九年级数学上分层优化堂堂清（12）专题复习 抛物线与三角形综合问题（含解析）

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九年级数学上分层优化堂堂清
二十二章 二次函数
专题复习 抛物线与三角形综合问题
三角形面积的最值
解题策略：
铅垂法
如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
【例1-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是第三象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值．
【例1-2】如图，抛物线与轴交于，两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设（1）中的抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由．
针对训练1
1.如图，抛物线与轴交于， 两点，点在点 的左边，与轴交于点，点是抛物线的顶点，且，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线下方的抛物线上一动点，不与点，重合，过点 作 轴的垂线交 于点，求面积的最大值及此时点坐标；
2.在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2＋bx＋2 的图象与 x 轴交于 A（﹣3，0），B（1，0）两点，与 y 轴交于点C．
（1）求这个二次函数的关系解析式 ，x 满足什么值时 y﹤0
（2）点 p 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点 P，使△ACP 面积最大？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由
直角三角形存在性问题
解题策略：
构造直角三角形的一般思路:
构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆.
动点产生的直角三角形的一般解法，以三角形ABC为直角三角形为例
代数法
（1）列出A、B、C的坐标，动点用参数表示；
（2）列出线段AB、AC、BC长度的平方；
（3）分类列方程：①，②，③；
2、几何法 （用相似三角形，暂略）
当直角三角形存在时可从三个角度进行分析研究：
当动点在直线上运动时，常用的方法是① ，②三角形相似（略）③勾股定理；
【例2-1】如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【例2-2】在平面直角坐标平面内，O为原点，二次函数的图像经过点A（，0）和点B（0，3），顶点为P．
（1）求二次函数解析式及点P的坐标；
（2）如果点Q是x轴上一点，以点A、P、Q为顶点的三角形是直角三角形，求点Q的坐标．
针对训练2
1.在平面直角坐标系中，坐标原点为O，已知抛物线与y轴交于点A，它的顶点为B，连接，则称为抛物线的伴生三角形，直线为抛物线的伴生直线．
（1）如图1，求抛物线的伴生直线的解析式．
（2）已知抛物线的伴生直线为，求k的值．
（3）如图2，若抛物线的伴生直线是，且伴生三角形是直角三角形，求此抛物线的解析式．
2.如图，抛物线与轴交于， 两点，点在点 的左边，与轴交于点，点是抛物线的顶点，且，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
等腰三角形存在性问题
解题策略：
构造等腰三角形的一般思路
平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长为半径作圆，再作线段的垂直平分线。
动点产生的等腰三角形的一般解法，以三角形ABC为等腰三角形为例：
代数法
分类.；AB=AC，AB=BC，AC=BC；
画图；
①以 AB 为半径，点 A 为圆心做圆， 此时，圆上的点与 A、B 构成以 A 为
顶点的等腰三角形
②以 AB 为半径，点 B 为圆心做圆， 此时，圆上的点与 A、B 构成以 B 为
顶点的等腰三角形
③做 AB 的垂直平分线，此时，直线上的点（除 F 点外）与 A、B 构成以 C 为
顶点的等腰三角形
列方程；利用两点间的距离公式表示出线段AB,BC,AC的长度.根据AB=AC，AB=BC，AC=BC分类列方程
注意：如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来
2、几何法
设未知数，表示出A,B,C三个顶点的坐标.
利用等腰三角形的性质、全等三角形和相似三角形以及三角函数表示出线段AB,BC,AC的长度.
分类列方程：AB=BC,BC=CA,AB=AC.
注意：如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．
用相似的方法得到的代数式构造一般比较简单，但对几何能力的要求较高，用勾股定理则反之
数学思想方法：分类讨论、数形结合、转化化归和方程建模等数学思想. 有时几何法和代数法相结合使用，可以使得解题更快。
问题总结：
（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；
（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；
（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．
【例3-1】如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(﹣3，0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【例3-2】二次函数过、两点，与轴正半轴交于，
（1）求二次函数解析式；
（2）抛物线对称轴上是否存在点，使得三角形为等腰三角形，若存在，直接写出坐标，若不存在，请说明理由．
针对训练3
1.如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2.如图，抛物线与轴相交于两点（点位于点的左侧），与轴相交于点，是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，且点的坐标为．
（1）求抛物线的解析式．
（2）已知为线段上一个动点，过点作轴于点，在线段上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
九年级数学上分层优化堂堂清
二十二章 二次函数
专题复习 抛物线与三角形综合问题（解析版）
三角形面积的最值
解题策略：
铅垂法
如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
【例1-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是第三象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由得，结合对称轴建立方程组求解即可；
（2）如图，由（1）求出即，即设是第三象限内抛物线上的动点，根据，用坐标表示三角形面积即可求解．
【详解】（1）解：，
，
对称轴为，
，
解得：，
抛物线解析式为：；
（2）如图，抛物线与x轴交于点，
对称轴为，
即，
抛物线解析式为：，
,即，
设是第三象限内抛物线上的动点，
则且，
，
开口向下，
当时有最大值，
面积的最大值为．
【点评】本题考查了代入法求二次函数解析式、二次函数的图像和性质求三角形最大面积；解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质．
【例1-2】如图，抛物线与轴交于，两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设（1）中的抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为：
(2)存在，点的坐标为
(3)存在，最大值为
【分析】（1）根据题意可知，将点、的坐标代入函数解析式，列出方程组即可求得、的值，求得函数解析式；
（2）根据题意可知，边的长是定值，要想的周长最小，即是最小，所以此题的关键是确定点的位置，找到点的对称点，求得直线的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；
（3）设，过点作轴交于点，连接、、，根据，将表示成二次函数，再根据二次函数的性质，即可求得的最大值．
【详解】（1）解：将，代入中，
可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：存在，理由如下：
如图，
∵、两点关于抛物线的对称轴对称，
∴直线与的交点即为点，此时周长最小，连接、，
∵点是抛物线与轴的交点，
∴的坐标为，
又∵，
∴直线解析式为：，
∴点坐标即为，
解得：，
∴；
（3）解：存在，理由如下：
如图，设，过点作轴交于点，连接、、，
∵，
若有最大值，则就最大，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，最大值为．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合思想的应用．
针对训练1
1.如图，抛物线与轴交于， 两点，点在点 的左边，与轴交于点，点是抛物线的顶点，且，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线下方的抛物线上一动点，不与点，重合，过点 作 轴的垂线交 于点，求面积的最大值及此时点坐标；
【答案】（1）y＝x2＋2x－6；（2）S△ACP有最大值，点P的坐标是（－3，－）；
【解析】
【分析】
（1）设抛物线的解析式是y＝a（x＋2）2－8，把A（－6，0）代入即可求出解析式；
（2）先求出点C（0，－6），设点P（m，m2＋2m－6），设直线AC的解析式是y＝kx＋b，解得直线AC的解析式是y＝－x－6，得到E（m，－m－6），PE＝－m2－3m，利用S△ACP＝S△AEP＋S△CEP，即可得到答案；
【详解】
（1）设抛物线的解析式是y＝a（x＋2）2－8，把A（－6，0）代入得a（－6＋2）2－8＝0，解得a＝，
∴y＝（x＋2）2－8＝x2＋2x－6；
（2）解：当x＝0时，y＝－6，∴C（0，－6），
设点P（m，m2＋2m－6），
设直线AC的解析式是y＝kx＋b，
把A（－6，0），C（0，－6）代入得
，解得
∴直线AC的解析式是y＝－x－6，
∵PE⊥x轴交AC于E，
∴E（m，－m－6），
∴PE＝－m－6－（m2＋2m－6）＝－m2－3m（－6＜m＜0），
∵S△ACP＝S△AEP＋S△CEP＝=,
∴当m＝－3时，S△ACP有最大值，最大值为，
此时点P的坐标是（－3，－）；
【点评】
此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，函数与几何图形面积问题，勾股定理，直角三角形与函数图象的结合问题，正确理解题意根据题意画出图形解答是关键.
2.在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2＋bx＋2 的图象与 x 轴交于 A（﹣3，0），B（1，0）两点，与 y 轴交于点C．
（1）求这个二次函数的关系解析式 ，x 满足什么值时 y﹤0
（2）点 p 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点 P，使△ACP 面积最大？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由
【答案】（1）， 或；（2）P；
【解析】
【分析】
（1）将点A（﹣3，0），B（1，0）带入y＝ax2＋bx＋2得到二元一次方程组，解得即可得出函数解析式；又从图像可以看出x 满足什么值时 y﹤0；
（2）设出P点坐标，利用割补法将△ACP 面积转化为，带入各个三角形面积算法可得出与m之间的函数关系，分析即可得出面积的最大值；
【详解】
解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）两点带入y＝ax2＋bx＋2可得：
解得：
∴二次函数解析式为.
由图像可知，当或时y﹤0；
综上：二次函数解析式为，当或时y﹤0；
（2）设点P坐标为，如图连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N.
PM=，PN=，AO=3.
当时，，所以OC=2
，
∵
∴函数有最大值，
当时，有最大值，
此时；
所以存在点，使△ACP 面积最大.
【点评】
本题考查二次函数与几何综合题目，涉及到用待定系数法求二次函数解析式，通过函数图像得出关于二次函数不等式的解集，平面直角坐标系中三角形面积的计算通常利用割补法，并且将所要求得点的坐标设出来，得出相关方程.
直角三角形存在性问题
解题策略：
构造直角三角形的一般思路:
构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆.
动点产生的直角三角形的一般解法，以三角形ABC为直角三角形为例
代数法
（1）列出A、B、C的坐标，动点用参数表示；
（2）列出线段AB、AC、BC长度的平方；
（3）分类列方程：①，②，③；
2、几何法 （用相似三角形，暂略）
当直角三角形存在时可从三个角度进行分析研究：
当动点在直线上运动时，常用的方法是① ，②三角形相似（略）③勾股定理；
【例2-1】如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（3，0），B（﹣1，0），
∴ 解得：，
∴这条抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）用勾股定理
在y轴上存在点P，使得△PAM为直角三角形．
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点M（1，4），
∴AM2＝（3﹣1）2+42＝20，
设点P坐标为（0，p），
∴AP2＝32+p2＝9+p2，MP2＝12+（4﹣p）2＝17﹣8p+p2，
①若∠PAM＝90°，则AM2+AP2＝MP2，
∴20+9+p2＝17﹣8p+p2，
解得：p＝﹣，
∴P（0，﹣）．
②若∠APM＝90°，则AP2+MP2＝AM2，
∴9+p2+17﹣8p+p2＝20，
解得：p1＝1，p2＝3，
∴P（0，1）或（0，3）．
③若∠AMP＝90°，则AM2+MP2＝AP2，
∴20+17﹣8p+p2＝9+p2，
解得：p＝，
∴P（0，）．
综上所述，点P坐标为（0，﹣）或（0，1）或（0，3）或（0，）时，△PAM为直角三角形．
【例2-2】在平面直角坐标平面内，O为原点，二次函数的图像经过点A（，0）和点B（0，3），顶点为P．
（1）求二次函数解析式及点P的坐标；
（2）如果点Q是x轴上一点，以点A、P、Q为顶点的三角形是直角三角形，求点Q的坐标．
【答案】（1）解析式：，顶点（1，4）； （2）点Q的坐标是（1，0）或（9，0）．
【解析】（1）由题意得，解得：，；
∴二次函数解析式为，
∴点P的坐标是（1，4）；
（2）P（1，4），A（，0），∴
设点Q的坐标是（x，0），则，．
当时，，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴点Q的坐标是（1，0）；
当时，，
∴，
解得：，
∴点Q的坐标是（9，0）．
当时，不合题意．
综上所述，所求点Q的坐标是（1，0）或（9，0）．
【点评】本题一方面考查二次函数的解析式及顶点坐标的确定，另一方面考查二次函数背景下的直角三角形的存在性，注意利用勾股定理确定点的坐标．
针对训练2
1.在平面直角坐标系中，坐标原点为O，已知抛物线与y轴交于点A，它的顶点为B，连接，则称为抛物线的伴生三角形，直线为抛物线的伴生直线．
（1）如图1，求抛物线的伴生直线的解析式．
（2）已知抛物线的伴生直线为，求k的值．
（3）如图2，若抛物线的伴生直线是，且伴生三角形是直角三角形，求此抛物线的解析式．
【答案】（1）；（2）；（3）或．
【解析】
【分析】
（1）求出抛物线与y轴的交点坐标和顶点坐标，然后利用待定系数法即可求出结论；
（2）求出伴生直线与y轴的交点坐标，然后代入抛物线解析式中即可求出结论；
（3）先求出伴生直线与y轴的交点坐标，从而求出OA的长，然后根据点B的位置分类讨论，分别求出点B的坐标即可求出m和n的值，再将点A的坐标分别代入即可求出结论．
【详解】
解：（1）∵在中，当时，，
∴抛物线与y轴的交点坐标为，
顶点坐标为．
设伴生直线的解析式为，
则，
解得，
∴抛物线的伴生直线的解析式为．
（2）∵伴生直线与y轴的交点为，
∴抛物线与y轴的交点为．
把点代入抛物线中，
得．
（3）∵伴生直线与y轴的交点A为，
∴．
∵伴生三角形是直角三角形，
满足条件的点B有两个．
①B点在x轴上时，，则B点为，
∴．
将点代入中，得，
∴抛物线的解析式为．
②B点在直线上，且，如图，
过点B分别作轴，轴，
易得，
∴点B的坐标为，
∴抛物线的解析式可表示为．
将点代入中，
得，
∴抛物线的解析式为．
综上所述，抛物线的解析式为或．
【点评】
此题考查的是二次函数、一次函数和几何图形的综合大题，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式和抛物线的伴生三角形、抛物线的伴生直线是解题关键．
2.如图，抛物线与轴交于， 两点，点在点 的左边，与轴交于点，点是抛物线的顶点，且，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2＋2x－6；（2）存在， M的坐标是（－2，4）或（－2，－8）或（－2，－3＋）或（－2，－3－）．
【解析】
【分析】
（1）设抛物线的解析式是y＝a（x＋2）2－8，把A（－6，0）代入即可求出解析式；
（2）根据OA＝OC，得到∠OAC＝∠OCA＝45°，再分三种情况：①当∠CAM＝90°时，②当∠ACM＝90°时，③当∠AMC＝90°时，分别求出答案.
【详解】
（1）设抛物线的解析式是y＝a（x＋2）2－8，把A（－6，0）代入得a（－6＋2）2－8＝0，解得a＝，
∴y＝（x＋2）2－8＝x2＋2x－6；
（2）存在，抛物线的对称轴是直线x＝－2，设M（－2，t）．
直线x＝－2交x轴于H，
在Rt△AOC中，OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°.
①当∠CAM＝90°时，如图1，∠MAO＝90°－∠OAC＝45°，
∴AH＝MH＝4，
∴M（－2，4）；
②当∠ACM＝90°时，如图2，过点M作MG⊥y轴于G，
则∠MCG＝180°－∠ACM－∠ACO＝45°，
∴MG＝CG＝2，
∴OG＝OC＋CG＝8，
∴M（－2，－8）；
③当∠AMC＝90°时，如图3，
设M（-2，t），
∵AM2＋CM2＝AC2，
∴（－2＋6）2＋t2＋（－2）2＋（t＋6）2＝72，解得t＝－3±，
∴M（－2，－3＋）或（－2，－3－），
∴综上所述，M的坐标是（－2，4）或（－2，－8）或（－2，－3＋）或（－2，－3－）.
【点评】
此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，函数与几何图形面积问题，勾股定理，直角三角形与函数图象的结合问题，正确理解题意根据题意画出图形解答是关键.
等腰三角形存在性问题
解题策略：
构造等腰三角形的一般思路
平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长为半径作圆，再作线段的垂直平分线。
动点产生的等腰三角形的一般解法，以三角形ABC为等腰三角形为例：
代数法
分类.；AB=AC，AB=BC，AC=BC；
画图；
①以 AB 为半径，点 A 为圆心做圆， 此时，圆上的点与 A、B 构成以 A 为
顶点的等腰三角形
②以 AB 为半径，点 B 为圆心做圆， 此时，圆上的点与 A、B 构成以 B 为
顶点的等腰三角形
③做 AB 的垂直平分线，此时，直线上的点（除 F 点外）与 A、B 构成以 C 为
顶点的等腰三角形
列方程；利用两点间的距离公式表示出线段AB,BC,AC的长度.根据AB=AC，AB=BC，AC=BC分类列方程
注意：如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来
2、几何法
设未知数，表示出A,B,C三个顶点的坐标.
利用等腰三角形的性质、全等三角形和相似三角形以及三角函数表示出线段AB,BC,AC的长度.
分类列方程：AB=BC,BC=CA,AB=AC.
注意：如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．
用相似的方法得到的代数式构造一般比较简单，但对几何能力的要求较高，用勾股定理则反之
数学思想方法：分类讨论、数形结合、转化化归和方程建模等数学思想. 有时几何法和代数法相结合使用，可以使得解题更快。
问题总结：
（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；
（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；
（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．
【例3-1】如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(﹣3，0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣1，）或P（﹣1，﹣）或P（﹣1，6）或P（﹣1，）；
【解析】
【分析】
（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：
①当CP＝PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y轴于Q，如果设PM＝CP＝x，那么直角三角形CPQ中CP＝x，OM的长，可根据M的坐标得出，CQ＝3﹣x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标．
②当CM＝MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标（要注意分上下两点）．
③当CM＝CP时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y＝3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标；
【详解】
（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴，
解得：．
∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如答图1，
∵抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，
∴其对称轴为x＝＝﹣1，
∴设P点坐标为（﹣1，a），当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），M（﹣1，0）
∴当CP＝PM时，（﹣1）2+（3﹣a）2＝a2，解得a＝，
∴P点坐标为：P1（﹣1，）；
∴当CM＝PM时，（﹣1）2+32＝a2，解得a＝±，
∴P点坐标为：P2（﹣1，）或P3（﹣1，﹣）；
∴当CM＝CP时，由勾股定理得：（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a＝6，
∴P点坐标为：P4（﹣1，6）．
综上所述存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣1，）或P（﹣1，﹣）或P（﹣1，6）或P（﹣1，）；
【点评】
本题主要考查了二次函数的综合知识，要注意的是（2）中，不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分类进行求解，不要漏解．
【例3-2】二次函数过、两点，与轴正半轴交于，
（1）求二次函数解析式；
（2）抛物线对称轴上是否存在点，使得三角形为等腰三角形，若存在，直接写出坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）D点的坐标为：（1，0），（1，1），（1，），D（1，-），（1，6）；
【解析】
【分析】
（1）先求出C（0，3），再把A（-1，0），B（3，0），C（0，3）代入，求出a，b，c的值即可；
（2）分三种情形讨论即可①CD=AD，②AD=AC，③AC=CD，画出图形即可解决问题；
【详解】
解：（1）∵过、两点，且，
∴C（0，3），
把A（-1，0），B（3，0），C（0，3）代入得，
，
解得，，
∴ ；
（2）抛物线的对称轴为x=，顶点坐标为（1，4），
设D点坐标为：D（1，a），
①如图1，以AC为底，CD=AD时，
∴，
∴
解得，a=1
∴D(1,1);
②以CD为底，AD=AC，如图2，
∵AC=
∴
解得，
∴D（1，），或D（1，-）；
③以AD为底，AC=CD=,如图3，
∴
解得，a=0或6，（当a=6时，ACD共线，舍去）
∴D（1，0）
综上所述，D点的坐标为：（1，0），（1，1），（1，），D（1，-）；
【点评】
本题考查二次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，考虑问题要全面，不能漏解，属于中考常考题型．
针对训练3
1.如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）（2，7）或（2，﹣1+2 ＝）或（2，﹣1﹣2）或（2，）
【解析】
【分析】
（1）用直线表达式求出点B、C的坐标，将点B、C的坐标代入y＝x2+bx+c，即可求解；
（2）分CM＝CP、CP＝PM、CM＝PM三种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）y＝﹣x+3，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝3，
故点B、C的坐标为（3，0）、（0，3），
将点B、C的坐标代入y＝x2+bx+c并解得：b＝﹣4，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，
令y＝0，则x＝1或3，故点A（1，0），点P（2，﹣1）；
（2）点C（0，3）、点P（2，﹣1），设点M（2，m），
CP2＝4+16＝20，CM2＝4+（m﹣3）2＝m2﹣6m+13，PM2＝m2+2m+1，
①当CM＝CP时，20＝m2﹣6m+13，解得：m＝7或﹣1（舍去m＝﹣1）；
②当CP＝PM时，同理可得：m＝﹣1±2；
③当CM＝PM时，同理可得：m＝；
故点M坐标为：（2，7）或（2，﹣1+2 ＝）或（2，﹣1﹣2）或（2，）．
【点评】
主要考查了二次函数的解析式的求法与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
2.如图，抛物线与轴相交于两点（点位于点的左侧），与轴相交于点，是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，且点的坐标为．
（1）求抛物线的解析式．
（2）已知为线段上一个动点，过点作轴于点，在线段上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，点的坐标为或．
【解析】
【分析】
（1）点C坐标代入解析式可求c的值，由对称轴可求b的值，即可求解；
（2）分三种情况讨论，利用两点距离公式列出方程可求解．
【详解】
（1）抛物线的对称轴为直线．
又抛物线与轴的交点为，
抛物线的解析式为．
（2）存在．
当时，
，
，
解得（舍去）或，此时．
当时，
解得（舍去）或，此时．
当时，
，
，
解得或，均不符合题意，舍去．
综上所诉，存在点使为等腰三角形，点的坐标为或．
【点评】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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