3.2.2奇偶性 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
3.2.2 奇偶性
生活中的对称美
在平面直角坐标系中，利用描点法作出函数 和 的图象
并观察这两个函数图象，总结出它们的共同特征。
x
y
o
1
2
3
4
5
-1
1
2
3
-1
-2
-3
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
f(x)=x2 … …
9 4 1 0 1 4 9
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
f(x)=2-|x| … …
-1 0 1 2 1 0 -1
x
y
o
1
2
3
4
5
-1
1
2
3
-1
-2
-3
图象关于y轴对称
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
f(x)=x2 … …
9 4 1 0 1 4 9
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
f(x)=2-|x| … …
-1 0 1 2 1 0 -1
可以发现当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等
f(-1)=1=f(1)
f(-2)=4=f(2)
f(-3)=9=f(3)
例如对于函数f (x)=，有
f(-x)=
x
y
o
1
2
3
4
5
-1
1
2
3
-1
-2
-3
偶函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果x,且f(-x)=f(x), 那么函数f(x) 就叫做偶函数.
偶函数
偶函数的图象关于y轴对称，
反之，图像关于y轴对称的函数为偶函数
思考1:定义中“x,”说明了什么？
说明-x、x必须同时属于定义域
即偶函数的定义域要关于原点对称
偶函数的图像特征
判断下列函数是否为偶函数。
是
不是
总结：一个函数为偶函数需满足两个条件：
,
f(-x)=f(x)
（即定义域要关于坐标原点对称）
观察函数 和 的图象，你能发现这两个函数有什么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述一下这一特征吗？
图象关于原点对称
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f (x)=x
0
1
2
3
-1
-2
-3
1
-1
-
-
可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值也是一对相反数。
例如对于函数f (x)=x，有
奇函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果x
且f(-x)= - f(x), 那么函数f(x) 就叫做奇函数.
奇函数
奇函数的图象关于原点对称，
反之，图像关于原点对称的函数为奇函数
奇函数的图像特征
与偶函数一样，奇函数的定义域也要关于原点对称
思考2:对比奇函数和偶函数的定义和图像，它们有什么区别与联系？
联系：奇函数和偶函数的定义域都要关于坐标原点对称，若不满足此条件，则函数即非奇函数也非偶函数；
区别：
奇函数：x
偶函数： xf(-x)=-f(x)
偶函数的图象关于y轴对称，
奇函数的图象关于原点对称。
例1：判断下列函数的奇偶性：
解：（1）函数f(x)=x4的定义域是R.因为对于任意的x∈R，都有
　　 f(-x)=(x)4 =x4= f(x),
所以函数f(x)=x4是偶函数。
（2）函数f(x)= x5的定义域是R.因为对于任意的x∈R，都有
　　 f(-x)= （-x）5 = -x5 = -f(x),
所以函数f(x)= x5是奇函数。
例1：判断下列函数的奇偶性：
解：（3）函数 =x+ 的定义域是 {x|x} .因为对于任意的 x{x|x} ，
都有 =-x = -(x )=- , 所以函数 =x+ 是奇函数。
（4）函数 = 的定义域是{x|x} . 因为对于任意的 x{x|x} ，
都有 == = , 所以函数 =是偶函数。
思考3：（1）判断函数 的奇偶性。
（2）如图，是函数 图象的一部分，
你能根据函数的奇偶性 画出它在y轴左边的图象吗？
（3）一般地，如果知道函数为偶（奇）函数，那么
我们可以怎样简化对它的研究？
奇函数
变式练习：（课本85页第2题）
补充：判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)=x+1
（2）f(x)=+
（3）f(x)=
（4）f(x)=
根据定义判断函数的奇偶性的步骤：
判断函数的奇偶性的方法：
（1）先求定义域，看是否关于原点对称
若定义域不关于原点对称，则函数 ________________
(2)若定义域关于原点对称，再判断f (-x)与f (x)的关系：
① 若f (-x)=f (x)，则函数为____________;
②若f (-x)=-f (x)，则函数为____________;
③若f (-x)=f (x)，且f (-x)=-f (x)则函数________________;
④若f (-x)=f (x)，则函数为_____________________;
图象法、定义法
既非奇函数，又非偶函数
偶函数
奇函数
既是奇函数又是偶函数
既非奇函数，又非偶函数
偶函数 奇函数
定义
图象
定义域
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),
关于y轴对称
关于原点对称
关于原点对称
用定义法判断函数的奇偶性的步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定f(-x)和f(x)的关系；
③作出相应结论。