黑龙江省大庆市2023年数学中考试卷
一、单选题
1．（2023·大庆）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解： 的相反数是-2023，
故答案为：B.
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，根据相反数的定义计算求解即可。
2．（2023·大庆）搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭于年月日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此图案不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、此图案不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、此图案是中心对称图形，故C符合题意；
D、此图案不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，再对各选项逐一判断.
3．（2023·大庆）大庆油田发现预测地质储量12.68亿吨的页岩油，这标志着我国页岩油勘探开发取得重大战略突破．数字1268000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 1268000000=1.268×109.
故答案为：A.
【分析】根据科学记数法的表示形式：a×10n，其中1≤|a|＜10，此时是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.
4．（2023·大庆）一个长方体被截去一部分后，得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上往下看是一个矩形.
故答案为：A.
【分析】俯视图就是从几何体的上面往下看，所看到的平面图形，根据几何体可得到是俯视图的选项.
5．（2023·大庆）已知 ，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的加法；有理数的乘法法则；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】∵
∴
A： 在第一象限
B： 在第二象限
C： 在第三象限
D： 在第四象限
小手盖住的点位于第二象限
故答案为：B
【分析】根据 ，得出 ，判断选项中的点所在的象限，即可得出答案．
6．（2023·大庆）某中学积极推进学生综合素质评价改革，该中学学生小明本学期德、智、体、美、劳五项的评价得分如图所示，则小明同学五项评价得分的众数、中位数、平均数分别为（ ）
A．9，9， B．9，9， C．8，8， D．9，8，
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：该同学五项得分从小到大排列为7，8，9，9，10，
∵这组数据中9出现了2次，是出现次数最多的数，
∴这组数据的众数为9；
∵处于最中间的数是9，
∴这组数据的中位数是9；
平均数为
故答案为：B.
【分析】求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数，据此可求解.
7．（2023·大庆）下列说法正确的是（ ）
A．一个函数是一次函数就一定是正比例函数
B．有一组对角相等的四边形一定是平行四边形
C．两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等
D．一组数据的方差一定大于标准差
【答案】C
【知识点】一次函数的概念；三角形全等的判定；平行四边形的判定；方差；标准差
【解析】【解答】解：A、一个函数是正比例函数就一定是一次函数，故A不符合题意；
B、有一组对角相等的四边形不是平行四边形，故B不符合题意；
C、两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等，故C符合题意；
D、一组数据的方差不一定大于标准差，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用一次函数不一定是正比例函数，可对A作出判断；利用平行四边形的判定定理可对B作出判断；利用SAS可对C作出判断；利用一组数据的方差不一定大于标准差，可对D作出判断.
8．（2023·大庆）端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高25%，当粽子降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设粽子的降价幅度为x，成本价为a元，则标价为（1+25％）m元，根据题意得
（1+25％）m（1-x）≥m，
解之：x≥20％，
∴ 当粽子降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为20％.
故答案为：A.
【分析】设粽子的降价幅度为x，成本价为a元，根据当粽子降价出售时，为了不亏本，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的最小值即可.
9．（2023·大庆）将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD和四边形BGHF是完全相同的菱形，
∴∠A=∠FBG=∠C=α，BC=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∴
∴，
解之：.
故答案为：D.
【分析】利用菱形的性质可证得∠A=∠FBG=∠C=α，BC=CD，利用等边对等角可证得∠CBD=∠CDB，再利用三角形的内角和定理可得到，代入可求出β.
10．（2023·大庆）如图1，在平行四边形中，，已知点在边上，以1m/s的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点向点运动．若点，同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动．图2是的面积与点的运动时间之间的函数关系图象（点为图象的最高点），则平行四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形；二次函数的实际应用-几何问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：过点A作AF⊥BC交CB的延长线于点F，过点P作PE⊥BC于点E，
由题意可知，PA=t，，
设AB=x，则，BP=x-t，
∵∠ABC=120°，
∴∠ABE=180°-120°=60°，
∴，
∴
由图象可知y的最大值为3，
∴，
解之：x=±4，
∵x＞0，
∴x=4，
∴AB=4，；
在Rt△ABF中，，
∴S平行四边形ABCD=.
故答案为：C.
【分析】过点A作AF⊥BC交CB的延长线于点F，过点P作PE⊥BC于点E，利用点的运动方向和速度，结合已知条件，可得到PA=t，，设AB=x，则，BP=x-t，利用邻补角的定义可求出∠ABE=60°，利用解直角三角形表示出PE的长，再利用三角形的面积公式可得到y与t的函数解析式，观察图象可知y的最大值为3，利用顶点的纵坐标公式，可求出x的值，即可得到AB，CB的长；在Rt△ABF中，利用解直角三角形求出AF的长，然后利用平行四边形的面积公式可求出平行四边形ABCD的面积.
二、填空题
11．（2023·大庆）为了调查某品牌护眼灯的使用寿命，比较适合的调查方式是 （填“普查”或“抽样调查”）．
【答案】抽样调查
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解： 为了调查某品牌护眼灯的使用寿命，比较适合的调查方式是抽样调查.
故答案为：抽样调查.
【分析】抽样调查：它所调查对象的个体很多，不可能全部进行调查，或考察对象不多，但考察时具有破坏性，据此可得答案.
12．（2023·大庆）一个圆锥的底面半径为5，高为12，则它的体积为 ．
【答案】
【知识点】圆锥的体积
【解析】【解答】解：∵ 一个圆锥的底面半径为5，高为12，
∴它的体积为π×52×12=100π.
故答案为：100π.
【分析】利用圆锥的体积等于底面积×高，列式计算.
13．（2023·大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ．
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵折叠，
∴∠A=∠BMN=90°，
∴∠DMN+∠CMB=90°，
∵矩形ABCD，
∴∠D=∠C=90°，
∴∠DNM+∠AMN=90°，
∴∠DNM=∠CMB，
∴△NDM∽△MCB.
故答案为：△MCB.
【分析】利用折叠的性质和矩形的性质可证得∠A=∠BMN=90°，∠D=∠C=90°，再利用余角的性质可证得∠DNM=∠CMB，然后利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△NDM∽△MCB，即可求解.
14．（2023·大庆）已知，则x的值为 ．
【答案】，1，3
【知识点】零指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵，
当x+1=0时，
解之：x=-1；
当x-2=1时，
解之：x=3；
当x-2=-1且x+1是偶数时，
解之：x=1；
∴x的值为-1，1，3
故答案为：-1，1，3.
【分析】分情况讨论：当x+1=0时；当x-2=1时；当x-2=-1且x+1是偶数时；分别解方程求出x的值.
15．（2023·大庆）新高考“3+1+2”选科模式是指，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科．某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：思想政治、地理、化学、生物学分别用A、B、C、D表示，列树状图如下
一共有12种结果数，恰好选择地理和化学的有2种情况，
∴P（ 恰好选择地理和化学的 ）=
故答案为：.
【分析】思想政治、地理、化学、生物学分别用A、B、C、D表示，根据题意可知此事件是抽取不放回，列出树状图，利用树状图可得到所有的可能的结果数及恰好选择地理和化学的情况数，然后利用概率公式进行计算.
16．（2023·大庆）若关于的不等式组有三个整数解，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
由①得：；
由②得：x≤4+a，
∵不等式组有三个整数解为-1，0，1，
∴1≤4+a＜2
解之：-3≤a＜-2.
故答案为：-3≤a＜-2.
【分析】先求出不等式组中的每一个不等式的解集，再根据不等式组有三个整数解，可得到这三个整数解是0，1，2，据此可得到关于a的不等式组，然后求出a的取值范围.
17．（2023·大庆）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 ．
【答案】128
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵（a+b）0=1，展开各项系数之和为1；
（a+b）1，展开各项系数之和为1+1=21；
（a+b）2，展开各项系数之和为1+2+1=4=22；
（a+b）n，展开各项系数之和为2n；
∴（a+b）7，展开各项系数之和为27=128；
故答案为：128.
【分析】观察可知（a+b）0=1，展开各项系数之和为1；（a+b）1，展开各项系数之和为21；（a+b）2，展开各项系数之和为22；根据此规律可知（a+b）n，展开各项系数之和为2n；然后求出（a+b）7，展开各项系数之和.
18．（2023·大庆）如图，在中，将绕点A顺时针旋转至，将绕点A逆时针旋转至，得到，使，我们称是的“旋补三角形”，的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有 ．
①与面积相同；
②；
③若，连接和，则；
④若，，，则．
【答案】①②③
【知识点】菱形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：延长AD，使DE=AD，连接B′E，C′E，BB′，CC′，
∵AD是中线，
∴B′D=C′D，
∴四边形AB′EC′是平行四边形，
∴S△AB′C′=S△AB′E，B′E=AC′，B′E∥AC′，
∴∠B′AC′+∠AB′E=180°，
∵∠BAC+∠B′AC′=180°，
∴∠AB′E=∠BAC，
∵ 将绕点A顺时针旋转至，将绕点A逆时针旋转至，
∴AB=AB′，AC=AC′=B′E，
在△BAC和△AB′E中
∴△BAC≌△AB′E（SAS），
∴BC=AE，S△ABC=S△AB′E，
∴S△AB′C′=S△ABC，故①正确；
∵AE=2AD，
∴BC=2AD，故②正确；
∵AB=AC，
∴AB′=AC′=AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，∠ABB′=∠AB′B，∠ACC′=∠AC′C，∠AB′C′=∠AC′B′，
∵∠BAC+∠B′AC′=180°，
∴α+β=180°，∠B′C′A+∠ABC=90°，
∴∠ABB′+∠AC′C=90°，
∴∠B′BC+∠CC′B′=180°，故③正确；
∵BC=6，
∴AD=3，
∵AB′=AC′=AB=AC=4，
∴四边形AC′EB′是菱形，
∴B′C′⊥AE，B′D=C′D，
∴，
∴B′C′=2B′D=，故④错误；
故答案为：①②③.
【分析】延长AD，使DE=AD，连接B′E，C′E，BB′，CC′，利用中线的定义可证得B′D=C′D，可推出四边形AB′EC′是平行四边形，利用平行四边形的性质可得到S△AB′C′=S△AB′E，B′E=AC′，B′E∥AC′，利用补角的性质可证得∠AB′E=∠BAC；再利用旋转的性质可得到AB=AB′，AC=AC′=B′E，利用SAS证明△BAC≌△AB′E，可推出BC=AE，S△ABC=S△AB′E，由此可证得S△AB′C′=S△ABC，可对①作出判断；由AE=2AD，可得到BC=2AD，可对②作出判断；利用已知易证AB′=AC′=AB=AC，利用等腰三角形的性质可推出∠ABC=∠ACB，∠ABB′=∠AB′B，∠ACC′=∠AC′C，∠AB′C′=∠AC′B′，由此可得到∠ABB′+∠AC′C=90°，即可求出∠B′BC+∠CC′B′=180°，可对③作出判断；利用菱形的性质可证得B′C′⊥AE，B′D=C′D，利用勾股定理求出B′D的长，即可得到B′C′的长，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
三、解答题
19．（2023·大庆）计算：．
【答案】解：原式＝-1+-2×+2
＝-1++2
=1．
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先算乘方运算，代入特殊角的三角函数值，同时化简绝对值，再算乘法运算，然后合并即可.
20．（2023·大庆）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】将分子分母中能分解因式的先分解因式，再进行通分计算，然后两x=1代入化简后的分式进行计算.
21．（2023·大庆）为营造良好体育运动氛围，某学校用元购买了一批足球，又用元加购了第二批足球，且所购数量是第一批购买数量的倍，但单价降了元，请问该学校两批共购买了多少个足球
【答案】设第一批足球单价为元，则第二批足球单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
则第二批足球单价为：，
∴该学校两批共购买了，
答：该学校两批共购买了个．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】此题的等量关系为：第二批的单价=第一批的单价-2， 第二批所购数量=第一批购买数量×2；据此设未知数，列方程，求解即可.
22．（2023·大庆）某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点出发，途经点后到达山顶，其中米，米，且段的运行路线与水平方向的夹角为，段的运行路线与水平方向的夹角为，求垂直高度．（结果精确到米，参考数据：，，）
【答案】解：过点作于，作于，则四边形为矩形，
，
在中，，，
则（米），
米，
在中，，米，
则米，
米．
答：垂直高度约为米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点B作BD⊥PC于点D，过点B作BE⊥AC于点E，易证四边形DCEB是矩形，利用矩形的性质可知BE=DC，在Rt△ABE中，利用解直角三角形可求出BE的长，在Rt△PBD中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出PD的长，然后根据PC=PD+CD，代入计算求出PC的长.
23．（2023·大庆）为了解我校学生本学期参加志愿服务的情况，随机调查了我校的部分学生，根据调查结果，绘制出如图统计图，若我校共有1000名学生，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的学生人数为 ，扇形统计图中的 ；
（2）求所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数；
（3）学校为本学期参加志愿服务不少于7次的学生颁发“志愿者勋章”，请估计我校获“志愿者勋章”的学生人数．
【答案】（1）40；25
（2）解：根据题意可得：
所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数为：（次）；
（3）解：根据题意得：
（人），
答：我校获“志愿者勋章”的学生人数是700人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：（1） 本次接受调查的学生人数为8÷20％=40人；
m％=×100％=25％，
∴m=25.
故答案为：40，25
【分析】（1）本次接受调查的学生人数=参加6次的人数÷参加6次的人数所占的百分比，列式计算；再求出m的值.
（2）利用条形统计图及平均数公式，列式计算即可.
（3）利用我校的学生总人数× 参加志愿服务不少于7次的学生的人数所占的百分比，列式计算即可.
24．（2023·大庆）如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
（2）解：过点作于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积等于，
∵，，
∵点是对角线的中心，
∴，
∴，
∴平行四边形ABCE的面积为：．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证得AD∥BC，利用平行线的性质可得到∠DAF=∠AFC，∠ADC=∠DCF，利用线段的中点可知DE=CE，利用AAS证明△ADE≌△FCE，利用全等三角形的对应边相等可得到AE=EF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得四边形ACFD是平行四边形，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形，可证得结论.
（2）过点E作EG⊥AC于点G，利用平行四边形的性质可证得AD=BC，利用矩形的性质可推出AD=BC=CF，利用勾股定理求出DF的长；观察图形可知S四边形ABCE=S△ABC+S△AEC，利用三角形的面积公式求出△ABC的面积，利用三角形的中位线定理求出GE的长，可得到△ACE的面积，然后代入计算求出四边形ABCE的面积.
25．（2023·大庆）一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点的坐标为．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）过动点作轴的垂线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于，两点，当在的上方时，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：把代入一次函数，
得，
解得：，
一次函数的解析式为：，
把代入反比例函数，
得，
解得：，
反比例函数的解析式为：；
（2）解：联立，
解得：或，
，
令直线与交于点，如图，
，
当时，，
解得：，
，
（3）解：由图象可得：
，
当在的上方时，的取值范围为：或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点A的坐标分别代入两函数解析式，分别求出m，k的值，即可求出两函数解析式.
（2）将两函数解析式联立方程组，解方程组求出其解，可得到点B的坐标；设直线AB交x轴于点C，利用一次函数解析式求出点C的坐标，再根据S△AOB=S△AOC-S△OBC，然后利用三角形的面积公式求出△AOB的面积.
（3）点M在点N的上方时，可知有两段，利用点A，B的横坐标，可得到t的取值范围，当t＜0时，点M也在点N的上方；综上所述可得到t的取值范围.
26．（2023·大庆）某建筑物的窗户如图所示，上半部分是等腰三角形，，，点、、分别是边、、的中点；下半部分四边形是矩形，，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设米，米．
（1）求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）当为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．
【答案】（1）∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴．
∵，是边的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴．
∵点、、分别是边、的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）设面积为S，
则
，
∴当时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），最大面积为．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可证得BC∥DE，利用平行线间的距离处处相等，可得到BE=IJ=NM=CD=y，利用等腰三角形的性质可得到BC=DE=2x，同时可证得FA⊥BC，由AF于BF的比值，可表示出AF的长，利用勾股定理可表示出AB的长；再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可表示出FG，FH的长，然后根据窗户框的材料总长为16米，可得到y与x的函数解析式及自变量x取值范围.
（2）利用窗户的面积等于△ABC的面积+矩形ACDE的面积，可得到S与x的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求解.
27．（2023·大庆）如图，是的直径，点是圆上的一点，于点，交于点，连接，若平分，过点作于点，交于点，延长，交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，求的值．
【答案】（1）连接
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线．
（2）证明，如下：
由（1）得，，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）∵，
∴，
设的半径为，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）连接OC，利用角平分线的性质也等腰三角形的性质可证得∠DAC=∠OCA，可推出AD∥OC，利用平行线的性质可证得∠OCE=90°，然后利用切线的判定定理可证得结论，.
（2）利用垂直的定义可证得∠FGA=90°，再利用三角形的外角的性质可证得∠AHF=∠ACE，由∠FAH=∠CAE，可证得△ACE∽△AHF，利用相似三角形的对应边成比例，可证得结论.
（3）利用已知及锐角三角函数的定义可得到OC与OE的比值，设圆O的半径为4x，可表示出OE的长，利用勾股定理可表示出CE的长，由此可表示出AE、AD的长，利用勾股定理可得到DE的长，根据DE=DC+CE，可表示出DC的长；然后利用勾股定理表示出AC的长，然后利用相似三角形的对应边成比例，可求出AH与FH的比值.
28．（2023·大庆）如图，二次函数的图象与轴交于A，两点，且自变量的部分取值与对应函数值如下表：
（1）求二次函数的表达式；
（2）若将线段向下平移，得到的线段与二次函数的图象交于，两点（在左边），为二次函数的图象上的一点，当点的横坐标为，点的横坐标为时，求的值；
（3）若将线段先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数的图象只有一个交点，其中为常数，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：由表格可知，二次函数的图象经过点，，，代入得到
，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）如图，连接，，过点R作交的延长线于点M，
∵点的横坐标为，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点P与点Q关于直线对称，
设点，
则，解得，
∴点P的坐标为，
当时，，
即，
则，
∴，
，
∴，
即的值为；
（3）由表格可知点、，
将线段先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到、，
由题意可得，二次函数，与线段只有一个交点，
当时，抛物线开口向上，顶点在下方，
当时，，
即，
解得，
∴，
当时，，即，
解得，
∴，
此时满足题意，
当时，抛物线开口向下，顶点在上时，，
解得，
此时满足题意，
将点代入得到，解得，
将点代入得到，解得，
∴，此时满足题意，
综上可知，且或．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用表中x，y的对应值，代入三组对应值，可得到关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，可得到二次函数解析式.
（2）连接PR，QR，过点R作RM⊥PQ，交PQ的延长线于点M，利用函数解析式，可表示出点Q的坐标，将二次函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的对称轴，利用点P和点Q关于直线x=1对称，可表示出点P的坐标，可得到n=2-m，据此可得到点P，当时，代入二次函数解析式，可得到y的值，即可得到点R、M的坐标，利用两个点的坐标，可表示出RM、PM的长；然后利用锐角三角函数的定义可求出tan∠RPQ的值.
（3）利用表中数据可得到点A、B的坐标，利用点的坐标平移规律可得到点A′，B′的坐标，根据二次函数与直线A′B′只有一个交点，分情况讨论：当t＞0时，抛物线的开口向上，其顶点在直线A′B′的下方，当x=4时，可得到关于t的不等式，求出t的取值范围；当X=0时，可得到t的不等式，然后求出t的取值范围；综上所述可得到符合题意的t的取值范围；当t＜0时，抛物线的开口向下，顶点在直线A′B′上，据此可得到关于t的方程，解方程求出t的值；将点A′的坐标代入二次函数解析式，可得到关于t的方程，解方程求出t的值；将点B′的坐标代入函数解析式，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，即可得到t的取值范围；综上所述可得到t的取值范围.
1 / 1黑龙江省大庆市2023年数学中考试卷
一、单选题
1．（2023·大庆）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·大庆）搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭于年月日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·大庆）大庆油田发现预测地质储量12.68亿吨的页岩油，这标志着我国页岩油勘探开发取得重大战略突破．数字1268000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·大庆）一个长方体被截去一部分后，得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·大庆）已知 ，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·大庆）某中学积极推进学生综合素质评价改革，该中学学生小明本学期德、智、体、美、劳五项的评价得分如图所示，则小明同学五项评价得分的众数、中位数、平均数分别为（ ）
A．9，9， B．9，9， C．8，8， D．9，8，
7．（2023·大庆）下列说法正确的是（ ）
A．一个函数是一次函数就一定是正比例函数
B．有一组对角相等的四边形一定是平行四边形
C．两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等
D．一组数据的方差一定大于标准差
8．（2023·大庆）端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高25%，当粽子降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·大庆）将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·大庆）如图1，在平行四边形中，，已知点在边上，以1m/s的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点向点运动．若点，同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动．图2是的面积与点的运动时间之间的函数关系图象（点为图象的最高点），则平行四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023·大庆）为了调查某品牌护眼灯的使用寿命，比较适合的调查方式是 （填“普查”或“抽样调查”）．
12．（2023·大庆）一个圆锥的底面半径为5，高为12，则它的体积为 ．
13．（2023·大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ．
14．（2023·大庆）已知，则x的值为 ．
15．（2023·大庆）新高考“3+1+2”选科模式是指，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科．某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为 ．
16．（2023·大庆）若关于的不等式组有三个整数解，则实数的取值范围为 ．
17．（2023·大庆）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 ．
18．（2023·大庆）如图，在中，将绕点A顺时针旋转至，将绕点A逆时针旋转至，得到，使，我们称是的“旋补三角形”，的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有 ．
①与面积相同；
②；
③若，连接和，则；
④若，，，则．
三、解答题
19．（2023·大庆）计算：．
20．（2023·大庆）先化简，再求值：，其中．
21．（2023·大庆）为营造良好体育运动氛围，某学校用元购买了一批足球，又用元加购了第二批足球，且所购数量是第一批购买数量的倍，但单价降了元，请问该学校两批共购买了多少个足球
22．（2023·大庆）某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点出发，途经点后到达山顶，其中米，米，且段的运行路线与水平方向的夹角为，段的运行路线与水平方向的夹角为，求垂直高度．（结果精确到米，参考数据：，，）
23．（2023·大庆）为了解我校学生本学期参加志愿服务的情况，随机调查了我校的部分学生，根据调查结果，绘制出如图统计图，若我校共有1000名学生，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的学生人数为 ，扇形统计图中的 ；
（2）求所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数；
（3）学校为本学期参加志愿服务不少于7次的学生颁发“志愿者勋章”，请估计我校获“志愿者勋章”的学生人数．
24．（2023·大庆）如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的面积．
25．（2023·大庆）一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点的坐标为．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）过动点作轴的垂线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于，两点，当在的上方时，请直接写出的取值范围．
26．（2023·大庆）某建筑物的窗户如图所示，上半部分是等腰三角形，，，点、、分别是边、、的中点；下半部分四边形是矩形，，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设米，米．
（1）求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）当为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．
27．（2023·大庆）如图，是的直径，点是圆上的一点，于点，交于点，连接，若平分，过点作于点，交于点，延长，交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，求的值．
28．（2023·大庆）如图，二次函数的图象与轴交于A，两点，且自变量的部分取值与对应函数值如下表：
（1）求二次函数的表达式；
（2）若将线段向下平移，得到的线段与二次函数的图象交于，两点（在左边），为二次函数的图象上的一点，当点的横坐标为，点的横坐标为时，求的值；
（3）若将线段先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数的图象只有一个交点，其中为常数，请直接写出的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解： 的相反数是-2023，
故答案为：B.
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，根据相反数的定义计算求解即可。
2．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此图案不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、此图案不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、此图案是中心对称图形，故C符合题意；
D、此图案不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，再对各选项逐一判断.
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 1268000000=1.268×109.
故答案为：A.
【分析】根据科学记数法的表示形式：a×10n，其中1≤|a|＜10，此时是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.
4．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上往下看是一个矩形.
故答案为：A.
【分析】俯视图就是从几何体的上面往下看，所看到的平面图形，根据几何体可得到是俯视图的选项.
5．【答案】B
【知识点】有理数的加法；有理数的乘法法则；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】∵
∴
A： 在第一象限
B： 在第二象限
C： 在第三象限
D： 在第四象限
小手盖住的点位于第二象限
故答案为：B
【分析】根据 ，得出 ，判断选项中的点所在的象限，即可得出答案．
6．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：该同学五项得分从小到大排列为7，8，9，9，10，
∵这组数据中9出现了2次，是出现次数最多的数，
∴这组数据的众数为9；
∵处于最中间的数是9，
∴这组数据的中位数是9；
平均数为
故答案为：B.
【分析】求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数，据此可求解.
7．【答案】C
【知识点】一次函数的概念；三角形全等的判定；平行四边形的判定；方差；标准差
【解析】【解答】解：A、一个函数是正比例函数就一定是一次函数，故A不符合题意；
B、有一组对角相等的四边形不是平行四边形，故B不符合题意；
C、两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等，故C符合题意；
D、一组数据的方差不一定大于标准差，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用一次函数不一定是正比例函数，可对A作出判断；利用平行四边形的判定定理可对B作出判断；利用SAS可对C作出判断；利用一组数据的方差不一定大于标准差，可对D作出判断.
8．【答案】A
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设粽子的降价幅度为x，成本价为a元，则标价为（1+25％）m元，根据题意得
（1+25％）m（1-x）≥m，
解之：x≥20％，
∴ 当粽子降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为20％.
故答案为：A.
【分析】设粽子的降价幅度为x，成本价为a元，根据当粽子降价出售时，为了不亏本，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的最小值即可.
9．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD和四边形BGHF是完全相同的菱形，
∴∠A=∠FBG=∠C=α，BC=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∴
∴，
解之：.
故答案为：D.
【分析】利用菱形的性质可证得∠A=∠FBG=∠C=α，BC=CD，利用等边对等角可证得∠CBD=∠CDB，再利用三角形的内角和定理可得到，代入可求出β.
10．【答案】C
【知识点】解直角三角形；二次函数的实际应用-几何问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：过点A作AF⊥BC交CB的延长线于点F，过点P作PE⊥BC于点E，
由题意可知，PA=t，，
设AB=x，则，BP=x-t，
∵∠ABC=120°，
∴∠ABE=180°-120°=60°，
∴，
∴
由图象可知y的最大值为3，
∴，
解之：x=±4，
∵x＞0，
∴x=4，
∴AB=4，；
在Rt△ABF中，，
∴S平行四边形ABCD=.
故答案为：C.
【分析】过点A作AF⊥BC交CB的延长线于点F，过点P作PE⊥BC于点E，利用点的运动方向和速度，结合已知条件，可得到PA=t，，设AB=x，则，BP=x-t，利用邻补角的定义可求出∠ABE=60°，利用解直角三角形表示出PE的长，再利用三角形的面积公式可得到y与t的函数解析式，观察图象可知y的最大值为3，利用顶点的纵坐标公式，可求出x的值，即可得到AB，CB的长；在Rt△ABF中，利用解直角三角形求出AF的长，然后利用平行四边形的面积公式可求出平行四边形ABCD的面积.
11．【答案】抽样调查
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解： 为了调查某品牌护眼灯的使用寿命，比较适合的调查方式是抽样调查.
故答案为：抽样调查.
【分析】抽样调查：它所调查对象的个体很多，不可能全部进行调查，或考察对象不多，但考察时具有破坏性，据此可得答案.
12．【答案】
【知识点】圆锥的体积
【解析】【解答】解：∵ 一个圆锥的底面半径为5，高为12，
∴它的体积为π×52×12=100π.
故答案为：100π.
【分析】利用圆锥的体积等于底面积×高，列式计算.
13．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵折叠，
∴∠A=∠BMN=90°，
∴∠DMN+∠CMB=90°，
∵矩形ABCD，
∴∠D=∠C=90°，
∴∠DNM+∠AMN=90°，
∴∠DNM=∠CMB，
∴△NDM∽△MCB.
故答案为：△MCB.
【分析】利用折叠的性质和矩形的性质可证得∠A=∠BMN=90°，∠D=∠C=90°，再利用余角的性质可证得∠DNM=∠CMB，然后利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△NDM∽△MCB，即可求解.
14．【答案】，1，3
【知识点】零指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵，
当x+1=0时，
解之：x=-1；
当x-2=1时，
解之：x=3；
当x-2=-1且x+1是偶数时，
解之：x=1；
∴x的值为-1，1，3
故答案为：-1，1，3.
【分析】分情况讨论：当x+1=0时；当x-2=1时；当x-2=-1且x+1是偶数时；分别解方程求出x的值.
15．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：思想政治、地理、化学、生物学分别用A、B、C、D表示，列树状图如下
一共有12种结果数，恰好选择地理和化学的有2种情况，
∴P（ 恰好选择地理和化学的 ）=
故答案为：.
【分析】思想政治、地理、化学、生物学分别用A、B、C、D表示，根据题意可知此事件是抽取不放回，列出树状图，利用树状图可得到所有的可能的结果数及恰好选择地理和化学的情况数，然后利用概率公式进行计算.
16．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
由①得：；
由②得：x≤4+a，
∵不等式组有三个整数解为-1，0，1，
∴1≤4+a＜2
解之：-3≤a＜-2.
故答案为：-3≤a＜-2.
【分析】先求出不等式组中的每一个不等式的解集，再根据不等式组有三个整数解，可得到这三个整数解是0，1，2，据此可得到关于a的不等式组，然后求出a的取值范围.
17．【答案】128
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵（a+b）0=1，展开各项系数之和为1；
（a+b）1，展开各项系数之和为1+1=21；
（a+b）2，展开各项系数之和为1+2+1=4=22；
（a+b）n，展开各项系数之和为2n；
∴（a+b）7，展开各项系数之和为27=128；
故答案为：128.
【分析】观察可知（a+b）0=1，展开各项系数之和为1；（a+b）1，展开各项系数之和为21；（a+b）2，展开各项系数之和为22；根据此规律可知（a+b）n，展开各项系数之和为2n；然后求出（a+b）7，展开各项系数之和.
18．【答案】①②③
【知识点】菱形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：延长AD，使DE=AD，连接B′E，C′E，BB′，CC′，
∵AD是中线，
∴B′D=C′D，
∴四边形AB′EC′是平行四边形，
∴S△AB′C′=S△AB′E，B′E=AC′，B′E∥AC′，
∴∠B′AC′+∠AB′E=180°，
∵∠BAC+∠B′AC′=180°，
∴∠AB′E=∠BAC，
∵ 将绕点A顺时针旋转至，将绕点A逆时针旋转至，
∴AB=AB′，AC=AC′=B′E，
在△BAC和△AB′E中
∴△BAC≌△AB′E（SAS），
∴BC=AE，S△ABC=S△AB′E，
∴S△AB′C′=S△ABC，故①正确；
∵AE=2AD，
∴BC=2AD，故②正确；
∵AB=AC，
∴AB′=AC′=AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，∠ABB′=∠AB′B，∠ACC′=∠AC′C，∠AB′C′=∠AC′B′，
∵∠BAC+∠B′AC′=180°，
∴α+β=180°，∠B′C′A+∠ABC=90°，
∴∠ABB′+∠AC′C=90°，
∴∠B′BC+∠CC′B′=180°，故③正确；
∵BC=6，
∴AD=3，
∵AB′=AC′=AB=AC=4，
∴四边形AC′EB′是菱形，
∴B′C′⊥AE，B′D=C′D，
∴，
∴B′C′=2B′D=，故④错误；
故答案为：①②③.
【分析】延长AD，使DE=AD，连接B′E，C′E，BB′，CC′，利用中线的定义可证得B′D=C′D，可推出四边形AB′EC′是平行四边形，利用平行四边形的性质可得到S△AB′C′=S△AB′E，B′E=AC′，B′E∥AC′，利用补角的性质可证得∠AB′E=∠BAC；再利用旋转的性质可得到AB=AB′，AC=AC′=B′E，利用SAS证明△BAC≌△AB′E，可推出BC=AE，S△ABC=S△AB′E，由此可证得S△AB′C′=S△ABC，可对①作出判断；由AE=2AD，可得到BC=2AD，可对②作出判断；利用已知易证AB′=AC′=AB=AC，利用等腰三角形的性质可推出∠ABC=∠ACB，∠ABB′=∠AB′B，∠ACC′=∠AC′C，∠AB′C′=∠AC′B′，由此可得到∠ABB′+∠AC′C=90°，即可求出∠B′BC+∠CC′B′=180°，可对③作出判断；利用菱形的性质可证得B′C′⊥AE，B′D=C′D，利用勾股定理求出B′D的长，即可得到B′C′的长，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
19．【答案】解：原式＝-1+-2×+2
＝-1++2
=1．
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先算乘方运算，代入特殊角的三角函数值，同时化简绝对值，再算乘法运算，然后合并即可.
20．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】将分子分母中能分解因式的先分解因式，再进行通分计算，然后两x=1代入化简后的分式进行计算.
21．【答案】设第一批足球单价为元，则第二批足球单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
则第二批足球单价为：，
∴该学校两批共购买了，
答：该学校两批共购买了个．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】此题的等量关系为：第二批的单价=第一批的单价-2， 第二批所购数量=第一批购买数量×2；据此设未知数，列方程，求解即可.
22．【答案】解：过点作于，作于，则四边形为矩形，
，
在中，，，
则（米），
米，
在中，，米，
则米，
米．
答：垂直高度约为米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点B作BD⊥PC于点D，过点B作BE⊥AC于点E，易证四边形DCEB是矩形，利用矩形的性质可知BE=DC，在Rt△ABE中，利用解直角三角形可求出BE的长，在Rt△PBD中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出PD的长，然后根据PC=PD+CD，代入计算求出PC的长.
23．【答案】（1）40；25
（2）解：根据题意可得：
所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数为：（次）；
（3）解：根据题意得：
（人），
答：我校获“志愿者勋章”的学生人数是700人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：（1） 本次接受调查的学生人数为8÷20％=40人；
m％=×100％=25％，
∴m=25.
故答案为：40，25
【分析】（1）本次接受调查的学生人数=参加6次的人数÷参加6次的人数所占的百分比，列式计算；再求出m的值.
（2）利用条形统计图及平均数公式，列式计算即可.
（3）利用我校的学生总人数× 参加志愿服务不少于7次的学生的人数所占的百分比，列式计算即可.
24．【答案】（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
（2）解：过点作于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积等于，
∵，，
∵点是对角线的中心，
∴，
∴，
∴平行四边形ABCE的面积为：．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证得AD∥BC，利用平行线的性质可得到∠DAF=∠AFC，∠ADC=∠DCF，利用线段的中点可知DE=CE，利用AAS证明△ADE≌△FCE，利用全等三角形的对应边相等可得到AE=EF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得四边形ACFD是平行四边形，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形，可证得结论.
（2）过点E作EG⊥AC于点G，利用平行四边形的性质可证得AD=BC，利用矩形的性质可推出AD=BC=CF，利用勾股定理求出DF的长；观察图形可知S四边形ABCE=S△ABC+S△AEC，利用三角形的面积公式求出△ABC的面积，利用三角形的中位线定理求出GE的长，可得到△ACE的面积，然后代入计算求出四边形ABCE的面积.
25．【答案】（1）解：把代入一次函数，
得，
解得：，
一次函数的解析式为：，
把代入反比例函数，
得，
解得：，
反比例函数的解析式为：；
（2）解：联立，
解得：或，
，
令直线与交于点，如图，
，
当时，，
解得：，
，
（3）解：由图象可得：
，
当在的上方时，的取值范围为：或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点A的坐标分别代入两函数解析式，分别求出m，k的值，即可求出两函数解析式.
（2）将两函数解析式联立方程组，解方程组求出其解，可得到点B的坐标；设直线AB交x轴于点C，利用一次函数解析式求出点C的坐标，再根据S△AOB=S△AOC-S△OBC，然后利用三角形的面积公式求出△AOB的面积.
（3）点M在点N的上方时，可知有两段，利用点A，B的横坐标，可得到t的取值范围，当t＜0时，点M也在点N的上方；综上所述可得到t的取值范围.
26．【答案】（1）∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴．
∵，是边的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴．
∵点、、分别是边、的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）设面积为S，
则
，
∴当时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），最大面积为．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可证得BC∥DE，利用平行线间的距离处处相等，可得到BE=IJ=NM=CD=y，利用等腰三角形的性质可得到BC=DE=2x，同时可证得FA⊥BC，由AF于BF的比值，可表示出AF的长，利用勾股定理可表示出AB的长；再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可表示出FG，FH的长，然后根据窗户框的材料总长为16米，可得到y与x的函数解析式及自变量x取值范围.
（2）利用窗户的面积等于△ABC的面积+矩形ACDE的面积，可得到S与x的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求解.
27．【答案】（1）连接
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线．
（2）证明，如下：
由（1）得，，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）∵，
∴，
设的半径为，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）连接OC，利用角平分线的性质也等腰三角形的性质可证得∠DAC=∠OCA，可推出AD∥OC，利用平行线的性质可证得∠OCE=90°，然后利用切线的判定定理可证得结论，.
（2）利用垂直的定义可证得∠FGA=90°，再利用三角形的外角的性质可证得∠AHF=∠ACE，由∠FAH=∠CAE，可证得△ACE∽△AHF，利用相似三角形的对应边成比例，可证得结论.
（3）利用已知及锐角三角函数的定义可得到OC与OE的比值，设圆O的半径为4x，可表示出OE的长，利用勾股定理可表示出CE的长，由此可表示出AE、AD的长，利用勾股定理可得到DE的长，根据DE=DC+CE，可表示出DC的长；然后利用勾股定理表示出AC的长，然后利用相似三角形的对应边成比例，可求出AH与FH的比值.
28．【答案】（1）解：由表格可知，二次函数的图象经过点，，，代入得到
，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）如图，连接，，过点R作交的延长线于点M，
∵点的横坐标为，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点P与点Q关于直线对称，
设点，
则，解得，
∴点P的坐标为，
当时，，
即，
则，
∴，
，
∴，
即的值为；
（3）由表格可知点、，
将线段先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到、，
由题意可得，二次函数，与线段只有一个交点，
当时，抛物线开口向上，顶点在下方，
当时，，
即，
解得，
∴，
当时，，即，
解得，
∴，
此时满足题意，
当时，抛物线开口向下，顶点在上时，，
解得，
此时满足题意，
将点代入得到，解得，
将点代入得到，解得，
∴，此时满足题意，
综上可知，且或．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用表中x，y的对应值，代入三组对应值，可得到关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，可得到二次函数解析式.
（2）连接PR，QR，过点R作RM⊥PQ，交PQ的延长线于点M，利用函数解析式，可表示出点Q的坐标，将二次函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的对称轴，利用点P和点Q关于直线x=1对称，可表示出点P的坐标，可得到n=2-m，据此可得到点P，当时，代入二次函数解析式，可得到y的值，即可得到点R、M的坐标，利用两个点的坐标，可表示出RM、PM的长；然后利用锐角三角函数的定义可求出tan∠RPQ的值.
（3）利用表中数据可得到点A、B的坐标，利用点的坐标平移规律可得到点A′，B′的坐标，根据二次函数与直线A′B′只有一个交点，分情况讨论：当t＞0时，抛物线的开口向上，其顶点在直线A′B′的下方，当x=4时，可得到关于t的不等式，求出t的取值范围；当X=0时，可得到t的不等式，然后求出t的取值范围；综上所述可得到符合题意的t的取值范围；当t＜0时，抛物线的开口向下，顶点在直线A′B′上，据此可得到关于t的方程，解方程求出t的值；将点A′的坐标代入二次函数解析式，可得到关于t的方程，解方程求出t的值；将点B′的坐标代入函数解析式，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，即可得到t的取值范围；综上所述可得到t的取值范围.
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