九年级数学上分层优化堂堂清（8）22.1 二次函数y=ax²+bx+c 的图象和性质专项训练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
九年级数学上分层优化堂堂清
二十二章 二次函数
22.1二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 专项训练
一、二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象和性质归纳：
二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象和性质 图象特点 当a>0，开口向上；当a<0，开口向下.对称轴是x=h，顶点坐标是(h，k).
平移规律 左右平移：自变量左加右减；上下平移：常数项上加下减.
二、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质：
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 顶点式 配方法或公式法→顶点坐标：对称轴：
图象与a、b、c的关系 a＞0，开口向上，a＜0，开口向下；b=0，对称轴为y轴；a、b同号，对称轴在y轴的左侧，a、b异号，对称轴在y轴的右侧；c=0，图象经过原点；c＞0，与y轴交于正半轴，c＜0，与y轴交于负半轴.
一.二次函数的图像特征和性质
例1.若抛物线经过，两点，则抛物线的对称轴为（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
针对训练1
1.已知抛物线有最大值，那么该抛物线的开口方向是 ．
2.若二次函数的图象开口向下，则实数a的取值范围是 ．
二次函数图像的平移
例2.在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
针对训练2
1.在平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则下列变换正确的是（　　）
A．向左平移6个单位 B．向右平移6个单位
C．向左平移2个单位 D．向右平移2个单位
2.已知二次函数．
(1)写出抛物线的开口方向及顶点坐标；
(2)当为何值时，随的增大而减小？
(3)把此抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线是否过点，请说明理由．
类型一　由某一函数的图象确定其他函数图象的位置
例3函数与的图像可能是（ ）
A．B． C． D．
方法总结：①判断两个函数中系数的符号，再与图象对比，符号与图象一致的即为正确答案；②把握某一图象(通常为一次函数)，判断相关未知系数的正负性，再与另一图象对比，符合要求的即为正确答案．
针对训练3
1.函数y=ax2+1和y=ax+a（a为常数，且a≠0），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
一次函数和二次函数，在同一平面直角坐标系中的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
类型二　由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值
例4如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x＝﹣，且经过点（﹣2，0），有下列说法：
①abc＜0；
②2b+c＝0；
③4a+2b+c＜0；
④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2，
其中说法正确的是（　　）
A．①②③ B．②③ C．②③④ D．③④
方法总结：(1)直接由函数图象判断a、b、c的情况：
①开口向上，a＞0，开口向下，a＜0；
②抛物线与y轴的交点，在x轴上方：c＞0，在原点：c＝0；在x轴下方：c＜0；③结合对称轴位置及a的符号确定b的符号，对称轴在y轴左侧，ab＞0；对称轴在y轴右侧，ab＜0.
(2)与x轴交点：两个：b2－4ac＞0；一个：b2－4ac＝0；无交点：b2－4ac＜0.(3)判断特殊代数式的值：如：a＋b＋c或a－b＋c：令x＝1或－1；4a＋2b＋c或4a－2b＋c：令x＝2或－2；9a＋3b＋c或9a－3b＋c：令x＝3或－3.
针对训练4
抛物线（，a，b，c为常数）交x轴于点，且．下列4个结论：
①；
②抛物线过点；
③；
④抛物线上有，，当时，．
其中结论正确的是 ．（填写序号）．
2 .如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象．根据函数图象，用“＞”、“＝”或“＜”填写下列空格：
①a　 　0；
②4ac﹣b2　 　0；
③2a+b　 　0；
④a+b+c　 　0；
⑤当﹣1＜x＜3时，y　 　0；
⑥8a+c　 　0．
四 、 二次函数有关最值问题
类型一　没有限定自变量的范围求最值
例5已知函数y＝x(2－3x)，当x为何值时，函数有最大值或最小值？并求出该最值．
方法点拨：若没有限定自变量的取值范围，则顶点的纵坐标即为最值；
针对训练5
已知点在二次函数的图象上，则的最小值为（ ）
A．－8 B．8 C．－9 D．9
2.二次函数的最小值是（　　）
A． B． C． D．
类型二　限定自变量的取值范围求最值
例4已知m，n是关于x的一元二次方程的两实数根，则的最小值是（　　）
A．7 B．11 C．12 D．16
方法点拨：若限定了自变量的取值范围，端点处的函数值最大或最小.
针对训练4
1.抛物线当x≥4时的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2.对于二次函数，已知，当时，有下列说法：
①若y的最大值为，则；
②若y的最小值为，则；
③若，则y的最大值为．
则上达说法（　　）
A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③正确 D．均不正确
类型三　已知函数的最值，求待定系数的值
例5当时，二次函数的最小值为8，则a的值为（　　）
A．或5 B．0或6 C．或6 D．0或5
针对训练5
1.二次函数的图象经过点,，在范围内有最大值为4，最小值为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.已知二次函数，当时，函数有最大值，则______．
五、利用二次函数的对称性求最短路径
如图，在抛物线上有，两点，其横坐标分别为1，2；在轴上有一动点，当最小时，则点的坐标是（ ）
A．（0.0） B．（0，） C．（0，2） D．（0，）
针对训练6
1 .已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（ ）
A．5 B．9 C．11 D．13
2.如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D在抛物线的对称轴上，当ACD的周长最小时，点D的坐标为 ．
九年级数学上分层优化堂堂清
二十二章 二次函数
22.1二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 专项训练 （解析版）
一、二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象和性质归纳：
二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象和性质 图象特点 当a>0，开口向上；当a<0，开口向下.对称轴是x=h，顶点坐标是(h，k).
平移规律 左右平移：自变量左加右减；上下平移：常数项上加下减.
二、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质：
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 顶点式 配方法或公式法→顶点坐标：对称轴：
图象与a、b、c的关系 a＞0，开口向上，a＜0，开口向下；b=0，对称轴为y轴；a、b同号，对称轴在y轴的左侧，a、b异号，对称轴在y轴的右侧；c=0，图象经过原点；c＞0，与y轴交于正半轴，c＜0，与y轴交于负半轴.
一.二次函数的图像特征和性质
例1.若抛物线经过，两点，则抛物线的对称轴为（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】B
【分析】由二次函数的对称性可求得抛物线的对称轴．
【详解】解：∵抛物线过，两点，
∴抛物线的对称轴为直线，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数图象上关于对称轴对称的点所对应的函数值相等是解题的关键．
针对训练1
1.已知抛物线有最大值，那么该抛物线的开口方向是 ．
【答案】向下
【分析】根据二次函数的性质即可解答．
【详解】解：∵抛物线有最大值，
∴抛物线的其他值都是小于，
∴抛物线开口向下，
故答案为：向下．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
2.若二次函数的图象开口向下，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据二次函数的图象开口向下，可得．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的性质和定义，解题的关键是明确二次函数的开口向下，则二次项系数就小于0．
二次函数图像的平移
例2.在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解．
【详解】解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为；
故选B．
【点评】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．
针对训练2
1.在平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则下列变换正确的是（　　）
A．向左平移6个单位 B．向右平移6个单位
C．向左平移2个单位 D．向右平移2个单位
【答案】C
【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．
【详解】解：y=（x+2）（x﹣4）=（x﹣1）2﹣9，顶点坐标是（1，9）．
y=（x﹣2）（x+4）=（x+1）2﹣9，顶点坐标是（﹣1，9）．
所以将抛物线y=（x+2）（x﹣4）向左平移2个单位长度得到抛物线y=（x﹣2）（x+4），
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，解题关键是熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
2.已知二次函数．
(1)写出抛物线的开口方向及顶点坐标；
(2)当为何值时，随的增大而减小？
(3)把此抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线是否过点，请说明理由．
【答案】(1)开口向上，顶点坐标
(2)
(3)抛物线不过点，理由见详解
【分析】（1）二次函数中，，，，根据的判断抛物线的开口，将一般式化成顶点式即可求出顶点；
（2）由（1）可知，对称轴左边是随的增大而减小，对称轴右边是随的增大而增大，由此即可求解；
（3）抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位得到新的函数解析式，把代入计算，若，则点在函数上，否则不在．
【详解】（1）解：二次函数中，，，，
∵，
∴抛物线开口向上，
将一般式化成顶点式得：，
∴顶点坐标为．
（2）解：∵抛物线的开口向上，对称轴直线，
∴当时，函数值随着自变量的增大而减小．
（3）解：抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位得，，化简得，
∴当时，，
∴抛物线不过点．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质，平移是解题的关键．
三、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与系数a、b、c的关系
类型一　由某一函数的图象确定其他函数图象的位置
例3函数与的图像可能是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图象与系数的关系，看两个函数的系数符号是否一致，即可判断；
【详解】解：由函数与抛物线可知两函数图象交轴上同一点，抛物线的对称轴为直线，在轴的左侧，
、抛物线的对称轴在轴的右侧，故选项错误；
B、由一次函数的图象可知，由二次函数的图象知道，故选项错误；
C、由一次函数的图象可知，由二次函数的图象知道，且交于轴上同一点，故选项正确；
D、由一次函数的图象可知，由二次函数的图象知道，故选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查一次函数和二次函数图象与系数的关系，解题关键是明确函数图象与系数的关系，树立数形结合思想，准确进行判断推理．
方法总结：①判断两个函数中系数的符号，再与图象对比，符号与图象一致的即为正确答案；②把握某一图象(通常为一次函数)，判断相关未知系数的正负性，再与另一图象对比，符合要求的即为正确答案．
针对训练3
1.函数y=ax2+1和y=ax+a（a为常数，且a≠0），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先根据的顶点坐标为，判断A，B不符合题意，再由C，D中的二次函数的图象判断，从而可得答案．
【详解】解：由的顶点坐标为，
故A，B不符合题意；
由C，D中二次函数的图象可得：
函数y＝ax＋a过一，三，四象限，
故D符合题意，C不符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存的问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与性质”是解本题的关键．
一次函数和二次函数，在同一平面直角坐标系中的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分别根据二次函数的性质和一次函数的性质求出对应的符合，看是否一致即可．
【详解】解：A、二次函数开口向下，对称轴在y轴左侧，则，一次函数经过第二、三、四象限，，故此选项不符合题意；
B、二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧，则，一次函数经过第一、三、四象限，，故此选项不符合题意；
C、二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，则，一次函数经过第二、三、四象限，，故此选项符合题意；
D、二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，则，一次函数经过第一、二、四象限，，故此选项不符合题意；
故选C．
【点评】本题主要考查了一次函数与二次函数图象综合判断，熟知一次函数、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
类型二　由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值
例4如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x＝﹣，且经过点（﹣2，0），有下列说法：
①abc＜0；
②2b+c＝0；
③4a+2b+c＜0；
④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2，
其中说法正确的是（　　）
A．①②③ B．②③ C．②③④ D．③④
【分析】根据二次函数的图象和性质依次判断即可．
【解析】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣，
∴﹣＝﹣，
∴b＝a＜0，
∴abc＞0，
∴①错误．
∵抛物线过点（﹣2，0），
∴4a﹣2b+c＝0，
∵b＝a，
∴4b﹣2b+c＝0，
∴2b+c＝0．
∴②正确．
∵a＜0，b＜0，c＜0，
∴4a+2b+c＜0．
∴③正确．
∵（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，
d1＝﹣+＝1，d2＝+＝2，
∵抛物线开口向下，
∴y1＞y2．
∴④错误．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
方法总结：(1)直接由函数图象判断a、b、c的情况：
①开口向上，a＞0，开口向下，a＜0；
②抛物线与y轴的交点，在x轴上方：c＞0，在原点：c＝0；在x轴下方：c＜0；③结合对称轴位置及a的符号确定b的符号，对称轴在y轴左侧，ab＞0；对称轴在y轴右侧，ab＜0.
(2)与x轴交点：两个：b2－4ac＞0；一个：b2－4ac＝0；无交点：b2－4ac＜0.(3)判断特殊代数式的值：如：a＋b＋c或a－b＋c：令x＝1或－1；4a＋2b＋c或4a－2b＋c：令x＝2或－2；9a＋3b＋c或9a－3b＋c：令x＝3或－3.
针对训练4
抛物线（，a，b，c为常数）交x轴于点，且．下列4个结论：
①；
②抛物线过点；
③；
④抛物线上有，，当时，．
其中结论正确的是 ．（填写序号）．
【答案】②④
【分析】根据得出，即可判断①；求出对称轴为直线，根据该抛物线交x轴于点，即可求出与x轴的另一个交点，即可判断②；将点，代入，得出两个式子，将两式相加得出a和c之间的关系式，即可判断③；画出草图可知，即可得出，即可判断④．
【详解】解：∵，
∴，则，
∵，
∴，
则①不正确，不符合题意；
∵该抛物线交x轴于点，对称轴为直线，
∴该抛物线与x轴另一个交点为，
故②正确，符合题意；
∵该抛物线经过点，，
∴，
得：，
∵，
∴，则，
∴，
故③不正确，不符合题意；
④∵该抛物线经过点，，且，
∴由图可知：，
∴，
∴，故④正确，符合题意；

综上：正确的有②④，
故答案为：②④．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的各系数与图象的关系，掌握二次函数图象上点的坐标特征．
2 .如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象．根据函数图象，用“＞”、“＝”或“＜”填写下列空格：
①a　 　0；
②4ac﹣b2　 　0；
③2a+b　 　0；
④a+b+c　 　0；
⑤当﹣1＜x＜3时，y　 　0；
⑥8a+c　 　0．
【分析】利用二次函数的性质即可得到答案．
【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
故答案为：＜；
②∵抛物线与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，
故答案为：＜；
③∵抛物线交x轴于（﹣1，0），（3，0），
∴对称轴x＝1＝﹣，
∴2a+b＝0，
故答案为：＝；
④∵x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
故答案为：＞；
⑤观察图形可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0，
故答案为：＞；
⑥∵x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，即8a+c＜0．
故答案为：＜．
【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数y＝ax2+bx+c系数符号与抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数的关系是解题的关键．
四 、 二次函数有关最值问题
类型一　没有限定自变量的范围求最值
例5已知函数y＝x(2－3x)，当x为何值时，函数有最大值或最小值？并求出该最值．
解：∵y＝x(2－3x)＝－3(x－)2＋，
∴该抛物线的顶点坐标是(，)．
∵－3＜0，∴该抛物线的开口向下．
∴当x＝时，该函数有最大值，最大值是.
方法点拨：若没有限定自变量的取值范围，则顶点的纵坐标即为最值；
针对训练5
已知点在二次函数的图象上，则的最小值为（ ）
A．－8 B．8 C．－9 D．9
【答案】C
【分析】根据点在函数图象上可得，继而可得，由二次函数的最值即可得出答案．
【详解】解：依题意得：，
∴
∴当时，有最小值为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数图象上点的特征，正确得出是解题关键．
2.二次函数的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用配方法将函数解析式画出顶点式即可．
【详解】解：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了将二次函数解析式化成顶点式，掌握配方法是解答本题的关键．
类型二　限定自变量的取值范围求最值
例4已知m，n是关于x的一元二次方程的两实数根，则的最小值是（　　）
A．7 B．11 C．12 D．16
【答案】D
【分析】由m，n是关于x的一元二次方程的两实数根，可知，，，根据以及二次函数的最值，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵m，n是关于x的一元二次方程的两实数根，
∴，
解得，，
∴，，
∵，
∴
∵，
∴，
∴的最小值为16，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的判别式、一元二次方程的根与系数的关系、二次函数最值等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
方法点拨：若限定了自变量的取值范围，端点处的函数值最大或最小.
针对训练4
1.抛物线当x≥4时的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将配方成顶点式，进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴抛物线的对称轴是．
当x=4时函数值最大，最大值是4
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标式．
2.对于二次函数，已知，当时，有下列说法：
①若y的最大值为，则；
②若y的最小值为，则；
③若，则y的最大值为．
则上达说法（　　）
A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③正确 D．均不正确
【答案】C
【分析】根据二次函数可得称轴为直线，由，可得抛物线开口向下，再由，所以当时，抛物线单调递增，从而可得时，y有最大值，时，y有最小值，把、和、分别代入解析式求得m的值，再根据m的取值范围进行判断①②即可；把、，代入解析式求得y的最大值即可判断③．
【详解】解：二次函数图象的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向下，
因为，所以当时，函数单调递增，
若y的最大值为，则，解得或（舍去），故①错误；
若y的最小值为，则，解得或，此时不存在m，故②错误；
若，则，所以y的最大值为，故③正确，
故选C．
类型三　已知函数的最值，求待定系数的值
例5当时，二次函数的最小值为8，则a的值为（　　）
A．或5 B．0或6 C．或6 D．0或5
【答案】C
【分析】由，可知二次函数对称轴为直线，且图象开口向上，当时，，计算求出满足要求的值即可；当，即时，，计算求出满足要求的值即可．
【详解】解：，
∴二次函数对称轴为直线，且图象开口向上，
∴当时，，解得，或（舍去），
当，即时，，解得，或（舍去），
综上，a的值为或6，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
针对训练5
1.二次函数的图象经过点,，在范围内有最大值为4，最小值为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而得到抛物线的顶点坐标为，由于当时，，根据抛物线的对称性可得：a的取值范围是.
【详解】解：∵二次函数的图象经过点,，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式是，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴当时，抛物线有最大值4，
由于当时，，且在范围内有最大值为4，最小值为，
∴根据抛物线的对称性可得：a的取值范围是；
故选：C.
【点评】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，正确理解题意、熟练掌握抛物线的相关知识是解题关键.
2.已知二次函数，当时，函数有最大值，则______．
【答案】
【分析】根据二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴，然后再根据当时，函数有最大值，即可得到关于的方程，然后求解即可．
【详解】解：∵二次函数，
∴该函数图像对称轴是直线，
当时，当时，该函数取到最大值，
∵当时，函数有最大值，
∴，
解得：（不合题意，舍去）；
当时，当时，该函数取到最小值，
当时，
当时，，
当时，，
根据二次函数对称的性质可知：当时，函数有最大值，
又∵当时，函数有最大值，
∴，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值，本题采用了分类讨论的思想方法．解答的关键是明确题意，得到关于的方程．
五、利用二次函数的对称性求最短路径
如图，在抛物线上有，两点，其横坐标分别为1，2；在轴上有一动点，当最小时，则点的坐标是（ ）
A．（0.0） B．（0，） C．（0，2） D．（0，）
【答案】D
【详解】解：如图，点A关于y轴的对称点A′的横坐标为﹣1，
连接A′B与y轴相交于点C，点C即为使AC+BC最短的点，
当x＝﹣1时，y＝﹣1，
当x＝2时，y＝﹣4，
所以，点A′（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），
设直线A′B为
当x=0时，y=-2
即C（0，-2）
故选D
【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，二次函数的性质，熟记确定出最短路径的方法和二次函数的对称性确定出点C的位置是解题的关键．
针对训练6
1 .已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（ ）
A．5 B．9 C．11 D．13
【答案】C
【分析】如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，由抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，得到PE=PF，则△PMF的周长=FM+PM+PF，则要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小，故当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，由此求解即可．
【详解】解：如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，
∵抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，
∴PE=PF，
∴△PMF的周长=FM+PM+PF，
∴要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小，
∴当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，
∵M坐标为（3，6），
∴ME=6，
∴PF+PM=6
∵F（0，2），
∴
∴△PMF周长的最小值=ME+FM=6+5=11，
故选C．
【点评】本题主要考查了二次函数的最短路径问题，两点距离公式，解题的关键在于能够准确读懂题意得到PE=PF．
2.如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D在抛物线的对称轴上，当ACD的周长最小时，点D的坐标为 ．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据OA＝2，OC＝6，求得的坐标，进而待定系数法求解析式即可；
（2）先由抛物线解析式求得对称轴，根据抛物线的对称性可得关于对称轴对称，求得点的坐标，设与抛物线对称轴的交点为，根据ACD的周长为，则点与重合时，ACD的周长最小,根据的坐标求直线的解析式，进而根据与抛物线对称轴交点即可求得点的坐标
【详解】（1）解：∵OA＝2，OC＝6，
∴，代入y＝x2+bx+c
，解得
抛物线的解析式为
（2）由抛物线的解析式为，对称轴为
关于对称，
设与抛物线对称轴的交点为，
ACD的周长为，
则点与重合时，ACD的周长最小,
设直线的解析式为,
则，解得
为与的交点，
令，
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，根据抛物线对称性求线段和的最小值，掌握对称性是解题的关键．
老师对你说：
老师对你说：
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)