北师大版九年级数学上册1.1 菱形的性质与判定 练习题 (含解析)

1.1 菱形的性质与判定（练习题） 北师大版九年级上册
一．选择题
1．如图 ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（　　）
A．若OB＝OD，则 ABCD是菱形
B．若AC＝BD，则 ABCD是菱形
C．若OA＝OD，则 ABCD是菱形
D．若AC⊥BD，则 ABCD是菱形
2．如图菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的周长为（　　）
A． B．16 C． D．8
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AO＝2，OB＝4，则菱形ABCD的面积是（　　）
A．4 B．8 C．16 D．20
4．如图所示，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（　　）
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
5．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在边BC上，连接AE，OE．若∠CAE＝∠OBE，OE＝2，CE＝，则边AB的长为（　　）
A． B． C． D．5
6．若菱形的周长为100cm，有一条对角线为48cm，则菱形的面积为（　　）
A．336cm2 B．480cm2 C．300cm2 D．168cm2
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD分别为16和12，DE⊥AB于点E，则DE＝（　　）
A． B． C．10 D．8
8．如图， ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件：____使得 ABCD是菱形（　　）
A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AC＝BD
9．如图，菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，点E在AC上，CE＝CD，AC＝16，CD＝10，则DE的长为（　　）
A．2 B．4 C． D．4
10．已知菱形的面积为120cm2，一条对角线长为10cm，则这个菱形的周长为（　　）cm．
A．13 B．24 C．52 D．60
二．填空题
11．菱形ABCD的周长为20，且有一个内角为120°，则它较短的对角线长为 　 　．
12．如图，已知点A的坐标是（﹣2，1），点B的坐标是（﹣1，﹣1），菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，则点D的坐标是 　 　．
13．菱形ABCD的两条对角线AC＝8cm，BD＝6cm，那么菱形的边长是 　 　cm．
14．当四边形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此四边形为“特征四边形”．已知一个菱形是“特征四边形”，这个菱形最短的对角线与最长的对角线长度之比是 　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴上，顶点B，C的坐标分别为（﹣6，0），（4，0），则点D的坐标是 　 　．
三．解答题
16．如图．P是菱形ABCD的对角线AC上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F．
（1）若∠BAD＝60°，PE＝1，求AE的长；
（2）若∠BAD＝90°，判断四边形AEPF的形状，并说明理由．
17．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．
（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；
（2）若AC＝24，BD＝10，求△ADE的周长．
18．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G．
（1）求证：四边形BDEG是平行四边形；
（2）若菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，求EG的长．
19．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O．且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：△AOE≌△COD；
（2）若AB＝BC，求证：四边形AECD是菱形．
20．在△ABC中，过A作AD∥BC，交∠ACB的平分线于点D，点E是BC上，连接DE，交AB于点F，∠EFB＝∠CAB．
（1）如图1，求证：四边形ACED是菱形；
（2）如图2，G是AD的中点，H是边AC的中点，连接CG、EG、EH，若∠ACB＝90°，BC＝2AC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与△CEH全等的三角形（不含△CEH本身）．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
2．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，∠BAC＝∠CAD＝∠BAD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝4＝AD＝CD，
∴菱形ABCD的周长＝4×4＝16，
故选：B．
3．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2AO＝4，BD＝2OB＝8，
则菱形ABCD的面积＝×AC×BD＝4×8＝16
故选：C．
4．【解答】解：由AB＝AC，将△ABC沿BC边翻折可得AB＝BD＝CD＝AC，所以根据“四边相等的四边形是菱形”可得四边形ABDC是菱形．
故选：B．
5．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，AB＝BC，
∵∠CAE＝∠OBE，∠ACE＝∠OCB，
∴△ACE∽△BCO，
∴∠AEC＝∠BOC＝90°，，
∵AO＝OC，
∴AC＝2OE＝4，
∴，
∴BC＝，
∴AB＝，
故选：A．
6．【解答】解：如图，设对角线AC、BD交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，周长为100cm，BD＝48cm，
∴AB＝25cm，OA＝OC，OB＝OD＝24cm，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝＝7（cm），
∴AC＝2OA＝14cm，
∴菱形ABCD的面积＝AC BD＝×14×48＝336（cm2），
故选：A．
7．【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝8，DO＝BO＝6，AC⊥BD，
∴AB＝＝＝10，
∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝AB×DE，
∴×16×12＝10×DE，
∴DE＝，
故选：A．
8．【解答】解：当AC⊥BD时， ABCD是菱形，
故选：B．
9．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，DO＝BO，AC⊥BD，
∵AC＝16，CD＝10，
∴CO＝8，
∴OD＝＝＝6，
∵CE＝CD＝10，
∴OE＝CE﹣OC＝10﹣8＝2，
∴DE＝＝＝2，
故选：A．
10．【解答】解：∵菱形的一条对角线长为10cm，面积为120cm2，
∴另一对角线长为＝24（cm），
根据勾股定理，菱形的边长为＝13（cm），则菱形的周长＝13×4＝52（cm）．
故选：C．
二．填空题
11．【解答】解：如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，
则∠B+∠BAD＝180°，
∴∠B＝60°，
∵菱形ABCD的周长为20，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB＝5，
故答案为：5．
12．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴OB＝OD，
又∵点O为坐标原点，
∴点B和点D关于原点对称，
∵点B的坐标为（﹣1，﹣1），
∴D点坐标为（1，1），
故答案为：（1，1）．
13．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO＝OD＝BD＝×6＝3（cm），AO＝OC＝AC＝×8＝4（cm），
∴AB＝＝5（cm），
故答案为：5．
14．【解答】解：∵菱形中一个内角α是另一个内角β的两倍，
∴α＝2β，
∵菱形相邻的内角互补，
∴α+β＝180°，
∴2β+β＝180°，
∴β＝60°，
∴菱形最短的对角线与最长的对角线长度之比是1：．
故答案为：1：．
15．【解答】解：∵顶点B，C的坐标分别为（﹣6，0），（4，0），
∴OB＝6，OC＝4，
∴BC＝OB+OC＝10，
∵菱形ABCD，
∴AB＝AD＝BC＝10，AD∥BC，
在Rt△ABO中，，
∴A（0，8），
∵AD∥BC，AD＝10，
∴D（10，8）．
故答案为：（10，8）．
三．解答题
16．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠PAD＝∠PAB＝30°，
∵PE⊥AE，
∴AP＝2PE＝2，
∴AE＝＝＝；
（2）四边形AEPF是正方形，
理由如下：
在△APE和△APF中，
，
∴△APE≌△APF（AAS），
∴PE＝PF；
∵∠BAD＝90°，PE⊥AB，PF⊥AD，
∴四边形AEPF是矩形，
∴四边形AEPF是正方形．
17．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∵DE⊥BD，
∴DE∥AC，
∴四边形ACDE是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，
∴AO＝AC＝12，DO＝BD＝5，AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∴CD＝AD＝＝＝13，
由（1）得：四边形ACDE是平行四边形，
∴AE＝CD＝13，DE＝AC＝24，
∴△ADE的周长＝AD+AE+DE＝13+13+24＝50．
18．【解答】（1）证明：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，
∵点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF∥BD，
∴四边形BDEG是平行四边形；
（2）解：设AC与BD的交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝，∠AOB＝90°，
由勾股定理得，BO＝＝＝5，
∴BD＝2BO＝10，
∵四边形BDEG是平行四边形，
∴EG＝BD＝10．
19．【解答】（1）证明：在△AOE和△COD中，
，
∴△AOE≌△COD（ASA）；
（2）证明：∵△AOE≌△COD，
∴OD＝OE，
又∵AO＝CO，
∴四边形AECD是平行四边形，
又∵AB＝BC，AO＝CO，
∴OB⊥AC，
∴平行四边形AECD是菱形．
20．【解答】（1）证明：∵∠EFB＝∠CAB
∴DE∥AC，
∵AD∥BC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠BCD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴AD＝AC，
∴四边形ACED是菱形；
（2）解：∵∠ACB＝90°，
∴菱形ACED是正方形，
∴∠D＝∠CAG＝∠DEC＝90°，
AC＝AD＝CE，
∵G是AD的中点，H是AC边中点，
∴AG＝DG＝CE，
∴△EDG≌△CAG≌△ECH（SAS），
∵BC＝2AC，
∴BE＝CE＝AD，
∵AD∥BE，
∴∠B＝∠DAF，
∵∠AFE＝∠BFE，
∴△BFE≌△AFD（AAS），
∵AD＝CE＝BE，
∴△BEF≌△ECH，
∴图中与△CEH全等的三角形有△ADF，△EDG，△CAG，△EBF．