《17．2．1 一元二次方程的解法-配方法》习题
1．用配方法解下列方程：
（1）3x2-5x=2 （2）x2+8x=9
（3）x2+12x-15=0 （4）x2-x-4=0
2．用适当的数（式）填空：
；
＝
．
3．用配方法求解下列问题：
（1）求2x2-7x+2的最小值 ；
（2）求-3x2+5x+1的最大值．
《17．2．1 一元二次方程的解法-配方法》习题
1．用适当的数填空：
①、x2+6x+????? =（x+??? ）2；
②、x2－5x+???? =（x－??? ）2；
③、x2+ x+????? =（x+??? ）2；
④、x2－9x+???? =（x－? ）2
2．将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_________．
3．已知4x2-Ax+1可变为（2x-B）2的形式，则AB=_______．
4．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+A）2=B的形式为_______，所以方程的根为_________．
5．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（ ）．
A．3 B．-3 C．±3 D．以上都不对
6．用配方法将二次三项式A2-4A+5变形，结果是（ ）．
A．（A-2）2+1 B．（A+2）2-1 C．（A+2）2+1 D．（A-2）2-1
7．把方程x+3=4x配方，得（ ）．
A．（x-2）2=7 B．（x+2）2=21 C．（x-2）2=1 D．（x+2）2=2
8．用配方法解方程x2+4x=10的根为（ ）．
A．2± B．-2± C．-2+ D．2-
《17．2．1 一元二次方程的解法-配方法》习题
1．阅读理解题：
阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为 ①
解得，
当时，，，；
当时，，，；
原方程的解为，，，
解答问题：
（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想．
（2）解方程．
2．用配方法证明：
多项式的值总大于的值．
3．用直接开平方法解下列方程：
（1）； （2）．
4．解下列方程：
（1）； （2）； （3）．
《17．2．1一元二次方程的解法-配方法》习题
1．把方程x+3=4x配方，得（ ）
A．（x-2）2=7 B．（x+2）2=21 C．（x-2）2=1 D．（x+2）2=2
2．用配方法解方程x2+4x=10的根为（ ）
A．2± B．-2± C．-2+ D．2-
3．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（ ）
4．解方程．
5．用直接开平方法解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
6．用配方法解方程． ．
7．解方程：．
8．关于的方程的根 ， ．
9．关于的方程的解为
10．用配方法解方程
（1）； （2）．
《17．2．2 一元二次方程的解法-公式法》习题
一、填空题
1．一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根是__ ___，当b-4ac<0时，方程___ ______．
2．方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，则有_______，若有两个不相等的实数根，则有_________，若方程无解，则有__________．
3．用公式法解方程x2 =-8x-15，其中b2-4ac=_______，x1=_____，x2=________．
4．已知一个矩形的长比宽多2cm，其面积为8cm2，则此长方形的周长为________．
5．用公式法解方程4y2=12y+3，得到
6．不解方程，判断方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实数根的方程有 个
7．若方程x-4x+a=0的两根之差为0，则a的值为________．
二、利用公式法解下列方程
（1）
（2）
（3）x=4x2+2
（4）－3x 2＋22x－24＝0
（5）2x（x－3）=x－3
（6）3x2+5(2x+1)=0
《17.2.2 一元二次方程的解法-公式法》习题
一、选择题
1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）．
A．x= B．x=
C．x= D．x=
2．方程x2+4x+6=0的根是（ ）．
A．x1=，x2= B．x1=6，x2=
C．x1=2，x2= D．x1=x2=-
3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（ ）．
A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2
二、填空题
1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．
2．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4．
3．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____．
三、综合提高题
1．用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．
2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，
（1）试推导x1+x2=-，x1·x2=；
（2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．
《17.2.2 一元二次方程的解法-公式法》习题
一、填空
1．一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根是_____，当b-4ac<0时，方程_________．
2．方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，则有________，若有两个不相等的实数根，则有_________，若方程无解，则有__________．
3．若方程3x2+bx+1=0无解，则b应满足的条件是________．
4．关于x的一元二次方程x2+2x+c=0的两根为________．（c≤1）
5．用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=_______，x1=_____，x2=________．
6．已知一个矩形的长比宽多2cm，其面积为8cm2，则此长方形的周长为________．
二、选择
7．一元二次方程x2-2x-m=0可以用公式法解，则m=（ ）．
A．0 B．1 C．-1 D．±1
8．用公式法解方程4y2=12y+3，得到（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=
9．已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a（1+x2）+2bx-c（1-x2）=0的两根相等，则△ABC为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．任意三角形
10．不解方程，判断所给方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实数根的方程有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
三、解答
11．解下列方程
（1）2x2-3x-5=0 （2）2t2+3=7t （3）x2+x-=0
《17.2.2 一元二次方程的解法-公式法》习题
1．解下列方程
（1）2x2-3x-5=0 （2）2t2+3=7t （3）x2+x-=0
（4）x2-2x+1=0 （5）0.4x2-0.8x=1 （6）y2+y-2=0
（7）（x+1）（x+8）=-12 （8）2（x－3） 2＝x 2－9 （9）－3x 2＋22x－24＝0
2．拓广探索
1．当x=_______时，代数式与的值互为相反数．
2．若方程x-4x+a=0的两根之差为0，则a的值为________．
3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时，那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A千瓦时，那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时元收费．
（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元？（用A表示）
（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况
月份
用电量（千瓦时）
交电费总金额（元）
3
80
25
4
45
10
根据上表数据，求电厂规定的A值为多少？
《17．2．3 一元二次方程的解法-因式分解法》习题
一、选择题：
1、下列有等号左边到右边的变形中，属于因式分解的是
A、-4=（x+2）（x-2）
B、-4+3x=（x+2）（x-2）+3x
C、2-4x=x（2x-4）
D、（x+2）（x-2）=-4
2、把多项式+10ay-25xy分解因式时，应提的公因式是
A、
B、5a
C、5ax
D、5ay
3、多项式（a-2）+b（2-a）分解因式后等于
A、b（a-2）（b-1）
B、（a-2）（+b）
C、（a-2）（-b）
D、b（a-2）（b+1）
4、下列因式分解正确的是
A、-3=x（-3x）
B、（x+y）-3x（x+y）=-2x（x+y）
C、
D、4（x-y）+6（y-x）=10（x-y）
二、填空题：
5、分解因式：（1）=___________；（2）=___________．
6、分解因式：（1）=______________；（2）=___________．
7、分解因式：（1）=_________；（2）=_______．
8、如果a+b=7，ab=12，那么的值为____________．
《17．2．3 一元二次方程的解法-因式分解法》习题
一、选择题
1．下列命题①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x2=1是同解方程；③方程x2=x与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正确的命题有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（ ）．
A．- B．-1 C． D．1
二、填空题
1．x2-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．
2．方程（2x-1）2=2x-1的根是________．
3．二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．
三、综合提高题
用因式分解法解下列方程．
（1）3y2-6y=0 （2）25y2-16=0
（3）x2-12x-28=0 （4）x2-12x+35=0
《17．2．3 一元二次方程的解法-因式分解法》习题
选择题
1、把－8m3＋12m2＋4m分解因式，结果是（ ）
A、－4m（2m2－3m） B、－4m（2m2＋3m－1）
C、－4m（2m2－3m－1） D、－2m（4m2－6m＋2）
2、把多项式－2x4－4x2分解因式，其结果是（ ）
A、2（－x4－2x2） B、－2（x4＋2x2） C、－x2（2x2＋4） D、 －2x2（x2＋2）
3、（－2）1998＋（－2）1999等于（ ）
A、－21998 B、21998 C、－21999 D、21999
4、把16－x4分解因式，其结果是（ ）
A、（2－x）4 B、（4＋x2）（ 4－x2）
C、（4＋x2）（2＋x）（2－x） D、（2＋x）3（2－x）
5、把a4－2a2b2＋b4分解因式，结果是（ ）
A、a2（a2－2b2）＋b4 B、（a2－b2）2 C、（a－b）4 D、（a＋b）2（a－b）2
6、若9a2＋6（k－3）a＋1是完全平方式，则 k的值是（ ）
A、±4 B、±2 C、3 D、4或2
7、－（2x－y）（2x＋y）是下列哪个多项式分解因式的结果（ ）
A、4x2－y2 B、4x2＋y2 C、－4x2－y2 D、－4x2＋y2
8、多项式x2＋3x－54分解因式为（ ）
A、（x＋6）（x－9） B、（x－6）（x＋9）
C、（x＋6）（x＋9） D、（x－6）（x－9）
《17．2．3 一元二次方程的解法-因式分解法》习题
一、填空题
1、2x2－4xy－2x = _______（x－2y－1）
2、4a3b2－10a2b3 = 2a2b2（________）
3、（1－a）mn＋a－1=（________）（mn－1）
4、m（m－n）2－（n－m）2 =（__________）（__________）
5、x2－（_______）＋16y2=（ ）2
6、x2－（_______）2=（x＋5y）（ x－5y）
7、a2－4（a－b）2=（__________）·（__________）
8、a（x＋y－z）＋b（x＋y－z）－c（x＋y－z）= （x＋y－z）·（________）
9、16（x－y）2－9（x＋y）2=（_________）·（___________）
10、（a＋b）3－（a＋b）=（a＋b）·（___________）·（__________）
11、x2＋3x＋2=（___________）（__________）
12、已知x2＋px＋12=（x－2）（x－6），则p=_______．
二、解答题
1、把下列各式因式分解．
（1）x2－2x3 （2）3y3－6y2＋3y
（3）a2（x－2a）2－a（x－2a）2 （4）（x－2）2－x＋2
2、已知：x＋y=，xy=1．求x3y＋2x2y2＋xy3的值．
课件3张PPT。1、把 分解因式得
（ ）
A、 B、
2、把 分解因式得
（ ）
A、 B、BA3、如果100x2+kxy+y2可以分解为（10x-y)2,那么k的值是（ ）
A、20 B、-20
C、10 D、-10
4、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ ）
A、6 B、±6
C、3 D、±3 BB5、把 分解因式得（ ）
A、 B、
C、 D、
6、计算 的结果是（ ）
A、 1 B、-1
C、 2 D、-2CA课件1张PPT。我们已经学过一些特殊的二次三项式的分解因式,如：二次三项式 ax2+bx+c 的因式分解但对于一般的二次三项式ax2+bx+c(a≠o),怎么把它分解因式呢?观察下列各式,也许你能发现些什么？课件4张PPT。用配方法解下列方程：解：移项，得配方，得开平方，得x2－2×2x+ =1+ ，即(x－ )2= ..所以原方程的根是x1= ，x2= .222225(1)先把x2的系数变为1，即把原方程两边同除以2，得(2)移项，得配方，得开平方，得即所以原方程的根是课件2张PPT。你能否归纳出缺项的二次方程的解法：
ax2+c=0(a，c异号)，ax2+bx=0(a≠0)的解法？解：ax2+c=0(a，c异号)移项：ax2=－c将未知数前系数化为1：解方程，得：(a，c异号)ax2+bx=0(a≠0)因式分解，得：x(ax+b)=0因此，有： x=0或ax+b=0解方程，得：(a≠0)课件4张PPT。归纳（1）一元二次方程 的根是由一元二次方程的系数 确定的；（2）当 时，一元二次方程
有两个不相等的实数根归纳（3）当 时，一元
二次方程
有两个相等的实数根归纳（4）当 时，一元
二次方程
无实数根.归纳课件3张PPT。解下列方程：解：＞0.方程有两个不相等的实根＞0.方程有两个不相等的实根课件4张PPT。解下列方程：解：课件4张PPT。10课件1张PPT。某养鸡厂的矩形鸡舍长靠墙，现在有材料可以制作竹篱笆13米，若欲围成20平方米的鸡舍，鸡舍的长和宽应是多少？能围成22平方米的鸡舍吗，若可以求出长和宽。课件1张PPT。拓展：把方程x2-3x+p=0配方得到
(x+m)2=
(1)求常数p,m的值；
(2)求方程的解。课件7张PPT。用因式分解法解下列方程：(1)(x－ )(x－ )=0；(2)4x2－3x=0；
(3)3(x+1)=x(x+1)；
(4)x2－6x－7=0；
(5)t(t+3)=28；
(6)(x+1)(x+3)=15.(1)(x－ )(x－ )=0；解：解方程，得(2)4x2－3x=0；因式分解，得因此，有x(4x－3)=0.x=0或(4x－3)=0.解方程，得(3)3(x+1)=x(x+1)；化简，移项，得因此，有因式分解，得x2－2x－3=0.(x+1)(x－3)=0.x+1=0或x－3=0.解方程，得x1=－1，x2=3.(4)x2－6x－7=0；因此，有因式分解，得(x+1)(x－7)=0.x+1=0或x－7=0.解方程，得x1=－1，x2=7.(5)t(t+3)=28；化简，移项，得因此，有因式分解，得t2+3t－28=0.(t+7)(t－4)=0.t+7=0或t－4=0.解方程，得t1=－7，t2=4.(6)(x+1)(x+3)=15.化简，移项，得因此，有因式分解，得x2+4x－12=0.(x+6)(x－2)=0.x+6=0或x－2=0.解方程，得x1=－6，x2=2.课件3张PPT。 例1、解下列方程 x+2=0或3x－5=0 ∴ x1=-2 , x2= 提公因式法例2、(3x+1)2－5=0 解：原方程可变形为 (3x+1+)(3x+1－)=0 3x+1+=0或3x+1－=0 ∴ x1= , x2= 公式法课件1张PPT。利用公式法解下列方程 课件1张PPT。利用公式法解下列方程 课件1张PPT。用公式法解下列方程课件6张PPT。1.填空：(1)x2－8x+( )2=(x－ )2；44(2)y2+5y+( )2=(y+ )2；(3)x2－ x+( )2=(x－ )2；(4)x2+px+( )2=(x+ )2.2.用配方法解下列方程：(1)x2+x－1=0； (2)x2－3x－2=0；
(3)2x2+5x－1=0； (4)3x2－6x+1=0.解：移项，得配方，得由此可得(1)解：移项，得配方，得由此可得(2)解：移项，得配方，得由此可得(3)两边同时除以2，得：解：移项，得配方，得由此可得(4)两边同时除以3，得：《17.2.1 一元二次方程的解法-配方法》教案
学习目标：
会用开平方法解形如（x＋m）2＝n（n≥0）的方程；理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．
经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的一个有效数学模型，增强学生运用数学的意识和能力．
3．体会转化的数学思想方法．
4．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．
学习重点、难点
重点：利用配方法解一元二次方程．
难点：把一元二次方程通过配方转化为（x＋m）2＝n（n≥0）的形式．
一、课前预习
（提出实际问题，让学生用数学知识解决问题）
用彩灯围成一个面积为24平方米的长方形舞台，若要长比宽多2米，那么舞台的长和宽，该如何确定的呢？
设计意图：利用现实生活问题，不仅能够生动自然引出我们要解决的数学问题，更重要的是学生们感兴趣，可以激发他们的热情，为下一步探究营造了轻松愉悦的氛围．
若想求出舞台的长和宽，需解方程x2 + 2x-24=0 （学生解方程有困难，教师需引导．）
前面我们可求出了x2 +2x-24=0方程中x的近似值，你能求出它的精确值吗？今天就学习用配方法解一元二次方程．
课内探究
1、自主学习
师：你都会解哪些简单的一元二次方程？（请同学自由回答）
生：例如x2=4 （x+3）2=9
x=±2 x+3=±3
x1=0 x2= - 6
师：形如x2=4、（x+3）2=9 的一元二次方程有什么特点呢？你是如何解它们的？（独立思考后，与同桌互相交流）
生：方程都可以写成 （x+m）2=n（n≥0） 的形式．两边开平方便可求出方程的解．
2、合作探究
师：看来将一个一般形式的一元二次方程，转化为（x+m）2=n（n≥0）的形式利用开平方法就可以求解．那么，方程x2+8x-9=0你能将它转化为（x+m）2=n（n≥0）的形式吗？（请同学动手做一做，再与你的小组同学互相交流）
生：讨论结果大致有两种情况．
A：x2+8x-9=0 B：x2+8x-9=0
x2+8x=9 x2+8x-9+25=25
x2+8x+16=9+16 x2+8x+16=25
（x+4） 2 =25 （x+4） 2 =25
师：（将两种利用投影都展示出来）
请全班同学共同观察比较这两种情况有什么关系？（请大家自由发言）
生：两种方法实质上都是在方程两边同时加上了一次项系数（8）一半的平方（4）2，配成了完全平方式．
师：对这种通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法，就称为配方法．（揭示课题）
3、精讲点拨
一名跳水运动员进行10米跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面5米以前完成规定的翻腾动作，并且调整好于入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员起跳后的运动时间t（s），和运动员距离水面的高度h（m），满足关系：h=10+2．5t-5t2，那么他最多有多长时间完成规定动作？
设计意图：力求将解方程的技能训练与实际问题的解决融为一体，增强学生数学应用意识．
4、巩固检测：配套练习册第一课时内容．
5、知识回顾、总结提升．
知识回顾：配方法解一元二次方程的一般步骤．
结提升：（结合实例同学生一起总结）
《17.2.1一元二次方程的解法-配方法》教案
教学内容
间接即通过变形运用开平方法降次解方程．
教学目标
理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．
通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．
重难点关键
1．重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．
2．难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．
教学过程
复习引入
（学生活动）请同学们解下列方程
（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9
老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得
x=±或mx+n=±（p≥0）．
如：4x2+16x+16=（2x+4）2
二、探索新知
列出下面二个问题的方程并回答：
（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？
（2）能否直接用上面三个方程的解法呢？
问题1：印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起”．
大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的八分之一的平方，另一队猴子数是12，那么猴子数是多少？你能解决这个问题吗？
问题2：如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？
学生活动：
例1．按以上的方程完成x2-36x+70=0的解题．
可以验证x1≈34，x2≈2都是原方程的根，但x≈34不合题意，所以道路的宽应为2．
例2．解下列关于x的方程
（1）x2+2x-35=0 （2）2x2-4x-1=0
三、应用拓展
如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
四、归纳小结
本节课应掌握：
左边不含有x的完全平方形式，左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．
《17.2.1 一元二次方程的解法-配方法》教案
教学目标：
1．理解配方法，会用配方法解数字系数的一元二次方程．
2．通过用配方法解一元二次方程，把一元二次方程化为一元一次方程的过程，体会转化的数学思想．
重点与难点
重点：用配方法解一元二次方程的步骤．
难点：探究用配方法求解一元二次方程的步骤．
教学方法：
自主学习与合作探究相结合
教学流程
一、预习效果检测：
1．发放检测卷，检测课前预习效果．
（1）用开平方法解一元二次方程，须将方程化为 的形式．
（2） 叫配方法．
（3）配方的过程是将方程两边同时加上 ，左边化为 ，右边是一个 数，然后用 法求解．
（4）用配方法解方程：x2+4x=-3（一生板演）
（5）填空：1）x2+6x+_____=（x+3）2
2）x2+8x+_____=（x+___）2
3）x2-16x+_____=（ ）2
4）x2-5x+______=_________
2．学生答题，教师板书课题．
环节设计：该环节，既能考察学生的课前延伸情况，又能考查各类学生的自主学习能力，激发了学生的学习热情．
学生回答预习检测结果，纠正反馈（包括板演的题目）．
针对预习存在的问题，展示下一段学习的目标，并针对目标进行有的放矢的训练．
目标：
（1）理解配方法，会用配方法解数字系数的一元二次方程．
（2）通过用配方法解一元二次方程，把一元二次方程化为一元一次方程的过程，体会转化的数学思想．
二、课内进行探究
（一）合作探究困惑问题
1、由预习检测出现的问题，设计探究习题．
（1）在下列式子中填上适当的数，使等式成立，
x2-6x+ =
x2+16x+ =
（2）用配方法解一元二次方程：
x2-3x=-2 t2+8=6t
2、小组自主学习与合作探究以上题目．
环节设计：本环节学生带着问题去学习，要解决疑难问题，就需要合作探究，既掀起了学习的高潮，又培养了学生学习的兴趣．
（二）精讲解疑点拨
1、教师总结规律：对于x2+px，再添上一次项系数一半的平方，就能配出一个含未知数的一个次式的完全平方式．即．方程的左边配方后，如果右边是一个非负数，就可用直接开平方法解方程．
师生共同总结配方法的思路：当一元二次方程的二次项系数为1时，在方程的两边都加上一次项系数一半的平方，就把方程的左边配成了一个完全平方式，从而把原方程转化为能由平方根的意义求解的方程，这种解法叫配方法．象下面的例题（投影）
3、例：用配方法解方程y2+4y-6=0
解：移项，得：y2+4y=6
配方，得：y2+4y+4=4+6
（y+2）2=10
开平方，得：y+2=
（三）适时巩固强化
1、屏幕展示训练题
（1）填空配方
x2-bx+（ ）=（x- ） 2; x2-（m+n）x+（ ）=（x- ） 2．
2、用配方法解下列方程．
x2-6x+4=0
x2+5x-6=0
3、学生总结反思一：左边的常数项是一次项系数一半的平方．
（四）拓展延伸应用
解方程x2+2mx+2=0，并指出m2取什么值时，这个方程有解．探讨以上问题，学生分析思路
知识梳理小结
1、大屏幕投影问题．
（1）本节课学习了哪些知识，运用了怎样的学习方式和途径？
（2）你认为学习的效果如何？你还有什么困惑和见解？
2、学生回答总结发言．
设计特点：让学生评课与总结，发挥学生的主体地位，增强学生的民主参与意识．
《17.2.1 一元二次方程的解法-配方法》教案
教学目标：
（一）教学知识点
1．会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．
2．了解用配方法解一元二次方程的基本步骤．
（二）能力训练要求
1．理解配方法；知道“配方”是一种常用的数学方法．
2．会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．
3．能说出用配方法解一元二次方程的基本步骤．
（三）情感与价值观要求
通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们的数学应用意识和能力．
教学重点：用配方法求解一元二次方程．
教学难点：理解配方法．
教学过程：
我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．
用配方法解一元二次方程的方法的助手：
完全平方式：式子 a2±2ab＋b2叫完全平方式，且a2±2ab＋b2=（a±b）2
用配方法解一元二次方程的步骤：
移项：把常数项移到方程的右边；
配方：方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方；
变形：方程左边分解因式，右边合并同类项；
开方：根据平方根的意义，方程两边开平方；
求解：解一元一次方程；
定解：写出原方程的解．
随堂练习：
用配方法解下列方程：
1．x2－2=0
2．x2＋4x=2
3．3x2＋8 x－3=0
这个方程与前2个方程不一样的是二次项系数不是1，而是3．
基本思想是：
如果能转化成前2个方程的形式，则方程即可解决．
你想到了什么办法？
解方程：3 x2＋8 x－3=0
心动不如行动：
用配方法解下列方程
1．3x2 －9x＋2=0
2．2x2＋6=7x
做一做：
一个小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系：
h=15t－5t2，
小结与拓展：
本节复习了哪些旧知识呢？
继续请两个“老朋友”助阵和加深对“配方法”的理解运用：
完全平方式：式子 a2±2ab＋b2叫完全平方式，且a2±2ab＋b2=（a±b）2
本节课又学会了哪些新知识呢？
用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的步骤：
化简：把二次项系数化为1；
移项：把常数项移到方程的右边；
配方：方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方；
变形：方程左边分解因式，右边合并同类项；
开方：根据平方根的意义，方程两边开平方；
求解：解一元一次方程；
定解：写出原方程的解．
用一元二次方程这个模型来解答或解决生活中的一些问题（即列一元二次方程解应用题）．
《17.2.2 一元二次方程的解法-公式法》教案
学习目标：
理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．
重点：
求根公式的推导和公式法的应用．
难点与关键：
一元二次方程求根公式法的推导．
学习指导：
复习与思考
用配方法解下列方程：（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52
二、自主学习，解读目标
针对目标自学教材内容，掌握一元二次方程求根公式的推导过程，通过研究掌握方法步骤，会用公式法解一元二次方程，演练37页练习1检验自己是否达到学习要求，有困难时及时请教他人或请老师帮助，15分钟后，抽部分同学板演讲解，解读目标．
三、班级展示，解读目标
1、推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）求根公式．
2、对于一元二次方程ax2+bx+c=0，下列叙述正确的是
A．方程总有两个实数根 B．只有当b2-4ac≥0时，才有两实根
C．当b2-4ac<0时，方程只有一个实根 D．当b2-4ac=0时，方程无实根
3、运用求根公式解下列方程：
（1）5x2=3x (2)(y-1)(y+3)+5=0
4、某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时，那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A千瓦时，那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时A/100元收费．
（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元？（用A表示）
（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况
月份
用电量（千瓦时）
交电费总金额（元）
3
80
25
4
45
10
根据上表数据，求电厂规定的A值为多少？
四、总结反思，延伸提高
如果分式的值为0，则x值为
A．3或-1 B．3 C．-1 D．1或-3
已知三角形两边长分别是1和2，第三边的长为2x2-5x+3=0的根，则这个三角形的周长是
A．4 B． C．4或 D．不存在
选择适当的方法解下列方程．
（1）4(3x-2)2=36 (2)3x2+5(2x+1)=0
《17.2.2 一元二次方程的解法-公式法》教案
一、知识目标
1．理解求根公式的推导过程和判别公式；
2．使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程．
二、能力目标
1．通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想．
2．结合的使用求根公式解一元二次方程的练习，培养学生运用公式解决问题的能力，全面培养学生解方程的能力，使学生解方程的能力得到切实的提高．
三、德育目标
让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感．
四、教学的重、难点及教学设计
（1）教学的重点
1．掌握公式法解一元二次方程的一般步骤．
2．熟练地用求根公式解一元二次方程．
（2）教学的难点：
理解求根公式的推导过程及判别公式的应用．
五、教学设计要点
1．情境设计
上课开始，通过提问让学生回忆一元二次方程的概念及配方法解一元二次方程的一般步骤．利用昨天所学“配方法”解一元二次方程，达到“温故而知新”的目的和总结配方法的一般步骤，为下一步解一般形式的一元二次方程做准备．
然后让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)能否用配方法求出它的解？引出本节课的内容．
2．教学内容的处理
（1）回顾配方法的解题步骤，用配方法来解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)．
（2）总结用公式法解一元二次方程的解题步骤，并补充理解判别公式的分类与应用．
（3）在小黑板上补充课后思考题：李强和萧晨刚学了用公式法解一元二次方程，看到一个关于x的一元二次方程x2+(2m-1)x+(m-1)=0，李强说:“此方程有两个不相等的实数根”，而萧晨反驳说:“不一定，根的情况跟m的值有关”．那你们认为呢?并说明理由．
3．教学方法
在教学中由特殊的解法（配方法）引导探究一般形式一元二次方程的解的形式展开，利用学生已有的知识，让学生多交流，主动参与到教学活动中来，让学生处于主导地位．通过比较合理的问题设计、小组讨论形式让学生更好的掌握知识．
六、教具准备
彩色粉笔、小黑板、幻灯片等．
七、教学过程
1．复习导入新课
在上课之前给出一个一元二次方程2x2-8x-9=0 要求用配方法求解，并写出配方法的一般步骤．（1）整体感知：学生先运用配方法解2x2-8x-9=0；
二次项系数化为1得x2-4x-=0；移项x2-4x=；配方x2-4x+22=+4；
（x-2）2=，x-2=或x-2=-；解得x1=2+，x2=2-．
（1）所学“配方法”解一元二次方程，达到“温故而知新”的目的
（2）总结配方法的一般步骤，为下一步解一般形式的一元二次方程做准备
1．呈现问题，层层递进，探索新知
你能用配方法解般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)吗?
化简、移项、配方、变形由我和学生一起探究完成，到这步时，提出问题:
①此时可以直接开平方吗？需要注意什么？②等号右边的值有可能为负吗？说明什么？让小组交流、讨论达成共识．学生会对 进行讨论，应及时鼓励．分类思想也是今后常用的一种思想，应加以强化．
最终总结出：当 时，原方程无实数解．
当时，原方程有实数解，解是多少可以将a、b、c的值带入公式而得到，这个公式就称为“求根公式”．利用它解一元二次方程叫做公式法．
师生共同完成前四步，这样与利于减轻学生的思维负担，便于将主要精力放在后边公式的推导上．通过小组的讨论有利于发挥学生的互帮互助；有利于发挥集体的优势；有利于突破难点．对学生的出色表现应予以及时的鼓励．最终结果将表示成如下：
1．总结反思
采用学生小结教师补充的方式来概括本节课的知识
（1）引导学生作知识总结：本节课通过配方法求解一般形式的一元二次方程的根，推出了一元二次方程的求根公式，并按照公式法的步骤解一元二次方程．
（2）教师扩展：（方法归纳）求根公式是一元二次方程的专用公式，只有在确定方程是一元二次方程时才能使用，同时，求根公式也适用于解任何一元二次方程，是常用而重要的一元二次方程的万能求根公式．
《17.2.2 一元二次方程的解法-公式法》教案
教学内容
1．一元二次方程求根公式的推导过程；
2．公式法的概念；
3．利用公式法解一元二次方程．
教学目标
理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．
复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．
重难点关键
1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．
2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）用配方法解下列方程
（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52
（老师点评）
总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．
（1）移项；
（2）化二次项系数为1；
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；
（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；
（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
二、探索新知
如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根x1=，x2=
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x1、x2=就得到方程的根．
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
例1．用公式法解下列方程．
（1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2
（3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0
应用拓展
例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
（2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出．
你能解决这个问题吗？
四、归纳小结
本节课应掌握：
（1）求根公式的概念及其推导过程；
（2）公式法的概念；
（3）应用公式法解一元二次方程；
（4）初步了解一元二次方程根的情况．
一元二次方程的解法-公式法》教案
学习目标
1、会用公式法解一元二次方程．
2、了解一元二次方程根的判别式．
3、灵活运用一元二次方程的各种解法解方程．
学习流程
1、我们已经学习了一元二次方程的哪些解法？
2、用配方法解一般形式的一元二次方程：
3、一元二次方程的求根公式：
用公式法解下列方程：
（1）2x2＋x－6＝0； （2）；
（3）5x2－4x－12＝0； （4）4x2＋4x＋10＝1－8x．
用公式法解方程：3x（x－3）＝2（x－1）（x＋1）．
4、一元二次方程的根的判别式
关于的一元二次方程的根的判别式是：
5、性质
（1）当b2－4ac＞0时， ；
（2）当b2－4ac＝0时， ；
（3）当b2－4ac＜0时，
6．平行训练
（1）不解方程，判别方程的根的情况．
（2）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
（3）解方程：2x2－x－3=0观察它的两个根，并计算两根之和，两根之积分别等于多少？你能得到什么结论吗？
（4）已知y1＝2x＋7x－1，y2＝6x＋2，当x取何值时y1＝y2？
（5）学校课外生物小组的试验园地是一块长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为600平方米，求小道的宽．（精确到0.1米）
现在，你学会了几种解一元二次方程的方法了？你能灵活的选择合适的方法来解一元二次方程吗？下面我们来试一试.
（6）用适当的方法解下列方程：
3x2－4x＝2x；
（x＋3）2＝1；
x2＋（＋1）x＝0；
x（x－6）＝2（x－8）；
（x＋1）（x－1）＝；
x（x＋8）＝16．
《17.2.3 一元二次方程的解法-因式分解法》教案
学习目标
1．会用因式分解法解某些一元二次方程．
2．能够根据方程的特征，灵活运用一元二次方程的各种解法求方程的根．
主体知识归纳
1．因式分解法：若一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，例如，x2－9＝0，这个方程可变形为（x＋3）（x－3）＝0，要（x＋3）（x－3）等于0，必须并且只需（x＋3）等于0或（x－3）等于0，因此，解方程（x＋3）（x－3）＝0就相当于解方程x＋3＝0或x－3＝0了，通过解这两个一次方程就可得到原方程的解．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
2．因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论根据是：若A·B＝0A＝0或B＝0
基础知识讲解
1．只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．
2．在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程．但对某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简便，有的用因式分解法简便．因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解．配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实际解一元二次方程时，一般不用配方法．而在以后的学习中，会常常用到因式分解法，所以要掌握这个重要的数学方法．
例题精讲
例1：用因式分解法解下列方程：
（1）y2＋7y＋6＝0； （2）t（2t－1）＝3（2t－1）； （3）（2x－1）（x－1）＝1．
解：（1）方程可变形为（y＋1）（y＋6）＝0，y＋1＝0或y＋6＝0，∴y1＝－1，y2＝－6．
（2）方程可变形为t（2t－1）－3（2t－1）＝0，（2t－1）（t－3）＝0，2t－1＝0或t－3＝0，∴t1＝，t2＝3．
（3）方程可变形为2x2－3x＝0．x（2x－3）＝0，x＝0或2x－3＝0．
∴x1＝0，x2＝．
说明：（1）在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．
（2）应用因式分解法解形如（x－a）（x－b）＝c的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如（x－e）（x－f）＝0的形式，这时才有x1＝e，x2＝f，否则会产生错误，如（3）可能产生如下的错解：
原方程变形为：2x－1＝1或x－1＝1．∴x1＝1，x2＝2．
（3）在方程（2）中，为什么方程两边不能同除以（2t－1），请同学们思考？
例2：用适当方法解下列方程：
（1）（1－x）2＝；（2）x2－6x－19＝0；（3）3x2＝4x＋1；（4）y2－15＝2y；（5）5x（x－3）－（x－3）（x＋1）＝0；
（6）4（3x＋1）2＝25（x－2）2．
剖析：方程（1）用直接开平方法，方程（2）用配方法，方程（3）用公式法，方程（4）化成一般式后用因式分解法，而方程（5）、（6）不用化成一般式，而直接用因式分解法就可以了．
解：（1）（1－x）2＝，（x－1）2＝3，x－1＝±，∴x1＝1＋，x2＝1－．
（2）移项，得x2－6x＝19，配方，得x2－6x＋（－3）2＝19＋（－3）2，（x－3）2＝28，x－3＝±2，
∴x1＝3＋2，x2＝3－2．
（3）移项，得3x2－4x－1＝0，
∵a＝3，b＝－4，c＝－1，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
（4）移项，得y2－2y－15＝0，把方程左边因式分解，得（y－5）（y＋3）＝0；
∴y－5＝0或y＋3＝0，∴y1＝5，y2＝－3．
（5）将方程左边因式分解，得（x－3）［5x－（x＋1）］＝0，（x－3）（4x－1）＝0，
∴x－3＝0或4x－1＝0，
∴x1＝3，x2＝．
（6）移项，得4（3x＋1）2－25（x－2）2＝0，
［2（3x＋1）］2－［5（x－2）］2＝0，
［2（3x＋1）＋5（x－2）］·［2（3x＋1）－5（x－2）］＝0，
（11x－8）（x＋12）＝0，
∴11x－8＝0或x＋12＝0，∴x1＝，x2＝－12．
说明：（1）对于无理系数的一元二次方程解法同有理数一样，只不过要注意二次根式的化简．
（2）直接因式分解就能转化成两个一次因式乘积等于零的形式，对于这种形式的方程就不必要整理成一般式了．
例3：解关于x的方程：（a2－b2）x2－4abx＝a2－b2．
解：（1）当a2－b2＝0，即｜a｜＝｜b｜时，方程为－4abx＝0．
当a＝b＝0时，x为任意实数．当｜a｜＝｜b｜≠0时，x＝0．
（2）当a2－b2≠0，即a＋b≠0且a－b≠0时，方程为一元二次方程．
分解因式，得
［（a＋b）x＋（a－b）］［（a－b）x－（a＋b）］＝0，
∵a＋b≠0且a－b≠0，
∴x1＝，x2＝．
说明：解字母系数的方程，要注意二次项系数等于零和不等于零的不同情况分别求解．本题实际上是分三种情况，即①a＝b＝0；②｜a｜＝｜b｜≠0；③｜a｜≠｜b｜．
例4:已知x2－xy－2y2＝0，且x≠0，y≠0，求代数式的值．
剖析：要求代数式的值，只要求出x、y的值即可，但从已知条件中显然不能求出，要求代数式的分子、分母是关于x、y的二次齐次式，所以知道x与y的比值也可．由已知x2－xy－2y2＝0因式分解即可得x与y的比值．
解：由x2－xy－2y2＝0，得（x－2y）（x＋y）＝0，∴x－2y＝0或x＋y＝0，∴x＝2y或x＝－y．
当x＝2y时，．
当x＝－y时，．
说明：因式分解法体现了“降次”“化归”的数学思想方法，它不仅可用来解一元二次方程，而且在解一元高次方程、二元二次方程组及有关代数式的计算、证明中也有着广泛的 应用．
同步达纲练习
1．选择题
（1）方程（x－16）（x＋8）＝0的根是（ ）
A．x1＝－16，x2＝8
B．x1＝16，x2＝－8
C．x1＝16，x2＝8
D．x1＝－16，x2＝－8
（2）下列方程4x2－3x－1＝0，5x2－7x＋2＝0，13x2－15x＋2＝0中，有一个公共解是（ ）
A．．x＝
B．x＝2
C．x＝1
D．x＝－1
（3）方程5x（x＋3）＝3（x＋3）解为（ ）
A．x1＝，x2＝3
B．x＝
C．x1＝－，x2＝－3
D．x1＝，x2＝－3
（4）方程（y－5）（y＋2）＝1的根为（ ）
A．y1＝5，y2＝－2
B．y＝5
C．y＝－2
D．以上答案都不对
《17.2.3一元二次方程的解法-因式分解法》教案
一、教学目标
知识与技能目标
1、是学生了解因式分解的意义，理解因式分解与整式乘法的联系与区别．
2、掌握运用提公因式法、公式法、分组分解法分解因式，及形如x2+（p+q）x+pq的多项式因式分解，培养学生应用因式分解解决问题的能力．
过程与方法目标
1、通过了解因式分解的意义及其与整式的乘法之间的关系，从中体事物之间可以相互转化的辩证思想．
2、经历探索因式分解方法的过程，培养学生研讨问题的方法，通过猜测、推理、验证、归纳等步骤，得出因式分解的方法．
3、培养学生全面观察问题、分析问题和逆向思维的能力．
情感与态度目标
1、通过因式分解的学习，使学生体会数学美，体会成功的自信和团结合作精神，并体会整体数学思想和转化的数学思想．
2、培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度以及创新意识．
二、教学重点、难点
教学重点：因式分解的概念与目的；用提公因式法和公式法分解因式
（学生习惯依葫芦画瓢，作题有时不理解题目要求，常常把分解因式的题做成多项式的乘法．让学生理解因式分解的目的是很重要的．讲讲因式分解的作用可以帮助学生理解因式分解的目的．）
教学难点：
因式分解的方法，特别是公式法；分组分解法和形如x2+（p+q）x+pq的多项式的因式分解．
（在以往的教学中发现，学生在使用公式法分解因式时不够灵活，易出错．原因是不能理解公式中a、b是变量，可以变成其它的式子，单项式或多项式；两个公式只是两种计算规律．学生的思维往往被公式中a、b这两个字母迷惑．）
关键点：
对公式的结构特征应做出具体分析，掌握公式的特点，加深理解，并培养学生在多变的情况运用公式．
三、教学过程
（一）设置问题，以趣激情
兴趣是最好的老师，可以激发情感，唤起某种动机，从而引导学生成为学习的主人．若能利用短短几分钟时间，在刚开始就激发学生的兴趣，这正是老师追求的一个目标．所以我设置以下的问题：
手工课上，老师给小王同学发下一张如左图形状的纸张，要求他在恰好不浪费纸张的前提下剪拼成右图形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底，请问你，你能帮助小王同学解决这个问题吗？
（留一定的时间让学生思考、讨论，在学生感到新奇又不知所措的过程中积蓄了强烈的求知欲望．设置悬念，无疑对整节的学习也创设了良好的情绪状态．）
（二）以旧探新，引出课题
因式分解的概念类同于因数分解的概念，借助于学生已有的整式乘法的基础，给学生提供一些问题背景，同时给学生留有充分探索的空间，．这个环节围绕几个问题展开，在积极的状态下，用类比的方法，找到新知生长点，把数的有关知识正迁移到式，由学生自己给出因式分解的名称，引出课题，显得顺理成章．
利用多媒体课件，依次出示，让学生回答． 1．（回顾旧知）计算：（1）a（a+1）；（2）（a+b）（a–b）；（3）（a+1）2
在前一章已学过整式乘法，学生不难得出正确答案；
2．接着提出：把上述等式反过来看，等式是否还成立？由等式性质学生应该很快得出肯定地答案：（1）a2+a=a（a+1）；（2）a2–b2=（a+b）（a–b）；（3）a2+2a+1=（a+1）2．
3．这时再请学生观察、比较以上2题两种代数式变形的例子，它们之间有什么区别和联系？
整式的乘法
多项式转化为几个整式的积
a（a+1）=a2+a
a2+a=a（a+1）
（a+b）（a–b）=a2–b2
a2–b2=（a+b）（a–b）
（a+1）2=a2+2a+1
a2+2a+1=（a+1）2．
给学生一定的时间思考，在小组中讨论后，得出第（1）小题是整式乘法，左边是整式的积，右边是一个多项式；第（2）小题是把一个多项式化成几个整式的积的形式，左边是一个多项式，右边是几个整式的积，两者的过变形刚好相反．此时教师可马上点题，在小学里，我们已学过：2×32×5×7=630称为整数乘法，反之630=2×32×5×7称为因数分解，类似于因数分解，我们可把右边多项式转化为几个整式的积这种变形称之为什么？从而由学生自己得出本节课的课题《因式分解》并由学生归纳出因式分解的定义：一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做这个多项式的因式分解．
（三）层层递进，巩固新知
趁此时学生处在一个积极思维的状态，教师给出两个练习
1．列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？
（1）2m（m－n）=2m2－2mn（2）
（3）4x2－4x+1=（2x－1）2（4）x2－3x+1=x（x－3）+1
2．填空：（1）∵3a（a+4）=3a2+12a∴3a2+12a=（ ）（ ）；
（2）∵（a+3）2=a2+6a+9∴a2+6a+9=（ ）（ ）；
（3）∵（2－a）（2+a）=4－a2∴4－a2=（ ）（ ）；
通过此练习，引导学生归纳自己对因式分解的理解，师生归纳要注意的问题：
（1）因式分解是对多项式而言的一种变形；（2）因式分解的结果仍是整式；
（3）因式分解的结果是几个整式的积的形式；（4）因式分解与整式乘法正好相反．
△这安排是为通过尝试教学，引导学生主动探求，造求学生自主学习的积极势态，通过一定的练习，达到知觉水平上的运用，加深学生对因式分解概念的理解，从而突出本节课的重点，其中练习（2）的安排是让学生感受到因式分解是整式乘法的逆过程，由此寻求因式分解的方法，为下一个环节例题的讲解作了个铺垫，降低了本节课的难点．
（四）范例教学，练习反馈
1、检验下列因式分解是否正确：（1）x2y－xy2=xy（x－y）
（2）2x2－1=（2x+1）（2x－1）（3）x2+3x+2=（x+1）（x+2）
（给学生一定的时间思考讨论，教师适当引导，最后教师给出完整的板书）
2、为了进一步淡化难点，完全放手让学生自主进行，充分暴露学生的思维过程，展现学生生动活泼、主动求知和富有的个性，使学生真正成为学习的主体，使因式分解与整式的乘法的关系得到正强化．同时也分散了本节课的难点，我马上让学生模仿我的解题尝试练习：
要使等式（ ）成立，则括号内应填上（ ）．
A．B．
C．D．
让学生上台板书，我及时点拨讲评．
《17.2.3 一元二次方程的解法-因式分解法》教案
教学目标：
使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系；能够利用乘法公式对简单的多项式进行因式分解．
教学重点：
理解因式分解的意义；识别分解因式与整式乘法的关系．
教学难点：
运用乘法公式进行因式分解．
教学过程：
一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容．
复习与回顾：整式的乘法，计算下列各式：
x（x+1）= ； （x+1）（x–1）= ．
讨论：630能被哪些数整除?
在小学我们知道，要解决这个问题需要把630分解成质数乘积的形式：
，类似地，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式．
问题1：把下列多项式写成两个整式的乘积的形式：
（1）＝______________；（2）＝___________．
学生活动设计
学生独立思考，发现由于x（1＋x）＝、（x－1）（x＋1）＝，得到上述问题的答案：（1）＝x（1＋x）；（2）＝（x－1）（x＋1）．
教师活动设计：
让学生独立完成上述问题，在解决问题的过程中体会上述过程与整式乘法的关系，初步理解因式分解；进而引导学生观察上述等式从左到右的过程与整式乘法的联系，作以下归纳：
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫做因式分解，也叫做分解因式．
问题2：谈谈你对整式乘法和因式分解的理解．
师生活动设计：
在学生讨论的基础上，让学生作以下分析：
因式分解是把一个多项式化为了几个整式乘积的形式；而整式乘法是把几个整式乘积的形式化为多项式，所以因式分解与整式乘法是相反的变形．
练习：理解概念判断下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解?
（1）x2－4y2=（x+2y）（x－2y）； （2）2x（x－3y）=2x2－6xy；
（3）（5a－1）2=25a2－10a+1； （4）x2+4x+4=（x+2）2；
（5）（a－3）（a+3）=a2－9； （6）m2－4=（m+2）（m－2）；
（7）2πR+2πr= 2π（R+r）．
二、主体探究、合作交流，探究因式分解的方法
问题3：分解因式ma＋mb＋mc．
学生活动设计
学生根据对因式分解概念的理解以及因式分解和整式乘法的关系，自主探索上述问题的答案，从探索的过程中总结这种分解因式的方法——提公因式法．
学生分析：
多项式中的各项都含有因式m，因此可以把m提出来得到：ma＋mb＋mc＝m（a＋b＋c）．
教师活动设计：
适当提醒和启发，引导学生对这种因式分解的特点进行归纳，进而得到：多项式中各项都有的因式，叫做这个多项式的公因式；把多项式ma+mb+mc分解成m（a+b+c）的形式，其中m是各项的公因式，另一个因式（a+b+c）是ma+mb+mc 除以m的商，像这种分解因式的方法，叫做提公因式法．
巩固练习：说出下列多项式各项的公因式
（1）ma+mb； （2）4kx－8ky；
（3）5y3+20y2； （4）a2b－2ab2+ab．
提公因式的方法：
（1）系数的最大公约数作为公因式的系数；
（2）相同字母的最低次数作为公因式中的字母部分．
例1：．
分析：应先找出与的公因式，再提公因式进行分解．
例2：把2 a（b＋c）－3（b+c）分解因式．
分析：（b+c）是这两个式子的公因式，可以直接提出．
．
随堂小测：
问题4：你能将多项式x2－16和多项式m2－4n2因式分解吗？这两个多项式有着什么共同特点？
《17.2.3 一元二次方程的解法-因式分解法》教案
教学内容
用因式分解法解一元二次方程．
教学目标
掌握用因式分解法解一元二次方程．
通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．
重难点关键
1．重点：用因式分解法解一元二次方程．
2．难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）解下列方程．
（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法）
老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为，的一半应为，因此，应加上（）2，同时减去（）2．（2）直接用公式求解．
二、探索新知
（学生活动）请同学们口答下面各题．
（老师提问）（1）上面两个方程中有没有常数项？
（2）等式左边的各项有没有共同因式？
（学生先答，老师解答）上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:
2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）
因此，上面两个方程都可以写成：
x（2x+1）=0（2）3x（x+2）=0
因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-．
（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．
因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．
例1．解方程．
（1）4x2=11x（2）（x-2）2=2x-4
例2．已知9a2-4b2=0，求代数式的值．
分析：要求的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．
解：原式=
∵9a2-4b2=0
∴（3a+2b）（3a-2b）=0
3a+2b=0或3a-2b=0，
a=-b或a=b
当a=-b时，原式=-=3
当a=b时，原式=-3．
三、应用拓展
例3．我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．
x2-3x-4=0
（2）x2-7x+6=0
（3）x2+4x-5=0
分析：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，我们可以对上面的三题分解因式．
解（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1）
∴（x-4）（x+1）=0
∴x-4=0或x+1=0
∴x1=4，x2=-1
（2）∵x2-7x+6=（x-6）（x-1）
∴（x-6）（x-1）=0
∴x-6=0或x-1=0
∴x1=6，x2=1
（3）∵x2+4x-5=（x+5）（x-1）
∴（x+5）（x-1）=0
∴x+5=0或x-1=0
∴x1=-5，x2=1
上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．
四、归纳小结
（1）用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．
（2）三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：
联系①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次．
②公式法是由配方法推导而得到．
③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．
区别：①配方法要先配方，再开方求根．
②公式法直接利用公式求根．
③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．
课件11张PPT。17.2一元二次方程的解法公式法一、用配方法解下列方程
2x2-12x+10=0
二、用配方解一元二次方程的步骤是什么？
1.化1:把二次项系数化为1（方程两边都除以二次项系数）;
2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;
4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类;
5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
6.求解:解一元一次方程;
7.定解:写出原方程的解.用配方法解一般形式的一元二次方程移项，得配方，得即（a≠0）即一元二次方程的求根公式特别提醒当 时，方程有实数根吗例 1 解方程：解：∴﹥0例 2 解方程：化简为一般形式：解： ∴结论：当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等 的实数根.解：例 3 解方程： 原方程无实数根用公式法解一元二次方程的一般步骤：3、代入求根公式 :2、求出 的值，1、把方程化成一般形式，并写出 的值。4、写出方程的解：特别注意:当 时无解用公式法解下列方程：（1）2x2-9x+8=0（2）9x2+6x+1=0（3）16x2+8x=31、m取什么值时，方程 x2+（2m+1）x+m2-4=0有两个相等的实数解。2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0） 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？3、已知方程2x2+7x+c=0,方程的根为一个实数，求c和x的值。3、解：课件10张PPT。17．2一元二次方程的解法公式法一、用配方解一元二次方程的步骤是什么？
移项：把常数项移到方程的右边；
配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
开方：根据平方根意义，方程两边开平方；
求解：解一元一次方程；
定解：写出原方程的解．二、用配方法解一元二次方程：公式法一般地，对于一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0） 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式．
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法公式法例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=01．变形：化已知方程为一般形式;3．计算：b2-4ac的值;4．代入：把有关数值代入公式计算;5．定根：写出原方程的根．2．确定系数：用a，b，c写出各项系数;例2．用公式法解方程2x2+5x-3=0
解：a=2 b=5 c= -3
∴ b2-4ac=52-4×2×（-3）=49（a≠0， b2-4ac≥0）求根公式 ：x=（a≠0， b2-4ac≥0）求根公式 ：x=例3：用公式法解方程x2+4x=2 解：移项，得 x2+4x-2=0a=1 b=4 c= -2
∴ b2-4ac=42-4×1×（-2）=24用公式法解下列方程：
1、x2 +2x =5
2、 6t2 -5 =13t
例4解：（1）把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值．
（2）求出b2-4ac的值．
（3）代入求根公式 ：用公式法解一元二次方程的一般步骤：小结（4）写出方程的解： x1=？， x2=？（a≠0， b2-4ac≥0）思考题：
1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）． 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？
2、m取什么值时，方程 x2+（2m+1）x+m2-4=0有两个相等的实数解
课件12张PPT。17．2一元二次方程的解法公式法 用配方法解一元二次方程 2x2+4x+1=0
用配方法解一元二次方程的步骤：
1．把原方程化成 x2+px+q=0的形式．
2．移项整理 得 x2+px=-q
3．在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系数 p的一半的平方． x2+px+( )2 = -q+( )24． 用直接开平方法解方程
(x+ )2= -q 解：把方程两边都除以 a，得x2 + x+ = 0解得 x= - ±∴当b2-4ac≥0时， x + =± ∵4a2＞0即 ( x + )2 = 配方，得 x2 + x+( )2 =- + ( )2移项，得 x2 + x= -即 x=
用求根公式解一元二次方程的方法叫做 公式法．例．用公式法解方程2x2+5x-3=0
解： a=2 b=5 c= -3
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=491、把方程化成一般形式． 并写出a，b，c的值．
2、求出b2-4ac的值．
∴ x = =
=即 x1= - 3 x2=用公式法解一元二次方程的一般步骤：求根公式 ： X=4、写出方程的解： x1=？， x2=？3、代入求根公式 ：
X=
(a≠0， b2-4ac≥0)(a≠0， b2-4ac≥0)解方程：x2-7x-18＝0解：∵ a＝1，b＝-7，c＝-18b2-4ac=(-7)2-4×1×(-18)＝121＞0∴x1＝9，x2＝-2上面这个式子称为一元二次方程的求根公式．
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法(solving by formular)．
用公式法解一元二次方程的前提是：
1．必需是一般形式的一元二次方程： ax2+bx+c=0(a≠0)．
2．b2-4ac≥0．
求根公式 ： X=由配方法解一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 若 b2-4ac≥0 得1、把方程化成一般形式． 并写出a，b，c的值．
2、求出b2-4ac的值．
3、代入求根公式 ：用公式法解一元二次方程的一般步骤：小结4、写出方程的解： x1=？， x2=？(a≠0， b2-4ac≥0)X=一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三边长．思考题：
1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)． 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？
2、m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解
想一想：关于一元二次方程，当a，b，c满足什么条件时，方程的两根互为相反数？解：提高练习解：已知方程求c和x的值．３．最后代入公式１．先写出a，b，c２．再求出课件13张PPT。17．2一元二次方程的解法公式法公式法将从这里诞生你能用配方法解方程 2x2-9x+8=0 吗？1．化1：把二次项系数化为1;3．配方：方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;4．变形：方程左分解因式，右边合并同类;2．移项：把常数项移到方程的右边;5．开方：根据平方根意义，方程两边开平方;6．求解：解一元一次方程;7．定解：写出原方程的解．公式法是这样生产的你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0（a≠0） 吗？1．化1：把二次项系数化为1;3．配方：方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;2．移项：把常数项移到方程的右边;5．开方：根据平方根意义，方程两边开平方;6．求解：解一元一次方程;7．定解：写出原方程的解．4．变形：方程左分解因式，右边合并同类;公式法一般地，对于一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0） 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式．
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法（solving by formular）．老师提示：
用公式法解一元二次方程的前提是：
1．必需是一般形式的一元二次方程：ax2+bx+c=0（a≠0）．
2．b2-4ac≥0．公式法是这样生产的你能用公式法解方程 2x2-9x+8=0 吗？1．变形：化已知方程为一般形式；3．计算： b2-4ac的值；4．代入：把有关数值代入公式计算；5．定根：写出原方程的根．2．确定系数：用a，b，c写出各项系数；例 1 解方程：x2-7x-18=0解：这里 a=1， b= -7， c= -18．∵b2 - 4ac=（-7）2 - 4×1×（-18）=121﹥0，即：x1=9，x2= -2．例 2 解方程：例 3 解方程：（x-2）（1-3x）=6这里 a=3， b= -7， c= 8．∵b2 - 4ac=（-7）2 - 4×3×8=49 - 96= - 47< 0，∴原方程没有实数根．解：去括号：x-2-3x2+6x=6化简为一般式：-3x2+7x-8=03x2-7x+8=0一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三边长． 我最棒 ，会用公式法解应用题!回味无穷列方程解应用题的一般步骤：
一审；二设；三列；四解；五验；六答．
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
1．化1：把二次项系数化为1（方程两边都除以二次项系数）;
2．移项：把常数项移到方程的右边；
3．配方：方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方；
4．变形：方程左分解因式，右边合并同类；
5．开方：根据平方根意义，方程两边开平方；
6．求解：解一元一次方程；
7．定解：写出原方程的解．
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式：知识的升华用公式法解下列方程．1）． 2x2-4x－1＝0；
2）． 5+2＝3x2 ；
3）．（x-2）（3x-5）=1.课件12张PPT。17．2一元二次方程的解法3．因式分解法复习引入：1、已学过的一元二次方程解
法有哪些？
2、请用已学过的方法解方程
x2 － 4=0x2－4=0解：原方程可变形为(x+2)(x－2)=0X+2=0 或 x－2=0∴ x1=-2 ，x2=2重点 难点重点：
用因式分解法解一元二次方程
难点：
正确理解
AB=0〈=〉A=0或B=0
（ A、B表示两个因式） 例1、解下列方程 x+2=0或3x－5=0 ∴ x1=-2 ， x2= 提公因式法例2、(3x+1)2－5=0 解：原方程可变形为 (3x+1+)(3x+1－)=0 3x+1+=0或3x+1－=0 ∴ x1= ， x2= 公式法用因式分解法解一元二次方程的步骤1、方程右边化为 ．
2、将方程左边分解成两个 的乘积．
3、至少 因式为零，得到两个一元一次方程．
4、两个 就是原方程的解． 零一次因式有一个一元一次方程的解快速回答：下列各方程的根分别是多少？下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？( )1、 什么样的一元二次方程可以用因式分解法来解？2、用因式分解法解一元二次方程，其关键是什么？3、用因式分解法解一元二次方程的理论依据是什么？4、用因式分解法解一元二方程，必须要先化成一般形式吗？右化零 左分解
两因式 各求解简记歌诀：课件12张PPT。17．2一元二次方程的解法3．因式分解法因式分解的基本方法2 运用公式法
把乘法公式反过来用，可以把符合公式
特点的多项式因式分解，这种方法叫公式法．（1）平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）
（2）完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2
a2-2ab+b2=（a-b）2平方差公式反过来就是说：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.a2 - b2 = （a+b）（a-b）
因式分解平方差公式：
（a+b）（a-b） = a2 - b2整式乘法例题：把下列式子分解因式4x2+12xy+9y2请运用完全平方公式把下列各式分解因式：练习题：1、下列各式中，能用完全平方公式分解的是（ ）.
A、a2+b2+ab B、a2+2ab-b2
C、a2-ab+2b2 D、-2ab+a2+b2
2、下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（ ）.
A、x2+y2-2xy B、x2+4xy+4y2
C、a2-ab+b2 D、-2ab+a2+b2
DC解一元二次方程的方法：
直接开平方法 配方法 公式法
因式分解法小 结：1、方程右边化为 ．
2、将方程左边分解成两个 的乘积．
3、至少 因式为零，得到两个一元一次方程．
4、两个 就是原方程的解 .零一次因式有一个一元一次方程的解用因式分解法解一元二次方程的步骤：解下列方程
1、x2－3x－10=0 2、（x+3）（x－1）=5解：原方程可变形为 解：原方程可变形为
（x－5）（x+2）=0 x2+2x－8=0
（x－2）（x+4）=0
x－5=0或x+2=0 x－2=0或x+4=0
∴ x1=5 ，x2=-2 ∴ x1=2 ，x2=-4十字相乘法例 （x+3）（x－1）=5解：原方程可变形为（x－2）（x+4）=0x－2=0或x+4=0∴ x1=2 ，x2=-4解题步骤演示x2+2x－8 =0左边分解成两个一次因式 的乘积至少有一个一次因式为零得到两个一元一次方程 两个一元一次方程的解就是原方程的解 方程右边化为零思考题：
1、多项式：
（x+y）2-2（x2-y2）+（x-y）2能用完全平方公式分解吗？
2、在括号内补上一项，使多项式成为完全平方式：
x4+4x2+（ ）3、用因式分解法解下列方程：y2=3y②（2a－3）2=（a－2）（3a－4）③④x2+7x+12=0①（x－5 ）（x+2）=18小结：1、是一个二次三项式2、有两个“项”平方，而且有这两“项”的积的两倍或负两倍3、我们可以利用完全平方公式来进行因式分解完全平方式具有：课件14张PPT。17．2一元二次方程的解法3．因式分解法温故而知新我们已经学过了几种解一元二次方程的方法？（1）直接开平方法：（2）配方法：x2=a （a≥0）（x+h）2=k （k≥0）（3）公式法：你能解决这个问题吗一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？小颖，小明，小亮都设这个数为x，根据题意得小颖做得对吗？小明做得对吗？你能解决这个问题吗一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？小颖，小明，小亮都设这个数为x，根据题意得小亮做得对吗？分解因式法当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解．这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法．提示：
1．用分解因式法的条件是：方程左边易于分解，而右边等于零;
2．关键是熟练掌握因式分解的知识;
3．理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零．”把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式．分解因式的方法有那些？（1）提取公因式法：（2）公式法：（3）十字相乘法：am+bm+cm=m（a+b+c）．a2-b2=（a+b）（a-b）， a2+2ab+b2=（a+b）2．x2+（a+b）x+ab
=（x+a）（x+b）．1． x2-4=0; 2． （x+1）2-25=0．解：
（x+2）（x-2）=0，∴x+2=0，或x-2=0．∴x1=-2， x2=2．淘金者你能用分解因式法解下列方程吗？解：
[（x+1）+5][（x+1）-5]=0，∴x+6=0，或x-4=0．∴x1=-6， x2=4．这种解法是不是解这两个方程的最好方法？
你是否还有其它方法来解？例3 解下列方程：（1）x（x-2）+x-2=0； 分解因式法解一元二次方程的步骤是：2． 将方程左边因式分解；3． 根据“至少有一个因式为零”，转化为两个一元一次方程．4． 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根．1．化方程为一般形式；（1）5x2=4x； （2）x-2=x（x-2）； 用分解因式法解方程： 利用十字相乘法：
x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）．（3）x2+6x-7=0.巩固练习1．解下列方程巩固练习2．把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．解：设小圆形场地的半径为r．分解因式法解一元二次方程的步骤是：1． 将方程左边因式分解，右边等于0；2． 根据“至少有一个因式为零”，转化为两个一元一次方程．3． 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根．小结:课件10张PPT。17．2一元二次方程的解法3．因式分解法用因式分解法解一元二次方程的步骤1、方程左边不为零，右边化为 ．
2、将方程左边分解成两个 的乘积．
3、至少 一次因式为零，得到两个一元一次方程．
4、两个 就是原方程的解． 零一次因式有一个一元一次方程的解分解因式的方法有那些？（1）提取公因式法：（2）公式法：（3）十字相乘法：am+bm+cm=m（a+b+c）．a2-b2=（a+b）（a-b），a2+2ab+b2=（a+b）2．x2+（a+b）x+ab
=（x+a）（x+b）．例 （x+3）（x－1）=5解：原方程可变形为：（x－2）（x+4）=0x－2=0或x+4=0∴ x1=2 ，x2=-4解题步骤演示x2+2x－8 =0左边分解成两个一次因式 的乘积至少有一个一次因式为零得到两个一元一次方程 两个一元一次方程的解就是原方程的解 方程右边化为零快速回答：下列各方程的根分别是多少？AB=0?A=0或B＝0争先赛1．解下列方程：解：设这个数为x，根据题意，得∴x=0，或2x-7=0．2x2=7x．2x2-7x=0，x（2x-7） =0，先胜为快2．一个数平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数．解下列方程回味无穷1．当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解．这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法．
2．分解因式法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练掌握因式分解的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零．”
3．因式分解法解一元二次方程的步骤是：
（1）将方程左边因式分解，右边等于0；
（2）根据“至少有一个因式为零”，得到两个一元一次方程．
（3）两个一元一次方程的根就是原方程的根．
4．因式分解的方法，突出了转化的思想方法——“降次”，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程．课件11张PPT。17．2一元二次方程1． 配方法 一般地，对于形如x2=a（a≥0）的方程，根据平方根的定义，可解得
这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．例1．用直接开平方法解下列方程：
（1）3x2－27=0;
（2）（2x－3）2=7
合作探究这种方程怎样解？变形为的形式．（a为非负常数）变形为x2－4x＋1＝0（x－2）2=3 把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．（1）x2＋8x＋ =（x＋4）2
（2）x2－4x＋ =（x－ ）2
（3）x2－___x＋ 9 =（x－ ）2填空 配方时， 等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方166342例1：用配方法解下列方程
（1）x2＋6x=1
（2）x2=6－5x
用配方法解一元二次方程的步骤：移项：把常数项移到方程的右边;
配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方;
开方：根据平方根意义，方程两边开平方;
求解：解一元一次方程;
定解：写出原方程的解．（2） －x2＋4x－3=0（1） x2＋12x =－9练习1：用配方法解下列方程： 2．用配方法说明：不论k取何实数，多项式
k2－3k＋5的值必定大于零．思考：先用配方法解下列方程：
（1）x2－2x－1＝0 （2）x2－2x＋4＝0
（3）x2－2x＋1＝0
然后回答下列问题：
（1）你在求解过程中遇到什么问题？你是怎样处理所遇到的问题的？
（2）对于形如x2＋px＋q＝0这样的方程，在什么条件下才有实数根？谈谈你的收获！！ 1．一般地，对于形如x2=a（a≥0）的方程，
根据平方根的定义，可解得
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法． 2．把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法． 注意：配方时， 等式两边同时加上的是一次项
系数一半的平方．用配方法解一元二次方程的步骤：移项：把常数项移到方程的右边;
配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方;
开方：根据平方根意义，方程两边开平方;
求解：解一元一次方程;
定解：写出原方程的解．（１）方程 的根是
（２）方程 的根是
（3） 方程 的根是 2． 选择适当的方法解下列方程：
（1）x2－ 81＝0 （2）x2 ＝50
（3）（x＋1）2=4 （4）x2＋2=x＋5=0x1=0．5， x2=－0．5x1＝3， x2＝—3x1＝2， x2＝－1课件9张PPT。17．2一元二次方程1． 配方法解下列方程：
1、9x2＝9 2、 (x+5)2＝9
3、16x2-13=3 4、(3x+2)2-49=0
5、2(3x+2)2=2 6、81(2x-5)2-16=0知识准备一完成填空： 1、x2-4x+___=(x-__)2
2、x2+12x+___=(x+__)2
3、y2-8y+___=(y-__)2
4、x2+1/2x+___ =(x+___)2
4 236 61641/161/4知识准备二思考：你所填写的b、b2与一次项
的系数有怎样的关系？解方程：
1、x2 +12x+25=0
2、x2+1/2x=1自我尝试读诗词解题：
（通过列方程，算出周瑜去世时的年龄．）
大江东去浪淘尽，千古风流数人物．
而立之年督东吴，早逝英年两位数．
十位恰小个位三，个位平方与寿符．
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ 解决问题用配方法解一元二次方程的一般步骤及注意问题：1、将方程变为一般形式．
2、移项，把常数项移到等号的右边．（变号）
3、配方，方程的两边都加上一次项系数一
半的平方．（等式的性质）
4、写成完全平方的形式．
5、利用直接开平方法进行开方求得两根．合作交流自我挑战（1）、x2 -10x+25=7（2）、x2+12x-15=0
1、解下列方程2、若a2+2a+b2-6b+10=0，求a、b的值．
如图，在一块长35m，宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？学以致用这节课你学习了哪些知识？用配方法解一元二次方程的一般步骤：
1、将方程变为一般形式．
2、移项，把常数项移到等号的右边．
3、配方，方程的两边都加上一次项系数一
半的平方．
4、写成完全平方的形式．
5、利用直接开平方法进行开方求得两根．你还有哪些收获和体会？回顾概括课件12张PPT。17．2一元二次方程1． 配方法议一议（1）观察 （x+3）2=5与这个方程有什么关系？
（2）你能将方程转化成（x+h）2=k（k≥ 0）的形式吗？如何解方程: x2+6x+4=0？磨刀不误砍柴工完全平方式总结归律: 对于x2+px，再添上一次项系数一半的平方，就能配出一个含未知数的一次式的完全平方式．体现了从特殊到一般的数学思想方法 把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，然后用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法． 配方时， 等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方．注意例1：用配方法解下列方程
（1）x2 － 4x ＋3 =0
（2）x2 ＋ 3x －1=0用配方法解一元二次方程的步骤:移项:把常数项移到方程的右边;
配方:方程两边都加上一次项系数一 半的平方，将方程左边配成完全平方式
开方:根据平方根意义，方程两边开平方;
求解:解一元一次方程;
定解:写出原方程的解．总结课堂反馈:（1）x2+10x+20=0
（2）x2-x=1（3）x2 +4x +3 =0
（4）x2 +3x =1练习1：用配方法解下列方程
（1）
（2） x +x2 =9（3）（x+1）2-10（x+1）+9=0（4）x2+2mx=（n-m）（n+m）2．用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－3k＋5的值必定大于零．配方的过程可以用拼图直观地表示．小结：解一元二次方程的基本思路 把原方程变为（x+h）2＝k的形式（其中h、k是常数）．
当k≥0时，两边同时开平方，这样原方程就转化为两个一元一次方程．
当k<0时，原方程的解又如何？例：课件12张PPT。17．2一元二次方程1． 配方法填一填14它们之间有什么关系？(1)x2+10x+ =(x+ )2
(2)x2-12x+ =(x- )2
(3)x2+5x+ =(x+ )2
(4)x2- x+ =(x- )2
(5)4x2+4x+ =(2x+ )2625526121 变成了(x+h)2=k的形式 以上解法中，为什么在方程 两边加9？加其他数行吗？像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．这个方程怎样解？变形为的形式．（ａ为非负常数）变形为X2－4x＋1＝0(x－2)2=3合作探究x2-4x+4=-1+4解一元二次方程的基本思路 把原方程变为(x+h)2＝k的形式 (其中h、k是常数）
当k≥0时，两边同时开平方，这样原方程就转化为两个一元一次方程当k<0时，原方程的解又如何？当k<0时，原方程无解（1）移项:把常数项移到方程的右边（2）二次项系数化为1：
方程两边同时除以二次项系数a（3）配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方（4）开方:根据平方根意义，方程两边开平方（5）求解:解一元一次方程（6）定解:写出原方程的解用配方法解一元二次方程的步骤:目标测试二、用配方法解下列方程：
1、x2+10x+9＝0 2、3x2+6x-4＝0
3、x2+4x-9＝2x-11 在一块长35m，宽26m的矩形
地面上，修建同样宽的两条互相
垂直的道路，剩余部分栽种花草，
要使剩余部分的面积为850m2，道
路的宽应为多少？解：设道路的宽应为ym
(35-y)(26-y)=850学以致用自我测评1、用配方法解下列方程
（1）x2 -3x-1=0 （2）x2 –1/2x-1/2=0
（3）(x-1)(x+2)=1
2、 关于x的二次三项式x2 +4x+k是一个
完全平方式．求k的值．
3、若x2 –mx+49是一个完全平方式，m=？课后延伸你会解下列方程吗？
1、 x2 –5ax+6a2=0
2、 3x2 =4x+1 谈谈你的收获！！把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法． 注意:配方时， 等式两边同时加上的是一次项
系数一半的平方．
