(共29张PPT)
刹车距离与二次函数
抛物线
y=x2
y=-x2
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x 轴的上方（除顶点外）
在x 轴的下方（除顶点外）
向上
向下
当x=0时，最小值为0
当x=0时，最大值为0
二次函数y=x2 与y=-x2的性质
１、顶点坐标与对称轴
２、位置与开口方向
３、增减性与最值
如图所示
如图所示
忆一忆
2.当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外）,它的开口向上,并且向上无限伸展；
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外）,它的开口向下,并且向下无限伸展.
4、当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；
在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,
当x=0时,函数y的值最大.
1.抛物线y=ax2的顶点是原点(0,0),对称轴是y轴.
由二次函数y=x2和y=-x2知：
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；
在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.
当x=0时函数y的值最小.
你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗？
汽车刹车时向前滑行的距离称为刹车距离
那么刹车距离与什么因素有关？
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数
有研究表明.汽车在某段公路上行驶时.速度为v(km/h)汽车的刹车距离s(m)可以由公式：
晴天时：s=
1
100
v2
1
50
雨天时：s=
v2
0
20
40
60
80
100
16
32
48
64
80
96
112
128
36
72
100
S=
1
v2
50
S=
1
v2
v速度(公里/小时)
S距离(米)
这两个二次函数图像有什么相同和不同？
相同点:
开口方向
顶点
增减性
不同点:
形状
如果行车速度是60km/h,那么在雨天行驶和在晴天行驶相比.刹车距离相差多少米？
函数y=2x2的图象是什么形状 它与y=x2的图象有什么相同和不同 它的开口方向对称轴和顶点坐标分别是什么
x
y
o
y=x2
y=2x2
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
函数y=2x2的图象是什么形状 它的开口方向对称轴和顶点坐标分别是什么 它与y=x2的图象有什么相同和不同
答:函数y=2x2的图象是抛物线它的开口方向向上,对称轴是y轴,顶点坐标是（0，0）
它与y=x2的开口方向,对称轴,顶点坐标是相同的,只是开口大小不同. y=2x2比 y=x2的开口小一些.
评：对于二次函数y=ax2（a≠0）开口的大
小与a有关， a 的值越大，抛物线的
开口越 。
越小
x
y
o
y=2x2
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
函数y=2x2+1的图象是什么形状 它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么 它与y=2x2的图象有什么相同和不同
议一议
做一做
y
o
y=2x2
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
-2 y
9
-1.5 5.5
-1 3
-0.5 1.5
0 1
0.5 1.5
1 3
1.5
2 5.5
9
x
y=2x2+1
1.
2.
3.
-1
-2
-3.
0.
1.
2.
3.
4.
-1
x
y
5
y=2x2+1
y=2x2
0.25.
0.5.
0.75.
1.
y
0.25.
0.5.
0.75.
-0.25
-0.5.
-0.75.
0.
x
-1
1
-0.25.
-0. 5.
-0.75.
-1.
y=3x2
y=3x2-1
二次函数y=3x2-1与y=3x2 的图象有什么关系？
二次函数y=3x2-1图像可以由y=3x2 的图象向下平移一个单位得到
函数
y=3x2-1
y=3x2
开口方向
向上
向上
对称轴
y轴
y轴
顶点坐标
（0，0）
（0，-1）
二次函数y=3x2-1与y=3x2 的图象形状相同，只是位置不同。
0.25.
0.5.
0.75.
1.
y
0.25.
0.5.
0.75.
-0.25
-0.5.
-0.75.
0.
x
-1
1
-0.25.
-0. 5.
-0.75.
-1.
y=3x2
y=-3x2
函数
y=-3x2
y=3x2
开口方向
向上
向下
对称轴
y轴
y轴
顶点坐标
（0，0）
（0，0）
二次函数y=3x2与y=-3x2的图像有什么关系？
两图象关于x轴对称，也关于原点对称
二次函数y=3x2与y=-3x2的图像有什么相同点和不同点？
相同点：
形状
对称轴
顶点坐标
不同点：
开口方向
增减性
二次函数y=ax2与y=-ax2的图象有什么关系？
形状相同，开口相反
相同的对称轴y轴
相同的顶点 （0，0）
二次函数y=ax2与y=－ax2的图象既关于x轴对称，又关于原点对称。
增减性有区别
二次函数y=ax2与y=-2x2的图象形状相同，
你知道a的值是什么吗？
±2
二次函数y=ax2与y=ax2+c的图象有什么关系？
二次函数y= ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象
当c > 0 时 向上平移c个单位得到.
当c < 0 时 向下平移-c个单位得到.
函数
y=ax2+c
y=ax2
开口方向
a>0时,向上
a<0时,向下
对称轴
y轴
y轴
顶点坐标
（0,0）
（0,c）
a>0时,向上
a<0时,向下
上正下负
1.函数y=x2-1的图象，可由y=x2的图象向平 ___移 个单位.
2.把函数y=3x2+2的图象沿x轴对折，得到的图象的函数解析式为________.
3.已知（m,n)在y=ax2+a的图象上，(-m,n) _____（在，不在）y=ax2+a的图象上.
4. 若y=x2+（2k-1）的顶点位于x轴上方，则K_______
例题讲解
下
1
y=-3x2-2
在
＞
0.5
某涵洞是抛物线形,它的截面如图所示.现测得水面宽AB=1.6m,涵洞顶点C到水面的距离为2.4m.在图中直角坐标系内.求涵洞所在抛物线的函数解析式.
试一试
x
y
A
B
O
C
解:设涵洞所在抛物线的函数解析式为y=ax2+2.4根据题意有A(-0.8,0)
B(0.8,0)
将x=0.8, y=0 代入y=ax2+2.4得
0=0.64a+2.4
∴a=-
设涵洞所在抛物线的函数解析式为
y=- x2+2.4
1.函数y=x2-1的图象，可由y=x2的图象向平 ___
移 个单位.
2.把函数y=3x2+2的图象沿x轴对折，得到的图
象的函数解析式为_______.
3.已知（m,n)在y=ax2+a的图象上，（- m,n ）
_____（在，不在）y=ax2+a的图象上.
4. 若y=x2+（2k-1）的顶点位于x轴上方，则
K_______
下
1
y=-3x2-2
在
＞
0.5
做一做
1. 一次函数y=ax+b与y=ax2-b在同一坐标系中的大致图象是（ ）
思维与拓展
x
0
y
x
0
x
0
x
0
x
x
y
y
y
B.
A.
C.
D.
B
2. 函数y=ax2+a与y= （a≠0)在同一坐标系中 的大致图象是（ ）
思维与拓展
y
x
0
x
0
y
x
0
y
A.
x
y
0
B.
C.
D.
D.
合作小结与学习目标
能作出y=ax2和y=ax2+c的图象，并能够比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响.
说出y=ax2和y=ax2+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.以及他们之间的联系.
1.相同点: (1)图像都是抛物线, 形状相同, 开口方向相同.
(2)都是轴对称图形, 对称轴都是y轴.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在y轴左侧,y都随x的增大而减小,在y轴右侧,y都随 x的增大而增大.
a<0时,开口向下,在y轴左侧,y都随x的增大而增大,在y轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
2.不同点:(1)顶点不同:分别是(0,c),(0,0).
(2)最值不同:分别是c和0.
3.联系: y=ax +c(a≠0) 的图象可以看成y=ax 的图象沿y轴整体平移|c|个单位得到的.(当c>0时向上平移;当c<0时,向下平移).
二次函数y=ax +c与y=ax 的关系
3.实验探究系数与图象间的关系
实 验 一
a与图象的关系
a决定图象的形状
开口方向
开口大小
当a > 0 时 开口向上
a 越大图象开口越小
a 越小图象开口越大
当a < 0 时开口向下
c与图象的关系
C 确定图象与y轴的交点
当c＝0时图象过原点
当 c > 0时图象与y轴正半轴相交
当c < 0时图象与y轴负半轴相交(共14张PPT)
课题学习
拱桥设计
拱桥是桥梁家族中的重要一员.拱桥跨度大,造型优美灵活,可雄伟壮观,可小巧玲珑.
拱桥的形状可分为圆弧拱桥,抛物线拱桥和悬链线拱桥.拱桥形状的选择主要根据力学上的分析,另外还有桥的跨度,施工条件等方面因素的考虑.
颐和园里的十七孔桥
拱桥欣赏
北京卢沟桥
赵洲桥
新时代的钢拱桥
桥梁设计示意图
某桥梁建筑公司需要在两山之间的峡谷上架设一座公路桥.桥下是一条宽100m的河流,河面距所需要架设的公路桥桥面的高度是50m.根据各方面条件的分析,专家认为抛物线拱桥是最好的选择.
请你按专家的建议,设计一座跨峡谷的公路桥.
挑战“桥梁工程师”
标出桥的跨度,拱桥与峡谷衔接的地方距河面的高度,拱桥的最高点距桥面的距离等
1.有一个抛物线形桥拱，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在平面直角坐标系中(如图)，则此抛物线的解析式为 .
做一做
2.如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米.
(1)在如图的坐标系中求抛物线的解析式；
(2)若洪水到来时.水位以每小时0.2米的速度上升从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？
做一做
3.一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图)，拱高6 m，跨度20 m，相邻两支柱间的距离均为5 m.
(1) 将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图所示)，其表达式是 的形式.请根据所给的数据求出 的值.
(2) 求支柱MN的长度.
(3) 拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2 m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2 m、高3 m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.
图10
10m
20m
6m
M
N
图11
O
x
A
B
C
y
做一做(共27张PPT)
二次函数与一元二次方程
(1) h和t的关系式是什么？
(2) 小球经过多少秒后落地 你有几种求解方法 与同伴进行交流.
我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么
h=-5t2+40t
①.图象法
②解方程
-5t2+40t=0
由上抛小球落地的时间想到
(1).每个图象与x轴有几个交点？
(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根 验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
议一议
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
①有两个交点,
②有一个交点,
③没有交点.
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程 它们的关系如何
在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60cm 你是如何知道的
想一想
一个足球从地面向上踢出，它距地面的高度h(m)可以用公式h = - 4.9t2 + 19.6t 来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间。
2、方程- 4.9t2 + 19.6t = 0、 - 4.9t2 + 19.6t = 14.7的根的实际意义分别是什么？
1、当t＝1，t＝2时，足球距地面的高度分别是多少？
随堂练习
求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A.B的坐标
解：∵A、B在轴上，
∴它们的纵坐标为0，
∴令y=0，则x2-3x+2=0
解得：x1=1，x2=2；
∴A（1，0） B（2，0）
你发现方程 的解x1、x2与A、B的坐标有什么联系？
x2-3x+2=0
试一试
方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标.因此.抛物线与一元二次方程是有密切联系的。
即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（ ） B（ ）
x1，0
x2，0
x
O
A
B
x1
x2
y
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个相异的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？
△＞0
△=0
△＜0
O
X
Y
试一试
抛物线y=ax2+bx+c
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由
一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
1、△＞0 一元二次方程ax2+bx+c=0
有两个不等的实数根
与x轴有两个交点——相交。
抛物线y=ax2+bx+c
2、△=0 一元二次方程ax2+bx+c=0
有两个相等的实数根
与x轴有唯一公共点——相切（顶点）。
抛物线y=ax2+bx+c
3、△＜0 一元二次方程ax2+bx+c=0
没有实数根
与x轴没有公共点——相离。
若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1，x2.则由韦达定理得：x1+x2=- x1x2=
若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（ x1，0 ），B（x2，0 ）则是否有同样的结论呢？
若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（x1，0）B（x2，0）则x1+x2=- x1x2=
1、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则a= ；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是 ；
3、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为（-2，0），（3，0），则p= ，q= 。
2、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一个交点，则a的范围是 。
练一练
评:若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（ x1，0 ）， B（x2，0 ），利用根与系数的关系，求证：A、B两点间的距离
AB=
4、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果相交，求出交点的坐标。
（1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8
（3）y=x2-4x+4
5. 已知抛物线 ,①求抛物线与y轴的交点坐标;②求抛物线与x轴的两个交点间的距离.
6、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在轴下方的条件是（ ）
（A）a＜0 b2-4ac≤0（B）a＜0 b2-4ac＞0
（C）a＞0 b2-4ac＞0 (D）a＜0 b2-4ac＜0
D
7．已知二次函数ｙ＝-ax2，下列说法不正确的是（ ）
Ａ．当ａ＞０,ｘ≠０时,ｙ总取负值
Ｂ．当ａ＜０,ｘ＜０时,ｙ随ｘ的增大而减小
Ｃ．当ａ＜０时，函数图象有最低点，即ｙ有最小值
Ｄ．当ｘ＜０，ｙ＝ -ax2的对称轴是ｙ轴
D
1.若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1.x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是A（x1，0 ）.B（x2，0）
2、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式ax2+bx+c及二次函数y=ax2+bx+c这三个“二次”之间互相转化的关系。体现了数形结合的思想。
3、A、B两点间的距离AB= 。
4、二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程 它们的关系如何
小结
第二课时
利用二次函数图象求方程x2+2x–10=0的根
解（1）作出函数y=x2+2x–10的图象
（2）由图象可知,方程有两个根，一个根在–5和–4之间，一个在2和3之间
（3）探求其解的十分位数
试一试
利用二次函数的图象估计一元二次方程
的根。
由图象可知方程有两个根，一个在－5和－4之间，另一个在2和3之间。
(1)求－5和－4之间的根
因此，x＝－4.3是方程的一个近似根。
x –4.1 –4.2 –4.3 –4.4
y
–1.39
–0.76
–0.11
0.56
(2)求2和3之间的根
因此，x＝2.3是方程的一个近似根。
x 2.1 2.2 2.3 2.4
y
–1.39
–0.76
–0.11
0.56
所以方程的两个近似根分别为–4.3和2.3
1.已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（1，-4）与x轴两交点坐标分别为（x1，0）（x2，0）且x12+x22=10，求抛物线的解析式。
2.已知抛物线y=x2+2x+m+1。
（1）若抛物线与x轴只有一个交点，求m的值
（2）若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点，
求m的值。
练一练
3.已知二次函数y=x2-kx-2+k.
(1)求证:不论k取何值时，这个二次函数
y=x2-kx-2+k与x轴有两个不同的交点。
(2)k为何值时,二次函数y=x2-kx-2+k与轴两个交点A、B之间的距离最小？
（3）设此抛物线与y轴的交点为C，当k为6时,求S△ABC .
4.已知抛物线y=-x2+2（m+1）x+m+3与x轴有两个交点A、B，其中A在x轴的正半轴，B在x轴的负半轴，
1）若OA=3OB，求m的值。
2）若3（OA-OB）=2OA·OB，求m的值。
1.用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
3.观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标.
由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).
(3).确定方程x2+2x-10=3的解;
由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:
x1≈-4.7,x2≈2.7.
2.作直线y=3
一元二次方程的图象解法(共18张PPT)
用三种方式表示二次函数
已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2.
函数的表示方式
x
y
y随x的而变化的规律是什么？你能分别用函数表达式.表格和图象表示出来吗？
已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2.
Y=x(10-x)=-x2+10x
解析法—用表达式表示函数
用函数表达式表示：
x
y
试一试
用表格表示：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10-x 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y 9 16 21 24 25 24 21 16 9
已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2.
x
y
列表法—用表格表示函数
试一试
用图象表示:
已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2.
图象法—用图象表示函数
x
y
试一试
因为x表示周长为20cm矩形的边长,所以
x>0,10-x>0.
因此.自变量x的取值范围是
0在上述问题中,自变量x的取值范围是什么
x
y
想一想
即当x=5cm时,长方形的面积最大,它的最大面积=25cm2.
（5，25）
∴当X=5时,Y最大=25
想一想
当x取何值时,长方形的面积最大？它的最大面积是多少
（5，25）
当0当5想一想
请你描述一下y随x的变化而变化的情况.
两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的
你能分别用函数表达式,表格和图象表示这种变化吗
函数的表示方式
用函数表达式表示：
解析法—用表达式表示函数
两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的
试一试
用表格表示：
x …… -2 -1 0 1 2 3 4 ……
… 8 3 0 -1 0 3 8 …
Y= x2-2x= (x-1)2-1
列表法—用表格表示函数
两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的
试一试
用图象表示:
图象法—用图象表示函数
两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的
试一试
根据以上三种表示方式,回答下列问题:
1.自变量x的取值范围是什么
∵x表示任意一个数可以是正数、负数和零
∴自变量x的取值范围是:
全体实数
想一想
2.图象的对称轴和顶点坐标分别是什么
3.如何描述y随x的变化而变化的情况
由表达式的顶点式和图象,可知图象的对称轴是:直线x=1,顶点坐标是:(1,-1).
因为:
开口向上，对称轴x=1，
所以:
在对称轴左侧．即x<1时，y的值随x值的增大而减小；
在对称轴右侧，即x>1时，y的值随x值的增大而增大．
想一想
(1)你知道上面每一个图形中各有多少个小圆圈吗 第6个图形中应该有多少个小圆圈 为什么
(2)完成下表：边上的小圆圈数12345小圆圈的总数
(3)如果用n表示等边三角形边上的小圆圈数，m表示这个三角形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么
解：(1)观察前5个图形可知，第2个图形比第1个多2个小圆圈，第3个比第2个多3个，第4个比第3个多4个，第5个比第4个多5个，据此第6个应比第5个多6个小圆圈，因此第6个图形应该有21个小圆圈．
(3) 1=1 3=1+2 6=1+2+3 10=1+2+3+4 ……
m=1+2+3+4+ ……+n=
边上的小圆圈数 1 2 3 4 5
小圆圈的总数
1 3 6 10 15
练一练
表示 优点 缺点
表达式
表格
图象
关系
变量间关系简捷明了,便于分析计算.
需要通过计算,才能得到所需结果
能直接得到某些具体的对应值
不能反映函数整体的变化情况
直观表示了变量间变化过程和变化趋势.
函数值只能是近似值
表达式是基础,是重点,表格是画图象的关键,图象是在表达式和表格的基础上对函数的总体概括和形象化的表达.每一种方式都可转化为另两种方式表示．
二次函数的三种表示方式各有什么特点 它们之间有什么联系
三种表示方式必须考虑自变量的取值范围 !
小结(共25张PPT)
结识抛物线
在二次函数y=x2中，y随x的变化而变化的规律是什么？
你想直观地了解它的性质吗
做函数y=x2的图象
函数图象画法
列表
描点
连线
描点法
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
0
观察图象.你发现了什么
x
y=x2
...
...
...
...
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0
0.5
1
1
1.5
2
4
2.25
0.25
0.25
4
2.25
1
⑴你能描述图象的形状吗？
⑵图象与x轴有交点吗？如果有.交点的坐标是什么？
⑶当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？
当x＞0时呢？
⑷当x取什么值时.y的值最小？最小值是什么？
⑸图象是轴对称图形吗？如果是，他的对称轴
是什么？
议一议
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时
所经过的路线，我们把它叫做抛物线。
它的开口向上。
这条抛物线关于y轴
对称，y轴就是它的
对称轴。
对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点。
它是图像的最低点
0
x
y
当x=-2时，y=4；
当x=-1时，y=1
当x=1时,y=1;
当x=2时,y=4
二次函数y=x2,当x<0时，y随x增大而减小
-1
-2
1
2
1
2
3
4
(0,0)
当x=0时y的值最小，最小值是0
二次函数y=x2,当x>0时，y随x增大而增大
0
x
y
做一做
二次函数y=-x2的图象是什么形状？
先想一想.然后作出它的图象.它与
二次函数y=x2的图象有什么关系？
y
x
x
y=x2
y=-x2
y
o
o
相同点：图象都是抛物线；图象都与x轴交于点（0，0）；图象都关于y轴对称。 不同点：开口方向不同；函数值随自变量增大的变化趋势不同；最值不同；一个有最高点，一个有最低点。 联系：它们的图象关于x轴对称。
0
4
4
1
1
A
B
C
D
E
F
在同一坐标系
内，抛物线y=x2与
抛物线y= -x2的位
置有什么关系？
抛物线y=x2与y=-x2关于x轴对称
抛物线y=x2与y=-x2关于原点轴对称
1、观察右图，
并完成填空。
抛物线
y=x2
y=-x2
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
极值
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方（除顶点外）
在x轴的下方（除顶点外）
向上
向下
当x=0时，最小值为0。
当x=0时，最大值为0。
二次函数y=±x2的性质
１、顶点坐标与对称轴
２、位置与开口方向
３、增减性与极值
演示
1.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）.
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上.
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
练一练
2.填空:(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,对称轴是 ,在 侧,
y随着x的增大而增大.在 侧,y随着x的增大而减小,当x= 时,函数y的值最小,最小值是 ,抛物线y=2x2在x轴的 方(除顶点外).
（0，0）
y轴
对称轴
的右
对称轴的左
0
0
上
(2)抛物线 在x轴的 方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的 ；在对称轴的右侧,y随着x的 ,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 ,
当x 0时,y<0.
下
增大而增大
增大而减小
0
活动与探索
已知二次函数y=mx
m +m
当m取何值时它的图象开口向上。
（1）当x取何值时y随x的增大而增大。
（2）当x取何值时y随x的增大而减小。
1．二次函数y=x2的图象是一条 ，开口 ，对称轴为 ．对称轴的左侧（x＜0），y随x的增大而 ；对称轴的右侧，y随x的增大而 ．抛物线与x轴的交点是 ，与y轴也交于此点.是图象的最_____点.也叫做顶点
练一练
2．二次函数y=－x2图象是一条 ，开口 ，对称轴为 ．
对称轴的左侧(x＜0),y随x的增大而 ；
对称轴的右侧，y随x的增大而________．
抛物线与x轴的交点是 ，与y轴也交于此点.是图象的最_______点.也叫做顶点．
3.观察二次函数y=x2的图象，可以知道当x＜0时，随着x的增大，y值 ；当x＞0时，随着x的增大，y值 ．
4．观察二次函数y=－x2的图象，可以知道当x＜0时，随着x的增大，y值 ；当x＞0时，随着x的增大，y值 ．
5.抛物线y=x2的顶点坐标为 .若点A(a，4)在其图象上，则a的值是 ．若点B（3，b）在其图象上，则b= ．
6.抛物线y=－x2的顶点坐标为 ．若点A（3，m）在其图象上，则m= ．若点B（n，-4）在其图象上，则n的值是 ．
7．如图，A、B分别为y=x2
上两点，且线段AB⊥y轴，若AB=6，则
A点坐标为___________,
B点坐标为___________.
8．点A、B分别为y=－x2上两点，且线段AB⊥y轴，若AB=5，则
A点坐标为___________,
B点坐标为___________.
9.已知点A(1,a)在抛物线y=x2上.
(1)求A点的坐标.
(2)在x轴上是否存在点P,使得△OAP是等腰三角形
若存在,求出点P的坐标; 若不存在,说明理由.
二次函数y=x2，当x<0时
(在对 称轴的左侧)，y随
着x的增大而减小。
二次函数y=x2，当x>0时
(在对称轴的右侧)，y随
着x的增大而增大。
二次函数y=-x2，当x<0时
(在对称轴的左侧)，y随
着x的增大而增大。
二次函数y=-x2，当x>0时
(在对称轴的右侧)，y随
着x的增大而减小。
当x=-2时，y=-4
当x=-1时，y=-1
当x=1时，y=-1
当x=2时，y=-4
0(共21张PPT)
最大面积是多少
如图，在一个直角三角形内部做一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
1.设矩形的一边AB= x cm,那么AD边的长度如何表示？
2.设矩形的面积为ym2.当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
D
C
B
A
想一想
在上面的问题中如果设AD的边长为x cm.那么问题的结果又会怎样？你是怎样知道的
D
C
B
A
议一议
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m) 此时,窗户的面积是多少
x
x
y
做一做
在平面直角坐标系中.有A（-1，0）.B（3，0）.如图.小敏发现所有过A，B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的面积比不变，请你求出这个比值。
做一做
解:设抛物线解析式为y=a(x+1)(x－3),
即y=ax2－2ax－3a,即y=a(x－1)2－4a
∴C点与M点坐标分别是(0,－3a),(1,－4a)
∴S△ACM=S△AOC+S梯形OCMD－S△ADM
= ×1×3a+ ×(3a+4a) ×1－ ×2×4a
=a
S△ACB= ×4×3a=6a
∴
已知抛物线y=-x2-(n+1)x-2n(n<0)经过A（x1,0）,B(x2,0),D(0,y1)，其中x1做一做
解:由题意可得y1=－2n
∵
得:n1=－2,n2=3(不合题意,舍去)
∴n=－2 ∴所求解析式是
∴所求解式是析y=x2+5x+6或y=x2－5x+6
已知抛物线y=x2+mx+6与x轴相交于A，B两点，点P是此抛物线的顶点.且S△PAB= .求抛物线解析式
做一做
如图.小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周剪去一个同样大小的正方形.再折合成一个无盖的长方形盒子。如果要求长方体的底面面积为81cm2，那么剪去的正方形边长为多少？
边长2＝面积
做一做
解：设剪去的正方形的边长为 x cm，则长方体的底面边长为___________，依题意得：
(10－2x)2＝81
10－2x＝±9
∴x1＝ x2＝
(10－2x)cm
(不合题意，舍去)
答：剪去的正方形的边长为0.5cm。
如图.在一块长为92m.宽为60m的矩形耕地上挖三条水渠.水渠的宽都相等.水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块.水渠应挖多宽？
做一做
解：设水渠应挖 x m宽，则矩形小块的长为 m，宽为 m，依题意得：
化为一般形式：x2－106x＋105＝0
(x－1)(x－105)＝0
∴x1＝1，x2＝105
(不合题意，舍去)
答：水渠应挖 1 m宽。
如图.在长方形钢片上挖去一个长方形.制成一个四周宽相等的长方形框.已知长方形钢片的长为30cm.宽为20cm.要使制成的长方形框的面积为400cm2.求这个长方形框的框边宽.
200cm2
30－2x
20－2x
试一试
一种铁栅栏护窗的正面为120cm、宽为100cm的矩形，在中间有一个由4根铁条组成的菱形.如图.菱形的水平方向的对角线比竖直方向的对角线长20cm，并且菱形的面积是护窗正面矩形面积的
(1)求菱形的两条对角线的长度
(2)求组成菱形的每一根铁条的长度
试一试
A
B
试一试
已知矩形(记为A)长为4.宽为1，是否存在另一个矩形(记为B),使得这个矩形的周长和面积都为原来矩形周长和面积的一半 如果存在,求出这个矩形的长和宽；如果不存在,试说明理由。
如图,在一幅长90cm,宽40cm的风景画四周镶上一条宽度相同的金色纸边,制成一幅挂画.如果要求挂画的面积是整个面积的72%,那么金边的宽应是多少
试一试
1.理解问题;
回顾上一节“最大利润”和本节“最大面积”解决问题的过程.你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流.
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;
3.用数学的方式表示出它们之间的关系;
4.做数学求解;
5.检验结果的合理性,拓展等.
小结(共20张PPT)
何时获得最大利润
顶点式,对称轴和顶点坐标公式:
利润=售价-进价.
总利润=每件利润×销售数量.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
忆一忆
请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多
某商店经营T恤衫,成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.
何时获得最大利润
设销售价为x元(x≤13.5元),那么
某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与单价满足如下关系:在一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.
销售量可表示为: 件
销售额可表示为: 元
所获利润可表示为: 元
当销售单价为 元时,可以获得最大利润,最大利润是 元.
何时获得最大利润
x - 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 -
y - -
60375
60420
60455
60480
60495
60500
60495
60480
60455
60420
60375
y=-5x +100x+60000
你能根据表格中的数据作出猜测吗？
何时橙子总产量最大
还记得本章一开始涉及的“种多少棵橙子树”的问题吗？
我们还曾经利用列表的方法得到一个数据.现在请你验证一下你的猜测(增种多少棵橙子树时,总产量最大 )是否正确.
与同伴进行交流你是怎么做的.
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.增种多少棵橙子树时,总产量最大
如果设果园增种x棵橙子树,总产量为y个,则
何时橙子总产量最大
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
1.利用函数表达式描述橙子的总产量x与增种橙子树的棵数y之间的关系.
2.增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上
何时橙子总产量最大
某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润
随堂练习
若你是商店经理,你需要多长时间定出这个销售单价
解：设提高售价x元，在半个月内获得的利润是y元.
根据题意，得
设旅行团人数为x人,营业额为y元,则
某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额？
习题
你知道吗,平时我们在跳大绳时,绳甩到最高处的形状可以看为抛物线.如图,正在甩绳的甲乙两名学生拿绳的手间距为4米,距地面均为1米,学生丙丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米2.5米处,绳子到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是1.5米,求学生丁的身高？
函数y=ax2+bx+c(a≠0)的应用
甲
乙
丙
丁
(-2.1)
(2.1)
(-1,1.5)
(1)如果不计其它因素,那么水池的半径至少要多少m,才能使喷出的水流不致落到池外？
(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池的半径为3.5m,要使水流不落到池外,此时水流的最大高度应达到多少m(精确到0.1m)？
喷泉与二次函数
如图所示,某公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.
根据对称性,如果不计其它因素,那么水池的半径至少要2.5m,才能使喷出的水流不致落到池外.
解:(1)如图,建立如图所示的坐标系,根据题意得,A点坐标为(0,1.25),顶点B坐标为(1,2.25).
当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0);同理,点D的坐标为(-2.5,0).
设抛物线为y=a(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式为:y=-(x-1)2+2.25.
数学化
x
y
O
A
●B(1,2.25)
●(0,1.25)
●
C(2.5,0)
●
D(-2.5,0)
喷泉与二次函数
由此可知,如果不计其它因素, 水流的最大高度应达到约3.72m.
解:(2)如图,根据题意得,A点坐标为(0,1.25),点C坐标为(3.5,0).
或设抛物线为y=-x2+bx+c,由待定系数法可求得抛物线表达式为:y=-x2+22/7+5/4.
设抛物线为y=-(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式为:y=-(x-11/7)2+729/196.
数学化
x
y
O
A
●B
●(0,1.25)
●
C(3.5,0)
●
D(-3.5,0)
●B(1.57,3.72)
若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池的半径为3.5m,要使水流不落到池外,此时水流的最大高度应达到多少m(精确到0.1m)？
喷泉与二次函数
(1)写出售价x(元/件)与每天所得利润y(元)之间的函数关系式;
(2)每件定价多少元时,才能使一天的利润最大
商贩何时获得最大利润
某人开始时,将进价为8元的某种商品按每件10元销售,每天可售出100件.他想采用提高最大售价的办法来增加利润.经试验,发现这种商品每件每提价1元,每天的销售量就会减少10件.
某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱40元,生产厂家要求每箱售价在40元~70元之间.市场调查发现:若每箱按50元销售,平均每天可售出90箱,价格每降低1元,平均每天多销售3箱;价格每升高1元平均每天少销售3箱.
纯牛奶何时利润最大
(1)写出售价x(元/箱)与每天所得利润w(元)之间的函数关系式
(2)每箱定价多少元,才使平均每天利润最大 最大利润是多少
每箱定价60元，平均每天利润最大，最大利润是1200元
某化工材料经销公司购进了一种化工原料共700千克,已知进价为30元/千克,物价部门规定其销售价在30元70元之间.市场调查发现:若单价定为70元时,日均销售60千克.价格每降低1元,平均每天多售出2千克.在销售过程中,每天还要支出其它费用500元(天数不足一天时,按整天计算).
求销售单价为x(元/千克)与日均获利y(元)之间的函数关系式,并注明x的取值范围(提示:日均获利=每千克获利与×均销售量-其它费用)和获得的最大利润.
化工材料何时利润最大
(1)写出售价x(元/千克)与月销售利润y(元)之间的函数关系式;
(2)当销售单价定为55元时,计算出月销售量和销售利润;
(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少
某商店销售一种成本为40元的水产品,若按50元/千克销售,一月可售出500千克,销售价每涨价1元,月销售量就减少10千克.
水产品何时利润最大
某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线是经过原点O的一条抛物线.在跳某规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面32/3米,入水处距池边的距离为4米,同时,运动员在距水面高度为5米以前,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会出现失误.
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)在某次试跳中,测得运动员在空中运动路线是(1)中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为18/5米,问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由.(共42张PPT)
二次函数y=ax2+bx+c的图象
你能用配方的方法把y=3x2-6x+5变形成y=3(x-1)2+2的形式吗
二次函数y=3x2-6x+5的图象是什么形状 它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系
在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象．
由于y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2,因此我们先作二次函数y=3(x-1)2的图象．
函数y=ax +bx+c的图象
比较函数 与 的图象
2.在同一坐标系中作二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象．
1.完成下表,并比较3x2和3(x-1)2的值,它们有什么关系
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
27 12 3 0 3 12 27 48
27 12 3 0 3 12 27 48
48 27 12 3 0 3 12 27
观察图象.回答问题
图象是轴对称图形
对称轴是平行于
y轴的直线:x=1.
顶点坐标
是点(1,0).
二次函数y=3(x-1)2
与y=3x2的图象形状
相同,可以看作是抛
物线y=3x2整体沿x轴
向右平移了1 个单位
(3)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么
二次项系数相同
a>0,开口都向上.
想一想,在同一坐标系中作二次函数y=3(x+1)2的图象,会在什么位置
在对称轴(直线:x=1)左侧
(即x<1时),函数y=3(x-1)2
的值随x的增大而减少,.
顶点是最低点,函数
有最小值.当x=1时,
最小值是0..
二次函数y=3(x-1)2
与y=3x2的增减性类似.
(4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大 x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？
在对称轴(直线
:x=1)左侧(即
x>1时),函数y=
3(x-1)2的值随x
的增大而增大,.
想一想,在同一坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象,它的增减性会是什么样
1.在上面的坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象.它与二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么
2.x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增大而增大 x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少？
想一想
在同一坐标系中作二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x+1)2的图象．
完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x+1)2的值,它们之间有什么关系
函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象和性质
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
27 12 3 0 3 12 27
27 12 3 0 3 12 27
27 12 3 0 3 12 27
27 12 3 0 3 12 27
图象是轴对称图形.
对称轴是平行于
y轴的直线:x= -1.
顶点坐标
是点(-1,0).
二次函数y=3(x+1)2
与y=3x2的图象形状
相同,可以看作是抛
物线y=3x2整体沿x轴
向左平移了1 个单位.
1.函数y=3(x+1)2的图象与y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么
二次项系数相同
a>0,开口都向上.
想一想,二次函数y=3(x+1)2的图象的增减性会怎样
在对称轴(直线:x=-1)左侧
(即x<-1时),函数y=3(x+1)2
的值随x的增大而减少,.
顶点是最低点,函数
有最小值.当x=-1时,
最小值是0..
2.x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增大而增大 x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少？
在对称轴(直线:x=-1)右侧
(即x>-1时),函数y=3(x+1)2
的值随x的增大而增大,.
猜一猜,函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象的位置和形状.
请你总结二次函数y=a(x-h)2的图象和性质.
二次函数y=3(x+1)2与y=3x2的增减性类似.
2.抛物线y=-3(x-1)2和y=-3(x+1)2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
y
3.抛物线y=-3(x-1)2在对称轴(x=1)的左侧,当x<1时, y随着x的增大而增大;在对称轴(x=1)右侧,当x>1时, y随着x的增大而减小.当x=1时,函数y的值最大(是0);
抛物线y=-3(x+1)2在对称轴(x=-1)的左侧,当x<-1时, y随着x的增大而增大;在对称轴(x=-1)右侧,当x>-1时, y随着x的增大而减小.当x=-1时,函数y的值最大(是0).
二次函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象
4.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴向右平移了1个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴向左平移了1个单位.
X=-1
X=1
1.抛物线y=-3(x-1)2的顶点是(1,0);对称轴是直线:x=1;抛物线y=-3(x+1)2的顶点是(-1,0);对称轴是直线:x=-1.
1.抛物线y=a(x-h)2的顶点是(h,0),对称轴是平行于y轴的直线x=h.
3.当a>0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴(x=h)右侧,y随着x的增大而增大;当x=h时函数y的值最小(是0).
当a<0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴(x=h)的右侧,y随着x增大而减小;当x=h时,函数y的值最大(是0).
二次函数y=a(x-h)2的性质
2.当a>0时,抛物线y=a(x-h)2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展;
当a<0时,抛物线y=a(x-h)2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
X=h
X=h
4. 越大,开口越小,
越小,开口越大.
二次函数y=a(x-h)2
与y=ax2的图象形状
相同,可以看作是抛
物线y=ax2整体沿x轴
平移了 个单位(当h>0时,向右移 个单位;当h<0时,向左移 个单位)得到的.
二次函数y=a(x-h)2的性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
开口大小
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=a(x-h)2 (a>0)
y=a(x-h)2 (a<0)
（h，0）
（h，0）
直线x=h
直线x=h
在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)
向上
向下
当x=h时,最小值为0.
当x=h时,最大值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
越小,开口越大.
越大,开口越小.
在同一坐标系中作出二次函数y=3x ,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.
二次函数y=3x ,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系 它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么 作图看一看．
试一试
在同一坐标系中作出函数y=3x ,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.
完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x-1)2+2值,它们之间有何关系
函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象和性质
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
27 12 3 0 3 12 27
27 12 3 0 3 12 27
27 12 3 0 3 12 27
29 14 5 2 5 14 29
对称轴仍是平行于y轴的直
线(x=1);增减性与y=3x2类似.
顶点是(1,2).
二次函数y=3(x-1)2+2的
图象可以看作是抛物线
y=3x2先沿着x轴向右平移
1个单位,再沿直线x=1向
上平移2个单位后得到的.
二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物线y=3x ,y=3(x-1)2有什么关系 它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么
开口向上,当
X=1时有最小
值:且最小值=2.
先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二次函数y=3(x-1)2-2,会是什么样
X=1
对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=1);增减性与y=3x2类似.
顶点是(1,-2).
二次函数y=3(x-1)2-2的
图象可以看作是抛物线
y=3x2先沿着x轴向右平移
1个单位,再沿直线x=1向
下平移2个单位后得到的.
二次函数y=3(x-1)2-2的图象与抛物线y=3x2和y=3(x-1)2有何关系 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么
开口向上,
当x=1时y有
最小值:且
最小值= -2.
想一想,二次函数y=-3(x-1)2+2和y=-3x ,y=-3(x-1)2的图象有什么关系 它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么 再作图看一看．
X=1
在同一坐标系中作出二次函数y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x 和y=-3(x-1)2的图象
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=-3x ,y=-3(x-1)2的图象有什么关系 它们是轴对称图形吗 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么 当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大 当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小
试一试
对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=1);增减性与y= -3x2类似.
顶点分别是
(1,2)和(1,-2).
二次函数y=-3(x-1)2+2与
y=-3(x-1)2+2的图象可
以看作是抛物线y=-3x2
先沿着x轴向右平移1个
单位,再沿直线x=1向上
(或向下)平移2个单位后
得到的.
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象和抛物线y=-3x ,y=-3(x-1)2有什么关系 它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么
开口向下,
当x=1时y有
最大值:且
最大值= 2
(或最大值=-2).
想一想,二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=-3x ,y=-3(x+1)2
y
X=1
对称轴仍是平行于
y轴的直线(x=-1)增
减性与y= -3x2类似.
顶点分别是
(-1,2)和(-1,-2)..
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象和抛物线y=-3x ,y=-3(x-1)2有什么关系 它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么
开口向下,
当x=-1时y有
最大值:且
最大值= 2
(或最大值=-2).
先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.
x=-1
二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的的图象可以看作是抛物线y=-3x2先沿着x轴向左平移1个单位,再沿直线x=-1向上(或向下)平移2个单位后得到的.
二次函数y=a(x-h) +k与y=ax 的关系
一般地,由y=ax 的图象便可得到二次函数y=a(x-h) +k的图象:y=a(x-h) +k(a≠0)的图象可以看成y=ax 的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
因此,二次函数y=a(x-h) +k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.
二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k）
（h，k）
直线x=h
直线x=h
由h和k的符号确定
由h和k的符号确定
向上
向下
当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标:
2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么
(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系
对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大 当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小 二次函数y=3(x+1)2+4呢
做一做
1.相同点:
(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对 称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
2.不同点: 只是位置不同(1)顶点不同:分别是(-h,k)和(0,0).
(2)对称轴不同:分别是直线x= -h和y轴.
(2)最值不同:分别是k和0.
3.联系: y=a(x-h) +k(a≠0) 的图象可以看成y=ax 的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
二次函数y=a(x-h) +k与y=ax 的关系
1.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.必要时作出草图进行验证.
2.填写下表:
y=a(x-h) +k 开口方向 对称轴 顶点坐标
a>0
a<0
习题
二次函数y=ax2+bx+c的图象
第2课时
怎样直接作出函数y=3x2-6x+5的图象
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.
1.配方:
提取二次项系数
配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方
整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项
化简:去掉中括号
提示:
配方后的表达式通常称为配方式或顶点式
函数y=ax +bx+c的图象
4.画对称轴,描点,连线:作二次函数y=3(x-1)2+2的图象．
2.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点坐标.
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
… …
3.列表:根据对称性,选取适当值列表计算.
… 29 14 5 2 5 14 29 …
∵a=3>0,∴开口向上
对称轴:直线x=1
顶点坐标:(1.2)
直接画函数y=ax +bx+c的图象
作出函数y=2x2-12x+13的图象.
X=1
●(1,2)
X=3
●(3,-5)
例.求二次函数y=ax +bx+c的对称轴和顶点坐标．
一般地,对于二次函数y=ax +bx+c我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.
提取二次项系数
配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方
整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项
化简:去掉中括号
提示:
这个结果通常称为求顶点坐标公式.
函数y=ax +bx+c的顶点式
顶点坐标公式
因此,二次函数y=ax +bx+c的图象是一条抛物线
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标:
如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=0.0225x +0.9x+10表示,而且左右两条抛物线关手y轴对称．
1.钢缆的最低点到桥面的距离是少？
2.两钢缆最低点之间的距离是多少？
3.你是怎样计算的？与同伴交流.
Y/m
x/m
桥面 -5 0 5
10
函数y=ax2+bx+c(a≠0)的应用
⑴.钢缆的最低点到桥面的距离是少？你是怎样计算的？与同伴交流.
可以将函数y=0.0225x2+0.9x+10配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离;
Y/m
x/m
桥面 -5 0 5
10
由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m。
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？你是怎样计算的？与同伴交流.
想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗
Y/m
x/m
桥面 -5 0 5
10
⑶你还有其它方法吗？与同伴交流.
直接利用顶点坐标公式再计算一下上面问题中钢缆的最低点到桥面的距离以及两条钢缆最低点之间的距离．
Y/m
x/m
桥面 -5 0 5
10
由此可知钢缆的最低点
到桥面的距离是1m。
请你总结函数函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
想一想,函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图象之间的关系是什么？
做一做
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大
而减小,在对称轴右 侧,y都随 x的增大而增大.
a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而
增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
2.不同点: (1)位置不同(2)顶点不同:分别是 和(0,0).
(3)对称轴不同:分别是 和y轴.
(4)最值不同:分别是 和0.
3.联系: y=a(x-h) +k(a≠0) 的图象可以看成y=ax 的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移| |个单位 (当 >0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax 的关系
1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.
2.当一枚火箭被竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式表示,经过多长时间,火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？
习题(共30张PPT)
在观看篮球比赛时，你是否注意过篮球入筐的路线它与某种函数有关系吗
节日的喷泉给人们带来喜庆，夏日的喷泉给人们带来凉爽。你是否注意到喷泉水流所经过的路线？
在这一章.我们将来到函数的美丽世界……
§2.1二次函数所描述的关系
④二次函数
y＝kx＋b (k≠0)
y＝kx (k≠0)
函数
变量之间的关系
②一次函数
③反比例函数
①正比例函数
忆一忆
某果园有100棵橙子树，每一棵平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，现每种一树多收获300个橙子，假设总收成为y，多种树x棵.你能列出这个关系式吗？
y=300X+600×100
这个解析式为
你做对了吗？
①
1.题中有那些变量？哪些是自变量？哪些是因变量？
2.假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
3.如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式.
y＝(100＋x)(600－5x)
100＋x
600－5x
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量.但是如果多种树.那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
化简得y=-5X2+100X+60000
试一试
②
你能看出一、二两个解析式有什么不同吗？
①y=300X+60000
②y= -5X2+100X+60000
x - 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 -
y - -
60375
60420
60455
60480
60495
60500
60495
60480
60455
60420
60375
y=-5x +100x+60000
在上述第二个问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？
想一想
你能根据表格中的数据作出猜测吗？
y＝(100＋x)(600－5x)
60375
60455
60480
60495
60500
60495
60480
60455
60420
60375
60420
你发现了吗？
y是随着X的变化而变化，但不是随着X直线型的变化它有最大值或最小值
y=-5x +100x+60000
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说.利率是一个变量,在我国,利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.
银行储蓄利率
设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。如果存款是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式（不考虑利息税）。
y ＝ 100(x＋1)
即:
y ＝100x ＋200x＋100
你做对了吗？
做一做
y=-5x +100x+60000
y=100x +200x+100
提示:
1关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且a≠0.
2等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和
常数项,但不能没有二次项.
这些函数有什么共同特点？ y是x的函数吗？
y是x的一次函数？是反比例函数？
一般地，形如y＝ax ＋bx＋c(a≠0)的函数叫做x的二次函数
7种不同表示形式
二次函数y＝ax ＋bx＋c(a≠0)变形
① y＝ax
② y＝ax ＋K
③ y＝a(x－h)
④ y＝ a(x－h) ＋K
(a≠0)
①y＝ax
② y＝ax ＋bx
③ y＝ax ＋bx＋c
④y＝a(x－x1)(x－x1)
例1.下列函数中,哪些是二次函数？
(1）y=3(x-1) +1
(3) s=3-2t
(5)y=(x+3) -x
(6) v=10πr
（是）
（不是）
（是）
（不是）
（不是）
（是）
试一试
1.你认为判断二次函数的关键是什么？
关键是：看二次项的系数是否为0．
2.二次函数的一般式y＝ax ＋bx＋c（a≠0）与一元二次方程ax ＋bx＋c＝0（a≠0）有什麽联系和区别？
议一议
是二次函数，求m的值。
解：依题意得
m1 ≠ 0, m2 ≠－1
m1 ＝ －1, m2 ＝2
∴ m＝2
解：依题意得
2-m=2
m2+m≠0
∴m无解
例4:m取何值时，函数是y= (m+1)x
+(m-3)x+m是二次函数？
例3:
m +1≠ 0
m2-2m-1=2
解：依题意得
m ≠ -1
m=3或m=-1
∴ m=3
1:下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2 (4)y=2x2-2x+1
(5)y=x-2+x (6)y=x2-x(1+x)
做一做
如果函数y= +kx+1是二次函数,
则k的值一定是______
2.
0或3
如果函数y=(k-3) +kx+1是二
次函数,则k的值一定是______
0
圆的半径是xcm，圆的面积为ycm ，写出y与x 之间的函数关系式.
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，写出场地面积y(m )与矩形一边长x(m)之间的关系式
x
y＝πx
y＝x(30－x)
即y＝－x ＋30x
做一做
3.
4.
心理学家研究发现：一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力y随时间t的变化规律有如下关系式：
（1）讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注意力更集中？
（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
1.下列函数中(x,t是自变量).哪些是二次数？
(1)y＝－0.5＋3x (2) y＝0.5x －x ＋25 (3)y＝2 ＋2x (4) s＝1＋t＋5t
2.圆的半径是1cm，假设半径增加xc时，圆的面积增加ycm 。
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)当圆的半径分别增加1cm，2cm时，
圆的面积增加多少？
随堂练习
1.物体从某一高度落下,已知下落的高度h(m)与下落的时间(s)的关系是h=4.9t2,填表表示物体在前5s下落的高度:
t/s 1 2 3 4 5
h/m
习题
2.某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆,长方体的长和宽相等,高比长多0.5m.
(1).长方体的长和宽用x(m)表示,长方体需要涂漆的表面积S(m2)如何表示
(2).如果涂漆每平米所顼要的费用是5元,油漆每个长方体所需要费用y(元)表示,那么y的表达式是什么
1.定义：一般地,形如y=ax +bx+c(a,
b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.
y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)
的几种不同表示形式:
(1)y=ax --------- (a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax +c ------ (a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax +bx ---- (a≠0,b≠0,c=0).
定义中应该注意的几个问题:
2.定义的实质是：ax +bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数
