九年级数学上分层优化堂堂清（5）22.1.3 二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质（含解析）

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九年级数学上分层优化堂堂清
二十二章 二次函数
22.1.3二次函数y=a(x-h) +k的图象与性质
学习目标：
1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2的图象．
2．能正确说出y＝a(x－h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
3．掌握抛物线y＝a(x－h)2的平移规律．
一、二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象和性质
y＝a(x﹣h)2+k a > 0 a < 0
图象 h＞0，k＜0 h＜0，k＞0
开口方向 开口向上 开口向下
对称轴 直线x=h 直线x=h
顶点坐标 (h，k)，抛物线最低点 (h，k)，抛物线最高点
最值 当x=h 时，y最小值=k 当x=h时，y最大值=k
增减性 当x＜h时，y随x增大而减小；当x＞h 时，y随x增大而增大. 当x＞h时，y随x增大而增大；当x＜h 时，y随x增大而减小.
二、抛物线y＝a（x﹣h）2+k与y＝ax2的关系：
二次函数y＝a(x﹣h)2+k的图象可以由y＝ax2的图象平移得到：
平移规律(设 h＞0，k＞0)：
★简记为：上下平移，常数项上加下减；左右平移，自变量左加右减.二次项系数 a 不变.
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：二次函数y=a(x-h) +k的图像开口方向，对称轴，顶点坐标
【例1-1】对于抛物线，下列判断正确的是（ ）
A．顶点
B．抛物线向左平移个单位长度后得到
C．抛物线与轴的交点是
D．当时，随的增大而增大
【例1-2】抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2
【例1-3】在直角坐标系中画出函数y2的图象（不用列表，直接画图），并指出它的开口方向，对称轴和顶点，怎样移动抛物线y就可以得到抛物线y2？
【例1-4】已知一抛物线与二次函数图象的开口大小相同，开口方向相同且顶点坐标为（-1，2021），则该抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
知识点2：二次函数 y=a(x-h)2+k(a ≠ 0)图像性质
【例2-1】已知函数．
（1）指出函数图象的开口方向是 　 　，顶点是 　 　；
（2）当x　 　时，y随x的增大而减小；
（3）怎样移动抛物线就可以得到抛物线．
【例2-2】将抛物线y＝2（x+3）2+4先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为　 　．
【例2-3】将抛物线y＝a（x﹣h）2+k的图象先向左移动2个单位，再向上平移3个单位得到二次函数 y＝﹣2（x+3）2+1的图象．
（1）确定a、h、k的值；
（2）指出二次函数y＝a（x﹣h）2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）说明此二次函数的增减性和最大（小）值．
【例2-4】二次函数y＝（x+m）2+n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
能力强化 能力强化训练
1.同一坐标系中，抛物线y＝（x﹣a）2与直线y＝a+ax的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
2.设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
3.设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝2；当x＝5时，y＝6，以下判断正确的是（　　）
A．若h＝2，则a＜0 B．若h＝4，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝8，则a＞0
4.已知点A（a，b）在二次函数y＝﹣x2+8的图象上，则2a﹣b的最小值为（　　）
A．﹣8 B．8 C．﹣9 D．9
堂堂清
一、选择题（每小题4分，共32分）
1.抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2.抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
3.已知抛物线．其对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
4.若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5.已知二次函数，当时，随的增大而减小，则函数中的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6.若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7.已知抛物线y＝－3（x－2）2＋5，若－1≤x≤1，则下列说法正确的是（ ）
A．当x＝2时，y有最大值5 B．当x＝－1时，y有最小值－22
C．当x＝－1时，y有最大值32 D．当x＝1时，y有最小值2
8.一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题4分，共20分
9.顶点为，开口向下，形状与函数的图象相同的抛物线的表达式是______．
10.已知抛物线y=a(x+1)2经过点，，则______填“”，“”，或“”．
11 .已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是 _____．（任意写出一个解析式）
12 .已知二次函数 ，当－1≤x≤6时，函数的最小值为______．
13.已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣1（m为常数），如果当自变量x分别取﹣1，2时，所对应的y值相等，那么m的值为 　 　．
．
解答题（共48分）
14 （8分）.写出下列抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．
(1)；
(2)．
15.（9分）已知二次函数．
(1)用配方法把这个二次函数化成的形式；
(2)在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
(3)当时，结合图象直接写出y的取值范围．
16 .（7分）已知二次函数，当x＝－1时，函数的最小值为－3，它的图象经过点（1，5），求这个二次函数的表达式．
17 .（8分）已知抛物线， 请回答下列问题：
(1)用配方法写出该抛物线的顶点坐标，对称轴和开口方向；
(2)当时， 求出的最大值和最小值．
18 .（8分）已知抛物线的顶点A到轴的距离为，与轴交于B、C两点．求的面积．
19 .（8分）已知抛物线C：y＝（x﹣m）2+m+1．
（1）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围；
（2）若m＝﹣2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积．
拓展培优*冲刺满分
1.小明在研究抛物线（h为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（ ）
A．无论x取何实数，y的值都小于0
B．该抛物线的顶点始终在直线上
C．当时，y随x的增大而增大，则
D．该抛物线上有两点，，若，，则
2.如图，在同一坐标系内的两条抛物线有相同对称轴，则下列关系中，不正确的是（ ）
A．h = m B．k＞n
C．m＞0，n＜0 D．a2＞－a1
3.如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以为对角线的正方形的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形．
(1)当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ；
(2)当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ；
(3)若抛物线是“美丽抛物线”，求a，k之间的数量关系．
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二十二章 二次函数
22.1.3二次函数y=a(x-h) +k的图象与性质（解析版）
学习目标：
1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2的图象．
2．能正确说出y＝a(x－h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
3．掌握抛物线y＝a(x－h)2的平移规律．
一、二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象和性质
y＝a(x﹣h)2+k a > 0 a < 0
图象 h＞0，k＜0 h＜0，k＞0
开口方向 开口向上 开口向下
对称轴 直线x=h 直线x=h
顶点坐标 (h，k)，抛物线最低点 (h，k)，抛物线最高点
最值 当x=h 时，y最小值=k 当x=h时，y最大值=k
增减性 当x＜h时，y随x增大而减小；当x＞h 时，y随x增大而增大. 当x＞h时，y随x增大而增大；当x＜h 时，y随x增大而减小.
二、抛物线y＝a（x﹣h）2+k与y＝ax2的关系：
二次函数y＝a(x﹣h)2+k的图象可以由y＝ax2的图象平移得到：
平移规律(设 h＞0，k＞0)：
★简记为：上下平移，常数项上加下减；左右平移，自变量左加右减.二次项系数 a 不变.
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：二次函数y=a(x-h) +k的图像开口方向，对称轴，顶点坐标
【例1-1】对于抛物线，下列判断正确的是（ ）
A．顶点
B．抛物线向左平移个单位长度后得到
C．抛物线与轴的交点是
D．当时，随的增大而增大
【详解】A、，
抛物线的顶点，故错误，不符合题意，
B、抛物线向左平移个单位长度后得到，，故错误，不符合题意，
C、当时，，抛物线与轴的交点是，故正确，符合题意，
D、，
开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，故错误，不符合题意，
故选：C．
【例1-2】抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2
【分析】根据二次函数的性质进行解答．
【解答】解：抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是直线x＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h，此题考查了学生的应用能力．
【例1-3】在直角坐标系中画出函数y2的图象（不用列表，直接画图），并指出它的开口方向，对称轴和顶点，怎样移动抛物线y就可以得到抛物线y2？
【分析】根据抛物线解析式y（x﹣1）2+2可以直接得到图象的开口方向、对称轴和顶点；由抛物线移动前后的顶点坐标的变化规律进行解答．
【解答】解：如图：
由y（x﹣1）2+2得到该函数的图象的开口方向向下，对称轴是：x＝1，顶点坐标是（1，2）；
抛物线yx2的顶点坐标是（0，0），抛物线y（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2），
∵由顶点（0，0）向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到顶点（1，2），
∴由抛物线yx2向右平移1个单位，再向上平移2个单位就可以得到抛物线y（x﹣1）2+2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，抛物线平移问题，实际上就是两条抛物线顶点之间的问题，找到了顶点的变化就知道了抛物线的变化．
【例1-4】已知一抛物线与二次函数图象的开口大小相同，开口方向相同且顶点坐标为（-1，2021），则该抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】解：∵抛物线与二次函数图象的开口大小相同，开口方向相同且顶点坐标为（-1，2021），
∴该抛物线对应的函数表达式为．
故选：D
知识点2：二次函数 y=a(x-h)2+k(a ≠ 0)图像性质
【例2-1】已知函数．
（1）指出函数图象的开口方向是 　 　，顶点是 　 　；
（2）当x　 　时，y随x的增大而减小；
（3）怎样移动抛物线就可以得到抛物线．
【分析】（1）、（2）根据二次函数的性质求解；
（3）根据平移的平移规律求解．
【解答】解：（1）函数图象的开口方向向下，对称轴是直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣2）；
故答案为：向下，（﹣2，﹣2）；
（2）当x＞﹣2时，y随x的增大而小；
故答案为：＞﹣2；
（3）把抛物线yx2就先向左平移2个单位，再向下平移2个单位可以得到抛物线y（x+2）2﹣2．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质．
【例2-2】将抛物线y＝2（x+3）2+4先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为　 　．
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【解答】解：将抛物线y＝2（x+3）2+4先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度可得：y＝2（x+3﹣1）2+4﹣5，即y＝2（x+2）2﹣1，
故答案为y＝2（x+2）2﹣1．
【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
【例2-3】将抛物线y＝a（x﹣h）2+k的图象先向左移动2个单位，再向上平移3个单位得到二次函数 y＝﹣2（x+3）2+1的图象．
（1）确定a、h、k的值；
（2）指出二次函数y＝a（x﹣h）2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）说明此二次函数的增减性和最大（小）值．
【分析】（1）根据已知和平移的特点得出a＝﹣2，﹣h+2＝3，k+3＝1，求出即可；
（2）根据求出的函数解析式和二次函数的性质得出即可；
（3）根据二次函数的性质得出即可．
【解答】解：（1）∵将抛物线y＝a（x﹣h）2+k的图象先向左移动2个单位，再向上平移3个单位得到二次函数y＝﹣2（x+3）2+1的图象，
∴a（x﹣h+2）2+k+3＝﹣2（x+3）2+1，
a＝﹣2，﹣h+2＝3，k+3＝1，
解得：a＝﹣2，h＝﹣1，k＝﹣2；
（2）∵二次函数y＝a（x﹣h）2+k＝﹣2（x+1）2﹣2，
∴图象的开口方向向下，对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标 （﹣1，﹣2）；
（3）∵图象的开口方向向下，对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标 （﹣1，﹣2），
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，当x≥﹣1时，y随x的增大而减小，当x＝﹣1时，y有最大值，y的最大值是﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象与几何变换等知识点，能求出函数的解析式和理解二次函数的性质是解此题的关键．
【例2-4】二次函数y＝（x+m）2+n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出n＜0，m＜0，即可得出一次函数y＝mx+n的图象经过二、三、四象限，即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线的顶点在第四象限，
∴﹣m＞0，n＜0，
∴m＜0，
∴一次函数y＝mx+n的图象经过二、三、四象限，
∴不经过第一象限．
故选：A．
【点评】此题考查了二次函数的图象，用到的知识点是二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点在第四象限，得出n、m的符号．
能力强化 能力强化训练
1.同一坐标系中，抛物线y＝（x﹣a）2与直线y＝a+ax的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】可先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【解答】解：A、由一次函数y＝a+ax的图象可得：a＜0或a＞0，此时二次函数y＝（x﹣a）2的顶点（a，0），a＜0，矛盾，故错误；
B、由一次函数y＝a+ax的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝（x﹣a）2的顶点（a，0），a＞0，矛盾，故错误；
C、由一次函数y＝a+ax的图象可得：a＜0或a＞0，此时二次函数y＝（x﹣a）2的顶点（a，0），a＜0，矛盾，故错误；
D、由一次函数y＝a+ax的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝（x﹣a）2的顶点（a，0），a＞0，故正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象和一次函数的图象，应该熟记一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
2.设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
【分析】把点的坐标分别代入可求得y1，y2，y3的值，比较大小可求得答案．
【解答】解：
∵A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+3上的三点，
∴y1＝﹣（﹣2+1）2+3＝2，y2＝﹣（1+1）2+3＝﹣1，y3＝﹣（2+1）2+3＝﹣6，
∴y1＞y2＞y3，
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
3.设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝2；当x＝5时，y＝6，以下判断正确的是（　　）
A．若h＝2，则a＜0 B．若h＝4，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝8，则a＞0
【分析】当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式整理得a（9﹣2h）＝1，将h的值分别代入即可得出结果．
【解答】解：当x＝1时，y＝2；当x＝5时，y＝6；代入函数式得：，
∴a（5﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝4，
整理得：a（6﹣2h）＝1，
若h＝2，则a，故A错误；
若h＝4，则a，故B错误；
若h＝6，则a，故C正确；
若h＝8，则a，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了待定系数法、二次函数的性质等知识；熟练掌握待定系数法是解题的关键．
4.已知点A（a，b）在二次函数y＝﹣x2+8的图象上，则2a﹣b的最小值为（　　）
A．﹣8 B．8 C．﹣9 D．9
【分析】代入点A，化简2a﹣b并配方，根据二次函数性质解答即可．
【解答】解：把A（a，b）代入二次函数y＝﹣x2+8中得，
b＝﹣a2+8，
∴2a﹣b
＝2a﹣（﹣a2+8）
＝2a+a2﹣8
＝（a+1）2﹣9，
∴当a＝﹣1时，最小值为﹣9．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的最值的计算，配方的应用是解题关键．
堂堂清
一、选择题（每小题4分，共32分）
1.抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的顶点坐标公式解答即可.
【详解】解：抛物线的顶点坐标为；
故选：D.
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟知抛物线的顶点坐标是是解题的关键.
2.抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用顶点式直接求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是．
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，对称轴为，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
3.已知抛物线．其对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】B
【分析】直接根据抛物线的顶点式进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线对称轴为直线．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系．
4.若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的表达式可知对称轴为，根据二次函数图像的性质即可求出结论.
【详解】由得
二次函数的对称轴为，
∵该函数图像的开口向上，
∴在对称轴左侧y随x的增大而减小,
∴
解得
故选：D
【点评】本题主要考查了二次函数图像的性质，根据开口方向和对称轴确定图像的增减性是解题的关键.
5.已知二次函数，当时，随的增大而减小，则函数中的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线，则当时，y的值随x值的增大而减小，由于时，y的值随x值的增大而减小，于是得到．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
因为，
所以抛物线开口向下，
所以当时，y的值随x值的增大而减小，
而时，y的值随x值的增大而减小，
所以．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．
6.若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的表达式可知对称轴为，根据二次函数图像的性质即可求出结论.
【详解】由得
二次函数的对称轴为，
∵该函数图像的开口向上，
∴在对称轴左侧y随x的增大而减小,
∴
解得
故选：D
【点评】本题主要考查了二次函数图像的性质，根据开口方向和对称轴确定图像的增减性是解题的关键.
7.已知抛物线y＝－3（x－2）2＋5，若－1≤x≤1，则下列说法正确的是（ ）
A．当x＝2时，y有最大值5 B．当x＝－1时，y有最小值－22
C．当x＝－1时，y有最大值32 D．当x＝1时，y有最小值2
【详解】解：∵抛物线解析式为y＝－3（x－2）2＋5，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，a=-3＜0 ，即抛物线开口向下
∴当-1≤x≤1，y随着x的增大而增大
∵-1＜1，
∴当x=1时，y有最大值2，当x=-1时，y有最小值-22．
故选B．
8.一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】可先由一次函数y＝ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相比较看是否一致．
【解答】解：由，解得或，
∴一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）的交点为（1，a﹣1），（，0），
A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误，不符合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＞0，由一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）可知，两图象交于点（1，a﹣1），则交点在y轴的右侧，故本选项错误，不符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，两图象的一个交点在x轴上，另一个交点在第四选项，故本选项正确，符合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，a的取值矛盾，故本选项错误，不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
二、填空题（每小题4分，共20分
9.顶点为，开口向下，形状与函数的图象相同的抛物线的表达式是______．
【答案】
【分析】根据二次函数的性质求解即可．
【详解】设所求的抛物线的解析式为．
∵顶点为，∴．
又∵开口向下，形状与函数的图象相同，∴．
∴抛物线的解析式为．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，利用二次函数的知识解答．
10.已知抛物线y=a(x+1)2经过点，，则______填“”，“”，或“”．
【答案】>
【分析】先根据顶点式得到抛物线y=a(x+1)2+k(a>0，a，k为常数)的对称轴为直线，然后二次函数的性质和点离对称轴的远近进行判断．
【详解】抛物线y=a(x+1)2+k(a>0，a，k为常数)的对称轴为直线，
所以点，，到直线的距离分别为5和2，
所以．
故答案为．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式，也考查了二次函数的性质．当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小.
11 .已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是 _____．（任意写出一个解析式）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据“当x＜1时y随x增大而减小；当x＞1时y随x增大而增大”确定对称轴和开口方向，然后写出满足条件的一个二次函数的解析式即可．
【详解】∵当x＜1时y随x增大而减小；当x＞1时y随x增大而增大，
∴对称轴为x＝1，开口向上，
∴符合条件的二次函数可以为：，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解二次函数的增减性是以二次函数的对称轴为界的，难度不大．
12 .已知二次函数 ，当－1≤x≤6时，函数的最小值为______．
【答案】
【分析】根据对称轴和x的取值范围，判断出离对称轴最远的点为最小值，代入求值即可；
【详解】解：
对称轴为：，
∵，
∴抛物线开口朝下，离对称轴越远，函数值越小，
∵－1≤x≤6，－1离对称轴最远，
∴当时，函数取得最小值：，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的最值问题．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣1（m为常数），如果当自变量x分别取﹣1，2时，所对应的y值相等，那么m的值为 　 　．
【分析】由自变量x分别取﹣1，2时，所对应的y值相等可得抛物线对称轴为直线x，再结合抛物线解析式即可求得m的值．
【解答】解：∵自变量x分别取﹣1，2时，所对应的y值相等，
∴抛物线对称轴为直线x，
∵抛物线解析式为y＝（x﹣m）2﹣1（m为常数），
∴m，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，根据题意求出抛物线的对称轴是解决本题的关键．
解答题（共48分）
14 （8分）.写出下列抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．
(1)；
(2)．
【答案】(1)抛物线开口向上，对称轴为x=5，顶点坐标为（5，-1）；
(2)抛物线开口向下，对称轴为x=-2，顶点坐标为（-2，1）．
【分析】由a的符号可确定其开口方向，利用顶点式可求得其对称轴和顶点坐标．
（1）
解：∵在中，a=＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=5，顶点坐标为（5，-1）；
（2）
解：∵在y=-4（x+2）2+1中，a=-4＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为x=-2，顶点坐标为（-2，1）．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
15.（9分）已知二次函数．
(1)用配方法把这个二次函数化成的形式；
(2)在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
(3)当时，结合图象直接写出y的取值范围．
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3)-4≤y≤5
【分析】（1）逆用完全平方公式可以得到解答；
（2）根据（1）中所求的二次函数的顶点式解析式作图；
（3）根据（2）中的函数图象很直观的得出答案．
【详解】（1）解：由题意可得：
；
（2）根据（1）中的二次函数的顶点式关系式可知，该函数的顶点是（-1，-4）；
当x=0时，y=-3，当x=-4时，y=5；
当y=0时，即x2+2x-3=0，解得x=1或x=-3，
∴该函数图象经过点（-1，-4）、（0，-3）、（-4，5）、（1，0）、（-3，0）；
所以二次函数y=x2+2x-3的图象如图所示：
（3）由（2）图象可得：当 4≤x≤0 时，-4≤y≤5
【点评】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的顶点式及其图象与性质、配方法等是解题关键．
16 .（7分）已知二次函数，当x＝－1时，函数的最小值为－3，它的图象经过点（1，5），求这个二次函数的表达式．
【答案】
【分析】根据题意，先得出二次函数的顶点坐标为，然后设该二次函数的解析式为，将点代入求解即可得．
【详解】解：依题意，可得二次函数的顶点坐标为，
设该二次函数的解析式为，
∵它的图象经过点，
∴代入函数解析式可得：，
解得：．
故该二次函数的解析式为：．
【点评】题目主要考查根据待定系数法确定二次函数的解析式，熟练掌握顶点式的特点性质是解题关键．
17 .（8分）已知抛物线， 请回答下列问题：
(1)用配方法写出该抛物线的顶点坐标，对称轴和开口方向；
(2)当时， 求出的最大值和最小值．
【答案】(1)顶点坐标与，对称轴为，抛物线开口向上
(2)的最大值为，最小值为
【分析】（1）将解析式化为顶点式，继而即可求解；
（2）根据二次函数的性质求得当时取得最大值，当时取得最小值，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
二次项系数为 ，则抛物线开口向上，顶点坐标与，对称轴为，
（2）解：∵抛物线开口向上，顶点坐标与，
∴最小值为，
∵对称轴为，，
∴当时，取得最大值，最大值为，
∴的最大值为，最小值为．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
18 .（8分）已知抛物线的顶点A到轴的距离为，与轴交于B、C两点．求的面积．
【答案】
【分析】根据抛物线的顶点A到x轴的距离为3，与x轴交于B、C两点，可知该抛物线开口向上，顶点坐标在x轴下方，顶点的纵坐标，然后求出m，二次函数解析式，最后令y=0求出BC，运用面积公式求的面积即可．
【详解】解：抛物线的顶点到轴的距离为3，与轴交于、两点，
该函数图象开口向上，，
解得，
抛物线的解析式为：．
令，解得：，
∴BC=，
．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是数形结合得出．
19 .（8分）已知抛物线C：y＝（x﹣m）2+m+1．
（1）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围；
（2）若m＝﹣2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积．
【答案】（1）m的取值范围是；（2）抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是3．
【分析】（1）先根据抛物线解析式得到抛物线的顶点坐标为（，），再根据第二象限点的坐标特征进行求解即可；
（2）先求出抛物线的解析式，然后求出抛物线与坐标轴的交点，由此求解面积即可．
【详解】解：（1）∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为（，），
∵抛物线的顶点坐标在第二象限，
∴，
∴；
（2）当时，抛物线解析式为，
令，即，
解得或，
令，，
∴如图所示，A（-3，0），B（-1，0），D（0，3），
∴OD=3，AB=2，
∴，
∴抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是3．
【点评】本题主要考查了抛物线的顶点坐标，第二象限点的坐标特征，抛物线与坐标轴的交点坐标，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识．
拓展培优*冲刺满分
1.小明在研究抛物线（h为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（ ）
A．无论x取何实数，y的值都小于0
B．该抛物线的顶点始终在直线上
C．当时，y随x的增大而增大，则
D．该抛物线上有两点，，若，，则
【详解】解：A．，当时，，当时， ，故错误；
B．抛物线的顶点坐标为，当时，，故错误；
C．抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，，故正确；
D．抛物线上有两点，，若，，，点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，，故错误．
故选C．
2.如图，在同一坐标系内的两条抛物线有相同对称轴，则下列关系中，不正确的是（ ）
A．h = m B．k＞n
C．m＞0，n＜0 D．a2＞－a1
【详解】解：y＝a1（x﹣h）2+k的顶点是（h，k）；
y＝a2（x﹣m）2+n的顶点是（m，n）．
两个函数的对称轴是同一条直线，故h＝m，k＞n，m＞0，n＜0成立，故A，B，C都是正确的；
y＝a2（x﹣m）2+n的开口向上，则a2＞0，y＝a1（x﹣h）2+k的开口向下，则a1＜0，则a1＜a2，故D不正确．
故选：D．
3.如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以为对角线的正方形的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形．
(1)当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ；
(2)当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ；
(3)若抛物线是“美丽抛物线”，求a，k之间的数量关系．
【详解】（1）解：函数的图像如下：
抛物线是美丽抛物线时，则AC=2，
∵四边形ABCD为正方形，则点D的坐标为（1，1），
将点D的坐标代入得：，
解得；
故答案为：；
（2）解：∵，
∴顶点A的坐标为，
同理，点D的坐标为，
将点D的坐标代入得：
,
解得；
故答案为：4；
（3）解：∵，
∴顶点A的坐标为，
同理，点D的坐标为，
将点D的坐标代入得：
,
解得．
老师对你说：
老师对你说：
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