九年级数学上分层优化堂堂清（7）22.1.4 第二课时 二次函数 y=ax²+bx+c 的图象和性质（含解析）

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九年级数学上分层优化堂堂清
二十二章 二次函数
22.1.4二次函数y=ax +bx+c的图象和性质
第二课时二次函数y=ax +bx+c的图象和性质
学习目标：
1 会用待定系数法确定二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式．
2 通过确定二次函数解析式的过程，体会综合运用函数解析式和过函数图象上的点的数形结合思想．
3 理解并掌握二次函数图象与各项系数之间的关系．
一、二次函数解析式的一般方法：
1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出二次函数的解析式.
2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k，再将另一点的坐标代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
3）交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
二、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象各项系数的关系：
a 决定抛物线的开口方向及开口大小 当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下. 某些特殊形式代数式的符号：a±b+c即为x=±1时，y的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值.2a+b的符号，需判对称轴-与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.
a、b 决定对称轴（x=-）的位置 当a，b同号，-＜0，对称轴在y轴左边；当b＝0时，-=0，对称轴为y轴；当a，b异号，-＞0，对称轴在y轴右边．
c 决定抛物线与y轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c＝0时，抛物线经过原点；当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b2－4ac 决定抛物线与x轴的交点个数 b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：二次函数解析式的一般方法：
【例1-1】已知抛物线经过三点．求这条抛物线的表达式．
【例1-2】如图，抛物线经过点，点，且．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点是抛物线的顶点，求的面积．
【例1-3】已知抛物线与二次函数的的图象形状相同，开口方向相同，且顶点坐标为，它对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
知识点2：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象各项系数的关系
【例2-1】二次函数的图象如图所示，有以下结论:①；②；③；④若点和在该图象上，则，其中正确的结论是___________（填序号）．
【例2-2】已知二次函数的图像如图所示，有5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有是______．
【例2-3】二次函数的部分图象如图所示，与轴交于，对称轴为直线．下列结论：①；②；③对于任意实数，都有成立；④若，，在该函数图象上，，其中正确结论有________．（填序号）
【例2-4】如图，抛物线交x轴于，，交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤当时，是等腰直角三角形；其中正确的是________（填序号）．
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1.如图，平行四边形ABCD中，，点的坐标是，以点为顶点的抛物线经过轴上的点A，B，则此抛物线的解析式为 ．
．
2.如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
3．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值
堂堂清
一、选择题（每小题4分，共32分）
1. 如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是________．
2 .如图，若二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C．与x轴交于点A、点B（﹣1，0）．则：①二次函数的最大值为1；②4a﹣2b＋c＞0；③b2﹣4ac＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．其中错误的个数是（ ）
A. I B. 2 C. 3 D. 4
3.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A. a＜0，b＞0
B. b2﹣4ac＞0
C. 方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝5，x2＝﹣1
D. 不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是0＜x＜5
已知二次函数的图象的顶点是(1，－2)，且经过点(0，－5)，则二次函数的解析式是 ( )
A.y＝－3(x+1)2－2 B.y＝3(x+1)2－2 C.y＝－3(x－1)2－2 D.y＝3(x－1)2－2
5.已知二次函数y＝－x2+bx+c的图象经过(－1,0)，(0,5)两点，则这个二次函数的解析式为（ ）。
A.y=—x2+4x-5 B.y=—x2+4x+5 C.y=x2-4x+5 D.y=x2-4x-5
6 .如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：
①abc＞0．
②2a+b＜0．
③4a+2b+c＜0．
④4ac﹣b2＞8a．
⑤a≤﹣1．
其中，结论正确的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7.一次函数y＝ax+bc与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8.已知二次函数（，，是常数，）的与的部分对应值如表．
当时，函数值为（ ）
2 B. C. -3 D
二、填空题（每小题4分，共20分
9 .请写出一个开口向下，对称轴为直线x＝2,且与y轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的解析式：________________。
10 .已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，则二次函数的解析式为 ；
11 .如果将抛物线平移到抛物线的位置，那么平移的方向和距离分别是________．
12 .如图所示，二次函数的图象开口向上，图象经过点和且与轴交于负半轴．给出四个结论：①，②；③；④；其中正确的结论的序号是 ．
13 .已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的序号为 ．
解答题（共48分）
（8分）已知抛物线经过点(1，0)，(0，3)．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．
（8分）已知把二次函数的图像先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线．
(1)试确定的值；
(2)指出二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标．
16 （8分）二次函数y＝ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
根据上表，回答下列问题：
(1)直接写出c,m的值；
(2)求此二次函数的解析式.
17 .（8分）已知抛物线y＝ax2－2ax－3+2a2(a≠0).
(1)求这条抛物线的对称轴；
(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
(3)设点P(m,y1),Q(3,y2)在抛物线上，若y118 .（8分）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)将该抛物线向下平移n个单位，使得平移后的抛物线经过点，求n的值．
19 .（8分）如图，抛物线的图象与x轴交于点A，，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若当，取得最大值时，求m的值．
拓展培优*冲刺满分
1.在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为A，与y轴相交于点B，异于顶点A的点在该抛物线上．

(1)如图，点B的坐标为
①求点A的坐标和n的值；
②将抛物线向上平移后的新抛物线与x轴的一个交点为D，顶点A移至点，如果四边形为平行四边形，求平移后新抛物线的表达式；
(2)直线与y轴相交于点E，如果且点B在线段上，求m的值．
2.如图，抛物线经过点，与轴交于点过点且平行于轴的直线交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求的面积；
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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二十二章 二次函数
22.1.4二次函数y=ax +bx+c的图象和性质
第二课时二次函数y=ax +bx+c的图象和性质（解析版）
学习目标：
1 会用待定系数法确定二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式．
2 通过确定二次函数解析式的过程，体会综合运用函数解析式和过函数图象上的点的数形结合思想．
3 理解并掌握二次函数图象与各项系数之间的关系．
一、二次函数解析式的一般方法：
1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出二次函数的解析式.
2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k，再将另一点的坐标代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
3）交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
二、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象各项系数的关系：
a 决定抛物线的开口方向及开口大小 当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下. 某些特殊形式代数式的符号：a±b+c即为x=±1时，y的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值.2a+b的符号，需判对称轴-与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.
a、b 决定对称轴（x=-）的位置 当a，b同号，-＜0，对称轴在y轴左边；当b＝0时，-=0，对称轴为y轴；当a，b异号，-＞0，对称轴在y轴右边．
c 决定抛物线与y轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c＝0时，抛物线经过原点；当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b2－4ac 决定抛物线与x轴的交点个数 b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：二次函数解析式的一般方法：
【例1-1】已知抛物线经过三点．求这条抛物线的表达式．
【答案】
【分析】用待定系数法求解即可．
【详解】解：把点，，代入得：
，
解得：，
∴这条抛物线的解析式为：．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
【例1-2】如图，抛物线经过点，点，且．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点是抛物线的顶点，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知得出点，进而待定系数法求解析式即可求解．
（2）根据解析式化为顶点式求得，待定系数法求得直线的解析式，过点作轴于点，交于点，则，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点，且．
∴，
即，
设抛物线解析式为，将代入得，
解得：，
∴抛物线解析式为
（2）解：∵，
∴,
如图所示，过点作轴于点，交于点，

设直线的解析式为，将代入得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【例1-3】已知抛物线与二次函数的的图象形状相同，开口方向相同，且顶点坐标为，它对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设此抛物线的解析式为，根据抛物线与二次函数的的图象形状相同，开口方向相同，可知，再代入顶点坐标即可．
【详解】解：设此抛物线的解析式为，
∵抛物线与二次函数的的图象形状相同，开口方向相同，
∴，
∵顶点坐标为，
∴，，
∴，
故选D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
知识点2：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象各项系数的关系
【例2-1】二次函数的图象如图所示，有以下结论:①；②；③；④若点和在该图象上，则，其中正确的结论是___________（填序号）．
【答案】②③④
【分析】抛物线经过原点推出，可得①错误，根据时，，可以判定②正确，根据对称轴公式，可得③正确，根据对称性，可知点和关于对称轴对称，推出，可得④正确．
【详解】解：观察图象可知，
,故①错误,
时, ,
,故②正确,
对称轴
，故③正确,
点和关于对称轴对称,
,故④正确，
故答案为：②③④
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【例2-2】已知二次函数的图像如图所示，有5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有是______．
【答案】③④⑤
【分析】根据抛物线的开口方向、、时的函数值小于0、对称轴及函数的最大值逐一判断可得．
【详解】∵抛物线的开口向下，
∴，
∵，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴的上方，
∴，
∴，
∴结论①错误；
∵当时，，即，
∴结论②错误；
∵当和时，函数值相等，均小于0，
∴，
∴结论③正确；
∵，
∴，
∵由时，得，即，
∴结论④正确；
∴由图象知当时函数取得最大值，
∴，即，
∴结论⑤正确．
故填：③④⑤．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置；当与同号时(即)，对称轴在轴左侧；当与异号时(即)，对称轴在轴右侧，（简称：左同右异）③常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于．
【例2-3】二次函数的部分图象如图所示，与轴交于，对称轴为直线．下列结论：①；②；③对于任意实数，都有成立；④若，，在该函数图象上，，其中正确结论有________．（填序号）
【答案】①②④
【分析】判断出的正负，可判断①；利用对称轴公式可得，，当时，，解不等式可判断②；由图象可知函数的最小值为，所以对于任意m都有，可判断③；由图象可知 ，可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线与y轴交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确，
∵，
当时，，
∴，
∴，故②正确，
由图象可得，对于任意m都有，
即，
∴，
故③不正确；，
∵点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∴，
∵点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
∴，
∴，故④正确，
故答案为：①②④．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握函数图像上点的特征，属于中考常考题型．
【例2-4】如图，抛物线交x轴于，，交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤当时，是等腰直角三角形；其中正确的是________（填序号）．
【答案】②④
【分析】结合图象，根据二次函数的性质及与坐标轴的交点依次判断即可得出结果．
【详解】解：①抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交点在负半轴，
∴，
∴，故①错误；
②∵二次函数与x轴交于点，．
∴二次函数的对称轴为，即，
∴．
故②正确；
③∵二次函数与x轴交于点，．
∴．
又∵．
∴．
∴，
∴．
故③错误；
④∵抛物线开口向上，对称轴是．
∴时，二次函数有最小值．
∴时，．
即．
故④正确；
⑤当时，，，
∴，
∴点D坐标为．
∴，
连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴不是等腰直角三角形；
故⑤错误；
综上可得正确的有②④
故选答案为：②④．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，关键是找出图象中和题目中的有关信息，来判断问题中结论是否正确．
能力强化 能力强化训练
1.如图，平行四边形ABCD中，，点的坐标是，以点为顶点的抛物线经过轴上的点A，B，则此抛物线的解析式为 ．
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形
∴CD=AB=4
∴C点坐标为
∴A点坐标为，B点坐标为
设函数解析式为，代入C点坐标有
解得
∴函数解析式为，即
故答案为．
2.如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：存在．
∵，
∴，
将代入得，，
∴，
又∵B（2，-3），
∴BC//x轴，
∴到线段的距离为1，，
∴，
∴，
设，由题意可知点P在直线BC上方，
则，
整理得，，
解得，或，
∴，，
∴存在点P，使的面积是面积的4倍，点P的坐标为，．
3．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值
【详解】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得
，解得，
∴这个二次函数的表达式是y=x2-4x+3；
（2）当x=0时，y=3，即点C（0，3），
设BC的表达式为y=kx+m，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得
，解得 ，
∴直线BC的解析是为y=-x+3，
设点P坐标为（t，t2-4t+3），过点P作轴，交直线BC于点E（t，-t+3），
PE=-t+3-（t2-4t+3）=-t2+3t，
∴S△BCP=S△BPE+SCPE=（-t2+3t）×3=-（t-）2+，
∵-＜0，
∴当t=时，S△BCP最大=．
堂堂清
一、选择题（每小题4分，共32分）
1. 如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是________．
【答案】-1
【解析】
【分析】由图象可知，抛物线经过原点（0，0），二次函数y=ax2-3x+a2-1与y轴交点纵坐标为a2-1，所以a2-1=0，解得a的值．再图象开口向下，a＜0确定a的值．
【详解】由图象可知，抛物线经过原点（0，0），
所以a2-1=0，解得a=±1，
∵图象开口向下，a＜0，
∴a=-1．
【点评】主要考查了从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得a的值，简单的图象最少能反映出2个条件：开口向下a＜0；经过原点a2-1=0，利用这两个条件即可求出a的值．
2 .如图，若二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C．与x轴交于点A、点B（﹣1，0）．则：①二次函数的最大值为1；②4a﹣2b＋c＞0；③b2﹣4ac＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．其中错误的个数是（ ）
A. I B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由题意知．b＝﹣2a，A点坐标，进而表示出二次函数解析式；该二次函数在于直线x＝1处，取最大值计算即可判断①；当x＝﹣2时，y＜0，将x＝﹣2代入即可判断②；根据交点个数列出判根公式，即可判断③；根据图象可知y＜0时，x的取值范围，即可判断④．
【详解】解：∵对称轴为直线x＝1
∴b＝﹣2a
∵B（﹣1，0）
∴A（3，0）
∴a﹣b＋c＝0
∴c＝﹣3a
∴y＝ax2﹣2ax﹣3a
①当x＝1时，函数的最大值是a＋b＋c，
故①不正确；
②当x＝﹣2时，y＜0
∴4a﹣2b＋c＜0
故②不正确；
③∵函数与x轴有两个不同的交点
∴Δ＝b2﹣4ac＞0
故③正确；
④由图象可知当y＜0时，x＜﹣1或x＞3
故④正确；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于数形结合读懂图中的信息．
3.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A. a＜0，b＞0
B. b2﹣4ac＞0
C. 方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝5，x2＝﹣1
D. 不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是0＜x＜5
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线开口向下可知a＜0，再根据其对称轴为直线，即可求出b＞0，可判断A；根据二次函数图象与一元二次方程的关系即可判断B；根据二次函数的对称性和其对称轴为，可得出抛物线与x轴的另一个交点，再结合二次函数图象与一元二次方程的关系即可判断C；根据抛物线与x轴的两个交点，即可利用图象法解不等式，由此可判断D．
【详解】由图象可知，抛物线开口向下，所以a＜0．对称轴为直线，所以b＞0，故A正确；
因为抛物线与x轴有两个交点，所以，故B正确；
由图象和对称轴公式可知，抛物线与x轴交于点(5，0)和(-1，0)，所以方程的解是 ，故C正确；
由C选项结合图象可知，不等式的解集是，故D错误．
故选D．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，由图象法确定不等式的解集．熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键．
已知二次函数的图象的顶点是(1，－2)，且经过点(0，－5)，则二次函数的解析式是 ( )
A.y＝－3(x+1)2－2 B.y＝3(x+1)2－2 C.y＝－3(x－1)2－2 D.y＝3(x－1)2－2
【答案】C
【解析】由题意设二次函数的解析式为y＝a(x－1)2－2,
∵图象过点(0，－5)，∴a(0－1)2－2＝－5,解得a＝－3,∴抛物线的解析式为y＝－3(x－1)2－2.
5.已知二次函数y＝－x2+bx+c的图象经过(－1,0)，(0,5)两点，则这个二次函数的解析式为（ ）。
A.y=—x2+4x-5 B.y=—x2+4x+5 C.y=x2-4x+5 D.y=x2-4x-5
【答案】B
【解析】把(－1,0)，(0,5)代入y＝－x2+bx+c,得,
解得,∴抛物线的解析式为y＝－x2+4x+5.
故选B
6 .如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：
①abc＞0．
②2a+b＜0．
③4a+2b+c＜0．
④4ac﹣b2＞8a．
⑤a≤﹣1．
其中，结论正确的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∵0＜﹣＜1，
又∵a＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵﹣＜1，
∴b＜﹣2a，
∴2a+b＜0，所以②正确；
∵x＝2，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，所以③正确；
∵＞2，
而a＜0，
∴4ac﹣b2＜8a，所以④错误；
当x＝1时，a+b+c＝2①．
∵a﹣b+c＜0②，4a+2b+c＜0③，
由①+②得到2a+2c＜2，
由③﹣①×2得到2a﹣c＜﹣4，即4a﹣2c＜﹣8，
上面两个相加得到6a＜﹣6，
∴a＜﹣1，所以⑤错误；
故选：A．
7.一次函数y＝ax+bc与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：A、由直线可知，a＞0，bc＞0，由抛物线可知：，故b＞0，bc＞0，符合题意；
B、由直线可知，a＜0，bc＜0，由抛物线可知：，故b＞0，bc＞0，不符合题意；
C、由直线可知，a＞0，由抛物线可知：a＜0，不符合题意；
D、由直线可知，a＞0，bc＞0，由抛物线可知：，故b＜0，bc＜0，不符合题意．
故选：A．
8.已知二次函数（，，是常数，）的与的部分对应值如表．
当时，函数值为（ ）
2 B. C. -3 D
【答案】D
【分析】待定系数法求解析式，进而令，即可求解．
【详解】解：由表格数据可得
解得：
∴二次函数解析式为：，
当时，，
故答案为：．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共20分
9 .请写出一个开口向下，对称轴为直线x＝2,且与y轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的解析式：________________。
【答案】y＝－(x－2)2+7(答案不唯一)
【解析】∵抛物线开口向下，∴a<0,令a＝－1,设抛物线的解析式为y＝－(x－h)2+k,…对称轴为直线x＝2,∴h＝2,把(0,3)代入得3＝－(0－2)2+k,解得k＝7,此时抛物线的解析式为y＝－(x－2)2+7.
10 .已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，则二次函数的解析式为 ；
【答案】y＝
解：设二次函数的解析式为y＝，
把点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)代入得，
，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝；
故答案为：y＝
11 .如果将抛物线平移到抛物线的位置，那么平移的方向和距离分别是________．
【答案】向右；2个单位长度
【分析】将平移后的抛物线变形，然后根据抛物线的平移变换规律“上加下减，左加右减”，即可直接得出结果．
【详解】解：抛物线的平移变换规律为“上加下减，左加右减”，
将抛物线变形为：，
将抛物线平移到抛物线，
∴平移方向为：向右平移2个单位长度，
故答案为：向右；2个单位长度．
【点评】本题考查了抛物线的平移变换，属于基础题，熟练掌握抛物线的平移变换规律是解题的关键．
12 .如图所示，二次函数的图象开口向上，图象经过点和且与轴交于负半轴．给出四个结论：①，②；③；④；其中正确的结论的序号是 ．
【详解】解：①点在二次函数图象上，
，结论①正确；
②二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴，
，，，
，
，结论②错误；
③，，
，
，结论③正确；
④二次函数的图象经过点和，
，，
，结论④正确．
综上所述，正确的结论有①③④．
故答案为：①③④．
13 .已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的序号为 ．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
对称轴，、异号，故，
与轴交点在正半轴，故，
，故①正确；
当时，，故②正确；
抛物线的对称轴为，与轴的一个交点为3，则与轴的另一个交点为，
当时，，故③错误；
，
，
，故④错误；
，，
，
，
，故⑤正确．
故答案为：①②⑤．
解答题（共48分）
（8分）已知抛物线经过点(1，0)，(0，3)．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．
【答案】（1）；（2）将抛物线向左平移个单位，向上平移个单位，解析式变为．
【分析】（1）把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b与c的值即可；
（2）把函数化为顶点式，即可得到平移方式与平移后的函数表达式．
【详解】（1）把(1，0)，(0，3)代入抛物线解析式得：，
解得：，
则抛物线解析式为
（2）抛物线
将抛物线向左平移个单位，向上平移个单位，
解析式变为．
【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
（8分）已知把二次函数的图像先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线．
(1)试确定的值；
(2)指出二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】(1)，，
(2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为
【分析】（1）根据平移的性质，平移改变了函数图像的顶点，二次项系数不变，由此即可求解；
（2）由（1）可求出二次函数的图像，根据系数的特点即可求解．
【详解】（1）解：二次函数的图像的顶点坐标为，把点先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点的坐标为，
∴原二次函数的解析式为，
∴，，．
（2）解：由（1）可知，二次函数，即，
∴二次函数的图像开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为．
【点评】本题主要考查二次函数的变换，掌握平移的性质，二次函数顶点式的含义是解题的关键
16 （8分）二次函数y＝ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
根据上表，回答下列问题：
(1)直接写出c,m的值；
(2)求此二次函数的解析式.
【解析】
(1)c＝4,m＝
(2)由表格可知，图象顶点为 eq \b \bc\((－１，)
设y＝a(x+1)2+,将(0,4)代入y＝a(x+1)2+得，a+＝4解得a＝-,∴此二次函数的解析式为
y＝-(x+1)2+
17 .（8分）已知抛物线y＝ax2－2ax－3+2a2(a≠0).
(1)求这条抛物线的对称轴；
(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
(3)设点P(m,y1),Q(3,y2)在抛物线上，若y1【解析】(1)∵抛物线y＝ax2－2ax－3+2a2＝a(x－1)2+2a2－a－3,∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
(2)∵抛物线的顶点在x轴上，∴2a2－a－3＝0,解得a＝或a＝－1,
∴抛物线的解析式为y＝x2－3x+或y＝－x2+2x－1
(3)抛物线的对称轴为x＝1,Q(3,y2)关于直线x＝1的对称点的坐标为(－1，y2),
分情况讨论：①当a>0时，要使y13.
18 .（8分）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)将该抛物线向下平移n个单位，使得平移后的抛物线经过点，求n的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把点代入可求出b，从而得解；
（2）根据抛物线向下平移n个单位，得到新抛物线的解析式，再将点代入可求出n的值．
【详解】（1）解：把点代入得：，
解得，
∴抛物线的解析式为：
（2）抛物线向下平移n个单位后得：，
把点代入得：
解得：
即n的值为1．
【点评】本题考查待定系数法和抛物线的平移，掌握待定系数法和抛物线的平移是解题的关键．
19 .（8分）如图，抛物线的图象与x轴交于点A，，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若当，取得最大值时，求m的值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据待定系数法可进行求解；
（2）根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：把点，代入抛物线得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：由（1）可知抛物线解析式为，则有抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，抛物线有最大值，即为；
∴．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
拓展培优*冲刺满分
1.在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为A，与y轴相交于点B，异于顶点A的点在该抛物线上．

(1)如图，点B的坐标为
①求点A的坐标和n的值；
②将抛物线向上平移后的新抛物线与x轴的一个交点为D，顶点A移至点，如果四边形为平行四边形，求平移后新抛物线的表达式；
(2)直线与y轴相交于点E，如果且点B在线段上，求m的值．
【答案】(1)①，；②
(2)
【分析】（1）①把代入得，即可求出答案；②根据平行四边形的性质得出，可知抛物线向上平移了7个单位，即可直接写出平移后的新抛物线的解析式；
（2）先求出，，，然后利用待定系数法求出直线的解析式，根据表示出直线的解析式，将代入，求出的值，再检验点B是否在线段上即可．
【详解】（1）解：①把代入，得：，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∴，
把代入，得：，
故答案是，；
②如图1，

∵四边形为平行四边形，，新抛物线与x轴的一个交点为D，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴抛物线向上平移后的新抛物线的解析式为；
（2）如图2，

∵，
∴，，，
设直线的解析式为，把代入，得：
，
∵，
∴可设直线的解析式为，把代入，得：
，
解得：，
当时，，，，
设直线的解析式为，把，代入，得：
，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴点B在线段上，符合题意；
当时，，，，
设直线的解析式为，把，代入，得：
，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴点B不在线段上，不符合题意，舍去；
故．
【点评】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象平移，互相平行的两条一次函数图象间的关系是解题的关键，对求出的值进行检验是解题的难点和易错点。
2.如图，抛物线经过点，与轴交于点过点且平行于轴的直线交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求的面积；
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）6；（3）存在，，理由见解析．
【分析】（1）将点代入函数解析式求解即可确定函数解析式；
（2）当时，，可确定点B的坐标，然后由对称轴及轴，可得点C的坐标，据此得出，，然后根据三角形面积公式求解即可；
（3）根据B、C关于抛物线的对称轴对称，可得点P为直线AC与抛物线对称轴的交点，此时，的周长最小，设直线AC的解析式为，利用待定系数法确定函数解析式，然后联合对称轴求解即可确定点P的坐标．
【详解】解：（1）将代入中，
得：，
解得：
抛物线的解析式：；
当时，，
∴，
由（1）知，抛物线的对称轴：，
∵轴，
∴点、关于对称轴对称，则，
，，
；
（3）如图所示：点B、C关于抛物线的对称轴对称，
∴点P为直线AC与抛物线对称轴的交点，此时，的周长最小，
设直线AC的解析式为，代入、，得：
，
解得 ，
直线：；
点P为直线AC与抛物线对称轴的交点，
∴，
解得 ，
．
【点评】题目主要考查利用待定系数法确定一次函数与二次函数解析式，二次函数与一次函数交点及二次函数的基本性质等，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键．
老师对你说：
老师对你说：
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