．0＜y2＜y1
能力强化 能力强化训练
1.如图是二次函数y＝a(x＋1)2＋2的图象的一部分，根据图象回答下列问题：
(1)抛物线与x轴的一个交点A的坐标是 ，则抛物线与x轴的另一个交点B的坐标是 ；
(2)确定a的值；
(3)设抛物线的顶点是P，试求△PAB的面积．
2.已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为_______________（用“＜”号连接）
3.老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．
甲：函数图象的顶点在x轴上；
乙：当x 1时，y随x的增大而减小；
丙：该函数的开口大小、形状均与函数y=x2的图像相同
已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式_________．
4.在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为_____．
堂堂清
一、选择题（每小题4分，共32分）
1.关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．最低点是
C．可以由向左平移2个单位得到 D．当时，随的增大而增大
2.抛物线的顶点是（ ）．
A． B． C． D．
已知抛物线的开口向下，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4 .抛物线y＝2（x+1）2不经过的象限是（　　）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
5 .下列二次函数中，对称轴是直线的是（ ）
A． B． C． D．
6.已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是
A． B．
C． D．
7 .已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
8 .如图，抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，且与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB＝3，则点M到直线l的距离是（　　）
A． B． C． D．
．
二、填空题（每小题4分，共20分
9. 当_______时，二次函数的最小值是________．
10 .点A（﹣1，﹣2）在抛物线y＝﹣（x﹣1）2上，点A、B关于该抛物线的对称轴对称，则B点坐标为_____．
11 .已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为______.
12 .有一个二次函数的图象，三位同学分别说了它的一些特点：
甲：与x轴只有一个交点；
乙：对称轴是直线x＝4；
丙：与y轴的交点到原点的距离为3．
满足上述全部特点的二次函数的解析式为_____．
13 .在平面直角坐标系内有线段PQ，已知P（3，1）、Q（9，1），若抛物线与线段PQ有交点，则a 的取值范围是______．
解答题（共48分）
14 （8分）请在同一坐标系中画出二次函数①；②的图象．说出两条抛物线的位置关系，指出②的开口方向、对称轴和顶点．
15 .（8分）抛物线的顶点为，它的形状与相同，但开口方向与之相反．
（1）直接写出抛物线的解析式 ；
（2）求抛物线与轴的交点坐标．
16.（8分）已知抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点．
(1)求a和h的值；
(2)求该抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式．
17 .（8分）对于二次函数．
它的图象与二次函数的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向，对称轴和顶点坐标分别是什么？
当取哪些值时，的值随的增大而增大？当取哪些值时，的值随的增大而减小？
18.（8分）二次函数y1=a（x﹣2）2的图象与直线y2交于A（0，﹣1），B（2，0）两点．
（1）确定二次函数与直线AB的解析式．
（2）如图，分别确定当y1＜y2，y1=y2，y1＞y2时，自变量x的取值范围．
19.（8分）如图，抛物线y=2（x-2）2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，求S△ABC;
拓展培优*冲刺满分
1.如图所示，抛物线的顶点为C，与y轴交点为A，过点A作y轴的垂线，交抛物线于
另一点B．
(1)求直线AC的解析式；
(2)求△ABC的面积；
(3)当自变量x满足什么条件时，有
对于实数c、d，我们可用min{c，d}表示c、d两数中较小的数，如min{3，﹣1}＝﹣1．若关于x的函数y＝min{2x2，a（x﹣t）2}的图象关于直线x＝3对称，则a、t的值可能是（　　）
A．3，6 B．2，﹣6 C．2，6 D．﹣2，6
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二十二章 二次函数
22.1.3二次函数y=a(x-h) 的图象与性质（解析版）
学习目标：
会用描点法画出二次函数 y=a(x-h) 的图像，并结合图像理解抛物线、对称轴、顶点坐标及开口方向等概念；
掌握二次函数 y=a(x-h) 性质，掌握y=ax （a≠0）与y=a(x-h) （a≠0）之间联系。
一、二次函数 y=a(x-h)2(a ≠ 0)的性质
y=a(x-h)2 a>0 a<0
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 （h，0） （h，0）
最值 当x= h时，y取最小值0 当x= h时，y取最大值0
对称轴 直线x=h 直线x=h
增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。
二、y=ax （a≠0）与 y=a(x-h） （a≠0）之间的关系
二次函数y=a(x-h)2的图象可以由y=ax2的图象平移得到：
当h > 0 时,向右平移h个单位长度得到.当h < 0 时,向左平移-h个单位长度得到.
左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：二次函数y=a(x-h) 的图像开口方向，对称轴，顶点坐标
【例1-1】对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为（1，0） D．当时，y随x的增大而减小
【答案】D
【解答】二次函数的二次项系数为－1，则图象的开口向下，其对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，0），当x<1时，y随x的增大而增大，故A、B、C正确，D不正确；
故选：D
【点评】二次函数y=a（x-p）2 对称轴是直线x=p,二次函数的增减性以对称轴为界，由a决定，a>0时，对称轴左侧y随x增大而减小，对称轴右侧y随x增大而增大。a0时，对称轴左侧y随x增大而增大，对称轴右侧y随x增大而减小。
【例1-2】抛物线的对称轴是直线x=-2，则m的值是（ ）
A． B．- C．2 D．-2
【答案】C
【分析】根据抛物线的对称轴是即可求出m的值．
【详解】解：抛物线的对称轴是，
所以，
所以．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数的对称轴，熟知二次函数对称轴公式是解决此题的关键．
【例1-3】抛物线的顶点坐标是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的解析式得出顶点坐标即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是（2，0），
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键．二次函数的顶点式为，则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为(，)．
知识点2：二次函数 y=a(x-h)2(a ≠ 0)图像性质
【例2-1】如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点(点M在点N的左侧)，其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为(-2，-3)，(1，-3)，点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为( )
A．-1 B．-3 C．-5 D．-7
【答案】C
【分析】当抛物线的顶点在线段AB的B点上时，点N的横坐标最大，把B的坐标代入即可求出a的值，因为抛物线的a是定值．根据题意可知当抛物线的顶点运动到A时，M的横坐标最小，把A的坐标和a的值代入即可求出二次函数的解析式，再求出y=0时x的值即可求出答案．
【详解】解：当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，
则此时抛物线的表达式为：y＝a（x 1）2 3，
把点N的坐标代入得：0＝a（4 1）2 3，
解得：a＝ ，
当顶点在点A时，M点的横坐标为最小，
此时抛物线的表达式为：y＝（x＋2）2-3，
令y＝0，则x＝ 5或1，
即点M的横坐标的最小值为 5，
故答案为：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，用待定系数法求二次函数的解析式，用直接开平方法解一元二次方程等知识点，理解题意并根据已知求出二次函数的解析式是解此题的关键.
【例2-2】画出二次函数y＝（x﹣2）2的图象，结合图象直接写出y＞0时，
自变量x的取值范围是　 　；
x … …
y＝（x﹣2）2 … …
【答案】，作图见解析
【解答】列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y＝（x﹣2）2 … 4 1 0 1 4 …
描点、连线，如图，
根据函数图象可知，当时，的取值范围为：故答案为：
【点评】熟练掌握二次函数的性质是解题的关键。
【例2-3】同一坐标系中，二次函数y＝（x﹣a）2与一次函数y＝a+ax的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、由一次函数y＝a+ax的图象可得：a＜0或a＞0，此时二次函数y＝（x﹣a）2的顶点（a，0），a＜0，矛盾，故错误；
B、由一次函数y＝a+ax的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝（x﹣a）2的顶点（a，0），a＞0，矛盾，故错误；
C、由一次函数y＝a+ax的图象可得：a＜0或a＞0，此时二次函数y＝（x﹣a）2的顶点（a，0），a＜0，矛盾，故错误；
D、由一次函数y＝a+ax的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝（x﹣a）2的顶点（a，0），a＞0，故正确；
故选：D．
【点评】熟练掌握一次函数、二次函数的性质是解题的关键。
【例2-4】点A（2，y1）、B（3，y2）在二次函数y＝2（x﹣1）2的图象上，则（　　）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．0＜y1＜y2 D．0＜y2＜y1
【答案】C
【解答】解：∵点A（2，y1）是二次函数y＝2（x﹣1）2图象上的点，
∴y1＝2（2﹣1）2＝2×1＝2；
∵点B（3，y2）是二次函数y＝2（x﹣1）2﹣1图象上的点，
∴y2＝2（3﹣1）2＝2×4＝8．
∴0＜y1＜y2．
故选：C．
【点评】熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键。
能力强化 能力强化训练
1.如图是二次函数y＝a(x＋1)2＋2的图象的一部分，根据图象回答下列问题：
(1)抛物线与x轴的一个交点A的坐标是 ，则抛物线与x轴的另一个交点B的坐标是 ；
(2)确定a的值；
(3)设抛物线的顶点是P，试求△PAB的面积．
【答案】（1）(－3，0)，(1，0) ；(2) a＝－ ；（3）4．
【解析】
【分析】（1）由图象可求得A点的坐标，由解析式可求得抛物线的对称轴方程，利用图象的对称性可求得B点坐标；
（2）把B点坐标代入抛物线解析式可求得a的值；
（3）由抛物线解析式可求得P点坐标，再结合A、B坐标可求得AB的值，则可求得△PAB的面积．
【详解】解：(1)由图象可知A点坐标为( 3，0)，
∵y=a(x+1)2+2，
∴抛物线对称轴方程为直线x= 1，
∵A、B两点关于对称轴对称，
∴B的坐标为(1，0)，
故答案( 3，0)；(1，0)；
(2)将(1，0)代入y＝a(x＋1)2＋2，
可得0＝4a＋2，解得a＝－ ；
(3)∵y＝a(x＋1)2＋2，
∴抛物线的顶点坐标是(－1，2)，
∵A(－3，0)，B(1，0)，
∴AB＝1－(－3)＝4，
∴S△PAB＝×4×2＝4．
【点评】根据二次函数的对称性求出B点坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式 ，由解析式求出p点坐标。结合图形求出三角形面积。
2.已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为_______________（用“＜”号连接）
【答案】y3＜y1＜y2
【分析】将三个点的坐标代入解析式进行计算后比较即可．
【详解】将三个点的坐标代入解析式：
y1＝3（1＋2）2＝27；
y2＝3（2＋2）2＝48；
y3＝3（ 3＋2）2＝3；
所以，y3＜y1＜y2．
故填：y3＜y1＜y2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入解析式即可进行计算．
3.老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．
甲：函数图象的顶点在x轴上；
乙：当x 1时，y随x的增大而减小；
丙：该函数的开口大小、形状均与函数y=x2的图像相同
已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式_________．
【答案】．
【分析】根据已知条件知，此二次函数解析式形为，且a=1，h≥1，据此可得．
【详解】解：根据题意知，函数图象的顶点在x轴上，
设函数的解析式为；
该函数的开口大小、形状均与函数y=x2的图像相同
当x1时，y随x的增大而减小；
所以取
满足上述所有性质的二次函数可以是：，
故答案为：，（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质及及其解析式．
4.在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为_____．
【答案】24
【分析】根据抛物线的解析式即可确定对称轴，则可以确定AB的长度，然后根据等边三角形的周长公式即可求解．
【详解】抛物线的对称轴是
过点作于点，如下图所示
则，则
则以为边的等边的周长为．
故答案为24．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，根据抛物线的解析式确定对称轴，从而求得AB的长是关键．
堂堂清
一、选择题（每小题4分，共32分）
1.关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．最低点是
C．可以由向左平移2个单位得到 D．当时，随的增大而增大
【答案】D
【分析】已知抛物线的顶点式，根据顶点式反映出的性质，逐一判断．
【详解】解：中，-1＜0，
∴开口向下，顶点坐标为（2，0），是最高点，
可以由向右平移2个单位得到，
当时，y随x的增大而增大，
∴说法正确的是D，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，从抛物线的表达式可知抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最高（最低）点坐标，增减性等．
2.抛物线的顶点是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的顶点坐标是（h，k）即可解答．
【详解】解：抛物线的顶点是（﹣3，0），
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标是（h，k）解答的关键．
已知抛物线的开口向下，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数m-1＜0．
【详解】因为抛物线y=（m-1）x2的图象开口向下，
所以m-1＜0，即m＜1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质．用到的知识点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）来说，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）开口向上；当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）开口向下．
4 .抛物线y＝2（x+1）2不经过的象限是（　　）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
【详解】解： y＝2（x+1）2，开口向上，顶点坐标为
该函数不经过第三、四象限
如图，
故选C
5 .下列二次函数中，对称轴是直线的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】A.y=x2+1的对称轴为直线x=0，所以选项A错误；
B.y=2(x+1) 2的对称轴为直线x=-1，所以选项B错误；
C.y=-(x+1) 2的对称轴为直线x=-1，所以选项C错误；
D.的对称轴为直线x=1，所以选项D正确．
故选：D．
6.已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是
A． B．
C． D．
【详解】解：∵当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∴抛物线y=2（x-1）2满足条件．
故选：B．
7 .已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【详解】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，
．
故选：C．
8 .如图，抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，且与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB＝3，则点M到直线l的距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数顶点坐标M为（h，0），设点M到直线l的距离为a，则有y＝（x﹣h）2＝a，求出A、B坐标即可求解．
【详解】解：∵抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，
∴函数顶点坐标M为（h，0），
设点M到直线l的距离为a，
则y＝（x﹣h）2＝a，解得：x＝h，
即A（h﹣，0），B（h+，0），
∵AB＝3，∴h+﹣（h﹣）＝3，
解得：a＝，
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线上点的坐标特征、坐标与图形性质；熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共20分
9. 当_______时，二次函数的最小值是________．
【答案】3 -5
【分析】根据二次函数的顶点式解析式写出即可．
【详解】解：∵a＝2＞0，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（3，－5），
∴x＝3时，二次函数有最小值为 5．
故填：3；－5．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握利用顶点式解析式求最值的方法是解题的关键．
10 .点A（﹣1，﹣2）在抛物线y＝﹣（x﹣1）2上，点A、B关于该抛物线的对称轴对称，则B点坐标为_____．
【答案】（3，﹣2）．
【分析】先确定抛物线的对称轴方程，根据A、B关于抛物线的对称轴对称，即可得到点B的坐标．
【详解】解：抛物线的解析式是y＝﹣（x﹣1）2，
∴对称轴为直线x＝1，
∵点B和点A（﹣1，﹣2）关于直线x＝1对称，
∴B（3，﹣2），
故答案为（3，﹣2）．
【点评】本题考查二次函数的性质，利用纵坐标相等的点关于对称轴对称是解题关键．
11 .已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为______.
【答案】0或7/7或0
【分析】先判断出二次函数的图象开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分h＜2，和h＞5三种情况，分别根据二次函数的最值列式求解．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
∴若h＜2，则当时，函数y取最大值，即，
解得：或（舍去），
若，则当时，函数y取最大值0，不符合题意；
若h＞5，则当时，函数y取最大值，即，
解得：（舍去）或，
综上，h的值为0或7，
故答案为：0或7．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性与二次函数的最值问题．
12 .有一个二次函数的图象，三位同学分别说了它的一些特点：
甲：与x轴只有一个交点；
乙：对称轴是直线x＝4；
丙：与y轴的交点到原点的距离为3．
满足上述全部特点的二次函数的解析式为_____．
【答案】y＝（x﹣4）2或y＝﹣（x﹣4）2．
【分析】根据甲、乙所说的特点可知判断抛物线的顶点坐标为（4，0），再根据丙所说的特点可得到抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）或（0，﹣3），然后利用待定系数法求出抛物线解析式即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴只有一个交点且对称轴是直线x＝4，
∴抛物线的顶点坐标为（4，0），
∵抛物线与y轴的交点到原点的距离为3．
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）或（0，﹣3），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2，
把（0，3）代入得3＝a（0﹣4）2，解得a＝，此时抛物线的解析式为y＝（x﹣4）2；
把（0，﹣3）代入得﹣3＝a（0﹣4）2，解得a＝﹣，此时抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2；
综上，满足上述全部特点的二次函数的解析式为y＝（x﹣4）2或y＝﹣（x﹣4）2．
故答案为y＝（x﹣4）2或y＝﹣（x﹣4）2．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质以及运用待定系数法确定函数解析式，灵活运用二次函数的性质成为解答本题的关键．
13 .在平面直角坐标系内有线段PQ，已知P（3，1）、Q（9，1），若抛物线与线段PQ有交点，则a 的取值范围是______．
【详解】解：由可得抛物线的对称轴直线为，顶点坐标为(，0)，
当对称轴在点P左侧时，，
把P（3，1）代入得，
解得或(舍去)，
当对称轴在点P右侧时，，
把Q（9，1），代入得，
解得或(舍去)，
∴当时，抛物线与线段PQ有交点，
故答案为：
解答题（共48分）
14 （8分）请在同一坐标系中画出二次函数①；②的图象．说出两条抛物线的位置关系，指出②的开口方向、对称轴和顶点．
【答案】画图见解析；①向左平移两个单位得到②；②的开口方向向上，对称轴是x=2，顶点坐标为（2，0）．
【分析】根据描点法，可得函数图象，根据，图象开口向上，对称轴是，顶点坐标是（，），可得答案．
【详解】解：列表：
-2 -1 0 1 2 3 4
2 0.5 0 0.5 2
2 0.5 0 0.5 2
描点：
连线，如图．
由图像可知，①向左平移两个单位得到②，
∴②的开口方向向上，对称轴是，顶点坐标为（2，0）．
【点评】本题考察了二次函数图象，利用描点法画函数图象，根据，图象开口向上，对称轴是，顶点坐标是（，）是解题关键
15 .（8分）抛物线的顶点为，它的形状与相同，但开口方向与之相反．
（1）直接写出抛物线的解析式 ；
（2）求抛物线与轴的交点坐标．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由抛物线y=a（x+h）2的顶点为（-2，0），得出h=2，抛物线y=a（x+h）2的形状与y=3x2的相同，开口方向相反，得出a=-3，从而确定该抛物线的函数表达式；
（2）根据图象上点的坐标特征求得即可．
【详解】解：（1）∵抛物线y=a（x+h）2的顶点为（-2，0），
∴-h=-2，
∴h=2，
抛物线y=a（x+h）2的形状与y=3x2的相同，开口方向相反，
∴a=-3，
则该抛物线的函数表达式是y=-3（x+2）2；
（2）当时，，
抛物线与轴的交点坐标为．
【点评】主要考查了待定系数法求二次函数的解析式．要求掌握二次函数图象的性质，并会利用性质得出系数之间的数量关系进行解题．
16.（8分）已知抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点．
(1)求a和h的值；
(2)求该抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（1）利用对称轴为直线，可得，
（2）根据原抛物线为，顶点坐标为：，求出关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为，即可求出关于y轴对称的抛物线的解析式为．
【详解】（1）解：∵对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与y轴交于点，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可知：该抛物线为：，顶点坐标为：
∴抛物线关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为，
∴该抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式为．
【点评】本题考查二次函数的顶点式的图形及性质，点关于y轴对称的性质。
17 .（8分）对于二次函数．
它的图象与二次函数的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向，对称轴和顶点坐标分别是什么？
当取哪些值时，的值随的增大而增大？当取哪些值时，的值随的增大而减小？
【详解】将的图象向左平移个单位可以得到的图象，
∵，
∴抛物线开口向下，
它是轴对称图形，对称轴为，顶点坐标是；
∵，抛物线开口向下，
∴当时，的值随的增大而增大；当时，的值随的增大而减小．
18.（8分）二次函数y1=a（x﹣2）2的图象与直线y2交于A（0，﹣1），B（2，0）两点．
（1）确定二次函数与直线AB的解析式．
（2）如图，分别确定当y1＜y2，y1=y2，y1＞y2时，自变量x的取值范围．
【答案与解析】
解：（1）把A（0，﹣1）代入y1=a（x﹣2）2，得：﹣1=4a，即a=﹣，
∴二次函数解析式为y1=﹣（x﹣2）2=﹣a2+a﹣1；
设直线AB解析式为y=kx+b，
把A（0，﹣1），B（2，0）代入得：，
解得：k=，b=﹣1，
则直线AB解析式为y=x﹣1；
（2）根据图象得：当y1＜y2时，x的范围为x＜0或x＞2；y1=y2时，x=0或x=2，y1＞y2时，0＜x＜2．
【总结升华】可先由待定系数法建立方程组求出两个函数的解析式，然后利用函数图象写出自变量的取值
范围．
19.（8分）如图，抛物线y=2（x-2）2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，求S△ABC;
【详解】解：过B作BP⊥x轴交于点P，连接AC，BC，
由抛物线y=得C（2，0），
∴对称轴为直线x=2，
设B（m，n），
∴CP=m-2，
∵AB∥x轴，
∴AB=2m-4，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°，
∴PB=PC=（m-2），
∵PB=n=，
∴（m-2）=，
解得m=，m=2（不合题意，舍去），
∴AB=，BP=，
∴S△ABC=．
拓展培优*冲刺满分
1.如图所示，抛物线的顶点为C，与y轴交点为A，过点A作y轴的垂线，交抛物线于
另一点B．
(1)求直线AC的解析式；
(2)求△ABC的面积；
(3)当自变量x满足什么条件时，有
【答案与解析】
(1)由知抛物线顶点C(-1，0)，令x＝0，得，
∴ ．由待定系数法可求出，，
∴ ．
(2)∵ 抛物线的对称轴为x＝-1，根据抛物线对称性知．
∴ ．
(3)根据图象知或时，有．
【点评】 图象都经过A点和C点，说明A点、C点同时出现在两个图象上，A、C两点的坐标均满足两个函数的解析式，解答这类题时，要画出函数图象，结合几何图形的性质，运用数形结合的思想和抛物线的对称性，特别要慎重处理平面直角坐标系中的坐标(数)与线段长度(形)之间的关系，不要出现符号上的错误，充分利用函数图象弄清函数值与自变量的关系，利用图象比较函数值的大小，或根据函数值的大小，确定自变量的变化范围．
对于实数c、d，我们可用min{c，d}表示c、d两数中较小的数，如min{3，﹣1}＝﹣1．若关于x的函数y＝min{2x2，a（x﹣t）2}的图象关于直线x＝3对称，则a、t的值可能是（　　）
A．3，6 B．2，﹣6 C．2，6 D．﹣2，6
【答案】．C
【分析】先根据函数y=2x2可知此函数的对称轴为y轴，由于函数关于直线x=3对称，所以函数y＝min{2x2，a（x﹣t）2}的图像即为y=a（x-t）2的图像，据此解答即可.
【详解】解：∵y＝2x2中a＝2，
∴y＝a（x﹣t）2，中，a＝2，
∵二次函数y＝ax2+bx+c都可以化成y＝a（x﹣m）2+n形式，其中m＝﹣，n＝，
∵图象开口向上，即a＞0，那么a＝2，点（3，y）为这两个函数的交点，
∴2×32＝a（3﹣t）2，解得t＝6．
故选C．
【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，难度大，学生们需要认真分析.
老师对你说：
老师对你说：
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