《17．4 一元二次方程的根与系数的关系》习题
填空题与选择题：
1、若一元二次方程有一个根为-1，则a、b、c的关系是______．
2、一元二次方程与的所有实数根的和等于____．
3、若α、β为实数且｜α+β－3｜+（2－αβ）=0，则以α、β为根的一元二次方程为 ．（其中二次项系数为1）
4、已知，，且，则 ．
5、已知关于的方程的两根之差等于6，那么______．
6、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）．
A、 B、3 C、6 D、9
7、已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程的一根，则这个三角形的周长为（ ）．
A．11 B．17 C．17或19 D．19
8、已知x1，x2，是关于的方程的两个实根，且满足，求的值．
《17．4 一元二次方程的根与系数的关系》习题
1、设x1，x2是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1）； （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7）
2、已知方程的两实根是，方程的两实根是和，求m和n的值．
《17．4 一元二次方程的根与系数的关系》习题
1、已知关于的方程有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比它们的积大21，求的值．
2、解方程，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的根分别是原方程各根的倒数．
3、m为何值时，关于的一元二次方程的两个根互为倒数；
4、在解方程时，小张看错了p，解得方程的根为1与；小王看错了q， 解得方程的根为4与-2．这个方程的根应该是什么？
5、已知关于的方程的两根之比是，判别式的值为1，求方程的根．
6、已知一元二次方程．（1）当a为何值时，方程有一正、一负两个根？（2）此方程会有两个负根吗？为什么？
7、已知m，n是一元二次方程的两个实数根，求的值．
8、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
《17．4 一元二次方程的根与系数的关系》习题
一、填空题
1．如果x1、x2是一元二次方程的两个实数根，则x1+x2=_________．
2．一元二次方程两根的倒数和等于__________．
3．关于x的方程的根为，则p=______，q=____．
4．若x1、x2是方程的两根，那么x12+x22= ，（x1-x2）2 ．
5．已知方程的两根之比为2，则k的值为_______．
6．已知为方程的两实根，则
7．方程与方程的所有实数根的和为___________．
8．关于x的方程的两个实数根同号，则a的取值范围是__________．
二、选择题
9．已知a、b是关于x的一元二次方程的两实数根，则式子的值是（ ）．
A． B． C． D．
10．以3和—2为根的一元二次方程是（ ）．
A． B． C． D．
11．设方程的两根分别为x1，x2，且，那么m的值等于（ ）．
A． B．—2 C． D．—
12．点P（a，b）是直线y=—x+5与双曲的一个交点，则以a，b两数为根的一元二次方程是（ ）．
A． B． C． D．
13．已知两根之和等于两根之积，则m的值为（ ）．
A．1 B．—1 C．2 D．—2
课件3张PPT。0 2 2 01 -4 -3 -42 3 5 6-8 6 -2 -48-8 3 -5 -24归纳：二次项系数等于1时
(1)方程的两根之和等于一次项系数的相反数.
(2)两根之积等于常数项.通过求解，计算，同学们有什么新的发现？ 关于x的方程 +px+q=0两根为x1,x2(p,q为常数).则：x1+x2= , x1x2= x2一元二次方程根与系数的关系
(1).当二次项系数为 1的时候-pq
探索：若二次项的系数不等于1时，他们又有什么关系，请同学们尝试一下.2 -3/2 1/2 -3-2 3/2 -1/2 -3-6/5 2 4/5 -12/5归纳：(2)关于x的方程
两根为 ,则,课件1张PPT。小结：一元二次方程根与系数的关系：
(1)当二次项系数为1的时候关于x的方程
+px+q=0两根为x1,x2(p,q为常数).
则：x1+x2=-p, x1x2=q
x2(2)关于x的方程
两根为 ,则,课件1张PPT。 方程
有一个正根，一个负根，求m的取值范围。课件2张PPT。已知关于x的方程2x2＋kx－4＝ 0的一个根是－4，求它的另一个根及k的值．除了运用韦达定理求解，本题还有其它解法吗？答：有，可以运用公式法求解.解得：k=7.求得另一个根为课件3张PPT。《17.4 一元二次方程的根与系数的关系》教案
教学目标：
1．知识技能：掌握一元二次方程根和系数的关系，能不解方程求出一元二次方程的两根和与两根积．能利用一元二次方程根与系数的关系来判断已知两数是否是原方程的根，能灵活解决一些简单的有关一元二次方程的问题．
2．过程与方法：经过小组讨论和从特殊到一般的数学认知过程的体会．
3．情感态度价值观：利用韦达定理渗透爱国主义精神，激发学生发现问题，提高学生解决问题的能力．
教学重点：
一元二次方程根与系数的关系．
教学难点：
韦达定理的论证．
教学过程：
复习
1、一元二次方程的一般式？
，
2、一元二次方程有实数根的条件是什么？（
3、＞0，即△＞0，△=0，△＜0根的情况如何？
反过来，若方程有两个不相等的实数根，说明△怎么样等？
4、一元二次方程的求根公式．
引入
由求根公式可知，一元二次方程的根由系数、、确定，换句话就是说根与系数有关系，今天我们将进一步来学习并发现一元二次方程的根与系数到底还有没有其他关系．
思考填表：
解出下列各方程的两根和，并计算和的值．
方程
三、新授
师：谁能发现两根和、两根积与系数的关系？
（两根和由一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数得到；而两根和是由常数项除以二次项系数所得）
若，，（假设成立）
则，
1、论证韦达定理
师：刚才列举了部分方程发现两根和、两根积与系数有这样的关系，那么是不是所有的一元二次方程根与系数都有关系呢？
（板书）证明：当△＞0时，由求根根式，
∴
当△=0时，
即
师：假设成立，这就是一元二次方程根与系数的关系，也称韦达定理，因为是法国数学家韦达最先发现的．
例：写出方程的两根和与两根积，并解方程检验其结果．
解：设方程的两根为，则：
检验：由求根公式
，
四、巩固练习
1、若一元二次方程有一个根为-1，则a、b、c的关系是______．
2、一元二次方程与的所有实数根的和等于____．
3、若α、β为实数且｜α+β－3｜+（2－αβ）2=0，则以α、为根的一元二次方程为 ．（其中二次项系数为1）
4、已知，，且，则 ．
5、已知关于的方程的两根之差等于6，那么______．
《17.4 一元二次方程的根与系数的关系》教案
教学目标：
1．发现一元二次方程的根与系数的关系．
2．初步掌握一元二次方程的根与系数的关系．
3．培养观察、、发现问题和解决问题的能力．
教学过程：
一、创设情境
复习提问：
解一元二次方程有哪些方法？
写出一元二次方程的求根公式．
说出下列一元二次方程的根．
二、提出问题：
这些方程的根与系数有什么关系？
三、探究猜测：
观察上面四个方程的根与系数
方程
x1
x2
x1+x2
x1x2
2
3
5
6
1
4
5
4
1
2
3
2
-1
4
3
-4
通过观察可以发现，一元二次方程的根的和与积，与一次项系数、常数项之间有如下的关系：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项．
这个结论是否对于所有的一元二次方程都成立？
进一步研究这类二次项系数不为1的方程：
方程
1
3
-2
-2
可以发现，当二次项系数不为1时，一元二次方程方程的根的和与积与方程各项的系数之部有如下关系：两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数．
四、提出假设：
一元二次方程的根与系数之间有如下关系：
如果的两个根是x1，x2，那么：
，
五、推理验证：
学生运用一元二次方程求根公式自行证明．
证明过程略．
六、得出结论．
《17.4 一元二次方程的根与系数的关系》教案
学习目标
1、学会用韦达定理求代数式的值．
2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数．
3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组．
4、能应用韦达定理分解二次三项式．
内容分析
1、韦达定理内容：对于一元二次方程，如果方程有两个实数根，那么：
说明：（1）定理成立的条件，
（2）注意公式重的负号与b的符号的区别根系关系的三大用处．
2、论证韦达定理：
师：刚才列举了部分方程发现两根和、两根积与系数有这样的关系，那么是不是所有的一元二次方程根与系数都有关系呢？
（板书）证明：当△＞0时，由求根根式，
∴
当△=0时，
即
师：假设成立，这就是一元二次方程根与系数的关系，也称韦达定理，因为是法国数学家韦达最先发现的．
例：写出方程的两根和与两根积，并解方程检验其结果．
解：设方程的两根为，则：
检验：由求根公式
，
3、课堂练习：
（1）设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值为_________．
（2）已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根，则x1＋x2＝ ，x1·x2＝ ，
（x1－x2）2＝ ．
（3）已知方程2－3x+k=0的两根之差为2，则k= ．
（4）若方程x2+(a2－2)x－3=0的两根是1和－3，则a= ．
（5）若关于x的方程x2+2(m－1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为 ．
（6）设x1，x2是方程2x2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值：
1）x12x2+x1x22 2）－
4、课堂小结
本节课你学到了什么？
《17.4 一元二次方程的根与系数的关系》教案
教学目标：
1．掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题．
2．经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想．
3．情感态度：通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神．
教学重点：
根与系数关系及运用．
教学难点：
定理的发现及运用．
教学过程：
创设情境，激发探究欲望
我们知道生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理，比如：
抛出的重物总会落下------------------万有引力定律（牛顿）
而我们数学学科中更蕴藏着大量的规律，比如：
直角三角形的三边a，b，c满足关系：+=--------------------勾股定理（毕达哥拉斯）
那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢？今天共同去探究，感受一次当科学家的味道．
设计意图：让学生感受到数学和其他学科一样，里边有很多有价值的规律，等待我们去探索，激发学生的学习兴趣，探究欲望．
探究规律
先填空，再找规律：
一元二次方程
+6x-16=0
-2x-5=0
2-3x+1=0
5+4x-1=0
观察表中与的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
设计意图：通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法．
得出定理并证明（韦达定理）
若一元二次方程a+bx+c=0（a≠0）的两根为、，则：
+=- ．=
特殊的：若一元二次方程+px+q=0的两根为、，则：
+=-p ．=q
证明此处略（师生合作完成）
设计意图：让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程．
运用定理解决问题
例1：求下列方程的两根之和与两根之积．
（1）-6x-15=0 （2）5x-1= 4
（3）=4 （4）2=3x
（5）-（k+1）x+2k-1=0（x是未知数，k是常数）
设计意图：让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积，比较简便，（3）、（4）、（5）的设计加深学生对根与系数关系的本质理解．
例2：若一元二次方程-4 x+2=0的两根是、，求下列各式的值．
（1）+ （2）+
设计意图：进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，可起到简便运算的作用．
例3：若一元二次方程+ax+2=0的两根满足：+=12，求a的值．
设计意图：它是例2的一个变式，目的是考察学生灵活运用知识解决问题能力，让学生感受到根与系数的关系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密性，根据情况可再进一步变式，如两根互为相反数；两根的倒数和等于2等．
课堂小结：
让学生谈谈本节课的收获与体会：知识？方法？思想？等，教师可适当引导和点拨．
课件15张PPT。17．4 一元二次方程的根与系数的关系1、填表 问题：你发现这些一元二次方程的根与系数
有什么规律？
当二次项系数为1时
x2+px+q=0的两根为x1，x2
则有2，132-1，32-31，4541-22、填表说一说，你又有什么发现？猜想：
如果一元二次方程
ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a=0）的两根为x1、x2，则
任意的一元二次方程
ax2+bx+c=0（a≠0）的x1+x2， x1．x2与系数a，b，c 的关系是： x1+x2=-
x1．x2= 例1：已知方程 2x2+kx-4=0的一个根是-4，求它的另一个根及k的值．答：方程的另一个根是 ，k的值是7．解：设方程的另一根为 ，则（1）x2-3x+1=0
（2）3x2-2x=2
（3）2x2+3x=0
（4）3x2=11．下列方程两根的和与两根的积各是多少？（不解方程）自主练习 灵活运用2、设x1．x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．
（1）（ x1+1）（x2+1）（2）— + —x1x2x1x23、
（1）若关于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一个根是－2，求它的另一个根及n的值．
（2）若关于x的方程x2＋kx－6＝0的一个根是－2，求它的另一个根及k的值．二、典型例题例题2：已知方程 x2＝2x＋1的两根为x1，x2，不解方程，求下列各式的值．
（1）（x1－x2）2 （2）x13x2＋x1x23
（3）例题3：
设x1，x2是方程2x2－3x＋m＝0的两个根，且8x1－2x2＝7，求m的值．例题4：
已知关于x的一元二次方程x2＋（2k－1）x＋k2＝0有两个不相等的实数根，且方程的两根之和比两根之积7，求k的值．例题5：已知二次函数y＝x2－mx－4
（1）求证：该函数的图象一定与x轴有两个不同的交点．
（2）设该函数的图象与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0）且有 求m的值，并求出该函数图象的顶点坐标． 已知：如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，
AD⊥DC，AD=10cm，
以AD 为直径的⊙O切另
一腰于E，以AB、CD为
根的方程是X2-12X+m=0，
求m的值．
ABCDOE提高练习
1、一元二次方程的一般形式 ．
ax2＋bx＋c=0 (a≠0)（1）a≠0（2）△≥02、若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别为x1 、x2，则x1＋x2＝ ，x1x2＝ ．3、用根与系数关系解题的条件是：课件12张PPT。17．4 一元二次方程的根与系数的关系1、复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式．ax2+bx+c=0 (a≠0)X=(a≠0，b2-4ac≥0)(2)求一个一元二次方程，使它的两个 根分别为 ①2和3;②-4和7;③3和-8;④-5和-2x2-5x+6=0x2-3x-28=0③(x-3)(x+8)=0 x2+5x-24=0④(x+5)(x+2)=0②(x+4)(x-7)=0①(x-2)(x-3)=0x2+7x+10=0问题1：从求这些方程的过程中你发现根
与各项系数之间有什么关系？2、新课讲解如果方程x2+px+q=0有两个根是x1，x2
那么有x1+ x2=-p， x1 ?x2=q猜想：2x2-5x+3=0，这个方程的两根之和，两根之积是与各项系数之间有什么关系？3、巩固练习：口答下列方程的两根只和与两根之积．1）x2-3x+1=02) x2-2x=23) 2x2-3x=04) 3x2=1判断对错，如果错了，说明理由．
1）2x2-11x+4=0两根之和11，两根之积4． 3） x2+2=0两根之和0，两根之积2． 4） x2+x+1=0两根之和-1，两根之积1． 2）4x2+3x=5两根之和 两根之积另外几种常见的求值引申：若ax2?bx?c?0 (a?0 ??0)
（1）若两根互为相反数，则b?0;
（2）若两根互为倒数，则a?c;
（3）若一根为0，则c?0 ;
（4）若一根为1，则a?b?c?0 ;
（5）若一根为?1，则a?b?c?0;
（6）若a、c异号，方程一定有两个实数根．解：由已知，△={即{m>0
m-1<0∴0一负根△＞0
X1X2＜0两个正根△≥0
X1X2＞0
X1+X2＞0两个负根△≥0
X1X2＞0
X1+X2＜0{{{小结课件16张PPT。17．4 一元二次方程的根与系数的关系题1 口答
１．下列方程的两根和与两根积各是多少？
⑴．X2－3X+1=0 ⑵．3X2－2X=2
⑶．2X2+3X=0 ⑷．3X2=1
基本知识在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
⑵在使用X1+X2=－ 时，
注意“－ ”不要漏写．题2 已知两圆的半径是一元二次方程
的两个根，两圆的圆心距等于7，
则这两圆的位置关系是（ ）
A、外离 B、相交
C、外切 Ｄ、内切
C练习1已知关于x的方程当m= 时，此方程的两根互为相反数．当m= 时，此方程的两根互为倒数．－11分析：1．2．411412题３则：＝＝应用：
一、求值另外几种常见的求值求与方程的根有关的代数式的值时，
一般先将所求的代数式化成含两根之和，
两根之积的形式，再整体代入．练习2设 的两个实数根
为 则： 的值为( )
A． 1 B． －1 C． D．A以 为两根的一元二次方程
(二次项系数为1)为：二、已知两根求作新的方程题4
点p(m，n)既在反比例函数 的图象上， 又在一次函数 的图象上，则以m，n为根的一元二次方程为(二次项系数为1)：
解：由已知得，{即m·n=－2
m+n=－2{∴所求一元二次方程为：题5 以方程X2+3X-5=0的两个根的相反数为根的方程是（ ）
A、y2＋3y-5=0 B、y2－3y-5=0
C、y2＋3y＋5=0 D、y2－3y＋5=0B分析：设原方程两根为 ，则：新方程的两根之和为新方程的两根之积为求作新的一元二次方程时：
1．先求原方程的两根和与两根积．
2．利用新方程的两根与原方程的两根之
间的关系，求新方程的两根和与两根积．
（或由已知求新方程的两根和与两根积）
3．利用新方程的两根和与两根积，
求作新的一元二次方程．练习：
1．以2和 －３为根的一元二次方程
（二次项系数为１）为： 题6 已知两个数的和是1，积是-2，则两 个数是 ．2和-1解法(一)：设两数分别为x，y则：{解得：x=2
y=－1{或 ｘ＝－1
y=2{解法(二)：设两数分别为一个一元二次方程
的两根则：求得∴两数为2，－１三、已知两个数的和与积，求两数 小结：
1、熟练掌握根与系数的关系；
2、灵活运用根与系数关系解决问题；
3、探索解题思路，归纳解题思想方法．课件12张PPT。17．4 一元二次方程的根与系数的关系算一算（1）x2-7x+12=0（2）x2+3x-4=0（3）2x2+3x-2=0解下列方程并完成填空：341271-3- 4- 4-1--2X1+x2=+==-X1x2=●===一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是X1，X2 ，那么X1+x2= ， X1x2= -注：能用公式的前提条件为b2-4ac≥0如果方程x2+px+q=0的两根是
X1 ，X2，那么X1+X2= ，
X1X2=－pq说一说：说出下列各方程的两根之和与两根之积：1、 x2 - 2x - 1=02、 2x2 - 3x + =03、 2x2 - 6x =04、 3x2 = 4x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0x1x2=x1x2=0x1x2= -典型题讲解：例1、已知方程x2-（k+1）x+3k=0的一个根是2 ，
求它的另一个根及k的值．解法一：设方程的另一个根为x1．由根与系数的关系，得x1 ＋2= k+1x1 ●2= 3k解这方程组，得x1 =－3 k =－2答：方程的另一个根是－3 ， k的值是－2．典型题讲解：例、已知方程x2-（k+1）x+3k=0的一个根是2，
求它的另一个根及k的值．解法二：设方程的另一个根为x1．把x=2代入方程，得 4-2（k+1）+3k=0解这方程，得 k= - 2由根与系数的关系，得x1●2＝3k即2 x1 ＝－6∴ x1 ＝－3答：方程的另一个根是－3 ，k的值是－2．试一试1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值．2、设x1，x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求（x1+1）（x2+1）的值．解：设方程的另一个根为x1，则x1+1= ，∴ x1= ，又x1●1= ，∴ m= 3x1 = 16 解：由根与系数的关系，得x1+x2= - 2 ， x1 · x2=∴ （x1+1）（x2+1） = x1 x2 + （x1+x2）+1 =-2+（ ）+1=拓广探索1、Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是 ∠A、 ∠B、 ∠C的对边，a、b是关于X的方程x2-7x+c+7=0 的两根，求AB边上的中线长2、已知关于X的方程mx2-（2m-1）x+m-2=0（m﹥0）
（1）此方程有实数根吗？
（2）如果这个方程的两个实数根分别为x1，x2，且 （x1-3）（x2-3）=５m，求m的值．拓广探索
