辽宁省抚顺市、葫芦岛市2023年中考数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每一个小题给出的四个选中，只有一个是正确的)
1．（2023·武汉）实数3的相反数是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：实数3的相反数是-3.
故答案为：D
【分析】求一个数的相反数就是在这个数的前面添上“-”号，即可求解.
2．（2023·抚顺）下列图形中、既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此图形不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、此图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故B符合题意；
C、此图形不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、此图形不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.
3．（2023·抚顺）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、x3÷x3=1，故A不符合题意；
B、x2·2x4=2x6，故B符合题意；
C、x+3x2不能合并，故C不符合题意；
D、（x3）2=x6，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对A作出判断；利用单项式乘以单项式的法则进行计算，可对B作出判断；只有同类项才能合并，可对C作出判断；利用幂的乘方，底数不变，指数相乘，可对D作出判断.
4．（2023·抚顺）下图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体、这个几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，有三列两行，第一行中间一个，第二行有三个小正方形故A、B、D不符合题意；C符合题意；
故答案为：C.
【分析】主视图就是从几何体的正面所看到的平面图形，观察几何体，可得答案.
5．（2023·抚顺）某校对部分参加夏令营的中学生的年龄进行统计，结果如下表：
年龄岁 13 14 15 16 17 18
人数/人 5 8 11 20 9 7
则这些学生年龄的众数是（ ）
A．13岁 B．14岁 C．15岁 D．16岁
【答案】D
【知识点】众数
【解析】【解答】解：由表中数据可知，16出现了20次，是出现次数最多的数，
∴这组数据的众数是16岁.
故答案为：D.
【分析】利用众数就是一组数据中出现次数最多的数，据此可求解.
6．（2023·抚顺）在一个不透明的袋子中装有6个白球和14个红球，这些球除颜色外无其他差别、随机从袋子中摸出一个球，则摸到白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵ 在一个不透明的袋子中装有6个白球和14个红球，
∴ 随机从袋子中摸出一个球，则摸到白球的概率为.
故答案为：C.
【分析】根据题意可知一共有20种结果数，随机从袋子中摸出一个球，摸到白球的情况有6种，然后利用概率公式进行计算.
7．（2023·抚顺）如图，直线，被直线所截，，，则的度数为（ ）
A．48° B．58° C．68° D．78°
【答案】B
【知识点】平行线的判定；邻补角
【解析】【解答】解：如图，
∵BA∥CD，
∴∠1=∠3=122°，
∵∠2=180°-∠3，
∴∠2=180°-122°=58°.
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质可求出∠3的度数，再利用邻补角的定义求出∠2的度数.
8．（2023·抚顺）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设规定的时间为x天，根据题意得
故答案为：A.
【分析】此题的等量关系为：慢马送的时间=规定的时间+1；快马送的时间=规定的时间-3；再根据 快马的速度是慢马的2倍 ，列方程即可.
9．（2023·抚顺）如图，在中，，，，按以下步骤作图：①分别以点A和点B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线交于点M，交于点N．连接．则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；解直角三角形；等腰直角三角形；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：过点C作CG⊥BN于点G，
∴∠BGC=90°，
由作图可知EF垂直平分AB，
∴AN=BN，
∴∠A=∠ABN=30°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-30°）=75°，
∴∠CBG=∠ABC-∠ABN=75°-30°=45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴，
∵∠CNG=∠A+∠ABN=30°+30°=60°，
∴∠GCN=90°-60°=30°，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】过点C作CG⊥BN于点G，由作图可知EF垂直平分AB，利用线段垂直平分线的性质可证得AN=BN，利用等边对等角可证得∠A=∠ABN=30°，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，再根据∠CBG=∠ABC-∠ABN，代入计算去除∠CBG的度数，可证得△BCG是等腰直角三角形，利用解直角三角形求出BG的长；然后证明∠GCN=30°，利用解直角三角形求出NG的长，即可求出AN的长.
10．（2023·抚顺）如图，，在射线，上分别截取，连接，的平分线交于点D，点E为线段上的动点，作交于点F，作交射线于点G，过点G作于点H，点E沿方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形与重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：∵∠MAN=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD=30°，AD⊥BC，CD=BD=3，
当矩形EFGH全部在△ABC中时，此时0＜x≤3，图1到图2，
∵EG∥AC，
∴∠NAD=∠AGE=∠CAD=30°，
∴AE=EG=x，
在Rt△AEF中，
，
∴；
图3，AE+AF=AC，即
解之：x=4，由图2到图3，此时3＜x≤4；
如图4，易证△EQB是等边三角形，
∴EQ=EB=BQ=6-x，
∴GQ=x-（6-x）=2x-6，
∴S=S矩形EFGH-S△PQG=；
图6，x=6，由图3变到图6，此时4＜x≤6；
如图5，由题意可知△EKB是等边三角形，
∴，
∴S=S梯形EFCK=；
综上所述，s与x的函数解析式为
三段函数都是二次函数，第1段是开口向上，第2、3段是开口向下的抛物线，
故B、C、D不符合题意，A符合题意.
故答案为：A.
【分析】利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△ABC是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到∠CAD=∠BAD=30°，AD⊥BC，CD=BD=3，分情况讨论：当矩形EFGH全部在△ABC中时，此时0＜x≤3，图1到图2，可得到AE=EG=x，利用解直角三角形表示出EF的长，利用矩形的面积公式可得到s与x的函数解析式；由图3可知AE+AF=AC，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，由图2到图3，此时3＜x≤4；如图4，易证△EQB是等边三角形，可表示出EQ、GQ的长再根据S=S矩形EFGH-S△PQG，可得到S与x的函数解析式；图6，x=6，由图3变到图6，此时4＜x≤6；如图5，由题意可知△EKB是等边三角形，可表示出EK，FC，EF的长，根据S=S梯形EFCK，利用梯形的面积公式可得到S与x的函数解析式；综上所述可得到S与x的函数解析式，由此可得到三段函数都是二次函数，第1段是开口向上，第2、3段是开口向下的抛物线，观察各选项可得答案.
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2023·抚顺）若有意义，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得a-2≥0，
解之：a≥2.
故答案为：a≥2.
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集.
12．（2021·温州）分解因式： .
【答案】2（m+3）（m-3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
=2（m2-9）
=2（m+3）（m-3）.
故答案为：2（m+3）（m-3）.
【分析】先提取公因数2，再利用平方差公式继续分解即可.
13．（2023·抚顺）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴b2-4ac＞0即36-4k＞0，
解之：k＞9
故答案为：k＞9.
【分析】利用一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，可得到b2-4ac＞0，由此可得到关于k的不等式，然后求出不等式的解集.
14．（2023·抚顺）某跳远队准备从甲、乙两名运动员中选取一名成绩稳定的参加比赛，这两名运动员10次测试成绩（单位：m）的平均数是，，方差是，，那么应选 去参加比赛．（填“甲”或“乙”）
【答案】甲
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵0.01=0.01，0.01＜0.02，
∴两人的平均水平相同，S甲2＜S乙2，
∴甲的成绩稳定，应该选甲去参加比赛.
故答案为：甲.
【分析】利用已知可知两人的平均数相同，再比较两人成绩的方差大小，根据方差越小，成绩越稳定，据此可求解.
15．（2023·抚顺）如图，在中，，点D为的中点，过点C作交的延长线于点E，若，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵CE∥AB，
∴∠BAD=∠E，
在△ABD和△ECD中
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AB=CE=5，
在Rt△ABC中，
，
∴.
故答案为：.
【分析】利用线段中点可证得BD=CD，利用平行线的性质可得到∠BAD=∠E，利用AAS证明△ABD≌△ECD，利用全等三角形的性质可得到AB的长；再利用勾股定理求出BC的长，继而可求出CD的长.
16．（2023·抚顺）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，点恰好落在反比例函数（）的图象上，则的值是 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点B作BC⊥y轴于点C，
∴∠BCA=90°， ∵点A（0，2）， ∴OA=2， ∵ 将线段绕点逆时针旋转，得到线段，
∴AO=AB，∠OAB=120°，
∴∠CAB=180°-120°=60°，
在Rt△ABC中，
AC=AB=1，BC=CAtan∠CAB=tan60°=，
∴CO=OA+CA=1+2=3，
∴点B，
∵点B在反比例函数图象上，
∴k=
故答案为：.
【分析】过点B作BC⊥y轴于点C，利用点A的坐标可求出OA的长，利用旋转的性质可求出AB的长，同时求出∠CAB=60°，利用解直角三角形求出AC，BC的长，即可得到点B的坐标；然后将点B的坐标代入函数解析式求出k的值.
17．（2023·抚顺）如图，平行四边形的对角线，相交于点，过点作，交的延长线于点，连接，交于点，则四边形的面积与的面积的比值为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∵BE∥AC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∴AC=BE=2OA，
∴△OAF∽△EBF，
∴
∴，
∴S△BEF=4S△AOF，
∴，
∴S△AEF=2S△AOF，
同理可证S△BEF=2S△OBF，
S△OBC=S△AOB，
设S△AOF=x，则S△BEF=4x，S△AEF=2x，S△OBF=2x，
∴S△OBC=S△AOB=3x，
S四边形BCOF=S△BOC+S△BOF=3x+2x=5x，
∴四边形BCOF的面积与△AEF的面积之比为.
故答案为：.
【分析】利用平行四边形的性质可证得AD∥BC，OA=OC，利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形AEBC是平行四边形，利用平行四边形的性质可推出AC=BE=2OA，同时可证得△OAF∽△EBF，利用相似三角形的性质，可求出OF与EF的比值，同时可证得S△BEF=4S△AOF，S△AEF=2S△AOF，S△BEF=2S△OBF，S△OBC=S△AOB，设S△AOF=x，可表示出△BEF，△AEF，△OBF，△OBC的面积，再根据S四边形BCOF=S△BOC+S△BOF，可表示出四边形BCOF的面积，然后求出四边形BCOF的面积与△AEF的面积之比.
18．（2023·抚顺）如图，在矩形中，，，点M为的中点，E是上的一点，连接，作点B关于直线的对称点，连接并延长交于点F．当最大时，点到的距离是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点B′作B′H⊥BC于点H，
∵矩形ABCD，
∴∠ABE=90°，AD∥BC，
∵点B关于直线AE的对称点为点B′，
∴AB=AB′，BE=B′E，∠AEB=∠AEB′，∠ABE=∠AB′E=90°，
当DF⊥AB′时，BF有最大值，
∴∠AB′F=∠AB′E=90°，
∴点E与点F重合，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=∠AEB′，
∴AD=DE=10，
∴，
∴BE=B′E=4，
∵B′H⊥BC，DC⊥BC，
∴B′H∥CD，
∴△EB′H∽△EDC，
∴即
解之：
故答案为：.
【分析】过点B′作B′H⊥BC于点H，利用矩形的性质可证得∠ABE=90°，AD∥BC，利用轴对称的性质可得到AB=AB′，BE=B′E，∠AEB=∠AEB′，∠ABE=∠AB′E=90°，当DF⊥AB′时，BF有最大值，此时点E与点F重合，利用平行线的性质可推出∠DAE=∠AEB=∠AEB′，可得到DE的长，利用勾股定理求出CE的长及EB′的长；再证明△EB′H∽△EDC，利用相似三角形的对应边成比例可求出HB′的长.
三、解答题（共8题，共96分）
19．（2023·抚顺）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先将分母能分解因式的先分解因式，同时将分式除法转化为乘法运算，约分化简，再利用分式减法法则进行计算，然后将m的值代入化简后的代数式进行计算.
20．（2023·抚顺）为了推进“优秀传统文化进校园”活动，学校准备在七年级成立四个课外活动小组，分别是：．民族舞蹈组；．经典诵读组；．民族乐器组；．地方戏曲组．为了了解学生最喜欢哪一个活动小组，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，每人必须选择且只能选择一项，并将调查结果绘制成如下两幅统计图．
请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人；
（2）在扇形统计图中，求组所对应的扇形圆心角的度数，并补全条形统计图；
（3）在重阳节来临之际，学校计划组织学生到敬老院为老人表演节目，准备从这个小组中随机抽取个小组汇报演出，请你用列表法或画树状图法，求选中的个小组恰好是和小组的概率．
【答案】（1）100
（2）解：组所对应的扇形圆心角的度数为∶，
选择组的人数为∶（人），
补全条形统计图如下∶
（3）解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下∶
共有12种等可能出现的结果，其中2个小组恰好是C和D小组的有2种，
所以选中的2个小组恰好是C和D小组的概率为212=16．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1） 本次调查的学生共有35÷35％=100人.
故答案为：100.
【分析】（1）利用两统计图可知本次调查的学生人数=C组的人数÷C组的人数所占的百分比，列式计算.
（2）D组所对应的扇形圆心角的度数=360°×D组的人数所占的百分比，列式计算；再求出B组的人数，然后补全条形统计图.
（3）根据题意可知此事件是抽取不放回，列出树状图，根据树状图可得到所有等可能的结果数及选中的2个小组中恰好是C、D小组的情况数，然后利用概率公式进行计算.
21．（2023·抚顺）某超市销售甲、乙两种驱蚊手环，某天卖出3个甲种驱蚊手环和1个乙种驱蚊手环，收入128元；另一天，以同样的价格卖出1个甲种驱蚊手环和2个乙种驱蚊手环收入76元．
（1）每个甲种驱蚊手环和每个乙种驱蚊手环的售价分别是多少元？
（2）某幼儿园欲购买甲、乙两种驱蚊手环共100个，总费用不超过2500元，那么最多可购买甲种驱蚊手环多少个？
【答案】（1）解：设每个甲种驱蚊手环的售价x元，每个乙种驱蚊手环的售价是y元，
根据题意得， ，解得： ，
答：每个甲种驱蚊手环的售价是36元，每个乙种驱蚊手环的售价是20元；
（2）解：设购买甲种驱蚊手环m个，则购买乙种驱蚊手环个，
根据题意得：，
解得，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为31.
答：最多可购买甲种驱蚊手环31个.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：3× 每个甲种驱蚊手环的售价+1× 每个乙种驱蚊手环的售价=128；1× 每个甲种驱蚊手环的售价+2× 每个乙种驱蚊手环的售价=76；据此设未知数，列方程组，求解即可.
（2）此题的等量关系为：购买甲种驱蚊手环的数量+购买乙种驱蚊手环的数量=100；购买甲种驱蚊手环的数量×其售价+购买乙种驱蚊手环的数量×其售价≤2500；设未知数，列不等式，然后求出不等式的最大整数解.
22．（2023·抚顺）小亮利用所学的知识对大厦的高度进行测量，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是，测得大厦顶部的仰角是，已知他家楼顶B处距地面的高度为40米（图中点A，B，C，D均在同一平面内）．
（1）求两楼之间的距离（结果保留根号）；
（2）求大厦的高度（结果取整数）．
（参考数据：，，，）
【答案】（1）解：如图，作于点E，则，
由题意知，，，
故，
即两楼之间的距离为米；
（2）解：由题意知，
四边形是矩形，
，，
中，，
，
，
即大厦的高度为92米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点B作BE⊥DC于点E，在Rt△ABC中，利用解直角三角形求出AC的长.
（2）利用已知易证四边形ABEC是矩形，利用矩形的性质可得到BE，CE的长；再在Rt△BED中，利用解直角三角形求出DE的长；然后根据CD=DE+CE，代入计算求出CD的长.
23．（2023·抚顺）电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与每件玩具售价x（元）之间满足一次函数关系（其中，且x为整数）．当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件玩具售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多少元？
【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
由已知得，
解得，
因此y与x之间的函数关系式为（其中，且x为整数）；
（2）解：设每周销售这款玩具所获的利润为W，
由题意得，
，
W关于x的二次函数图象开口向上，
，且x为整数，
当时，W取最大值，最大值为1800，
即当每件玩具售价为130元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是1800元．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，再将x，y的两组对应值分别代入函数解析式，可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到函数解析式.
（2）利用总利润W=每一件的利润×销售量，可得到W与x的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求出结果.
24．（2023·抚顺）如图，内接于，是的直径，平分交于点E，过点E作，交的延长线于点F．
（1）求证：与相切；
（2）若，，过点E作于点M，交于点G，交于点N，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，
平分交于点E，
，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；
（2）解：如图，连接，，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，是的直径，
，
．
即的长为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接OE，利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ACB=90°，利用角平分线的定义可求出∠ACE=45°，然后利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出∠AOE的度数，然后利用切线的判定定理可证得结论.
（2）连接OG、OC，利用三角形的内角和定理求出∠B的度数，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△OBC是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出∠COB的度数，利用邻补角的定义求出∠AOC的度数，同时可求出∠MEC的度数；利用圆周角定理可证得∠GOC=90°，由此可求出∠AOG=30°，然后利用弧长公式求出弧AG的长.
25．（2023·抚顺）是等边三角形，点是射线上的一点（不与点，重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接．交于点．
（1）如图1，当点为中点时，请直接写出线段与的数量关系；
（2）如图2．当点在线段的延长线上时，请判断（）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当，时，请直接写出的长．
【答案】（1）解∶∵是等边三角形，点是的中点，
∴，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，仍然成立，理由如下∶连接、，
∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（3）解：如图，当点在的延长线上时，作 于，
∵，
∴，，
∴，
∴．
由（）知∶，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，当点在上时，作于，
由上知∶，
∴，
∴，
∴，
综上所述∶或．
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；解直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质可证得∠BAC=∠DAE=60°，同时可求出∠BAE=30°，AD=AE，再根据∠BAD=∠DAE-∠BAE，代入计算求出∠BAD的度数，可证得∠DAE=∠BAE，利用等角对等边可证得AM与EM的数量关系.
（2）连接BD，DF，利用等边三角形的性质可证得∠ABC=∠BAC=∠DAE=∠ACB=60°，AB=AC，AD=AE，可证得∠BAD=∠CAE，利用SAS证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可得到∠ABD=120°，同时可证得BD=CE；再证明∠DBE+∠BEF=180°，可推出BD∥EF，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证得四边形BDFE是平行四边形，利用平行四边形的对边相等，可证得AM与EM的数量关系.
（3）分情况讨论：当点E在BC的延长线上时，过点A作AG⊥BE于点G，连接BD，利用解直角三角形可求出CG的长，根据EG=CG+CE，代入计算求出EG的长，利用勾股定理求出AE的长；由（2）可知DM=EM，由AM⊥DE，可得到∠AME=90°，∠AED=60°，利用解直角三角形求出AM的长；当点E在BC上时，过点A作AG⊥BC于点G，同理可求出AG，CG，EG的长，利用勾股定理求出AE的长，利用解直角三角形求出AM的长，综上所述可得到符合题意的AM的长.
26．（2023·抚顺）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点P为第一象限内抛物线上的动点过点P作轴于点E，交于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当的周长是线段长度的2倍时，求点P的坐标；
（3）如图2，当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接，过点B作直线，连接并延长交直线于点M．当时，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）解：将，代入，
可得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：，，
，，
，
，，
的周长，
的周长是线段长度的2倍，
，
设直线的解析式为，
将，代入可得，
解得，
直线的解析式为，
设，则，，
，，
，
解得，（舍），
，
；
（3）解：，
当时，y取最大值，
，
直线的解析式为，
当时，，
，
设，过点M作轴于点N，
由题意知，
，
，
，
又，，
，
，，
，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
将点代入，得，
解得或，
或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点B、C的坐标分别代入函数解析式，可得到关于a、c的方程组，解方程组求出a、c的值，可得到二次函数解析式.
（2）利用点B，C的坐标可得到OB、OC的长，利用解直角三角形可表示出BE与EF，BF与EF之间的数量关系，同时可表示出△BEF的周长与EF的数量关系，再根据△BEF的周长是线段PF的2倍，可证得2PF=3EF；利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，利用两函数解析式设，则，，可表示出EF、PF的长，据此可得到关于t的方程，解方程求出符合题意的t的值，可得到点P的坐标.
（3）将二次函数解析式转化为顶点式，可得到点P的坐标，利用直线BC的函数解析式，由x=1求出对应的y的值，可得到点F的坐标，设点Q（0，n），过点M作MN⊥x轴于点N，利用余角的性质可证得∠OQB=∠MBN，利用AAS证明△BQO≌△MBN，利用全等三角形的性质可推出OQ=BN，BO=MN，可表示出点M的坐标，设直线QM的解析式为y=k′x+n，将点M的坐标代入可得到关于k′的方程，可表示出k′，可得到直线QM的函数解析式，将点F的坐标代入，可得到关于n的方程，解方程求出n的值，可得到点Q的坐标.
1 / 1辽宁省抚顺市、葫芦岛市2023年中考数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每一个小题给出的四个选中，只有一个是正确的)
1．（2023·武汉）实数3的相反数是（ ）
A．3 B． C． D．
2．（2023·抚顺）下列图形中、既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·抚顺）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·抚顺）下图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体、这个几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·抚顺）某校对部分参加夏令营的中学生的年龄进行统计，结果如下表：
年龄岁 13 14 15 16 17 18
人数/人 5 8 11 20 9 7
则这些学生年龄的众数是（ ）
A．13岁 B．14岁 C．15岁 D．16岁
6．（2023·抚顺）在一个不透明的袋子中装有6个白球和14个红球，这些球除颜色外无其他差别、随机从袋子中摸出一个球，则摸到白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·抚顺）如图，直线，被直线所截，，，则的度数为（ ）
A．48° B．58° C．68° D．78°
8．（2023·抚顺）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023·抚顺）如图，在中，，，，按以下步骤作图：①分别以点A和点B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线交于点M，交于点N．连接．则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·抚顺）如图，，在射线，上分别截取，连接，的平分线交于点D，点E为线段上的动点，作交于点F，作交射线于点G，过点G作于点H，点E沿方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形与重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2023·抚顺）若有意义，则实数a的取值范围是 ．
12．（2021·温州）分解因式： .
13．（2023·抚顺）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
14．（2023·抚顺）某跳远队准备从甲、乙两名运动员中选取一名成绩稳定的参加比赛，这两名运动员10次测试成绩（单位：m）的平均数是，，方差是，，那么应选 去参加比赛．（填“甲”或“乙”）
15．（2023·抚顺）如图，在中，，点D为的中点，过点C作交的延长线于点E，若，，则的长为 ．
16．（2023·抚顺）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，点恰好落在反比例函数（）的图象上，则的值是 ．
17．（2023·抚顺）如图，平行四边形的对角线，相交于点，过点作，交的延长线于点，连接，交于点，则四边形的面积与的面积的比值为 ．
18．（2023·抚顺）如图，在矩形中，，，点M为的中点，E是上的一点，连接，作点B关于直线的对称点，连接并延长交于点F．当最大时，点到的距离是 ．
三、解答题（共8题，共96分）
19．（2023·抚顺）先化简，再求值：，其中．
20．（2023·抚顺）为了推进“优秀传统文化进校园”活动，学校准备在七年级成立四个课外活动小组，分别是：．民族舞蹈组；．经典诵读组；．民族乐器组；．地方戏曲组．为了了解学生最喜欢哪一个活动小组，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，每人必须选择且只能选择一项，并将调查结果绘制成如下两幅统计图．
请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人；
（2）在扇形统计图中，求组所对应的扇形圆心角的度数，并补全条形统计图；
（3）在重阳节来临之际，学校计划组织学生到敬老院为老人表演节目，准备从这个小组中随机抽取个小组汇报演出，请你用列表法或画树状图法，求选中的个小组恰好是和小组的概率．
21．（2023·抚顺）某超市销售甲、乙两种驱蚊手环，某天卖出3个甲种驱蚊手环和1个乙种驱蚊手环，收入128元；另一天，以同样的价格卖出1个甲种驱蚊手环和2个乙种驱蚊手环收入76元．
（1）每个甲种驱蚊手环和每个乙种驱蚊手环的售价分别是多少元？
（2）某幼儿园欲购买甲、乙两种驱蚊手环共100个，总费用不超过2500元，那么最多可购买甲种驱蚊手环多少个？
22．（2023·抚顺）小亮利用所学的知识对大厦的高度进行测量，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是，测得大厦顶部的仰角是，已知他家楼顶B处距地面的高度为40米（图中点A，B，C，D均在同一平面内）．
（1）求两楼之间的距离（结果保留根号）；
（2）求大厦的高度（结果取整数）．
（参考数据：，，，）
23．（2023·抚顺）电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与每件玩具售价x（元）之间满足一次函数关系（其中，且x为整数）．当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件玩具售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多少元？
24．（2023·抚顺）如图，内接于，是的直径，平分交于点E，过点E作，交的延长线于点F．
（1）求证：与相切；
（2）若，，过点E作于点M，交于点G，交于点N，求的长．
25．（2023·抚顺）是等边三角形，点是射线上的一点（不与点，重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接．交于点．
（1）如图1，当点为中点时，请直接写出线段与的数量关系；
（2）如图2．当点在线段的延长线上时，请判断（）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当，时，请直接写出的长．
26．（2023·抚顺）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点P为第一象限内抛物线上的动点过点P作轴于点E，交于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当的周长是线段长度的2倍时，求点P的坐标；
（3）如图2，当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接，过点B作直线，连接并延长交直线于点M．当时，请直接写出点Q的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：实数3的相反数是-3.
故答案为：D
【分析】求一个数的相反数就是在这个数的前面添上“-”号，即可求解.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此图形不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、此图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故B符合题意；
C、此图形不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、此图形不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、x3÷x3=1，故A不符合题意；
B、x2·2x4=2x6，故B符合题意；
C、x+3x2不能合并，故C不符合题意；
D、（x3）2=x6，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对A作出判断；利用单项式乘以单项式的法则进行计算，可对B作出判断；只有同类项才能合并，可对C作出判断；利用幂的乘方，底数不变，指数相乘，可对D作出判断.
4．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，有三列两行，第一行中间一个，第二行有三个小正方形故A、B、D不符合题意；C符合题意；
故答案为：C.
【分析】主视图就是从几何体的正面所看到的平面图形，观察几何体，可得答案.
5．【答案】D
【知识点】众数
【解析】【解答】解：由表中数据可知，16出现了20次，是出现次数最多的数，
∴这组数据的众数是16岁.
故答案为：D.
【分析】利用众数就是一组数据中出现次数最多的数，据此可求解.
6．【答案】C
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵ 在一个不透明的袋子中装有6个白球和14个红球，
∴ 随机从袋子中摸出一个球，则摸到白球的概率为.
故答案为：C.
【分析】根据题意可知一共有20种结果数，随机从袋子中摸出一个球，摸到白球的情况有6种，然后利用概率公式进行计算.
7．【答案】B
【知识点】平行线的判定；邻补角
【解析】【解答】解：如图，
∵BA∥CD，
∴∠1=∠3=122°，
∵∠2=180°-∠3，
∴∠2=180°-122°=58°.
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质可求出∠3的度数，再利用邻补角的定义求出∠2的度数.
8．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设规定的时间为x天，根据题意得
故答案为：A.
【分析】此题的等量关系为：慢马送的时间=规定的时间+1；快马送的时间=规定的时间-3；再根据 快马的速度是慢马的2倍 ，列方程即可.
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；解直角三角形；等腰直角三角形；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：过点C作CG⊥BN于点G，
∴∠BGC=90°，
由作图可知EF垂直平分AB，
∴AN=BN，
∴∠A=∠ABN=30°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-30°）=75°，
∴∠CBG=∠ABC-∠ABN=75°-30°=45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴，
∵∠CNG=∠A+∠ABN=30°+30°=60°，
∴∠GCN=90°-60°=30°，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】过点C作CG⊥BN于点G，由作图可知EF垂直平分AB，利用线段垂直平分线的性质可证得AN=BN，利用等边对等角可证得∠A=∠ABN=30°，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，再根据∠CBG=∠ABC-∠ABN，代入计算去除∠CBG的度数，可证得△BCG是等腰直角三角形，利用解直角三角形求出BG的长；然后证明∠GCN=30°，利用解直角三角形求出NG的长，即可求出AN的长.
10．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：∵∠MAN=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD=30°，AD⊥BC，CD=BD=3，
当矩形EFGH全部在△ABC中时，此时0＜x≤3，图1到图2，
∵EG∥AC，
∴∠NAD=∠AGE=∠CAD=30°，
∴AE=EG=x，
在Rt△AEF中，
，
∴；
图3，AE+AF=AC，即
解之：x=4，由图2到图3，此时3＜x≤4；
如图4，易证△EQB是等边三角形，
∴EQ=EB=BQ=6-x，
∴GQ=x-（6-x）=2x-6，
∴S=S矩形EFGH-S△PQG=；
图6，x=6，由图3变到图6，此时4＜x≤6；
如图5，由题意可知△EKB是等边三角形，
∴，
∴S=S梯形EFCK=；
综上所述，s与x的函数解析式为
三段函数都是二次函数，第1段是开口向上，第2、3段是开口向下的抛物线，
故B、C、D不符合题意，A符合题意.
故答案为：A.
【分析】利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△ABC是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到∠CAD=∠BAD=30°，AD⊥BC，CD=BD=3，分情况讨论：当矩形EFGH全部在△ABC中时，此时0＜x≤3，图1到图2，可得到AE=EG=x，利用解直角三角形表示出EF的长，利用矩形的面积公式可得到s与x的函数解析式；由图3可知AE+AF=AC，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，由图2到图3，此时3＜x≤4；如图4，易证△EQB是等边三角形，可表示出EQ、GQ的长再根据S=S矩形EFGH-S△PQG，可得到S与x的函数解析式；图6，x=6，由图3变到图6，此时4＜x≤6；如图5，由题意可知△EKB是等边三角形，可表示出EK，FC，EF的长，根据S=S梯形EFCK，利用梯形的面积公式可得到S与x的函数解析式；综上所述可得到S与x的函数解析式，由此可得到三段函数都是二次函数，第1段是开口向上，第2、3段是开口向下的抛物线，观察各选项可得答案.
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得a-2≥0，
解之：a≥2.
故答案为：a≥2.
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集.
12．【答案】2（m+3）（m-3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
=2（m2-9）
=2（m+3）（m-3）.
故答案为：2（m+3）（m-3）.
【分析】先提取公因数2，再利用平方差公式继续分解即可.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴b2-4ac＞0即36-4k＞0，
解之：k＞9
故答案为：k＞9.
【分析】利用一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，可得到b2-4ac＞0，由此可得到关于k的不等式，然后求出不等式的解集.
14．【答案】甲
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵0.01=0.01，0.01＜0.02，
∴两人的平均水平相同，S甲2＜S乙2，
∴甲的成绩稳定，应该选甲去参加比赛.
故答案为：甲.
【分析】利用已知可知两人的平均数相同，再比较两人成绩的方差大小，根据方差越小，成绩越稳定，据此可求解.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵CE∥AB，
∴∠BAD=∠E，
在△ABD和△ECD中
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AB=CE=5，
在Rt△ABC中，
，
∴.
故答案为：.
【分析】利用线段中点可证得BD=CD，利用平行线的性质可得到∠BAD=∠E，利用AAS证明△ABD≌△ECD，利用全等三角形的性质可得到AB的长；再利用勾股定理求出BC的长，继而可求出CD的长.
16．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点B作BC⊥y轴于点C，
∴∠BCA=90°， ∵点A（0，2）， ∴OA=2， ∵ 将线段绕点逆时针旋转，得到线段，
∴AO=AB，∠OAB=120°，
∴∠CAB=180°-120°=60°，
在Rt△ABC中，
AC=AB=1，BC=CAtan∠CAB=tan60°=，
∴CO=OA+CA=1+2=3，
∴点B，
∵点B在反比例函数图象上，
∴k=
故答案为：.
【分析】过点B作BC⊥y轴于点C，利用点A的坐标可求出OA的长，利用旋转的性质可求出AB的长，同时求出∠CAB=60°，利用解直角三角形求出AC，BC的长，即可得到点B的坐标；然后将点B的坐标代入函数解析式求出k的值.
17．【答案】
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∵BE∥AC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∴AC=BE=2OA，
∴△OAF∽△EBF，
∴
∴，
∴S△BEF=4S△AOF，
∴，
∴S△AEF=2S△AOF，
同理可证S△BEF=2S△OBF，
S△OBC=S△AOB，
设S△AOF=x，则S△BEF=4x，S△AEF=2x，S△OBF=2x，
∴S△OBC=S△AOB=3x，
S四边形BCOF=S△BOC+S△BOF=3x+2x=5x，
∴四边形BCOF的面积与△AEF的面积之比为.
故答案为：.
【分析】利用平行四边形的性质可证得AD∥BC，OA=OC，利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形AEBC是平行四边形，利用平行四边形的性质可推出AC=BE=2OA，同时可证得△OAF∽△EBF，利用相似三角形的性质，可求出OF与EF的比值，同时可证得S△BEF=4S△AOF，S△AEF=2S△AOF，S△BEF=2S△OBF，S△OBC=S△AOB，设S△AOF=x，可表示出△BEF，△AEF，△OBF，△OBC的面积，再根据S四边形BCOF=S△BOC+S△BOF，可表示出四边形BCOF的面积，然后求出四边形BCOF的面积与△AEF的面积之比.
18．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点B′作B′H⊥BC于点H，
∵矩形ABCD，
∴∠ABE=90°，AD∥BC，
∵点B关于直线AE的对称点为点B′，
∴AB=AB′，BE=B′E，∠AEB=∠AEB′，∠ABE=∠AB′E=90°，
当DF⊥AB′时，BF有最大值，
∴∠AB′F=∠AB′E=90°，
∴点E与点F重合，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=∠AEB′，
∴AD=DE=10，
∴，
∴BE=B′E=4，
∵B′H⊥BC，DC⊥BC，
∴B′H∥CD，
∴△EB′H∽△EDC，
∴即
解之：
故答案为：.
【分析】过点B′作B′H⊥BC于点H，利用矩形的性质可证得∠ABE=90°，AD∥BC，利用轴对称的性质可得到AB=AB′，BE=B′E，∠AEB=∠AEB′，∠ABE=∠AB′E=90°，当DF⊥AB′时，BF有最大值，此时点E与点F重合，利用平行线的性质可推出∠DAE=∠AEB=∠AEB′，可得到DE的长，利用勾股定理求出CE的长及EB′的长；再证明△EB′H∽△EDC，利用相似三角形的对应边成比例可求出HB′的长.
19．【答案】解：
，
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先将分母能分解因式的先分解因式，同时将分式除法转化为乘法运算，约分化简，再利用分式减法法则进行计算，然后将m的值代入化简后的代数式进行计算.
20．【答案】（1）100
（2）解：组所对应的扇形圆心角的度数为∶，
选择组的人数为∶（人），
补全条形统计图如下∶
（3）解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下∶
共有12种等可能出现的结果，其中2个小组恰好是C和D小组的有2种，
所以选中的2个小组恰好是C和D小组的概率为212=16．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1） 本次调查的学生共有35÷35％=100人.
故答案为：100.
【分析】（1）利用两统计图可知本次调查的学生人数=C组的人数÷C组的人数所占的百分比，列式计算.
（2）D组所对应的扇形圆心角的度数=360°×D组的人数所占的百分比，列式计算；再求出B组的人数，然后补全条形统计图.
（3）根据题意可知此事件是抽取不放回，列出树状图，根据树状图可得到所有等可能的结果数及选中的2个小组中恰好是C、D小组的情况数，然后利用概率公式进行计算.
21．【答案】（1）解：设每个甲种驱蚊手环的售价x元，每个乙种驱蚊手环的售价是y元，
根据题意得， ，解得： ，
答：每个甲种驱蚊手环的售价是36元，每个乙种驱蚊手环的售价是20元；
（2）解：设购买甲种驱蚊手环m个，则购买乙种驱蚊手环个，
根据题意得：，
解得，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为31.
答：最多可购买甲种驱蚊手环31个.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：3× 每个甲种驱蚊手环的售价+1× 每个乙种驱蚊手环的售价=128；1× 每个甲种驱蚊手环的售价+2× 每个乙种驱蚊手环的售价=76；据此设未知数，列方程组，求解即可.
（2）此题的等量关系为：购买甲种驱蚊手环的数量+购买乙种驱蚊手环的数量=100；购买甲种驱蚊手环的数量×其售价+购买乙种驱蚊手环的数量×其售价≤2500；设未知数，列不等式，然后求出不等式的最大整数解.
22．【答案】（1）解：如图，作于点E，则，
由题意知，，，
故，
即两楼之间的距离为米；
（2）解：由题意知，
四边形是矩形，
，，
中，，
，
，
即大厦的高度为92米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点B作BE⊥DC于点E，在Rt△ABC中，利用解直角三角形求出AC的长.
（2）利用已知易证四边形ABEC是矩形，利用矩形的性质可得到BE，CE的长；再在Rt△BED中，利用解直角三角形求出DE的长；然后根据CD=DE+CE，代入计算求出CD的长.
23．【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
由已知得，
解得，
因此y与x之间的函数关系式为（其中，且x为整数）；
（2）解：设每周销售这款玩具所获的利润为W，
由题意得，
，
W关于x的二次函数图象开口向上，
，且x为整数，
当时，W取最大值，最大值为1800，
即当每件玩具售价为130元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是1800元．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，再将x，y的两组对应值分别代入函数解析式，可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到函数解析式.
（2）利用总利润W=每一件的利润×销售量，可得到W与x的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求出结果.
24．【答案】（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，
平分交于点E，
，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；
（2）解：如图，连接，，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，是的直径，
，
．
即的长为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接OE，利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ACB=90°，利用角平分线的定义可求出∠ACE=45°，然后利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出∠AOE的度数，然后利用切线的判定定理可证得结论.
（2）连接OG、OC，利用三角形的内角和定理求出∠B的度数，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△OBC是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出∠COB的度数，利用邻补角的定义求出∠AOC的度数，同时可求出∠MEC的度数；利用圆周角定理可证得∠GOC=90°，由此可求出∠AOG=30°，然后利用弧长公式求出弧AG的长.
25．【答案】（1）解∶∵是等边三角形，点是的中点，
∴，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，仍然成立，理由如下∶连接、，
∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（3）解：如图，当点在的延长线上时，作 于，
∵，
∴，，
∴，
∴．
由（）知∶，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，当点在上时，作于，
由上知∶，
∴，
∴，
∴，
综上所述∶或．
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；解直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质可证得∠BAC=∠DAE=60°，同时可求出∠BAE=30°，AD=AE，再根据∠BAD=∠DAE-∠BAE，代入计算求出∠BAD的度数，可证得∠DAE=∠BAE，利用等角对等边可证得AM与EM的数量关系.
（2）连接BD，DF，利用等边三角形的性质可证得∠ABC=∠BAC=∠DAE=∠ACB=60°，AB=AC，AD=AE，可证得∠BAD=∠CAE，利用SAS证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可得到∠ABD=120°，同时可证得BD=CE；再证明∠DBE+∠BEF=180°，可推出BD∥EF，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证得四边形BDFE是平行四边形，利用平行四边形的对边相等，可证得AM与EM的数量关系.
（3）分情况讨论：当点E在BC的延长线上时，过点A作AG⊥BE于点G，连接BD，利用解直角三角形可求出CG的长，根据EG=CG+CE，代入计算求出EG的长，利用勾股定理求出AE的长；由（2）可知DM=EM，由AM⊥DE，可得到∠AME=90°，∠AED=60°，利用解直角三角形求出AM的长；当点E在BC上时，过点A作AG⊥BC于点G，同理可求出AG，CG，EG的长，利用勾股定理求出AE的长，利用解直角三角形求出AM的长，综上所述可得到符合题意的AM的长.
26．【答案】（1）解：将，代入，
可得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：，，
，，
，
，，
的周长，
的周长是线段长度的2倍，
，
设直线的解析式为，
将，代入可得，
解得，
直线的解析式为，
设，则，，
，，
，
解得，（舍），
，
；
（3）解：，
当时，y取最大值，
，
直线的解析式为，
当时，，
，
设，过点M作轴于点N，
由题意知，
，
，
，
又，，
，
，，
，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
将点代入，得，
解得或，
或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点B、C的坐标分别代入函数解析式，可得到关于a、c的方程组，解方程组求出a、c的值，可得到二次函数解析式.
（2）利用点B，C的坐标可得到OB、OC的长，利用解直角三角形可表示出BE与EF，BF与EF之间的数量关系，同时可表示出△BEF的周长与EF的数量关系，再根据△BEF的周长是线段PF的2倍，可证得2PF=3EF；利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，利用两函数解析式设，则，，可表示出EF、PF的长，据此可得到关于t的方程，解方程求出符合题意的t的值，可得到点P的坐标.
（3）将二次函数解析式转化为顶点式，可得到点P的坐标，利用直线BC的函数解析式，由x=1求出对应的y的值，可得到点F的坐标，设点Q（0，n），过点M作MN⊥x轴于点N，利用余角的性质可证得∠OQB=∠MBN，利用AAS证明△BQO≌△MBN，利用全等三角形的性质可推出OQ=BN，BO=MN，可表示出点M的坐标，设直线QM的解析式为y=k′x+n，将点M的坐标代入可得到关于k′的方程，可表示出k′，可得到直线QM的函数解析式，将点F的坐标代入，可得到关于n的方程，解方程求出n的值，可得到点Q的坐标.
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