《17．3 一元二次方程根的判别式》习题
1．方程（2x－1）（3x+1）=x2+2化为一般形式为______，其中a=____，b=____，c=____．
2．关于x的一元二次方程mx2+nx+m2+3m=0有一个根为零，则m的值等于_____．
3．关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个根为x1=1，x2=－2，则x2+mx+n分解因式的结果是______．
4．关于x的一元二次方程2x2－3x－a2+1=0的一个根为2，则a的值是（ ）．
A．1 B． C．－ D．±
5．若关于x的一元二次方程（m－1）x2+5x+m2－3m+2=0的常数项为0，则m的值等于（ ）．
A．1 B．2 C．1或2 D．0
6．若a、b为方程式x2(4（x(1）=1的两根，且a＞b，则=______？
A．－5 B．－4 C．1 D．3
7．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
8．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）．
A． B．且 C． D．且
9．关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是（ ）．
A．1 B．12 C．13 D．25
10．关于x的方程只有一解（相同解算一解），则a的值为（ ）．
A． B． C． D．或
11．设是方程的两个实数根，则的值为（ ）．
A．2006 B．2007 C．2008 D．2009
《17．3 一元二次方程根的判别式》习题
一、选择题
1．设方程x2－4x－1=0的两个根为x1与x2，则x1x2的值是（ ）．
A．－4 B．－1 C．1 D．0
2．下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）．
A． B．
C． D．
3．若方程的两根为、，则的值为（ ）
A．3 B．－3 C． D．
4．若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
二、填空题
1．如果关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，那么 ．
2．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ．
3．一元二次方程的一个根为，则另一个根为 ．
4．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
《17．3 一元二次方程根的判别式》习题
解答题
1．已知是方程的两个实数根，且．
（1）求及a的值；
（2）求的值．
2．已知：关于的方程
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是，求另一个根及值．
3．已知a、b、c分别是△ABC的三边，其中a=1，c=4，且关于x的方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
4．已知关于的函数（为常数）
（1）若函数的图像与轴恰有一个交点，求的值；
（2）若函数的图像是抛物线，且顶点始终在轴上方，求的取值范围．
《17．3 一元二次方程根的判别式》习题
一、解答题
1．不解方程，求下列方程的两根x1、x2的和与积．
（1） （2）
2．已知x1、x2是一元二次方程的两个实数根，且x1、x2满足不等式，求实数m的取值范围．
3．已知实数a、b满足等式，求的值．
4．若ab≠1,且有，求的值．
5．已知关于x的方程的两根是一个矩形两邻边的长．
（1）k为何值时，方程有两个实数根；（2）呈矩形的对角线长为时，求k．
6．已知关于x的一元二次方程有两个非零实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）两个非零实数根能否同为正数或同为负数？若能，请求出相应的m的取值范围，若不能，请说明理由．
课件5张PPT。1.不解方程，判断下列方程根的情况：(1)2x2－5x－4=0；
(2)7t2－5t+2=0；
(3)x(x+1)=3；
(4)3y2+25=10 y.解：(1)因为 =(－5)2－4×2×(－4)=57＞0，所以原方程有两个不相等的实数根.(2)因为 =(－5)2－4×7×2=－31＜0，所以原方程没有实数根.因为 =12－4×1×(－3)=13＞0，所以原方程有两个不相等的实数根.(3)原方程可变形为x2+x－3=0，因为 =(10 )2－4×3×25=0，所以原方程有两个相等的实数根.(4)原方程可变形为3y2－10 y+25=0，2. 已知关于x的方程x2－3x＋k＝0，问k取何值时，这个方程：
(1)有两个不相等的实数根？
(2)有两个相等的实数根？
(3)没有实数根？因为 =(－3)2－4×1×k=9－4k， ＞0，即： 时，方程有两个不相等的实数根；(1) =0，即： 时，方程有两个相等的实数根；(2) ＜0，即： 时，方程有两个相等的实数根；(2)课件1张PPT。关于x的一元二次方程2mx2－3mx+m+1=0有实数根，求m的取值范围.=(－3m)2－4×2m×(m+1)=m2－8m≥0，因为原方程有实数根.解得：m≤0或m≥8.《17.3 一元二次方程根的判别式》教案
教学目标：
1、能说出一元二次方程根的判别式及判别式定理．
2、不解方程，会用根的判别式判断一元二次方程根的存在情况．
3、会根据根的存在情况确定方程中字母的取值或取值范围．
过程和方法：
1、培养学生的探索、创新精神；
2、培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力．
情感态度价值观：
1、向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美；
2、加深师生间的交流，增进师生的情感；
3、培养学生的协作精神．
教学重点：
根的判别式定理．
教学难点：
根的判别式定理及逆定理的运用．
教学过程：
一、通过看书自学：
思考：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实根，包括哪两种情况？当△≥0时，方程的根有哪两种情况？
方程x2+Px+q=0，当满足关系式 时，有两个不相等的实根；满足关系式 时，有两个相等的实根；满足关系式 时，无实根；满足关系式 时，有实根．
（1）由此可见：在解起着重要的作用，显然我们可以根据的值的符号来判断方程的根的情况，因此，我们把 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“△（读作delta，它是希腊字母）”来表示．我们说在今后的数学学习中还会遇到：用一个简单的符号来表示一个数学式子的情况，同学们要逐渐适应这一点，它体现了数学的简洁美．
（2）注意：
（3）通过解这三个方程，同学们可以发现一元二次方程根的情况有哪几种，谁能总结出来？
一元二次方程根的情况果真有三种吗？请同学们认真阅读课本P35的内容，书上从理论方面给我们做了很好的解释．
由此我们就得出了关于
若△＞0则方程有两个不相等的实数根；
若△=0则方程有两个相等的实数根；
若△＜0则方程没有实数根．
二、典例分析：
例1、不解方程，利用一元二次方程根的判别式，判断下列方程的根的情况．
5（x2+1）-7x=0
针对训练：2x2+3x-4=0 16y2+9=24y
思考：求△时，应先将方程化成什么形式？然后确定好哪三个数值？
例2、k为何值时，（1）方程kx2-（2k+1）x+k=0有两个不相等的实根
（2）方程（k-4）x2=（2k-1）x-k有两个相等的实根
注意：若一元二次方程二次项系数含有字母，在确定该字母的取值范围时，一定注意考虑什么条件？
三、练习巩固：
1、分层练习：
A层：已知关于x的方程x2+（m+1）x+（m-2）2=0有两个相等的实数根．
（1）求m的值．
（2）求出这时方程的根．
B层：k为何实数时，下列方程有二实根？无实根？
（1）x2+（2k-5）x+k2=0 （2）2kx2 +（8k+1）x=-8k
思考：“有二实根”、“有二相等实根”、“有二不等实根”三种说法有何本质区别？
C层拓展：1、已知方程x2 +2x=k-1没有实数根，求证方程x2 +kx=1-2k必定有两个不相等的实根．
2、已知a、b是△ABC的两边，且方程（a2+b2）x2 +2a（a+b）x+b（a+b）=0有相等的实数根．求证：△ABC是等腰三角形．
《17.3 一元二次方程根的判别式》教案
教学目标：
1、感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程；
2、能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证；
3、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围．
教学重点：
根的判别式定理．
教学难点：
根的判别式定理及逆定理的运用．
教学过程：
你们一定很想知道我的绝活是怎么回事吧？那么好，现在就请同学们用公式法解，以下三个一元二次方程；你们会很快发现我的奥秘．
用公式法解一元二次方程：
（注：找三名学生板演，其余学生在位上做）
请同学们观察这三个方程的解题过程，可以发现：在把系数代入求根公式之前，每题都是先确定了a、b、c的值，然后求出它的值——，为什么要这样做呢？
（1）由此可见：在解起着重要的作用，显然我们可以根据的值的符号来判断方程的根的情况，因此，我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“△（读作delta，它是希腊字母）”来表示，即△=．我们说在今后的数学学习中还会遇到：用一个简单的符号来表示一个数学式子的情况，同学们要逐渐适应这一点，它体现了数学的简洁美．
（3）通过解这三个方程，同学们可以发现一元二次方程根的情况有哪几种，谁能总结出来？
一元二次方程根的情况果真有三种吗？请同学们认真阅读课本P35的内容，书上从理论方面给我们做了很好的解释
（1）由此我们就得出了关于
若△＞0则方程有两个不相等的实数根；
若△=0则方程有两个相等的实数根；
若△＜0则方程没有实数根．
（2）我们说：这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理：
若方程有两个不相等的实数根，则△＞0；
若方程有两个相等的实数根，则△=0；
若方程没有实数根，则△＜0．
定理与逆定理的用途不同
定理的用途是：在不解方程的情况下，根据△值的符号，用定理来判断方程根的情况．
逆定理的用途是：在已知方程根的情况下，用逆定理来确定△值的符号，进而可求出系数中某些字母的取值范围．
（4）注意运用定理和逆定理时，必须把所给的方程化成一般形式后方可使用．
下面我们就来学习两个定理的应用．
例1：不解方程判别下列方程根的情况．
分析；要判别方程根的情况，根据定理可知；就是要确定△值的符号，
例2：求证关于x的方程（m2+1）x2-2mx+（m2+4）=0没有实数根．
分析：我先提出两个问题：
（1）是谁决定了方程有无实数根？
（2）现在要证方程无实数根，只要证明什么就行了？
例2是补充的一个用定理证明的题目，它含有字母系数，它的证明实际与例1的第（4）的解法类似，但学生易于出错，往往错用逆定理来证．
小结：
关于运用根的判别式定理来判断：含有字母系数的一元二次方程根的情况的一般步骤是：
方程化为一般形式，确定a、b、c的值，计算△；
②用配方法等将△变形，使之符号明朗化后，判断△的符号；
③根据根的判别式定理，写出结论．
归纳小结：
今天我们是在一元二次方程解法的基础上，学习了根的判别式的应用，它在整个中学数学中占有重要地位，是中考命题的重要知识点，所以必须牢固掌握好它．
（2）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理．
《17.3 一元二次方程根的判别式》教案
教学目标
1．了解根的判别式的概念．
2．能用判别式判别根的情况．
教学重点、难点、疑点及解决方法
1．教学重点：会用判别式判定根的情况．
2．教学难点：正确理解“当b2-4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实数根．”
3．教学疑点：如何理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在实数范围内，当b2-4ac＜0时，无解．在高中讲复数时，会学习当b2-4ac＜0时，实系数的一元二次方程有两个虚数根．
教学步骤
（一）明确目标
在前一节的“公式法”部分已经涉及到了，当b2-4ac≥0时，可以求出两个实数根．那么b2-4ac＜0时，方程根的情况怎样呢？这就是本节课的目标．本节课将进一步研究b2-4ac＞0，b2-4ac＝0，b2-4ac＜0三种情况下的一元二次方程根的情况．
（二）整体感知
在推导一元二次方程求根公式时，得到b2-4ac决定了一元二次方程的根的情况，称b2-4ac为根的判别式．一元二次方程根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也有利于进一步学习函数的有关内容，并且可以解决许多其它问题．
在探索一元二次方程根的情况是由谁决定的过程中，要求学生从中体会转化的思想方法以及分类的思想方法，对学生思维全面性的考察起到了一个积极的渗透作用．
（三）重点、难点的学习及目标完成过程
1．复习提问
（1）平方根的性质是什么？
（2）解下列方程：
①x2-3x＋2＝0；②x2-2x＋1＝0；③x2＋3＝0．
问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用．问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用．
2．任何一个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法将其变形为（x+）=，∵4a＞0，因此对于比开方数来说，只需研究b-4ac为如下几种情况的方程的根．
（1）当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根．
（2）当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，即x1=x2=-．
（3）当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．
教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？
答：b2-4ac．
3．①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用符号“△”表示．
②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
当△＞0时，有两个不相等的实数根；
当△＝0时，有两个相等的实数根；
当△＜0时，没有实数根．
反之亦然．
注意以下几个问题：
（1）∵a≠0，∴4a2＞0这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况．正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫．在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法．
（2）当b2-4ac＜0，说“方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根”比较好．有时，也说“方程无解”．这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是“方程无实数根”的意思．
4．例：不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1）2x2＋3x-4＝0；（2）16y2＋9＝24y；（3）5（x2＋1）-7x＝0．
解：（1）∵△＝32-4×2×（-4）＝9＋32＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
（2）原方程可变形为
16y2-24y＋9＝0．
∵△＝（-24）2-4×16×9＝576-576＝0，
∴原方程有两个相等的实数根．
（3）原方程可变形为
5x2-7x+5=0．
∵△＝（-7）2-4×5×5＝49-100＜0，
∴原方程没有实数根．
学生口答，教师板书，引导学生总结步骤：（1）化方程为一般形式，确定a、b、c的值；（2）计算b2-4ac的值；（3）判别根的情况．
强调两点：（1）只要能判别△值的符号就行，具体数值不必计算出．（2）判别根的情况，不必求出方程的根．
练习：不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）3x2+4x-2=0； （2）2y2+5=6y；
（3）4p（p-1）-3＝0；（4）（x-2）2＋2（x-2）-8＝0；
（5）a2x2-ax-1＝0（a≠0）；
（6）（2m2＋1）x2－2mx＋1=0．
（四）总结、扩展
（1）判别式的意义及一元二次方程根的情况．
①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式．用“△”表示．
②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
当△＞0时，有两个不相等的实数根；
当△＝0时，有两个相等的实数根；
当△＜0时，没有实数根．反之亦然．
（2）通过根的情况的研究过程，深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法．
《17.3 一元二次方程根的判别式》教案
教学目标：
1．一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理
2．掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况．对含有字母系数的由一元二方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围；
3．会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题．
教学重点：
掌握韦达定理及其简单的应用．
教学难点：
会在实数范围内把二次三项式分解因式．
教学过程：
一、新课引入
1．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题．在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力． 在一元二次方程的应用中，列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去．
2．利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于x的方程Ax2－2x＋1＝0中，如果A<0，那么根的情况是（ ）．
（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）没有实数根 （D）不能确定
3．利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：
设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（ ）．
（A）15 （B）12 （C）6 （D）3
（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件．
（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：
①根的判别式；
②二次项系数，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系．
二、考点链接
1．一元二次方程根的判别式
关于x的一元二次方程的根的判别式为 ．
（1）>0一元二次方程有两个 实数根，
．
（2）=0一元二次方程有 相等的实数根，即 ．
（3）<0一元二次方程 实数根．
2．一元二次方程根与系数的关系
若关于x的一元二次方程有两根分别为，，那么 ， ．
3．巩固练习
（1）不解方程，求下列方程的两根x1、x2的和与积．
1） 2）
（2）已知x1、x2是一元二次方程的两个实数根，且x1、x2满足不等式，求实数m的取值范围．
课件13张PPT。17．3一元二次方程根的判别式用公式法解下列方程：
（1）x2＋x－1 = 0 （2） x2－2x＋1 = 0
（3） 2x2－2x＋1 = 0
由此可以发现一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的情况可由 来判定：
当 时，方程有两个不相等的实数根；
当 时，方程有两个相等的实数根；
当 时，方程没有实数根．
我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的判别式． b2－4acb2－4ac＞0b2－4ac = 0b2－4ac ＜ 0例1．不解方程，判别下列方程的根的情况
（1） 3x2－x＋1 = 3x （2） 5（x2＋1）= 7x
（3） x2－4x = －4方程要先化为一般形式再求判别式已知关于x的一元二次方程
当k取什么值时，方程有两个不相等的实数根？ (2)当k取什么值时，方程有实数根？已知关于x的方程
(1)当k取什么值时，方程有两个不相等的实数根？课时训练1．一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是 ( )
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
D2．方程x2-3x+1=0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C． 没有实数根 D．只有一个实数根A3．下列一元一次方程中，有实数根的是
( )
A．x2-x+1=0 B．x2-2x+3=0
C．x2+x-1=0 D．x2+4=0C 4．关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是 ( )
A．当k=1/2时，方程两根互为相反数
B．当k=0时，方程的根是x=-1
C．当k=±1时，方程两根互为倒数
D．当k≤1/4时，方程有实数根D课时训练5．若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则m的取值范围是 ( )
A．m＜1 B． m＜1且m≠0
C．m≤1 D． m≤1且m≠0D7．若关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0
有两个相等的实数根，则k= ．
26．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有实数根，则k的取值范围是 ( )
A．k≤1 B．k≥1 C．k<1 D．k>1A解：Δ=[-(3m-1)]2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m
=m2-2m+1=(m-1)2∴ (m-1)2=1，即 m1＝2，
m2＝0(二次项系数不为0，舍去)．当m=2时，原方程变为2x2-5x+3＝0，
x＝3/2或x=1．8．关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0，
其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根． 例2．在一元二次方程( )A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．根的情况无法例3．设关于x的方程，
证明：不论m为何值，这个方程总有两个不相等的实数根所以，不论m为何值，这个方程总有两
个不相等的实数根．
【例4】 已知：a、b、c是△ABC的三边，若方程
有两个等根，试判断△ABC的形状． 解：利用Δ ＝0，得出a=b=c．
∴△ABC为等边三角形． 典型例题解析要点、考点聚焦1．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况：
(1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
(2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；
(3)当Δ＜0时，方程无实数根．
2．根据根的情况，也可以逆推出Δ的情况，这方面
的知识主要用来求取值范围等问题．
1．求判别式时，应该先将方程化为一般形式．
2．应用判别式解决有关问题时，前提条件为
“方程是一元二次方程”，即二次项系数不为0．方法小结：课件12张PPT。17．3一元二次方程根的判别式复习
一元二次方程的一般形式是什么？配方，得：（x+ )2=一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
ax2+bx+c=0(a≠0)⊿=b2-4ac＞0 =>
⊿=b2-4ac=0 =>
⊿=b2-4ac＜0 =>
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根没有实数根
＜＜＜其中 叫做一元二次方程根的判别式教学目标
1．运用根的判别式判定一元二次方程根的情况．
2．根据一元二次方程根的情况，确定方程中待定系数的取值范围．教学重点
一元二次方程根的判别式教学难点
灵活运用一元二次方程根的判别式，确定方程中待定系数的取值范围．
例1
若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有两个实数根，则m的取值范围是 （ ）
A m ﹥0 B m ≥ 0
C m ﹥ 0 且m≠1 D m ≥0且m≠1解：由题意，得
m-1≠0①
⊿=（－2m)2-4（m-1）m≥0②
解之得，m﹥0且m≠1，故应选DD 练习1 选择题
1 不解方程，判断方程0．2x2-5=1．5x的根的情况是（ ）
A )有两个不相等的实数根 B) 有两个相等的实数根
C) 没有实数根 D)无法确定
2 ． 若关于的一元二次方程（k-1）x2+2kx+k+3=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A)k ≤1．5 B)k ﹤1．5 C) k ≤1．5 且k≠1
D)k≥1．5
AC练一练例2
求证：不论m取何值，关于x的一元二次方程9x2-（m+7）x+m-3=0都有两个不相等的实数根证明：⊿=[-（m+7）]2-4×9×（m-3）
=m2+14m+49-36m+108 =m2-22m+157
=（m-11）2+36∵不论m取何值，均有（m-11）2≥0
∴（m-11）2+36＞0，即⊿＞0
∴不论m取何值，方程都有两个不相等的实数根
小结：将根的判别式化为一个非负数与一个正数的和的形式 练习 一、填空题
1、关于x的方程x２+2kx+k-１＝0的根的情况是 ____________________．
2 关于的一元二次方程（a+c）x2+bx+ =0有两个相等的实数根，则?ABC为 三角形
二、求证：不论a为任何实数，2x2+3(a-1)+a2-4a-7=0必有两个不相等的实数根．有两个不相等的实数根直角例3 已知关于的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根x 1 x2 ①求k的取值范围
②是否存在实数k，使方程的两个实数根 互为相反数？如果存在，求k的取值；如果不存在，请说明理由解：①根据题意，得
?=（2k-1）2-4k2>0
又 k2≠0
解得k< 且K≠0
∴当k<0且k≠0时，方程有两个不相等的实数根②不存在
假设存在方程的两个实数根x 1 x2 互为相反数
则x 1 + x2 =- =0 ∵ k2≠0 ∴2k-1=0 ∴k=
k= 与k< 且k≠0相矛盾 ∴k不存在
练习
是否存在这样的非负整数m，使关于的一元二次方程m2x2-(2m-1)x+1=0有两个实数根，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．解：不存在这样的非负整数m
理由：要使关于x的一元二次方程m2x2-(2m-1)x+1=0有两个实数根
则m2≠0 ①
?=[-(2m-1)]2≥0 ②
解得m≤ 且 m≠0，
而题中要求m为非负整数，因此这样的非负整数m不存在.例4：已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=a，BD=b，BC=c，且关于x的一元二次方程ax2-2bx+c=0有两个相等的实数根，求证：∠BDC=∠A证明：∵方程ax2-2bx+c=0有两个相等的实数根
∴⊿ =（-2b）2-4ac=0
整理得：b2=ac
即
∵ AD∥BC ∴ ∠ ADB= ∠ DBC
∴ △ADB ∽ △DBC ∴ ∠ BDC= ∠ AABCD达标练习一、选择题：
1、已知关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根，
则k的取值范围是（ ）
Ａ）k<１ Ｂ）k≤１ Ｃ）k<１且k≠0 Ｄ）k≤１且k≠0
2、若关于y的方程ay２-4y+１＝0有实数根，则a的最
大整数值为（ ）
A）0 B） 4 C）0或4 D）3DB二、证明
若关于x的一元二次方程x2+2x-m+1=0没有实数根，求证：关于y的方程y2+my+12m=1一定有两个不相等的实数根．提示：将y2+my+12m=1化为一般形式
y2+my+12m-1=0课件14张PPT。17．3一元二次方程根的判别式1．一元二次方程的一般形式是什么？3．一元二次方程的根的情况怎样确定？2．一元二次方程的求根公式是什么？填写下表：猜想：如果一元二次方程 的两个根
分别是 、 ，那么，你可以发现什么结论？已知：如果一元二次方程
的两个根分别是 、 ．求证：推导： 如果一元二次方程
的两个根分别是 、 ，那么：这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理．1．3．2．4．5．口答下列方程的两根之和与两根之积．例1．
不解方程，求方程 的
两根的平方和、倒数和．运用根与系数的关系解题设 x1、x2是方程x2－4x+1=0的两个根，则
x1+x2 = ___ x1x2 = ___，
x12+x22 = ；
（ x1-x2）2 = ；
基础练习1已知一元二次方程 的一个根为1 ，则方程的另一根为___，m=___：巩固提高补充规律：两根均为负的条件： x1+x2 且x1x2 ． 两根均为正的条件： x1+x2 且x1x2 ． 两根一正一负的条件： x1+x2 且x1x2 ．
当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：b2-4ac≥0 ． 引申：1、若ax2?bx?c?0 (a?0 ??0)
（1）若两根互为相反数，则b?0;
（2）若两根互为倒数，则a?c;
（3）若一根为0，则c?0 ;
（4）若一根为1，则a?b?c?0 ;
（5）若一根为?1，则a?b?c?0;
（6）若a、c异号，方程一定有两个实数根． 2．应用一元二次方程的根与系数关系时，
首先要把已知方程化成一般形式． 3．应用一元二次方程的根与系数关系时，
要特别注意，方程有实根的条件，即在初
中代数里，当且仅当 时，才
能应用根与系数的关系． 1．一元二次方程根与系数的关系是什么？总结归纳课件15张PPT。17．3一元二次方程根的判别式中考分值一元二次方程的一般形式： 二次项系数 ，一次项系数 ，常数项 ．abc解一元二次方程的方法：因式分解法配方法公式法直接开平方法对于一元二次方程 一定有解吗？思考一元二次方程的根的情况：1．当 时，方程有两个不相等的实数根.2．当 时，方程有两个相等的实数根.3．当 时，方程没有实数根. 反过来：1．当方程有两个不相等的实数根时， 2．当方程有两个相等的实数根时，3．当方程没有实数根时， 结论与小结问题一：不解方程，判断下列方程是否有解？ 因为△ = ，所以原方程有两个不等的实根． 因为△= ，所以原方程有两个不等的实根． 问题二：已知方程及其根的情况，求字母的取值范围．解：因为 ，所以（1）当 ，即 时，方程有两个不等的实数根；（2）当 ，即 时，方程有两
个相等的实数根；（3）当 ，即 时，方程没有
实数根．问题三：解含有字母系数的方程．解：当a=1时，x=1．当a≠0时，方程为一元二次方程． 当a+b≠0时，x=-1
