21.5反比例函数-带字母系数的反比例函数同步练习2023-2024学年沪科版九年级上册数学（含解析）
文档属性
| 名称 | 21.5反比例函数-带字母系数的反比例函数同步练习2023-2024学年沪科版九年级上册数学（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 481.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-11 23:23:43 | ||
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文档简介
反比例函数-带字母系数的反比例函数同步练习
一．选择题（共6小题）
1．已知函数y1＝（k为常数，且k＞0，x＞0），函数y2的图象和函数y1的图象关于直线y＝1对称．
①函数y2的图象上的点的纵坐标都小于2．
②若当m≤x≤2（m为大于0的实数）时，y1的最大值为a，则在此取值范围内，y2的最小值必为2﹣a．
则下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①②都错误
2．设反比例函数，当x＝p，q，r（p＜q＜r）时，对应的函数值分别为P，Q，R，若pqr＜0，则必有（ ）
A．Q＞R B．R＞P C．P＞Q D．P＞R
3．已知点A（x1，y1）在反比例函数y1＝的图象上，点B（x2，y2）在一次函数y2＝kx﹣k的图象上，当k＞0时，下列判断中正确的是（ ）
A．当x1＝x2＞2时，y1＞y2 B．当x1＝x2＜2时，y1＞y2
C．当y1＝y2＞k时，x1＜x2 D．当y1＝y2＜k时，x1＞x2
4．若点P（n﹣3，y1）与点Q（n+1，y2）在同一反比例函数图象上，且y1＜y2，则（ ）
A．若P，Q不在同一象限内，则n＞﹣1
B．若P，Q不在同一象限内，则n＜3
C．若P，Q在同一象限内，则﹣1＜n＜3
D．若P，Q在同一象限内，则n＞3或n＜﹣1
5．已知点（x1，y1）和点（x2，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，若x1＜x2，则（ ）
A．（x1+x2）（y1+y2）＜0 B．（x1+x2）（y1+y2）＞0
C．x1x2（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0 D．x1x2（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0
6．如图，已知函数y1＝（x＞0），y2＝（x＜0），点A在y轴的正半轴上，过点A作BC∥x轴，交两个函数的图象于点B和C．下列说法中：
①若A的纵坐标为2，则C的横坐标为﹣1
②若2AC＝AB，则k＝
③若AC＝AB，则y1，y2的图象关于y轴对称
④当x＜﹣2时，则y2的取值范围为y2＜1
结论正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．①③ D．①③④
二．填空题（共7小题）
7．正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则代数式x1y2+x2y1的值是 ．
8．反比例函数y＝，当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，则k＝ ．
9．在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′（，）称为点P的“倒影点”，直线y＝x+1上有两点A，B，它们的倒影点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上，若AB＝2，则k＝ ．
10．如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，点C是第二象限内一点，连接CB交x轴于点D（﹣3，0），且CD＝1，点E是AC中点，若E到坐标原点的距离为2，则k的值为 ．
11．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P（1，t）在反比例函数y＝的图象上，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP＝OP．若反比例函数y＝的图象经过点Q，则k＝ ．
12．若反比例函数y＝，当x≥a或x≤﹣a时，函数值y范围内的整数有k个；当x≥a+1或x≤﹣a﹣1时，函数值y范围内的整数有k﹣2个，则正整数a＝ ．
13．一次函数y1＝k1x（k1≠0）与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象的一个交点是M（﹣3，2），若y2＜y1＜5，则x的取值范围是 ．
三．解答题（共26小题）
14．如图，已知一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）和反比例函数y2＝（k2≠0）的图象相交于点A（3，2），B（﹣1，m）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）在y轴上取一点M，当△MAB的面积为6时，求点M的坐标．
（3）将直线y1向上平移8个单位后得到直线y3，当y3＞y2＞y1时，求x的取值范围．
15．已知正比例函数y1＝k1x（k1≠0）的图象与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象交于A，B两点，其中点A的横坐标为2．
（1）求证：4k1＝k2．
（2）求点B的横坐标．
（3）当k2＞0时，对于实数m，当x＝m时，y1＜y2；当x＝m+1时，y1＞y2，直接写出m的取值范围．
16．已知函数y1＝ax+1﹣k，y2＝，其中a，k都为常数，且ak≠0．y2的图象经过点（1，2）．
（1）若y1的图象也经过点（1，2）．
①求这两个函数的解析式．
②当y1＞y2时，求x的取值范围．
（2）直线x＝m分别交函数y1和y2的图象于点A（xA，yA），B（xB，yB），且点B到x轴的距离为2，若yA﹣yB＝2，求a的值．
17．已知点A（2，a），B（b，﹣2）都在反比例函数y＝（k≠0）的图象上．
（1）当a＝3时．
①求反比例函数表达式，并求出B点的坐标；
②当y＞6时，求x的取值范围；
（2）若一次函数y＝kx+b与x轴交于点（a，0），求k的值．
18．对于函数，小明根据学习一次函数和反比例函数的经验，研究了它的图象和性质．下面是小明的分析和研究过程，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是 ．
x … ﹣1 0 1 3 4 5 …
y … ﹣2 ﹣3 ﹣6 6 3 2 …
（2）根据列表计算的部分对应值，在平面直角坐标系中用描点法画出该函数的图象．
（3）从中心对称和轴对称的角度分析图象特征，并说说这个函数的增减性．
19．在直角坐标系中，设反比例函数与一次函数y2＝k2x+b（k2≠0）的图象都经过点A和点B，点A的坐标为（1，m），点B的坐标为（﹣2，﹣2）．
（1）求m的值和一次函数y2的表达式．
（2）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围．
（3）把函数y2的图象向下平移n（n＞0）个单位后，与函数y1的图象交于点（p1，q1）和（p2，q2），当p1＝﹣1时，求此时n及p2×q2的值．
20．设函数y1＝，y2＝（k≠0，k≠﹣2）．
（1）若函数y1的图象经过点（2，1），求y1，y2的函数表达式．
（2）若函数y1与y2的图象关于y轴对称，求y1，y2的函数表达式．
（3）当1≤x≤4，函数y1的最大值为m，函数y2的最小值为m﹣4，求m与k的值．
21．已知反比例函数y1＝的图象经过（3，2），（m，n）两点．
（1）求y1的函数表达式；
（2）当m＜1时，求n的取值范围；
（3）设一次函数y2＝ax﹣3a+2（a＞0），当x＞0时，比较y1与y2的大小．
22．阅读材料：
已知：一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝（x＞0），当两个函数的图象有交点时，求b的取值范围．
（1）方方给出了下列解答：
﹣x+b＝
x2﹣bx+4＝0
∵两个函数有交点，
∴△＝b2﹣16≥0．
但是方方遇到了困难：利用已学的知识无法解b2﹣16≥0这个不等式；
此时，圆圆提供了另一种解题思路；
第1步：先求出两个函数图象只有一个交点时，b＝ ；
第2步：画出只有一个交点时两函数的图象（请帮圆圆在直角坐标系中画出图象）；
第3步：通过平移y＝﹣x+b的图象，观察得出两个函数的图象有交点时b的取值范围是 ．
应用：
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC的长为x，AC的长为y，且S△ABC＝12．
（2）求y关于x的函数表达式；
（3）设x+y＝m，求m的取值范围．
23．在直角坐标系中，设反比例函数y1＝（k1≠0）与正比例函数y2＝k2x（k2≠0）的图象都经过点A和点B，点A的坐标为（1，2）．
（1）求函数y1和函数y2的表达式；
（2）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围；
（3）若当x＝m时，函数y1和y2的值分别为P1和Q1，当x＝n时，函数y1和y2的值分别为P2和Q2．写出一对m和n的值，满足P1＞P2且Q1＜Q2，说明理由．
24．反比例函数y＝（k≠0）和一次函数y＝ax+2（a≠0）的图象交于第一象限内两点A（x1，y1），B（x2，y2），且0＜x1＜x2．记s＝x1 y2，t＝x2 y1．
（1）若k＝2，
①计算s t的值．
②当1≤s＜2时，求t的取值范围．
（2）当s：t＝1：4时，求y1和y2的值．
25．已知反比例函数y1＝（k≠0）图象经过一、三象限．
（1）判断点P（﹣k，k）在第几象限；
（2）若点A（a﹣b，3），B（a﹣c，5）是反比例函数y1＝图象上的两点，试比较a，b，c的大小关系；
（3）设反比例函数y2＝﹣，已知n＞0，且满足当n≤x≤n+1时，函数y1的最大值是2n；当n+2≤x≤n+3时，函数y2的最小值是﹣n，求x为何值时，y1﹣y2＝2．
26．已知一次函数y＝3x+m的图象与反比例函数的图象交于点A（1，a），B（﹣2，﹣3）．
（1）求一次函数，反比例函数的表达式．
（2）设点C（t、y1），D（t，y2）分别是一次函数和反比例函数图象上的点，当y1＞y2时，求t的取值范围．
（3）设点E（x1，2），F（x2，2）分别是一次函数和反比例函数图象上的点，点G是反比例函数图象上与点F成中心对称的点，求△GEF的面积．
27．已知平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（m，2），B（﹣1，n）．
（1）求m，n的值；
（2）①求一次函数的表达式；②当，直接写出x的取值范围；
（3）点P是x轴上一点，当△OAP和△OAB的面积相等时，求P点的坐标．
28．已知点M，P是反比例函数y＝（k＞0）图象上两点，过点M作MN⊥x轴，过点P作PQ⊥x轴，垂足分别为点N，Q．
（1）若点P在第一象限内，PQ＝MN，点M坐标为（1，2），求P的坐标．
（2）若S△MNP＝2，PQ＝MN，求k的值．
（3）设点M（1﹣2n，y1），P（2n+1，y2），且y1＜y2，求n的范围．
29．已知反比例函数y＝﹣．
（1）若点（﹣t+，﹣2）在此反比例函数图象上，求t的值．
（2）若点（x1，y1）和（x2，y2）是此反比例函数图象上的任意两点，
①当x1＞0，x2＞0，且x1＝x2+2时，求的值；
②当x1＞x2时，试比较y1，y2的大小．
30．如图，在矩形ABCO中，点O为坐标原点，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，OA比OC大2，比AC小2．反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线AC，BO的交点D．
（1）求OA的长和此反比例函数的表达式；
（2）若反比例函数y＝（m＞0，x＞0）的图象经过矩形ABCO边BC的中点；
①求m的值．
②在双曲线y＝（m＞0，x＞0）上任取一点G，过点G作GE⊥x轴于点E，交双曲线y＝（k＞0，x＞0）于F点，过点G作GK⊥y轴于点K，交双曲线y＝（k＞0，x＞0）于H点．求△GHF的面积．
31．已知一次函数y＝（m﹣1）x+m﹣2与反比例函数y＝（k≠0）．
（1）若一次函数与反比例函数的图象都经过点A（m，﹣1），求m与k的值．
（2）已知点B（x1，y1），C（x2，y2）在该一次函数图象上，设k＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），判断反比例函数y＝的图象所在的象限，说明理由．
32．平面直角坐标系中，反比例函数y1＝（k1为常数，k1≠0）和一次函数y2＝k2（x+2﹣a）+1（k2，a为常数，k2≠0）的图象都经过点A（，a）．
（1）若a＝3，求k1的值．
（2）若点B（a﹣2，1）也在反比例函数的图象上，
①求y1，y2的函数表达式．
②若当≥1，求x的取值范围．
33．已知一次函数y1＝3x﹣3的图象与反比例函数的图象交于点A（a，3），B（﹣1，b）．
（1）求a，b的值和反比例函数的表达式．
（2）设点P（h，y1），Q（h，y2）分别是一次函数与反比例函数图象上的点．
①试直接写出当y1＞y2时h的取值范围；
②若y2﹣y1＝3，试求h的值．
34．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝x﹣2交于点A（3，m）．
（1）求k、m的值；
（2）已知点P（n，n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝x﹣2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y＝（x＞0）的图象于点N．
①当n＝1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；
②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
35．已知正比例函数y1＝kx与反比例函数y2＝﹣（k≠0）．
（1）证明：直线与双曲线没有交点；
（2）若将直线y1＝kx向上平移4个单位后与双曲线恰好有且只有一个交点，求反比例函数的表达式和平移后的直线表达式；
（3）将（2）小题平移后的直线代表的函数记为y3，根据图象直接写出：对于负实数k，当x取何值时y2＞y3．
36．已知反比例函数y1＝（k≠0）的图象过点（﹣2，3）．
（1）求出y1的函数表达式并画出图象．
（2）根据函数y1图象回答问题．
①当x＞﹣2时，求y1的取值范围；
②当y1＜2时，求x的取值范围．
（3）存在一条直线y2＝mx+2m+3（m＜0），请在第二象限内比较y1和y2的大小．
37．在平面直角坐标系中：设函数y1＝﹣x+m，y2＝（m，n是常数，n≠0）．若函数y1＝﹣x+m的图象过点（n，﹣2），且n+m＝6．（1）求m，n的值．
（2）将函数y1＝﹣x+m的图象向上平移h（h＞0）个单位，平移后的函数图象与函数y2＝的图象交于直线y＝4上的同一点，求h的值．
（3）已知点M（a，b）（a，b为常数）在函数y1＝﹣x+m的图象上，点M（a，b）关于y轴的对称点为N，函数y3＝kx+m（k≠0）的图象经过点N，当y2＜时，求x的取值范围．
38．已知一次函数y＝kx+n（k≠0）与反比例函数y＝的图象交于点A（a，2），B（1，3）
（1）求这两个函数的表达式；
（2）直接写出关于x的不等式kx+n≤的解；
（3）若点P（2﹣h，y1）在一次函数y＝kx+n的图象上，若点Q（2﹣h，y2）在反比例函数y＝的图象上，h＜，请比较y1与y2的大小．
39．设函数y1＝，y2＝﹣（k＞0）．
（1）当2≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，求a和k的值．
（2）设m≠0，且m≠﹣1，当x＝m时，y1＝p；当x＝m+1时，y1＝q．圆圆说：“p一定大于q”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？
带字母系数的反比例函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．已知函数y1＝（k为常数，且k＞0，x＞0），函数y2的图象和函数y1的图象关于直线y＝1对称．
①函数y2的图象上的点的纵坐标都小于2．
②若当m≤x≤2（m为大于0的实数）时，y1的最大值为a，则在此取值范围内，y2的最小值必为2﹣a．
则下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①②都错误
【分析】根据反比例函数的性质以及轴对称的性质判断即可．
【解答】解：∵函数y1＝（k为常数，且k＞0，x＞0），
∴函数y1＝图象在第一象限，如图，
∴函数y的最小值大于0，
∵函数y2的图象和函数y1的图象关于直线y＝1对称，
∴y2的最大值小于2，
∴函数y2的图象上的点的纵坐标都小于2．故①正确；
当m≤x≤2（m为大于0的实数）时，y1的最大值为a，则其对应点为（m，a），
那么，点（m，a）关于直线y＝1的对称点为（m，2﹣a），
∴在此取值范围内，y2的最小值必为2﹣a，故②正确，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，坐标与图形变化﹣对称，数形结合是解题的关键．
2．设反比例函数，当x＝p，q，r（p＜q＜r）时，对应的函数值分别为P，Q，R，若pqr＜0，则必有（ ）
A．Q＞R B．R＞P C．P＞Q D．P＞R
【分析】根据反比例函数的性质判断即可．
【解答】解：∵a2＞0，
∴反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，
由题意可知，p＜0，0＜q＜r或p＜q＜r＜0，
∴P＜0＜R＜Q或0＞P＞Q＞R，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
3．已知点A（x1，y1）在反比例函数y1＝的图象上，点B（x2，y2）在一次函数y2＝kx﹣k的图象上，当k＞0时，下列判断中正确的是（ ）
A．当x1＝x2＞2时，y1＞y2 B．当x1＝x2＜2时，y1＞y2
C．当y1＝y2＞k时，x1＜x2 D．当y1＝y2＜k时，x1＞x2
【分析】联立方程，求出交点坐标，再根据图象，判断选项的正误．
【解答】联立方程得：，
化简得：x2﹣x﹣2＝0．
解得x1＝2，x2＝﹣1，
交点坐标（2，k），（﹣1，﹣2k），
如图所示，
A．当x1＝x2＞2时，y1＜y2，排除A，
B．当x1＝x2＜2时，不能确定y1，y2大小，排除B，
C．当y1＝y2＞k时，x1＜x2，正确，
D．当y1＝y2＜k时，x1，x2大小不确定，排除D
故选：C．
【点评】本题主要考查一次函数与反比例函数的点坐标比较，解题关键数形结合思想．
4．若点P（n﹣3，y1）与点Q（n+1，y2）在同一反比例函数图象上，且y1＜y2，则（ ）
A．若P，Q不在同一象限内，则n＞﹣1
B．若P，Q不在同一象限内，则n＜3
C．若P，Q在同一象限内，则﹣1＜n＜3
D．若P，Q在同一象限内，则n＞3或n＜﹣1
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征结合反比例函数图象逐一分析四个选项的正误，由此即可得出结论．
【解答】解：若点P（n﹣3，y1）与点Q（n+1，y2）在同一象限，且y1＜y2，
则y随x的增大而增大，故反比例函数图象在二四象限，
∴或，
∴n＜﹣1或＞3；
若点P（n﹣3，y1）与点Q（n+1，y2）不在同一象限，且y1＜y2，反比例函数图象在一、三象限，
则，
∴﹣1＜n＜3；
∴D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象，熟悉反比例函数的图象是解题的关键．
5．已知点（x1，y1）和点（x2，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，若x1＜x2，则（ ）
A．（x1+x2）（y1+y2）＜0 B．（x1+x2）（y1+y2）＞0
C．x1x2（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0 D．x1x2（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0
【分析】点（x1，y1）和点（x2，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，且x1＜x2，但不知道这两个点所在的象限，因此分三种情况讨论得出答案，（1）两点同在第二象限，（2）两点同在第四象限，（3）点（x1，y1）在第二象限而点（x2，y2）在第四象限．
【解答】解：∵k＜0
∴双曲线位于二四象限，
∵点（x1，y1）和点（x2，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，且x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0
（1）点（x1，y1）和点（x2，y2）都在第二象限，由反比例函数的性质可得：
x1+x2＜0，y1+y2＞0，y1﹣y2＜0；
（2）点（x1，y1）和点（x2，y2）都在第四象限，由反比例函数的性质可得：
x1+x2＞0，y1+y2＜0，y1﹣y2＜0；
（3）点（x1，y1）在第二象限而点（x2，y2）在第四象限，由反比例函数的性质可得：
x1 x2＜0，y1﹣y2＞0；
因此：x1x2（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0是正确的．
故选：D．
【点评】此题是反比例函数图象上点的坐标特征，分类讨论是数学常用思想方法，将所有可能的情况逐个进行解答从而确定最终的结果，注意分类不遗漏、不重复．
6．如图，已知函数y1＝（x＞0），y2＝（x＜0），点A在y轴的正半轴上，过点A作BC∥x轴，交两个函数的图象于点B和C．下列说法中：
①若A的纵坐标为2，则C的横坐标为﹣1
②若2AC＝AB，则k＝
③若AC＝AB，则y1，y2的图象关于y轴对称
④当x＜﹣2时，则y2的取值范围为y2＜1
结论正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．①③ D．①③④
【分析】①将y＝2代入y2＝求解．
②由2AC＝AB得xC＝﹣xB，再由xB yB＝﹣2求解．
③若AC＝AB，则k＝2，2与﹣2互为相反数，y1，y2的图象关于y轴对称．
④将x＝﹣2代入y2＝求出y值，再由函数增减性求解．
【解答】解：①将y＝2代入y2＝得x＝﹣1，故①正确．
②∵xB yB＝﹣2，xC＝﹣xB，yC＝yB，
∴xC yC＝﹣xB yB＝1，故②错误．
③若AC＝AB，则k＝2，
∴y1，y2的图象关于y轴对称，
故③正确．
④当x＝﹣2时，y2＝1，
∵y2＝（x＜0）随x增大而增大，
∴x＜﹣2时0＜y2＜1，
故④错误．
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数的性质，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质，掌握求反比例函数中k的方法．
二．填空题（共7小题）
7．正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则代数式x1y2+x2y1的值是 ﹣2 ．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标图象以及正比例函数的性质可得答案．
【解答】解：∵A（x1，y1）、B（x2，y2）在反比例函数y＝的图象上，
∴x1y1＝x2y2＝1，
∵正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，
∴x1y2+x2y1
＝﹣x1y1﹣x2y2
＝﹣1﹣1
＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握正比例函数、反比例函数的图象和性质是正确解答的前提．
8．反比例函数y＝，当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，则k＝ ±6 ．
【分析】分k＞0和k＜0进行讨论，再根据反比例函数的增减性，利用函数值的差列出方程解答．
【解答】解：当k＞0时，在其每一象限内，反比例函数y随x的增大而减小．
∵当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，
∴，解得k＝6，
当k＜0时，在其每一象限内，反比例函数y随x的增大而增大．
∵当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，
∴，解得k＝﹣6，
综上所述，k＝±6．
故答案为：±6．
【点评】本题考查了反比例函数的增减性，反比例函数的增减性要在其图象的每一象限内解答，解题关键要对于k的值要分情况讨论．
9．在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′（，）称为点P的“倒影点”，直线y＝x+1上有两点A，B，它们的倒影点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上，若AB＝2，则k＝ ．
【分析】设点A（a，a+1），B（b，b+1）（a＜b），则A′（，），B′（，），由AB＝2可得出b＝a+2，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出 ＝ ＝k，解之即可得出k值．
【解答】解：设点A（a，a+1），B（b，b+1）（a＜b），则A′（，），B′（，），
∵AB＝＝＝（b﹣a）＝2，
∴b﹣a＝2，即b＝a+2．
∵点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上，
∴ ＝ ＝k，
解得：a＝﹣，b＝，
∴k＝ ＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及两点间的距离公式，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出关于a、b的方程是解题的关键．
10．如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，点C是第二象限内一点，连接CB交x轴于点D（﹣3，0），且CD＝1，点E是AC中点，若E到坐标原点的距离为2，则k的值为 ．
【分析】根据一次函数和反比例函数的对称性求得OA＝OB，根据三角形中位线定理求得BC＝2ED＝4，即可求得BD＝3，作BM⊥x轴于M，设B（x，2x），则OM＝﹣x，BM＝﹣2x，在Rt△BMD中，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程即可求得B的坐标，代入y＝（k＞0）求得k的值．
【解答】解：∵一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，
∴OA＝OB，
∵点E是AC中点，E到坐标原点的距离为2，
∴OE∥BC，BC＝2OE＝4，
∵CD＝1，
∴BD＝3，
∵点D（﹣3，0），
∴OD＝3，
作BM⊥x轴于M，
设B（x，2x），则OM＝﹣x，BM＝﹣2x，
在Rt△BMD中，BD2＝BM2+DM2
∴32＝（﹣2x）2+（x+3）2
解得x1＝﹣，x2＝0（舍去），
∴B（﹣，﹣），
∵反比例函数y＝（k＞0）的图象经过B点，
∴k＝﹣×（﹣）＝，
故答案为．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，三角形中位线定理，勾股定理的应用，求得B的坐标是解题的关键．
11．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P（1，t）在反比例函数y＝的图象上，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP＝OP．若反比例函数y＝的图象经过点Q，则k＝ 2+2或2﹣2 ．
【分析】把P点代入y＝求得P的坐标，进而求得OP的长，即可求得Q的坐标，从而求得k的值．
【解答】解：∵点P（1，t）在反比例函数y＝的图象上，
∴t＝＝2，
∴P（1，2），
∴OP＝＝，
∵过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP＝OP．
∴Q（1+，2）或（1﹣，2）
∵反比例函数y＝的图象经过点Q，
∴2＝或2＝，解得k＝2+2或2﹣2
故答案为2+2或2﹣2．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，求得Q点的坐标是解题的关键．
12．若反比例函数y＝，当x≥a或x≤﹣a时，函数值y范围内的整数有k个；当x≥a+1或x≤﹣a﹣1时，函数值y范围内的整数有k﹣2个，则正整数a＝ 2或4 ．
【分析】根据y＝的性质，以及y为整数，得到y的取值范围，然后得到正整数a只能去1、2、3、4，分别代入进行判断，即可得到答案．
【解答】解：根据题意，反比例函数y＝中，
当x≥a或x≤﹣a时，则﹣≤y≤，且y≠0，
同理，x≥a+1或x≤﹣a﹣1时，则﹣≤y≤，且y≠0，
∴正整数a只能为1、2、3、4，
∴当a＝1时，
∵﹣≤y≤，
∴﹣4≤y≤4，且y≠0，则k＝8；
∵﹣≤y≤，
∴﹣2≤y≤2，且y≠0，则k＝4；
∴a＝1不合题意；
同理可求，
当a＝2时，符合题意；
当a＝3时，不合题意；
当a＝4时，符合题意；
综上，正整数a为2或4，
故答案为2或4．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，分类讨论是解题的关键．
13．一次函数y1＝k1x（k1≠0）与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象的一个交点是M（﹣3，2），若y2＜y1＜5，则x的取值范围是 ﹣＜x＜﹣3或0＜x＜3 ．
【分析】如图，一次函数y1＝k1x（k1≠0）与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象相交于点M、N，则N（3，﹣2），利用待定系数法求出一次函数解析式为y1＝﹣x，则可计算出当y＝5时，x＝﹣，然后结合函数图象，写出y2＜y1＜5对应的x的取值范围．
【解答】解：如图，一次函数y1＝k1x（k1≠0）与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象相交于点M、N，
∴M、N点关于原点对称，
∴N（3，﹣2），
把M（﹣3，2）代入y1＝k1x得﹣3k1＝2，解得k1＝﹣，
∴一次函数解析式为y1＝﹣x，
当y＝5时，﹣x＝5，解得x＝﹣，
∴若y2＜y1＜5，则x的取值范围是﹣＜x＜﹣3或0＜x＜3．
故答案为﹣＜x＜﹣3或0＜x＜3．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解；两交点坐标满足两函数解析式．
三．解答题（共26小题）
14．如图，已知一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）和反比例函数y2＝（k2≠0）的图象相交于点A（3，2），B（﹣1，m）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）在y轴上取一点M，当△MAB的面积为6时，求点M的坐标．
（3）将直线y1向上平移8个单位后得到直线y3，当y3＞y2＞y1时，求x的取值范围．
【分析】（1）将A（3，2）代入y2的解析式中，求出反比例函数解析式，从而得出点B坐标，再将点A、B坐标都代入一次函数，解方程即可；
（2）设直线AB与y轴的交点为C，则S△MAB＝S△MBC+S△MAC＝6，求出MC的长，从而得出点M的坐标；
（3）根据平移的性质得出y3的解析式，再与反比例函数解析式联立，求出交点，利用数形结合思想可得答案．
【解答】解：（1）将A（3，2）代入y2＝得，k2＝3×2＝6，
∴y2＝，
当x＝﹣1时，m＝﹣6，
∴B（﹣1，﹣6），
将A（3，2），B（﹣1，﹣6）代入y1＝k1x+b得，
，
∴，
∴一次函数y1＝2x﹣4；
（2）设直线AB与y轴的交点为C，
则S△MAB＝S△MBC+S△MAC＝6，
∴MC×1+MC×3＝6，
∴MC＝3，
∵C（0，﹣4），
∴M（0，﹣1）或（0，﹣7）；
（3）∵将直线y1向上平移8个单位后得到直线y3，
∴y3＝2x+4，
当2x+4＝时，x1＝1，x2＝﹣3，
∴当y3＞y2＞y1时，1＜x＜3或﹣3＜x＜﹣1．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数交点问题，函数与不等式的关系，利用数形结合思想是解题的关键．
15．已知正比例函数y1＝k1x（k1≠0）的图象与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象交于A，B两点，其中点A的横坐标为2．
（1）求证：4k1＝k2．
（2）求点B的横坐标．
（3）当k2＞0时，对于实数m，当x＝m时，y1＜y2；当x＝m+1时，y1＞y2，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）把交点A的横坐标分别代入正比例函数、反比例函数的解析式得到2k1＝，变形得到4k1＝k2．
（2）根据正比例函数、反比例函数的中心对称性即可求得；
（3）根据正比例函数、反比例函数的性质借助图象即可得到关于m的不等式组，解不等式组即可求得．
【解答】（1）证明：正比例函数y1＝k1x（k1≠0）的图象与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，
∴y1＝2k1，y2＝，
∵y1＝y2，
∴2k1＝，
∴4k1＝k2．
（2）解：∵正比例函数y1＝k1x（k1≠0）的图象与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，
∴点B的横坐标为﹣2；
（3）解：∵点A的横坐标为2，点B的横坐标为﹣2，
∴当k2＞0时，对于实数m，当x＝m时，y1＜y2；当x＝m+1时，y1＞y2，m的取值范围是或，
解得﹣3＜m＜﹣2或1＜m＜2．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性，数形结合是解题的关键．
16．已知函数y1＝ax+1﹣k，y2＝，其中a，k都为常数，且ak≠0．y2的图象经过点（1，2）．
（1）若y1的图象也经过点（1，2）．
①求这两个函数的解析式．
②当y1＞y2时，求x的取值范围．
（2）直线x＝m分别交函数y1和y2的图象于点A（xA，yA），B（xB，yB），且点B到x轴的距离为2，若yA﹣yB＝2，求a的值．
【分析】（1）①利用待定系数法即可求得；②求得交点坐标，然后根据图象即可求得；
（2）根据点B到x轴的距离为2，即可得到B（1，2）或（﹣1，﹣2），由yA﹣yB＝2得出A（1，4）或（﹣1，0），代入y1＝ax+1﹣k即可求得a的值．
【解答】解：（1）∵y2的图象经过点（1，2），
∴把点坐标代入y2解析式得2＝，k＝2，
∵y1的图象也经过点（1，2），
∴把点坐标和k＝2代入y1解析式得2＝a+1﹣2，a＝3，
①两个函数的解析式分别为：
y1＝3x﹣1；y2＝；
②y1＞y2，
y1＝3x﹣1；y2＝；联立方程组，
，
解得和，
由此可知函数y1、y2有两个交点，分别是（1，2）（﹣，﹣3）
两函数图象如下图
由函数图象可知，在第一象限y1＞y2时，x＞1；在第三象限y1＞y2时，﹣＜x＜0；
（2）∵直线x＝m分别交函数y1和y2的图象于点A（xA，yA），B（xB，yB），且点B到x轴的距离为2，
∴B（1，2）或（﹣1，﹣2），
∵yA﹣yB＝2，
∴yA＝4或0，
∴A（1，4）或（﹣1，0），
把（1，4）代入y1＝ax+1﹣k得，4＝a+1﹣k，解得a＝5；
把（﹣1，0）代入y1＝ax+1﹣k得，0＝﹣a+1﹣k，解得a＝﹣1；
故a的值为5或﹣1．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数到解析式，函数与不等式的关系，函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
17．已知点A（2，a），B（b，﹣2）都在反比例函数y＝（k≠0）的图象上．
（1）当a＝3时．
①求反比例函数表达式，并求出B点的坐标；
②当y＞6时，求x的取值范围；
（2）若一次函数y＝kx+b与x轴交于点（a，0），求k的值．
【分析】（1）把已知条件代入点的坐标，再把已知点的坐标数据代入函数解析式，确定函数解析式，再求点中未知的坐标．根据函数图象以及已知条件列不等式求x的取值范围．
（2）把已知数据代入点和直线解析式，确定k的值即可．
【解答】解：（1）①a＝3时，点A（2，a）就是（2，3），
代入解析式得3＝，
解得k＝6，
反比例函数解析式为y＝，
把点B（b，﹣2）代入解析式得﹣2＝，
解得b＝﹣3，
点B（﹣3，﹣2）；
②当y＞6时，由反比例函数图象可知是在第一象限部分，
∴＞6，
∴0＜x＜1；
（2）点A、B在反比例函数上，
代入整理得，﹣a＝b，
∵一次函数y＝kx+b与x轴交于点（a，0），
代入：0＝ak+b，
即：0＝ak﹣a，
∵A（2，a）在反比例函数上，
∴a≠0，
所以0＝k﹣1，
k＝1．
【点评】考查反比例函数的性质、图象以及函数解析式，关键要熟练掌握运用待定系数法求函数解析式，把点中已知坐标数据代入解析式求未知坐标．
18．对于函数，小明根据学习一次函数和反比例函数的经验，研究了它的图象和性质．下面是小明的分析和研究过程，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是 x≠2 ．
x … ﹣1 0 1 3 4 5 …
y … ﹣2 ﹣3 ﹣6 6 3 2 …
（2）根据列表计算的部分对应值，在平面直角坐标系中用描点法画出该函数的图象．
（3）从中心对称和轴对称的角度分析图象特征，并说说这个函数的增减性．
【分析】（1）由分式的分母不为0即可求解；
（2）描点连线，即可画出函数图象；
（4）根据函数图象即可得到．
【解答】解：（1）要使函数有意义，则x﹣2≠0，
解得x≠2，
故答案为：x≠2．
（2）函数图象如图所示：
（3）根据图象可知，函数的图象关于点（2，0）成中心对称，关于直线y＝﹣x+2或直线y＝x﹣2成轴对称，当x＞2时，y随x的增大而减小，当x＜2时，y随x的增大而减小．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
19．在直角坐标系中，设反比例函数与一次函数y2＝k2x+b（k2≠0）的图象都经过点A和点B，点A的坐标为（1，m），点B的坐标为（﹣2，﹣2）．
（1）求m的值和一次函数y2的表达式．
（2）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围．
（3）把函数y2的图象向下平移n（n＞0）个单位后，与函数y1的图象交于点（p1，q1）和（p2，q2），当p1＝﹣1时，求此时n及p2×q2的值．
【分析】（1）由B的坐标求得反比例函数的解析式进而求得m的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数y2的表达式；
（2）根据图象即可求得；
（3）根据反比例函数图象上点的坐标特征，求得q1＝﹣4，由y＝2x+2﹣n过点（﹣1，﹣4），即可求得n＝4，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得p2×q2＝4．
【解答】解：（1）∵反比例函数过点A（1，m），点B（﹣2，﹣2）．
∴k1＝1×m＝﹣2×（﹣2），
∴m＝4，k1＝4，
∴A（1，4），
把A、B的坐标代入y2＝k2x+b（k2≠0）得，
解得，
∴一次函数y2的表达式为y2＝2x+2；
（2）观察图象，当y1＞y2时，x的取值范围x＜﹣2或0＜x＜1；
（3）由（1）可知y1＝，
把点（﹣1，q1）代入得，q1＝﹣4，
∴函数y2的图象向下平移n（n＞0）个单位后，与函数y1的图象交于点（﹣1，﹣4）和（p2，q2），
∵把函数y2的图象向下平移n（n＞0）个单位后得到y＝2x+2﹣n，且过点（﹣1，﹣4），
∴﹣4＝﹣2+2﹣n，
∴n＝4，
∵点（p2，q2）在反比例函数y1＝的图象上，
∴p2×q2＝4．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，求得交点坐标是解题的关键．
20．设函数y1＝，y2＝（k≠0，k≠﹣2）．
（1）若函数y1的图象经过点（2，1），求y1，y2的函数表达式．
（2）若函数y1与y2的图象关于y轴对称，求y1，y2的函数表达式．
（3）当1≤x≤4，函数y1的最大值为m，函数y2的最小值为m﹣4，求m与k的值．
【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征得到＝，即可求得k的值，从而求得y1，y2的函数表达式．
（3）分三种情况讨论，根据题意得到关于m、k的方程组，解方程组即可求得．
【解答】解：（1）∵函数y1的图象经过点（2，1），
∴1＝，
∴k＝2，
∴k+2＝4，
∴y1＝，y2＝；
（2）∵函数y1与y2的图象关于y轴对称，
∴＝，
∴k＝﹣1，
∴y1＝﹣，y2＝．
（3）当k＞0时，函数y1＝，y2＝（k≠0，k≠﹣2）的图象在第一、三象限，
根据题意，当x＝1时，函数y1＝有最大值m，当x＝4时，函数y2＝有最小值m﹣4，
∴，
解得；
当k＜﹣2时，函数y1＝，y2＝（k≠0，k≠﹣2）的图象在第二、四象限，
根据题意，当x＝4时，函数y1＝有最大值m，当x＝1时，函数y2＝有最小值m﹣4，
∴，
解得；
当﹣2＜k＜0时，函数y1＝图象在二、四象限，函数y2＝（k≠0，k≠﹣2）的图象在第一、三象限，
根据题意，当x＝4时，函数y1＝有最大值m，当x＝4时，函数y2＝有最小值m﹣4，
∴，不合题意，
故m与k的值为6、6或﹣2、﹣8．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，关于y轴对称的点的坐标特征，分类讨论是解题的关键．
21．已知反比例函数y1＝的图象经过（3，2），（m，n）两点．
（1）求y1的函数表达式；
（2）当m＜1时，求n的取值范围；
（3）设一次函数y2＝ax﹣3a+2（a＞0），当x＞0时，比较y1与y2的大小．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得y1的函数表达式；
（2）求得m＝1时的函数值，根据反比例函数的性质即可求得n的取值范围；
（3）求出两函数图象的交点坐标，然后根据数形结合的思想即可解答本题．
【解答】解：（1）∵反比例函数y1＝的图象经过（3，2），
∴k＝3×2＝6，
∴y1的函数表达式为y1＝；
（2）把x＝1代入y＝得，y＝6，
∵k＝6＞0，
∴图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵m＜1，
∴n＞6或n＜0；
（3）由y2＝ax﹣3a+2＝a（x﹣3）+2可知，直线经过点（3，2），
∵反比例函数y1＝的图象经过（3，2），
∴当x＞0，两函数图象的交点为（3，2），
∵a＞0，
∴y2随x的增大而增大，
∴当0＜x＜3时，y1＞y2，
当x＝3时，y1＝y2，
当x＞3时，y1＜y2．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，待定系数法法求反比例函数的解析式，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
22．阅读材料：
已知：一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝（x＞0），当两个函数的图象有交点时，求b的取值范围．
（1）方方给出了下列解答：
﹣x+b＝
x2﹣bx+4＝0
∵两个函数有交点，
∴△＝b2﹣16≥0．
但是方方遇到了困难：利用已学的知识无法解b2﹣16≥0这个不等式；
此时，圆圆提供了另一种解题思路；
第1步：先求出两个函数图象只有一个交点时，b＝ 4 ；
第2步：画出只有一个交点时两函数的图象（请帮圆圆在直角坐标系中画出图象）；
第3步：通过平移y＝﹣x+b的图象，观察得出两个函数的图象有交点时b的取值范围是 b≥4 ．
应用：
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC的长为x，AC的长为y，且S△ABC＝12．
（2）求y关于x的函数表达式；
（3）设x+y＝m，求m的取值范围．
【分析】（1）根据材料提供的思路解决问题即可．
（2）利用三角形的面积公式，构建关系式，可得结论．
（3）由m＝x+≥2＝4，可得结论．
【解答】解：（1）当两个函数图象只有一个交点时，b2﹣16＝0，解得b＝4或﹣4（舍弃），
∴b＝4，
函数图象如图1所示：
观察图形可知，当b≥4时，两个函数有交点．
故答案为：4，b≥4；
（2）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC的长为x，AC的长为y，且S△ABC＝12．
∴ x y＝12，
∴y＝（x＞0）．
（3）∵x+y＝m，
∴m＝x+，
∵x＞0，＞0，
∴（﹣）2≥0，
∴x﹣2××+≥0，
∴x+≥2，
∴m≥4．
解法二：m＝x+，得到x2﹣mx+24＝0，
∵Δ≥0，
∴m2﹣96≥0，
∵m＞0，
∴m≥4．
【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
23．在直角坐标系中，设反比例函数y1＝（k1≠0）与正比例函数y2＝k2x（k2≠0）的图象都经过点A和点B，点A的坐标为（1，2）．
（1）求函数y1和函数y2的表达式；
（2）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围；
（3）若当x＝m时，函数y1和y2的值分别为P1和Q1，当x＝n时，函数y1和y2的值分别为P2和Q2．写出一对m和n的值，满足P1＞P2且Q1＜Q2，说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求解，
（2）利用函数图象直接求解．
（3）利用函数图象直接求解．
【解答】（1）将点A（1，2）代入反比例函数，
得，k1＝2，
∴，
将点A（1，2）代入正比例函数y2＝k2x，
得2＝1×k2，k2＝2，
∴y2＝2x．
（2）x＜﹣1或0＜x＜1，
（3）当m＝﹣4，n＝﹣时，P1＝﹣，P2＝﹣4，Q1＝﹣8，Q2＝﹣1，满足P1＞P2且Q1＜Q2．
【点评】本题主要考查待定系数法求解函数表达式，第二三问关键是函数图形比较函数值的大小．
24．反比例函数y＝（k≠0）和一次函数y＝ax+2（a≠0）的图象交于第一象限内两点A（x1，y1），B（x2，y2），且0＜x1＜x2．记s＝x1 y2，t＝x2 y1．
（1）若k＝2，
①计算s t的值．
②当1≤s＜2时，求t的取值范围．
（2）当s：t＝1：4时，求y1和y2的值．
【分析】（1）①由反比例函数y＝（k≠0）中，k＝xy得到x1y1＝x2y2＝k＝2，即可得到s t＝x1 y2 x2 y1＝x1y1 x2y2＝2×2＝4；
②由x1＝，y2＝，s＝x1 y2，得到1≤ ＜2，即可得出1≤＜2，由k＝2，解不等式组即可求得2＜t≤4；
（2）由s：t＝1：4，得出y12＝4y22，即可得出y1＝2y2，从而得出A（x2，2y2），把A（x2，2y2），B（x2，y2）代入y＝ax+2得到关于x2、y2的方程组，解方程组求得y2＝，进而即可求得y1＝．
【解答】解：（1）①∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第一象限内两点A（x1，y1），B（x2，y2），
∴x1y1＝x2y2＝k，
∵k＝2，
∴s t＝x1 y2 x2 y1＝x1y1 x2y2＝2×2＝4；
②∵1≤s＜2，
∴1≤x1 y2＜2，
∴1≤ ＜2，
∴1≤＜2，
∵k＝2，
∴2＜t≤4；
（2）∵s：t＝1：4，
∴＝，
∴4×＝，
∵x1＝，x2＝，
∴y12＝4y22，
∴y1＝2y2，
∴A（x2，2y2），
∵一次函数y＝ax+2（a≠0）的图象经过点A、B，
∴，
解得y2＝，
∴y1＝2y2＝．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式，把反比例函数解析式矩形变形是解本题的关键．
25．已知反比例函数y1＝（k≠0）图象经过一、三象限．
（1）判断点P（﹣k，k）在第几象限；
（2）若点A（a﹣b，3），B（a﹣c，5）是反比例函数y1＝图象上的两点，试比较a，b，c的大小关系；
（3）设反比例函数y2＝﹣，已知n＞0，且满足当n≤x≤n+1时，函数y1的最大值是2n；当n+2≤x≤n+3时，函数y2的最小值是﹣n，求x为何值时，y1﹣y2＝2．
【分析】（1）由反比例函数图象经过一三象限确定k的取值范围，从而判断点P所在象限；
（2）根据反比例函数的增减性及点的坐标特征进行分析判断；
（3）利用反比例函数的增减性确定函数最值时x的值，从而列方程求解．
【解答】解：（1）∵反比例函数y1＝（k≠0）图象经过一、三象限，
∴k＞0，﹣k＜0，
∴点P（﹣k，k）在第二象限；
（2）∵反比例函数y1＝（k≠0）图象经过一、三象限，
∴在每一象限内y1随x的增大而减小，
又∵点A（a﹣b，3），B（a﹣c，5）在反比例函数y1＝（k≠0）上，且点A（a﹣b，3），B（a﹣c，5）位于第一象限，
∴可得，
解得：a＞c＞b，
∴a，b，c的大小关系为：a＞c＞b；
（3）∵反比例函数y1＝（k≠0）图象经过一、三象限．
∴在每一象限内y1随x的增大而减小，
又∵反比例函数y2＝﹣图象位于第二、四象限，
∴在每一象限内y2随x的增大而增大，
又∵n＞0，当n≤x≤n+1时，函数y1的最大值是2n；当n+2≤x≤n+3时，函数y2的最小值是﹣n，
∴当x＝n时，y1＝2n；当x＝n+2时，y2＝﹣n，
∴2n（n+1）＝﹣n（n+2），
解得：n＝0（不合题意，舍去）或n＝2，
∴当x＝n＝2时，y1＝4代入y1＝中，
k＝8，
∴y1＝，y2＝﹣，
若y1﹣y2＝2，
∴﹣（﹣）＝2，
解得：x＝8，
经检验x＝8是原方程的解，
∴当x＝8时，y1﹣y2＝2．
【点评】本题考查反比例函数图象的性质，掌握反比例函数的性质利用数形结合思想解题是关键．
26．已知一次函数y＝3x+m的图象与反比例函数的图象交于点A（1，a），B（﹣2，﹣3）．
（1）求一次函数，反比例函数的表达式．
（2）设点C（t、y1），D（t，y2）分别是一次函数和反比例函数图象上的点，当y1＞y2时，求t的取值范围．
（3）设点E（x1，2），F（x2，2）分别是一次函数和反比例函数图象上的点，点G是反比例函数图象上与点F成中心对称的点，求△GEF的面积．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据图象即可求得；
（3）先求得E、F的坐标，进而求得G的坐标，即可求得EF＝，设△GEF的EF边上的高为h，则h＝2﹣（﹣2）＝4，根据三角形面积公式即可求得△GEF的面积．
【解答】解：（1）把B（﹣2，﹣3）代入y＝3x+m，得，﹣3＝3×（﹣2）+m，，
解得m＝3，n＝6．
所以y＝3x+3，；
（2）因为C（t，y1），D（t，y2）分别是一次函数和反比例函数图象上的点，且y1＞y2，即当x相等时，一次函数的值大于反比例函数的值，
所以﹣2＜t＜0或t＞1．
（3）因为E（x1，2），F（x2，2）分别是一次函数和反比例函数图象上的点，
当y＝2时，2＝3x+3，；，x2＝3；
所以
所以，
因为点G是反比例函数图象上与点F成中心对称的点，
所以G（﹣3，﹣2）．
设△GEF的EF边上的高为h，则h＝2﹣（﹣2）＝4，
所以△GEF的面积为．
【点评】本题是反比例函数与一次函数交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
27．已知平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（m，2），B（﹣1，n）．
（1）求m，n的值；
（2）①求一次函数的表达式；②当，直接写出x的取值范围；
（3）点P是x轴上一点，当△OAP和△OAB的面积相等时，求P点的坐标．
【分析】（1）把点A（m，2），B（﹣1，n）代入反比例函数y＝，即可得到结果；
（2）①由一次函数y＝kx+b的图象过A（2，2），B（﹣1，﹣4），把A，B两点的坐标代入即可得到结论；②根据图象即可求得；
（3）根据三角形的面积公式即可求得．
【解答】解：（1）点A（m，2），B（﹣1，n）在反比例函数y＝的图象上，
∴2m＝﹣n＝4，
∴m＝2，n＝﹣4；
（2）①一次函数y＝kx+b的图象过A（2，2），B（﹣1，﹣4），
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为：y＝2x﹣2；
②当时，x≥2或﹣1≤x＜0；
（3）由直线y＝2x﹣2可知，D（0，﹣2），
∴S△AOB＝+＝3．
设P（m，0），
∵△OAP和△OAB的面积相等，
则S△OAP＝|m| 2＝3，
解得m＝±3，
∴P（﹣3，0）或（3，0）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数的解析式求点的坐标，待定系数法求函数的解析式，三角形面积的求法，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
28．已知点M，P是反比例函数y＝（k＞0）图象上两点，过点M作MN⊥x轴，过点P作PQ⊥x轴，垂足分别为点N，Q．
（1）若点P在第一象限内，PQ＝MN，点M坐标为（1，2），求P的坐标．
（2）若S△MNP＝2，PQ＝MN，求k的值．
（3）设点M（1﹣2n，y1），P（2n+1，y2），且y1＜y2，求n的范围．
【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义，即可求得P的坐标；
（2）分两种情况：当M、P是同一象限的点，根据题意 |n| |2m﹣m|＝2，即可求得k＝mn＝4；当M、P是不同象限的点，根据题意|n| |2m+m|＝2，即可求得k＝mn＝；
（3）分两种情况讨论，得到关于n的不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）∵PQ＝MN，M坐标为（1，2），
∴PQ＝×2＝1，
设P（x，1），
∵点M，P是反比例函数y＝（k＞0）图象上两点，
∴x＝1×2＝2，
∴P（2，1）；
（2）设M（m，n），当M、P是同一象限的点，根据题意P（2m，n），
∵S△MNP＝2，
∴ |n| |2m﹣m|＝2，
∴mn＝4，
∴k＝mn＝4；
当M、P是不同象限的点，根据题意P（﹣2m，﹣n），
∵S△MNP＝2，
∴|n| |2m+m|＝2，
∴mn＝，
∴k＝mn＝，
综上，k的值为4或；
（3）当点M（1﹣2n，y1），P（2n+1，y2）在同一象限，
∵y1＜y2，则0＞1﹣2n＞2n+1或1﹣2n＞2n+1＞0，
∴﹣＜n＜0．
当点M（1﹣2n，y1），P（2n+1，y2）在不同象限，
∵y1＜y2，可知M在第三象限，P在第一象限，则，
∴n＞，
∴n的范围是﹣＜n＜0或n＞．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的解析式变形为k＝xy是解题的关键．
29．已知反比例函数y＝﹣．
（1）若点（﹣t+，﹣2）在此反比例函数图象上，求t的值．
（2）若点（x1，y1）和（x2，y2）是此反比例函数图象上的任意两点，
①当x1＞0，x2＞0，且x1＝x2+2时，求的值；
②当x1＞x2时，试比较y1，y2的大小．
【分析】（1）把点的坐标代入计算即可得出t的值；
（2）①将化成﹣＝﹣+＝，再根据x1＝x2+2代入求值即可，
②分三种情况，结合图形直观得出答案．
【解答】解：（1）把点（﹣t+，﹣2）代入反比例函数y＝﹣得，
（﹣t+）×（﹣2）＝﹣3，
解得，t＝1；
（2）①当x1＞0，x2＞0，且x1＝x2+2时，这两个点在第四象限，
＝﹣＝﹣+＝＝﹣；
②根据函数的图象可知，
Ⅰ）当0＞x1＞x2时，y1＞y2＞0，
Ⅱ）当x1＞0＞x2时，y1＜0＜y2，
Ⅲ）当x1＞x2＞0时，0＞y1＞y2，
【点评】本题考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象和性质是正确判断的前提．
30．如图，在矩形ABCO中，点O为坐标原点，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，OA比OC大2，比AC小2．反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线AC，BO的交点D．
（1）求OA的长和此反比例函数的表达式；
（2）若反比例函数y＝（m＞0，x＞0）的图象经过矩形ABCO边BC的中点；
①求m的值．
②在双曲线y＝（m＞0，x＞0）上任取一点G，过点G作GE⊥x轴于点E，交双曲线y＝（k＞0，x＞0）于F点，过点G作GK⊥y轴于点K，交双曲线y＝（k＞0，x＞0）于H点．求△GHF的面积．
【分析】（1）根据勾股定理求得A、C的坐标，根据矩形的性质即可求得D的坐标；
（2）①求得矩形AB、BC的中点坐标，然后根据待定系数法即可求得；
②表示出F、H的坐标，根据三角形面积公式即可求得．
【解答】解：（1）设OA＝m，则OC＝m﹣2，AC＝m+2，
∵AC2＝OA2+OC2，
∴（m+2）2＝m2+（m﹣2）2，
解得m1＝8，m2＝0（舍去），
∴OA＝8，OC＝6，
∴A（8，0），C（0，6），
∵矩形对角线AC，BO的交点D，
∴D（4，3），
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D，
∴k＝4×3＝12，
∴此反比例函数的表达式为y＝；
（2）①∵OA＝8，OC＝6，
∴B（8，6），
∴BC的中点为（4，6），AB的中点为（8，3），
∵反比例函数y＝（m＞0，x＞0）的图象经过矩形ABCO边BC的中点，
∴m＝4×6＝24；
②如图，设G（a，），则F（a，），H（，），
∴S△GFH＝GH GF＝×（﹣）＝3．
．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，表示出点的坐标是解题的关键．
31．已知一次函数y＝（m﹣1）x+m﹣2与反比例函数y＝（k≠0）．
（1）若一次函数与反比例函数的图象都经过点A（m，﹣1），求m与k的值．
（2）已知点B（x1，y1），C（x2，y2）在该一次函数图象上，设k＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），判断反比例函数y＝的图象所在的象限，说明理由．
【分析】（1）把A（m，﹣1）代入y＝（m﹣1）x+m﹣2，即可求得m的值，然后根据待定系数法求得k的值；
（2）根据题意可以判断m﹣1的正负，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）一次函数的图象都经过点A（m，﹣1），
∴﹣1＝m（m﹣1）+m﹣2且m﹣1≠0，
∴m＝﹣1，
∴A（﹣1，﹣1），
∵反比例函数的图象都经过点A（﹣1，﹣1），
∴k＝1；
（2）∵点B（x1，y1），C（x2，y2）在该一次函数图象上，
∴
①﹣②得y1﹣y2＝（m﹣1）（x1﹣x2），
∵k＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），
∴k＝（m﹣1）（x1﹣x2）2，
∴当m＞1时，k＞0，反比例函数的图象在一三象限；当m＜1时，k＜0，反比例函数的图象在二四象限．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．
32．平面直角坐标系中，反比例函数y1＝（k1为常数，k1≠0）和一次函数y2＝k2（x+2﹣a）+1（k2，a为常数，k2≠0）的图象都经过点A（，a）．
（1）若a＝3，求k1的值．
（2）若点B（a﹣2，1）也在反比例函数的图象上，
①求y1，y2的函数表达式．
②若当≥1，求x的取值范围．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）①根据题意（a﹣2）×1＝a，求得a的值，从而得出A（，6），然后分别代入y1，y2，利用待定系数法即可求得；
②根据图象，结合A、B的坐标以及直线与x轴的交点即可求得．
【解答】解：（1）若a＝3，则A（，3），
∵反比例函数y1＝（k1为常数，k1≠0）和一次函数y2＝k2（x+2﹣a）+1（k2，a为常数，k2≠0）的图象都经过点A（，3）．
∴k1＝×3＝2；
（2））①∵反比例函数y1＝（k1为常数，k1≠0）的图象经过点A（，a）．点B（a﹣2，1）也在反比例函数y的图象上，
∴a＝（a﹣2）×1，
解得a＝6，
∴A（，6），
∴6＝，6＝k2（+2﹣6）+1，
解得k1＝4，k2＝﹣，
∴y1，y2的函数表达式分别为y1＝，y＝﹣x+7；
②在y2＝﹣x+7中，令y＝0，则x＝；
∵A（，6），B（4，1），
∴若≥1，则x的取值范围是0＜x≤或4≤x＜．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，点的坐标符合解析式．
33．已知一次函数y1＝3x﹣3的图象与反比例函数的图象交于点A（a，3），B（﹣1，b）．
（1）求a，b的值和反比例函数的表达式．
（2）设点P（h，y1），Q（h，y2）分别是一次函数与反比例函数图象上的点．
①试直接写出当y1＞y2时h的取值范围；
②若y2﹣y1＝3，试求h的值．
【分析】（1）把A（a，3），B（﹣1，b）分别代入一次函数y1＝3x﹣3中，即可求得a、b的值，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）①根据交点坐标，结合图象即可求得；
②根据题意y1＝3h﹣3，y2＝，所以﹣（3h﹣3）＝3，解关于h的方程即可求得．
【解答】解：（1）∵一次函数y1＝3x﹣3的图象与反比例函数的图象交于点A（a，3），B（﹣1，b），
∴3＝3a﹣3，b＝﹣3﹣3，
∴a＝2，b＝﹣6，
∴A（2，3），B（﹣1，﹣6），
把A（2，3）代入反比例函数，则3＝，
∴m＝6，
∴反比例函数的表达式是y2＝；
（2）①点P（h，y1），Q（h，y2）分别是两函数图象上的点．当y1＞y2时h的取值范围是h＞2或﹣1＜h＜0；
②点P（h，y1），Q（h，y2）分别是两函数图象上的点，
∴y1＝3h﹣3，y2＝，
∵y2﹣y1＝3，
∴﹣（3h﹣3）＝3，
整理得3h2＝6，
∴h＝，
经检验，h＝±是方程﹣（3h﹣3）＝3的解，
∴h＝．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，数形结合是解题的关键．
34．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝x﹣2交于点A（3，m）．
（1）求k、m的值；
（2）已知点P（n，n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝x﹣2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y＝（x＞0）的图象于点N．
①当n＝1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；
②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）将A点代入y＝x﹣2中即可求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数中即可求出k的值．
（2）①当n＝1时，分别求出M、N两点的坐标即可求出PM与PN的关系；
②由题意可知：P的坐标为（n，n），由于PN≥PM，从而可知PN≥2，根据图象可求出n的范围．
【解答】解：（1）将A（3，m）代入y＝x﹣2，
∴m＝3﹣2＝1，
∴A（3，1），
将A（3，1）代入y＝，
∴k＝3×1＝3，
（2）①PM＝PN，证明如下：
当n＝1时，P（1，1），
令y＝1，代入y＝x﹣2，
x﹣2＝1，
∴x＝3，
∴M（3，1），
∴PM＝2，
令x＝1代入y＝，
∴y＝3，
∴N（1，3），
∴PN＝2
∴PM＝PN，
②P（n，n），n＞0
点P在直线y＝x上，
∴M（n+2，n），
∴PM＝2，
∵PN≥PM，
即PN≥2，
∵PN＝|﹣n|，
||≥2
∴0＜n≤1或n≥3
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出反比例函数与一次函数的解析式，本题属于基础题型．
35．已知正比例函数y1＝kx与反比例函数y2＝﹣（k≠0）．
（1）证明：直线与双曲线没有交点；
（2）若将直线y1＝kx向上平移4个单位后与双曲线恰好有且只有一个交点，求反比例函数的表达式和平移后的直线表达式；
（3）将（2）小题平移后的直线代表的函数记为y3，根据图象直接写出：对于负实数k，当x取何值时y2＞y3．
【分析】（1）联立方程，去掉y得到x的一元二次方程，若方程有解，则直线与双曲线有交点，否则为交点；
（2）联立方程，去掉y得到x的一元二次方程，根据Δ＝0，即可求得k的值，从而求得反比例函数的表达式和平移后的直线表达式；
（3）求得交点坐标，然后根据图象即可求得．
【解答】解：（1）联立方程组
去掉y整理后得kx2+k＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝﹣4k k＝﹣4k2＜0，
∴方程组无解，
∴直线与双曲线没有交点；
（2）直线向上平移4个单位后为y＝kx+4，
由整理后得kx2+4x+k＝0，
∵直线与双曲线恰好有且只有一个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4k k＝0，
解得k＝±2，
综上所述：当k＝2时，反比例函数的表达式和平移后的直线表达式分别为y＝﹣，y＝2x+4；
当k＝﹣2时，反比例函数的表达式和平移后的直线表达式分别为y＝和y＝﹣2x+4；
（3）解﹣2x2+4x﹣2＝0得，x1＝x2＝1，
把x＝1代入y＝﹣2x+4得y＝2，
∴平移后的直线与反比例函数的图形的交点为（1，2），
如图
由图可知，当0＜x＜1或x＞1时y2＞y3．
【点评】本题主要考查对一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数，会观察图象是解此题的关键．
36．已知反比例函数y1＝（k≠0）的图象过点（﹣2，3）．
（1）求出y1的函数表达式并画出图象．
（2）根据函数y1图象回答问题．
①当x＞﹣2时，求y1的取值范围；
②当y1＜2时，求x的取值范围．
（3）存在一条直线y2＝mx+2m+3（m＜0），请在第二象限内比较y1和y2的大小．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；利用描点法画出图象即可；
（2）①根据图象即可求得；②根据图象即可求得；
（3）易求得直线经过点（﹣2，3），则直线与反比例函数的交点为（﹣2，3），根据直线y2＝mx+2m+3（m＜0）的增减性即可比较y1和y2的大小．
【解答】解：（1）∵反比例函数y1＝（k≠0）的图象过点（﹣2，3），
∴3＝，解得k＝﹣6，
∴y1的函数表达式为y1＝﹣；
画出函数的图象如图：
（2）①当x＞﹣2时，y1的取值范围是y＞3或y＜0；
当y1＜2时，求x的取值范围是x＜﹣3或x＞0．
（3）∵y2＝mx+2m+3＝m（x+2）+3，
∴直线y2一定经过（﹣2，3）这个点，
∵反比例函数y1＝（k≠0）的图象过点（﹣2，3），
∴直线y2与反比例函数y1＝（k≠0）在第二象限的交点为（﹣2，3），
∵m＜0，
∴直线y2是减函数，
∴当x＞﹣2时，y1＞y2；
当x＜﹣2时，y1＜y2．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象以及反比例函数和一次函数的性质，（3）求得直线和反比例函数的交点是解题的关键．
37．在平面直角坐标系中：设函数y1＝﹣x+m，y2＝（m，n是常数，n≠0）．若函数y1＝﹣x+m的图象过点（n，﹣2），且n+m＝6．（1）求m，n的值．
（2）将函数y1＝﹣x+m的图象向上平移h（h＞0）个单位，平移后的函数图象与函数y2＝的图象交于直线y＝4上的同一点，求h的值．
（3）已知点M（a，b）（a，b为常数）在函数y1＝﹣x+m的图象上，点M（a，b）关于y轴的对称点为N，函数y3＝kx+m（k≠0）的图象经过点N，当y2＜时，求x的取值范围．
【分析】（1）根据题意列方程组即可得到结论；
（2）根据平移的性质得到平移后的函数的解析式为y＝﹣x+2+h，得到交点的坐标为（1，4），把（1，4）代入y＝﹣x+2+h即可得到结论；
（3）由点M（a，b）（a，b为常数）在函数y1＝﹣x+m的图象上，得到M（a，2﹣a），求得点M（a，b）关于y轴的对称点N（﹣a，2﹣a），于是得到y3＝x+2，解不等式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵函数y1＝﹣x+m的图象过点（n，﹣2），
∴﹣2＝m﹣n，
∵n+m＝6，
∴m＝2，n＝4；
（2）由（1）知，m＝2，n＝4，
∴y1＝﹣x+2，y2＝，
∵将函数y1＝﹣x+m的图象向上平移h（h＞0）个单位，
∴平移后的函数的解析式为y＝﹣x+2+h，
∵平移后的函数图象与函数y2＝的图象交于直线y＝4上的同一点，
∴交点的坐标为（1，4），
把（1，4）代入y＝﹣x+2+h得，h＝3；
（3）∵点M（a，b）（a，b为常数）在函数y1＝﹣x+m的图象上，
∴M（a，2﹣a），
∴点M（a，b）关于y轴的对称点N（﹣a，2﹣a），
∵函数y3＝kx+m（k≠0）的图象经过点N，
∴y3＝x+2，
∵y2＜，
∴＜＝2，
当x＞0时，解得x＞2，
当x＜0时，解得：x＜0，
综上所述，x的取值范围为：x＞2或x＜0．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确的理解如图是解题的关键．
38．已知一次函数y＝kx+n（k≠0）与反比例函数y＝的图象交于点A（a，2），B（1，3）
（1）求这两个函数的表达式；
（2）直接写出关于x的不等式kx+n≤的解；
（3）若点P（2﹣h，y1）在一次函数y＝kx+n的图象上，若点Q（2﹣h，y2）在反比例函数y＝的图象上，h＜，请比较y1与y2的大小．
【分析】（1）先把B点坐标代入y＝求出m得到反比例函数解析式，再通过反比例函数解析式确定A点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）大致画出两函数图象，利用函数图象，写出反比例函数在一次函数上方（含交点）所对应的自变量的范围得到不等式kx+n≤的解集；
（3）利用h＜得到2﹣h＞，然后利用函数图象得到y1与y2的大小．
【解答】解：（1）把B（1，3）代入y＝得m＝1×3＝3，
∴反比例函数解析式为y＝，
把A（a，2）代入y＝得2a＝3，解得a＝，则A（，2），
把A（，2），B（1，3）代入y＝kx+n得，解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣2x+5；
（2）不等式kx+n≤的解集为0＜x≤1或x≥；
（3）∵h＜，
∴2﹣h＞，
∴y2＞y1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
39．设函数y1＝，y2＝﹣（k＞0）．
（1）当2≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，求a和k的值．
（2）设m≠0，且m≠﹣1，当x＝m时，y1＝p；当x＝m+1时，y1＝q．圆圆说：“p一定大于q”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？
【分析】（1）由反比例函数的性质可得，①；﹣＝a﹣4，②；可求a的值和k的值；
（2）设m＝m0，且﹣1＜m0＜0，将x＝m0，x＝m0+1，代入解析式，可求p和q，即可判断．
【解答】解：（1）∵k＞0，2≤x≤3，
∴y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大，
∴当x＝2时，y1最大值为，①；
当x＝2时，y2最小值为﹣＝a﹣4，②；
由①，②得：a＝2，k＝4；
（2）圆圆的说法不正确，
理由如下：设m＝m0，且﹣1＜m0＜0，
则m0＜0，m0+1＞0，
∴当x＝m0时，p＝y1＝，
当x＝m0+1时，q＝y1＝＞0，
∴p＜0＜q，
∴圆圆的说法不正确．
方法二、当x＝m时，p＝y1＝，当x＝m+1时，q＝y1＝，
∴p﹣q＝﹣＝，
∴当m＜﹣1时，则p﹣q＝＞0，
∴p＞q，
当﹣1＜m＜0时，则p﹣q＝＜0，
∴p＜q，
当m＞0时，则p﹣q＝＞0，
∴p＞q，
∴圆圆的说法不正确．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是本题的关键
一．选择题（共6小题）
1．已知函数y1＝（k为常数，且k＞0，x＞0），函数y2的图象和函数y1的图象关于直线y＝1对称．
①函数y2的图象上的点的纵坐标都小于2．
②若当m≤x≤2（m为大于0的实数）时，y1的最大值为a，则在此取值范围内，y2的最小值必为2﹣a．
则下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①②都错误
2．设反比例函数，当x＝p，q，r（p＜q＜r）时，对应的函数值分别为P，Q，R，若pqr＜0，则必有（ ）
A．Q＞R B．R＞P C．P＞Q D．P＞R
3．已知点A（x1，y1）在反比例函数y1＝的图象上，点B（x2，y2）在一次函数y2＝kx﹣k的图象上，当k＞0时，下列判断中正确的是（ ）
A．当x1＝x2＞2时，y1＞y2 B．当x1＝x2＜2时，y1＞y2
C．当y1＝y2＞k时，x1＜x2 D．当y1＝y2＜k时，x1＞x2
4．若点P（n﹣3，y1）与点Q（n+1，y2）在同一反比例函数图象上，且y1＜y2，则（ ）
A．若P，Q不在同一象限内，则n＞﹣1
B．若P，Q不在同一象限内，则n＜3
C．若P，Q在同一象限内，则﹣1＜n＜3
D．若P，Q在同一象限内，则n＞3或n＜﹣1
5．已知点（x1，y1）和点（x2，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，若x1＜x2，则（ ）
A．（x1+x2）（y1+y2）＜0 B．（x1+x2）（y1+y2）＞0
C．x1x2（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0 D．x1x2（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0
6．如图，已知函数y1＝（x＞0），y2＝（x＜0），点A在y轴的正半轴上，过点A作BC∥x轴，交两个函数的图象于点B和C．下列说法中：
①若A的纵坐标为2，则C的横坐标为﹣1
②若2AC＝AB，则k＝
③若AC＝AB，则y1，y2的图象关于y轴对称
④当x＜﹣2时，则y2的取值范围为y2＜1
结论正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．①③ D．①③④
二．填空题（共7小题）
7．正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则代数式x1y2+x2y1的值是 ．
8．反比例函数y＝，当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，则k＝ ．
9．在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′（，）称为点P的“倒影点”，直线y＝x+1上有两点A，B，它们的倒影点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上，若AB＝2，则k＝ ．
10．如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，点C是第二象限内一点，连接CB交x轴于点D（﹣3，0），且CD＝1，点E是AC中点，若E到坐标原点的距离为2，则k的值为 ．
11．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P（1，t）在反比例函数y＝的图象上，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP＝OP．若反比例函数y＝的图象经过点Q，则k＝ ．
12．若反比例函数y＝，当x≥a或x≤﹣a时，函数值y范围内的整数有k个；当x≥a+1或x≤﹣a﹣1时，函数值y范围内的整数有k﹣2个，则正整数a＝ ．
13．一次函数y1＝k1x（k1≠0）与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象的一个交点是M（﹣3，2），若y2＜y1＜5，则x的取值范围是 ．
三．解答题（共26小题）
14．如图，已知一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）和反比例函数y2＝（k2≠0）的图象相交于点A（3，2），B（﹣1，m）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）在y轴上取一点M，当△MAB的面积为6时，求点M的坐标．
（3）将直线y1向上平移8个单位后得到直线y3，当y3＞y2＞y1时，求x的取值范围．
15．已知正比例函数y1＝k1x（k1≠0）的图象与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象交于A，B两点，其中点A的横坐标为2．
（1）求证：4k1＝k2．
（2）求点B的横坐标．
（3）当k2＞0时，对于实数m，当x＝m时，y1＜y2；当x＝m+1时，y1＞y2，直接写出m的取值范围．
16．已知函数y1＝ax+1﹣k，y2＝，其中a，k都为常数，且ak≠0．y2的图象经过点（1，2）．
（1）若y1的图象也经过点（1，2）．
①求这两个函数的解析式．
②当y1＞y2时，求x的取值范围．
（2）直线x＝m分别交函数y1和y2的图象于点A（xA，yA），B（xB，yB），且点B到x轴的距离为2，若yA﹣yB＝2，求a的值．
17．已知点A（2，a），B（b，﹣2）都在反比例函数y＝（k≠0）的图象上．
（1）当a＝3时．
①求反比例函数表达式，并求出B点的坐标；
②当y＞6时，求x的取值范围；
（2）若一次函数y＝kx+b与x轴交于点（a，0），求k的值．
18．对于函数，小明根据学习一次函数和反比例函数的经验，研究了它的图象和性质．下面是小明的分析和研究过程，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是 ．
x … ﹣1 0 1 3 4 5 …
y … ﹣2 ﹣3 ﹣6 6 3 2 …
（2）根据列表计算的部分对应值，在平面直角坐标系中用描点法画出该函数的图象．
（3）从中心对称和轴对称的角度分析图象特征，并说说这个函数的增减性．
19．在直角坐标系中，设反比例函数与一次函数y2＝k2x+b（k2≠0）的图象都经过点A和点B，点A的坐标为（1，m），点B的坐标为（﹣2，﹣2）．
（1）求m的值和一次函数y2的表达式．
（2）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围．
（3）把函数y2的图象向下平移n（n＞0）个单位后，与函数y1的图象交于点（p1，q1）和（p2，q2），当p1＝﹣1时，求此时n及p2×q2的值．
20．设函数y1＝，y2＝（k≠0，k≠﹣2）．
（1）若函数y1的图象经过点（2，1），求y1，y2的函数表达式．
（2）若函数y1与y2的图象关于y轴对称，求y1，y2的函数表达式．
（3）当1≤x≤4，函数y1的最大值为m，函数y2的最小值为m﹣4，求m与k的值．
21．已知反比例函数y1＝的图象经过（3，2），（m，n）两点．
（1）求y1的函数表达式；
（2）当m＜1时，求n的取值范围；
（3）设一次函数y2＝ax﹣3a+2（a＞0），当x＞0时，比较y1与y2的大小．
22．阅读材料：
已知：一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝（x＞0），当两个函数的图象有交点时，求b的取值范围．
（1）方方给出了下列解答：
﹣x+b＝
x2﹣bx+4＝0
∵两个函数有交点，
∴△＝b2﹣16≥0．
但是方方遇到了困难：利用已学的知识无法解b2﹣16≥0这个不等式；
此时，圆圆提供了另一种解题思路；
第1步：先求出两个函数图象只有一个交点时，b＝ ；
第2步：画出只有一个交点时两函数的图象（请帮圆圆在直角坐标系中画出图象）；
第3步：通过平移y＝﹣x+b的图象，观察得出两个函数的图象有交点时b的取值范围是 ．
应用：
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC的长为x，AC的长为y，且S△ABC＝12．
（2）求y关于x的函数表达式；
（3）设x+y＝m，求m的取值范围．
23．在直角坐标系中，设反比例函数y1＝（k1≠0）与正比例函数y2＝k2x（k2≠0）的图象都经过点A和点B，点A的坐标为（1，2）．
（1）求函数y1和函数y2的表达式；
（2）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围；
（3）若当x＝m时，函数y1和y2的值分别为P1和Q1，当x＝n时，函数y1和y2的值分别为P2和Q2．写出一对m和n的值，满足P1＞P2且Q1＜Q2，说明理由．
24．反比例函数y＝（k≠0）和一次函数y＝ax+2（a≠0）的图象交于第一象限内两点A（x1，y1），B（x2，y2），且0＜x1＜x2．记s＝x1 y2，t＝x2 y1．
（1）若k＝2，
①计算s t的值．
②当1≤s＜2时，求t的取值范围．
（2）当s：t＝1：4时，求y1和y2的值．
25．已知反比例函数y1＝（k≠0）图象经过一、三象限．
（1）判断点P（﹣k，k）在第几象限；
（2）若点A（a﹣b，3），B（a﹣c，5）是反比例函数y1＝图象上的两点，试比较a，b，c的大小关系；
（3）设反比例函数y2＝﹣，已知n＞0，且满足当n≤x≤n+1时，函数y1的最大值是2n；当n+2≤x≤n+3时，函数y2的最小值是﹣n，求x为何值时，y1﹣y2＝2．
26．已知一次函数y＝3x+m的图象与反比例函数的图象交于点A（1，a），B（﹣2，﹣3）．
（1）求一次函数，反比例函数的表达式．
（2）设点C（t、y1），D（t，y2）分别是一次函数和反比例函数图象上的点，当y1＞y2时，求t的取值范围．
（3）设点E（x1，2），F（x2，2）分别是一次函数和反比例函数图象上的点，点G是反比例函数图象上与点F成中心对称的点，求△GEF的面积．
27．已知平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（m，2），B（﹣1，n）．
（1）求m，n的值；
（2）①求一次函数的表达式；②当，直接写出x的取值范围；
（3）点P是x轴上一点，当△OAP和△OAB的面积相等时，求P点的坐标．
28．已知点M，P是反比例函数y＝（k＞0）图象上两点，过点M作MN⊥x轴，过点P作PQ⊥x轴，垂足分别为点N，Q．
（1）若点P在第一象限内，PQ＝MN，点M坐标为（1，2），求P的坐标．
（2）若S△MNP＝2，PQ＝MN，求k的值．
（3）设点M（1﹣2n，y1），P（2n+1，y2），且y1＜y2，求n的范围．
29．已知反比例函数y＝﹣．
（1）若点（﹣t+，﹣2）在此反比例函数图象上，求t的值．
（2）若点（x1，y1）和（x2，y2）是此反比例函数图象上的任意两点，
①当x1＞0，x2＞0，且x1＝x2+2时，求的值；
②当x1＞x2时，试比较y1，y2的大小．
30．如图，在矩形ABCO中，点O为坐标原点，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，OA比OC大2，比AC小2．反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线AC，BO的交点D．
（1）求OA的长和此反比例函数的表达式；
（2）若反比例函数y＝（m＞0，x＞0）的图象经过矩形ABCO边BC的中点；
①求m的值．
②在双曲线y＝（m＞0，x＞0）上任取一点G，过点G作GE⊥x轴于点E，交双曲线y＝（k＞0，x＞0）于F点，过点G作GK⊥y轴于点K，交双曲线y＝（k＞0，x＞0）于H点．求△GHF的面积．
31．已知一次函数y＝（m﹣1）x+m﹣2与反比例函数y＝（k≠0）．
（1）若一次函数与反比例函数的图象都经过点A（m，﹣1），求m与k的值．
（2）已知点B（x1，y1），C（x2，y2）在该一次函数图象上，设k＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），判断反比例函数y＝的图象所在的象限，说明理由．
32．平面直角坐标系中，反比例函数y1＝（k1为常数，k1≠0）和一次函数y2＝k2（x+2﹣a）+1（k2，a为常数，k2≠0）的图象都经过点A（，a）．
（1）若a＝3，求k1的值．
（2）若点B（a﹣2，1）也在反比例函数的图象上，
①求y1，y2的函数表达式．
②若当≥1，求x的取值范围．
33．已知一次函数y1＝3x﹣3的图象与反比例函数的图象交于点A（a，3），B（﹣1，b）．
（1）求a，b的值和反比例函数的表达式．
（2）设点P（h，y1），Q（h，y2）分别是一次函数与反比例函数图象上的点．
①试直接写出当y1＞y2时h的取值范围；
②若y2﹣y1＝3，试求h的值．
34．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝x﹣2交于点A（3，m）．
（1）求k、m的值；
（2）已知点P（n，n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝x﹣2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y＝（x＞0）的图象于点N．
①当n＝1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；
②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
35．已知正比例函数y1＝kx与反比例函数y2＝﹣（k≠0）．
（1）证明：直线与双曲线没有交点；
（2）若将直线y1＝kx向上平移4个单位后与双曲线恰好有且只有一个交点，求反比例函数的表达式和平移后的直线表达式；
（3）将（2）小题平移后的直线代表的函数记为y3，根据图象直接写出：对于负实数k，当x取何值时y2＞y3．
36．已知反比例函数y1＝（k≠0）的图象过点（﹣2，3）．
（1）求出y1的函数表达式并画出图象．
（2）根据函数y1图象回答问题．
①当x＞﹣2时，求y1的取值范围；
②当y1＜2时，求x的取值范围．
（3）存在一条直线y2＝mx+2m+3（m＜0），请在第二象限内比较y1和y2的大小．
37．在平面直角坐标系中：设函数y1＝﹣x+m，y2＝（m，n是常数，n≠0）．若函数y1＝﹣x+m的图象过点（n，﹣2），且n+m＝6．（1）求m，n的值．
（2）将函数y1＝﹣x+m的图象向上平移h（h＞0）个单位，平移后的函数图象与函数y2＝的图象交于直线y＝4上的同一点，求h的值．
（3）已知点M（a，b）（a，b为常数）在函数y1＝﹣x+m的图象上，点M（a，b）关于y轴的对称点为N，函数y3＝kx+m（k≠0）的图象经过点N，当y2＜时，求x的取值范围．
38．已知一次函数y＝kx+n（k≠0）与反比例函数y＝的图象交于点A（a，2），B（1，3）
（1）求这两个函数的表达式；
（2）直接写出关于x的不等式kx+n≤的解；
（3）若点P（2﹣h，y1）在一次函数y＝kx+n的图象上，若点Q（2﹣h，y2）在反比例函数y＝的图象上，h＜，请比较y1与y2的大小．
39．设函数y1＝，y2＝﹣（k＞0）．
（1）当2≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，求a和k的值．
（2）设m≠0，且m≠﹣1，当x＝m时，y1＝p；当x＝m+1时，y1＝q．圆圆说：“p一定大于q”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？
带字母系数的反比例函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．已知函数y1＝（k为常数，且k＞0，x＞0），函数y2的图象和函数y1的图象关于直线y＝1对称．
①函数y2的图象上的点的纵坐标都小于2．
②若当m≤x≤2（m为大于0的实数）时，y1的最大值为a，则在此取值范围内，y2的最小值必为2﹣a．
则下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①②都错误
【分析】根据反比例函数的性质以及轴对称的性质判断即可．
【解答】解：∵函数y1＝（k为常数，且k＞0，x＞0），
∴函数y1＝图象在第一象限，如图，
∴函数y的最小值大于0，
∵函数y2的图象和函数y1的图象关于直线y＝1对称，
∴y2的最大值小于2，
∴函数y2的图象上的点的纵坐标都小于2．故①正确；
当m≤x≤2（m为大于0的实数）时，y1的最大值为a，则其对应点为（m，a），
那么，点（m，a）关于直线y＝1的对称点为（m，2﹣a），
∴在此取值范围内，y2的最小值必为2﹣a，故②正确，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，坐标与图形变化﹣对称，数形结合是解题的关键．
2．设反比例函数，当x＝p，q，r（p＜q＜r）时，对应的函数值分别为P，Q，R，若pqr＜0，则必有（ ）
A．Q＞R B．R＞P C．P＞Q D．P＞R
【分析】根据反比例函数的性质判断即可．
【解答】解：∵a2＞0，
∴反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，
由题意可知，p＜0，0＜q＜r或p＜q＜r＜0，
∴P＜0＜R＜Q或0＞P＞Q＞R，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
3．已知点A（x1，y1）在反比例函数y1＝的图象上，点B（x2，y2）在一次函数y2＝kx﹣k的图象上，当k＞0时，下列判断中正确的是（ ）
A．当x1＝x2＞2时，y1＞y2 B．当x1＝x2＜2时，y1＞y2
C．当y1＝y2＞k时，x1＜x2 D．当y1＝y2＜k时，x1＞x2
【分析】联立方程，求出交点坐标，再根据图象，判断选项的正误．
【解答】联立方程得：，
化简得：x2﹣x﹣2＝0．
解得x1＝2，x2＝﹣1，
交点坐标（2，k），（﹣1，﹣2k），
如图所示，
A．当x1＝x2＞2时，y1＜y2，排除A，
B．当x1＝x2＜2时，不能确定y1，y2大小，排除B，
C．当y1＝y2＞k时，x1＜x2，正确，
D．当y1＝y2＜k时，x1，x2大小不确定，排除D
故选：C．
【点评】本题主要考查一次函数与反比例函数的点坐标比较，解题关键数形结合思想．
4．若点P（n﹣3，y1）与点Q（n+1，y2）在同一反比例函数图象上，且y1＜y2，则（ ）
A．若P，Q不在同一象限内，则n＞﹣1
B．若P，Q不在同一象限内，则n＜3
C．若P，Q在同一象限内，则﹣1＜n＜3
D．若P，Q在同一象限内，则n＞3或n＜﹣1
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征结合反比例函数图象逐一分析四个选项的正误，由此即可得出结论．
【解答】解：若点P（n﹣3，y1）与点Q（n+1，y2）在同一象限，且y1＜y2，
则y随x的增大而增大，故反比例函数图象在二四象限，
∴或，
∴n＜﹣1或＞3；
若点P（n﹣3，y1）与点Q（n+1，y2）不在同一象限，且y1＜y2，反比例函数图象在一、三象限，
则，
∴﹣1＜n＜3；
∴D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象，熟悉反比例函数的图象是解题的关键．
5．已知点（x1，y1）和点（x2，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，若x1＜x2，则（ ）
A．（x1+x2）（y1+y2）＜0 B．（x1+x2）（y1+y2）＞0
C．x1x2（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0 D．x1x2（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0
【分析】点（x1，y1）和点（x2，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，且x1＜x2，但不知道这两个点所在的象限，因此分三种情况讨论得出答案，（1）两点同在第二象限，（2）两点同在第四象限，（3）点（x1，y1）在第二象限而点（x2，y2）在第四象限．
【解答】解：∵k＜0
∴双曲线位于二四象限，
∵点（x1，y1）和点（x2，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，且x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0
（1）点（x1，y1）和点（x2，y2）都在第二象限，由反比例函数的性质可得：
x1+x2＜0，y1+y2＞0，y1﹣y2＜0；
（2）点（x1，y1）和点（x2，y2）都在第四象限，由反比例函数的性质可得：
x1+x2＞0，y1+y2＜0，y1﹣y2＜0；
（3）点（x1，y1）在第二象限而点（x2，y2）在第四象限，由反比例函数的性质可得：
x1 x2＜0，y1﹣y2＞0；
因此：x1x2（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0是正确的．
故选：D．
【点评】此题是反比例函数图象上点的坐标特征，分类讨论是数学常用思想方法，将所有可能的情况逐个进行解答从而确定最终的结果，注意分类不遗漏、不重复．
6．如图，已知函数y1＝（x＞0），y2＝（x＜0），点A在y轴的正半轴上，过点A作BC∥x轴，交两个函数的图象于点B和C．下列说法中：
①若A的纵坐标为2，则C的横坐标为﹣1
②若2AC＝AB，则k＝
③若AC＝AB，则y1，y2的图象关于y轴对称
④当x＜﹣2时，则y2的取值范围为y2＜1
结论正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．①③ D．①③④
【分析】①将y＝2代入y2＝求解．
②由2AC＝AB得xC＝﹣xB，再由xB yB＝﹣2求解．
③若AC＝AB，则k＝2，2与﹣2互为相反数，y1，y2的图象关于y轴对称．
④将x＝﹣2代入y2＝求出y值，再由函数增减性求解．
【解答】解：①将y＝2代入y2＝得x＝﹣1，故①正确．
②∵xB yB＝﹣2，xC＝﹣xB，yC＝yB，
∴xC yC＝﹣xB yB＝1，故②错误．
③若AC＝AB，则k＝2，
∴y1，y2的图象关于y轴对称，
故③正确．
④当x＝﹣2时，y2＝1，
∵y2＝（x＜0）随x增大而增大，
∴x＜﹣2时0＜y2＜1，
故④错误．
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数的性质，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质，掌握求反比例函数中k的方法．
二．填空题（共7小题）
7．正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则代数式x1y2+x2y1的值是 ﹣2 ．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标图象以及正比例函数的性质可得答案．
【解答】解：∵A（x1，y1）、B（x2，y2）在反比例函数y＝的图象上，
∴x1y1＝x2y2＝1，
∵正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，
∴x1y2+x2y1
＝﹣x1y1﹣x2y2
＝﹣1﹣1
＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握正比例函数、反比例函数的图象和性质是正确解答的前提．
8．反比例函数y＝，当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，则k＝ ±6 ．
【分析】分k＞0和k＜0进行讨论，再根据反比例函数的增减性，利用函数值的差列出方程解答．
【解答】解：当k＞0时，在其每一象限内，反比例函数y随x的增大而减小．
∵当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，
∴，解得k＝6，
当k＜0时，在其每一象限内，反比例函数y随x的增大而增大．
∵当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，
∴，解得k＝﹣6，
综上所述，k＝±6．
故答案为：±6．
【点评】本题考查了反比例函数的增减性，反比例函数的增减性要在其图象的每一象限内解答，解题关键要对于k的值要分情况讨论．
9．在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′（，）称为点P的“倒影点”，直线y＝x+1上有两点A，B，它们的倒影点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上，若AB＝2，则k＝ ．
【分析】设点A（a，a+1），B（b，b+1）（a＜b），则A′（，），B′（，），由AB＝2可得出b＝a+2，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出 ＝ ＝k，解之即可得出k值．
【解答】解：设点A（a，a+1），B（b，b+1）（a＜b），则A′（，），B′（，），
∵AB＝＝＝（b﹣a）＝2，
∴b﹣a＝2，即b＝a+2．
∵点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上，
∴ ＝ ＝k，
解得：a＝﹣，b＝，
∴k＝ ＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及两点间的距离公式，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出关于a、b的方程是解题的关键．
10．如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，点C是第二象限内一点，连接CB交x轴于点D（﹣3，0），且CD＝1，点E是AC中点，若E到坐标原点的距离为2，则k的值为 ．
【分析】根据一次函数和反比例函数的对称性求得OA＝OB，根据三角形中位线定理求得BC＝2ED＝4，即可求得BD＝3，作BM⊥x轴于M，设B（x，2x），则OM＝﹣x，BM＝﹣2x，在Rt△BMD中，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程即可求得B的坐标，代入y＝（k＞0）求得k的值．
【解答】解：∵一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，
∴OA＝OB，
∵点E是AC中点，E到坐标原点的距离为2，
∴OE∥BC，BC＝2OE＝4，
∵CD＝1，
∴BD＝3，
∵点D（﹣3，0），
∴OD＝3，
作BM⊥x轴于M，
设B（x，2x），则OM＝﹣x，BM＝﹣2x，
在Rt△BMD中，BD2＝BM2+DM2
∴32＝（﹣2x）2+（x+3）2
解得x1＝﹣，x2＝0（舍去），
∴B（﹣，﹣），
∵反比例函数y＝（k＞0）的图象经过B点，
∴k＝﹣×（﹣）＝，
故答案为．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，三角形中位线定理，勾股定理的应用，求得B的坐标是解题的关键．
11．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P（1，t）在反比例函数y＝的图象上，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP＝OP．若反比例函数y＝的图象经过点Q，则k＝ 2+2或2﹣2 ．
【分析】把P点代入y＝求得P的坐标，进而求得OP的长，即可求得Q的坐标，从而求得k的值．
【解答】解：∵点P（1，t）在反比例函数y＝的图象上，
∴t＝＝2，
∴P（1，2），
∴OP＝＝，
∵过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP＝OP．
∴Q（1+，2）或（1﹣，2）
∵反比例函数y＝的图象经过点Q，
∴2＝或2＝，解得k＝2+2或2﹣2
故答案为2+2或2﹣2．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，求得Q点的坐标是解题的关键．
12．若反比例函数y＝，当x≥a或x≤﹣a时，函数值y范围内的整数有k个；当x≥a+1或x≤﹣a﹣1时，函数值y范围内的整数有k﹣2个，则正整数a＝ 2或4 ．
【分析】根据y＝的性质，以及y为整数，得到y的取值范围，然后得到正整数a只能去1、2、3、4，分别代入进行判断，即可得到答案．
【解答】解：根据题意，反比例函数y＝中，
当x≥a或x≤﹣a时，则﹣≤y≤，且y≠0，
同理，x≥a+1或x≤﹣a﹣1时，则﹣≤y≤，且y≠0，
∴正整数a只能为1、2、3、4，
∴当a＝1时，
∵﹣≤y≤，
∴﹣4≤y≤4，且y≠0，则k＝8；
∵﹣≤y≤，
∴﹣2≤y≤2，且y≠0，则k＝4；
∴a＝1不合题意；
同理可求，
当a＝2时，符合题意；
当a＝3时，不合题意；
当a＝4时，符合题意；
综上，正整数a为2或4，
故答案为2或4．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，分类讨论是解题的关键．
13．一次函数y1＝k1x（k1≠0）与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象的一个交点是M（﹣3，2），若y2＜y1＜5，则x的取值范围是 ﹣＜x＜﹣3或0＜x＜3 ．
【分析】如图，一次函数y1＝k1x（k1≠0）与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象相交于点M、N，则N（3，﹣2），利用待定系数法求出一次函数解析式为y1＝﹣x，则可计算出当y＝5时，x＝﹣，然后结合函数图象，写出y2＜y1＜5对应的x的取值范围．
【解答】解：如图，一次函数y1＝k1x（k1≠0）与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象相交于点M、N，
∴M、N点关于原点对称，
∴N（3，﹣2），
把M（﹣3，2）代入y1＝k1x得﹣3k1＝2，解得k1＝﹣，
∴一次函数解析式为y1＝﹣x，
当y＝5时，﹣x＝5，解得x＝﹣，
∴若y2＜y1＜5，则x的取值范围是﹣＜x＜﹣3或0＜x＜3．
故答案为﹣＜x＜﹣3或0＜x＜3．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解；两交点坐标满足两函数解析式．
三．解答题（共26小题）
14．如图，已知一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）和反比例函数y2＝（k2≠0）的图象相交于点A（3，2），B（﹣1，m）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）在y轴上取一点M，当△MAB的面积为6时，求点M的坐标．
（3）将直线y1向上平移8个单位后得到直线y3，当y3＞y2＞y1时，求x的取值范围．
【分析】（1）将A（3，2）代入y2的解析式中，求出反比例函数解析式，从而得出点B坐标，再将点A、B坐标都代入一次函数，解方程即可；
（2）设直线AB与y轴的交点为C，则S△MAB＝S△MBC+S△MAC＝6，求出MC的长，从而得出点M的坐标；
（3）根据平移的性质得出y3的解析式，再与反比例函数解析式联立，求出交点，利用数形结合思想可得答案．
【解答】解：（1）将A（3，2）代入y2＝得，k2＝3×2＝6，
∴y2＝，
当x＝﹣1时，m＝﹣6，
∴B（﹣1，﹣6），
将A（3，2），B（﹣1，﹣6）代入y1＝k1x+b得，
，
∴，
∴一次函数y1＝2x﹣4；
（2）设直线AB与y轴的交点为C，
则S△MAB＝S△MBC+S△MAC＝6，
∴MC×1+MC×3＝6，
∴MC＝3，
∵C（0，﹣4），
∴M（0，﹣1）或（0，﹣7）；
（3）∵将直线y1向上平移8个单位后得到直线y3，
∴y3＝2x+4，
当2x+4＝时，x1＝1，x2＝﹣3，
∴当y3＞y2＞y1时，1＜x＜3或﹣3＜x＜﹣1．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数交点问题，函数与不等式的关系，利用数形结合思想是解题的关键．
15．已知正比例函数y1＝k1x（k1≠0）的图象与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象交于A，B两点，其中点A的横坐标为2．
（1）求证：4k1＝k2．
（2）求点B的横坐标．
（3）当k2＞0时，对于实数m，当x＝m时，y1＜y2；当x＝m+1时，y1＞y2，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）把交点A的横坐标分别代入正比例函数、反比例函数的解析式得到2k1＝，变形得到4k1＝k2．
（2）根据正比例函数、反比例函数的中心对称性即可求得；
（3）根据正比例函数、反比例函数的性质借助图象即可得到关于m的不等式组，解不等式组即可求得．
【解答】（1）证明：正比例函数y1＝k1x（k1≠0）的图象与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，
∴y1＝2k1，y2＝，
∵y1＝y2，
∴2k1＝，
∴4k1＝k2．
（2）解：∵正比例函数y1＝k1x（k1≠0）的图象与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，
∴点B的横坐标为﹣2；
（3）解：∵点A的横坐标为2，点B的横坐标为﹣2，
∴当k2＞0时，对于实数m，当x＝m时，y1＜y2；当x＝m+1时，y1＞y2，m的取值范围是或，
解得﹣3＜m＜﹣2或1＜m＜2．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性，数形结合是解题的关键．
16．已知函数y1＝ax+1﹣k，y2＝，其中a，k都为常数，且ak≠0．y2的图象经过点（1，2）．
（1）若y1的图象也经过点（1，2）．
①求这两个函数的解析式．
②当y1＞y2时，求x的取值范围．
（2）直线x＝m分别交函数y1和y2的图象于点A（xA，yA），B（xB，yB），且点B到x轴的距离为2，若yA﹣yB＝2，求a的值．
【分析】（1）①利用待定系数法即可求得；②求得交点坐标，然后根据图象即可求得；
（2）根据点B到x轴的距离为2，即可得到B（1，2）或（﹣1，﹣2），由yA﹣yB＝2得出A（1，4）或（﹣1，0），代入y1＝ax+1﹣k即可求得a的值．
【解答】解：（1）∵y2的图象经过点（1，2），
∴把点坐标代入y2解析式得2＝，k＝2，
∵y1的图象也经过点（1，2），
∴把点坐标和k＝2代入y1解析式得2＝a+1﹣2，a＝3，
①两个函数的解析式分别为：
y1＝3x﹣1；y2＝；
②y1＞y2，
y1＝3x﹣1；y2＝；联立方程组，
，
解得和，
由此可知函数y1、y2有两个交点，分别是（1，2）（﹣，﹣3）
两函数图象如下图
由函数图象可知，在第一象限y1＞y2时，x＞1；在第三象限y1＞y2时，﹣＜x＜0；
（2）∵直线x＝m分别交函数y1和y2的图象于点A（xA，yA），B（xB，yB），且点B到x轴的距离为2，
∴B（1，2）或（﹣1，﹣2），
∵yA﹣yB＝2，
∴yA＝4或0，
∴A（1，4）或（﹣1，0），
把（1，4）代入y1＝ax+1﹣k得，4＝a+1﹣k，解得a＝5；
把（﹣1，0）代入y1＝ax+1﹣k得，0＝﹣a+1﹣k，解得a＝﹣1；
故a的值为5或﹣1．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数到解析式，函数与不等式的关系，函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
17．已知点A（2，a），B（b，﹣2）都在反比例函数y＝（k≠0）的图象上．
（1）当a＝3时．
①求反比例函数表达式，并求出B点的坐标；
②当y＞6时，求x的取值范围；
（2）若一次函数y＝kx+b与x轴交于点（a，0），求k的值．
【分析】（1）把已知条件代入点的坐标，再把已知点的坐标数据代入函数解析式，确定函数解析式，再求点中未知的坐标．根据函数图象以及已知条件列不等式求x的取值范围．
（2）把已知数据代入点和直线解析式，确定k的值即可．
【解答】解：（1）①a＝3时，点A（2，a）就是（2，3），
代入解析式得3＝，
解得k＝6，
反比例函数解析式为y＝，
把点B（b，﹣2）代入解析式得﹣2＝，
解得b＝﹣3，
点B（﹣3，﹣2）；
②当y＞6时，由反比例函数图象可知是在第一象限部分，
∴＞6，
∴0＜x＜1；
（2）点A、B在反比例函数上，
代入整理得，﹣a＝b，
∵一次函数y＝kx+b与x轴交于点（a，0），
代入：0＝ak+b，
即：0＝ak﹣a，
∵A（2，a）在反比例函数上，
∴a≠0，
所以0＝k﹣1，
k＝1．
【点评】考查反比例函数的性质、图象以及函数解析式，关键要熟练掌握运用待定系数法求函数解析式，把点中已知坐标数据代入解析式求未知坐标．
18．对于函数，小明根据学习一次函数和反比例函数的经验，研究了它的图象和性质．下面是小明的分析和研究过程，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是 x≠2 ．
x … ﹣1 0 1 3 4 5 …
y … ﹣2 ﹣3 ﹣6 6 3 2 …
（2）根据列表计算的部分对应值，在平面直角坐标系中用描点法画出该函数的图象．
（3）从中心对称和轴对称的角度分析图象特征，并说说这个函数的增减性．
【分析】（1）由分式的分母不为0即可求解；
（2）描点连线，即可画出函数图象；
（4）根据函数图象即可得到．
【解答】解：（1）要使函数有意义，则x﹣2≠0，
解得x≠2，
故答案为：x≠2．
（2）函数图象如图所示：
（3）根据图象可知，函数的图象关于点（2，0）成中心对称，关于直线y＝﹣x+2或直线y＝x﹣2成轴对称，当x＞2时，y随x的增大而减小，当x＜2时，y随x的增大而减小．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
19．在直角坐标系中，设反比例函数与一次函数y2＝k2x+b（k2≠0）的图象都经过点A和点B，点A的坐标为（1，m），点B的坐标为（﹣2，﹣2）．
（1）求m的值和一次函数y2的表达式．
（2）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围．
（3）把函数y2的图象向下平移n（n＞0）个单位后，与函数y1的图象交于点（p1，q1）和（p2，q2），当p1＝﹣1时，求此时n及p2×q2的值．
【分析】（1）由B的坐标求得反比例函数的解析式进而求得m的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数y2的表达式；
（2）根据图象即可求得；
（3）根据反比例函数图象上点的坐标特征，求得q1＝﹣4，由y＝2x+2﹣n过点（﹣1，﹣4），即可求得n＝4，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得p2×q2＝4．
【解答】解：（1）∵反比例函数过点A（1，m），点B（﹣2，﹣2）．
∴k1＝1×m＝﹣2×（﹣2），
∴m＝4，k1＝4，
∴A（1，4），
把A、B的坐标代入y2＝k2x+b（k2≠0）得，
解得，
∴一次函数y2的表达式为y2＝2x+2；
（2）观察图象，当y1＞y2时，x的取值范围x＜﹣2或0＜x＜1；
（3）由（1）可知y1＝，
把点（﹣1，q1）代入得，q1＝﹣4，
∴函数y2的图象向下平移n（n＞0）个单位后，与函数y1的图象交于点（﹣1，﹣4）和（p2，q2），
∵把函数y2的图象向下平移n（n＞0）个单位后得到y＝2x+2﹣n，且过点（﹣1，﹣4），
∴﹣4＝﹣2+2﹣n，
∴n＝4，
∵点（p2，q2）在反比例函数y1＝的图象上，
∴p2×q2＝4．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，求得交点坐标是解题的关键．
20．设函数y1＝，y2＝（k≠0，k≠﹣2）．
（1）若函数y1的图象经过点（2，1），求y1，y2的函数表达式．
（2）若函数y1与y2的图象关于y轴对称，求y1，y2的函数表达式．
（3）当1≤x≤4，函数y1的最大值为m，函数y2的最小值为m﹣4，求m与k的值．
【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征得到＝，即可求得k的值，从而求得y1，y2的函数表达式．
（3）分三种情况讨论，根据题意得到关于m、k的方程组，解方程组即可求得．
【解答】解：（1）∵函数y1的图象经过点（2，1），
∴1＝，
∴k＝2，
∴k+2＝4，
∴y1＝，y2＝；
（2）∵函数y1与y2的图象关于y轴对称，
∴＝，
∴k＝﹣1，
∴y1＝﹣，y2＝．
（3）当k＞0时，函数y1＝，y2＝（k≠0，k≠﹣2）的图象在第一、三象限，
根据题意，当x＝1时，函数y1＝有最大值m，当x＝4时，函数y2＝有最小值m﹣4，
∴，
解得；
当k＜﹣2时，函数y1＝，y2＝（k≠0，k≠﹣2）的图象在第二、四象限，
根据题意，当x＝4时，函数y1＝有最大值m，当x＝1时，函数y2＝有最小值m﹣4，
∴，
解得；
当﹣2＜k＜0时，函数y1＝图象在二、四象限，函数y2＝（k≠0，k≠﹣2）的图象在第一、三象限，
根据题意，当x＝4时，函数y1＝有最大值m，当x＝4时，函数y2＝有最小值m﹣4，
∴，不合题意，
故m与k的值为6、6或﹣2、﹣8．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，关于y轴对称的点的坐标特征，分类讨论是解题的关键．
21．已知反比例函数y1＝的图象经过（3，2），（m，n）两点．
（1）求y1的函数表达式；
（2）当m＜1时，求n的取值范围；
（3）设一次函数y2＝ax﹣3a+2（a＞0），当x＞0时，比较y1与y2的大小．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得y1的函数表达式；
（2）求得m＝1时的函数值，根据反比例函数的性质即可求得n的取值范围；
（3）求出两函数图象的交点坐标，然后根据数形结合的思想即可解答本题．
【解答】解：（1）∵反比例函数y1＝的图象经过（3，2），
∴k＝3×2＝6，
∴y1的函数表达式为y1＝；
（2）把x＝1代入y＝得，y＝6，
∵k＝6＞0，
∴图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵m＜1，
∴n＞6或n＜0；
（3）由y2＝ax﹣3a+2＝a（x﹣3）+2可知，直线经过点（3，2），
∵反比例函数y1＝的图象经过（3，2），
∴当x＞0，两函数图象的交点为（3，2），
∵a＞0，
∴y2随x的增大而增大，
∴当0＜x＜3时，y1＞y2，
当x＝3时，y1＝y2，
当x＞3时，y1＜y2．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，待定系数法法求反比例函数的解析式，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
22．阅读材料：
已知：一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝（x＞0），当两个函数的图象有交点时，求b的取值范围．
（1）方方给出了下列解答：
﹣x+b＝
x2﹣bx+4＝0
∵两个函数有交点，
∴△＝b2﹣16≥0．
但是方方遇到了困难：利用已学的知识无法解b2﹣16≥0这个不等式；
此时，圆圆提供了另一种解题思路；
第1步：先求出两个函数图象只有一个交点时，b＝ 4 ；
第2步：画出只有一个交点时两函数的图象（请帮圆圆在直角坐标系中画出图象）；
第3步：通过平移y＝﹣x+b的图象，观察得出两个函数的图象有交点时b的取值范围是 b≥4 ．
应用：
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC的长为x，AC的长为y，且S△ABC＝12．
（2）求y关于x的函数表达式；
（3）设x+y＝m，求m的取值范围．
【分析】（1）根据材料提供的思路解决问题即可．
（2）利用三角形的面积公式，构建关系式，可得结论．
（3）由m＝x+≥2＝4，可得结论．
【解答】解：（1）当两个函数图象只有一个交点时，b2﹣16＝0，解得b＝4或﹣4（舍弃），
∴b＝4，
函数图象如图1所示：
观察图形可知，当b≥4时，两个函数有交点．
故答案为：4，b≥4；
（2）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC的长为x，AC的长为y，且S△ABC＝12．
∴ x y＝12，
∴y＝（x＞0）．
（3）∵x+y＝m，
∴m＝x+，
∵x＞0，＞0，
∴（﹣）2≥0，
∴x﹣2××+≥0，
∴x+≥2，
∴m≥4．
解法二：m＝x+，得到x2﹣mx+24＝0，
∵Δ≥0，
∴m2﹣96≥0，
∵m＞0，
∴m≥4．
【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
23．在直角坐标系中，设反比例函数y1＝（k1≠0）与正比例函数y2＝k2x（k2≠0）的图象都经过点A和点B，点A的坐标为（1，2）．
（1）求函数y1和函数y2的表达式；
（2）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围；
（3）若当x＝m时，函数y1和y2的值分别为P1和Q1，当x＝n时，函数y1和y2的值分别为P2和Q2．写出一对m和n的值，满足P1＞P2且Q1＜Q2，说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求解，
（2）利用函数图象直接求解．
（3）利用函数图象直接求解．
【解答】（1）将点A（1，2）代入反比例函数，
得，k1＝2，
∴，
将点A（1，2）代入正比例函数y2＝k2x，
得2＝1×k2，k2＝2，
∴y2＝2x．
（2）x＜﹣1或0＜x＜1，
（3）当m＝﹣4，n＝﹣时，P1＝﹣，P2＝﹣4，Q1＝﹣8，Q2＝﹣1，满足P1＞P2且Q1＜Q2．
【点评】本题主要考查待定系数法求解函数表达式，第二三问关键是函数图形比较函数值的大小．
24．反比例函数y＝（k≠0）和一次函数y＝ax+2（a≠0）的图象交于第一象限内两点A（x1，y1），B（x2，y2），且0＜x1＜x2．记s＝x1 y2，t＝x2 y1．
（1）若k＝2，
①计算s t的值．
②当1≤s＜2时，求t的取值范围．
（2）当s：t＝1：4时，求y1和y2的值．
【分析】（1）①由反比例函数y＝（k≠0）中，k＝xy得到x1y1＝x2y2＝k＝2，即可得到s t＝x1 y2 x2 y1＝x1y1 x2y2＝2×2＝4；
②由x1＝，y2＝，s＝x1 y2，得到1≤ ＜2，即可得出1≤＜2，由k＝2，解不等式组即可求得2＜t≤4；
（2）由s：t＝1：4，得出y12＝4y22，即可得出y1＝2y2，从而得出A（x2，2y2），把A（x2，2y2），B（x2，y2）代入y＝ax+2得到关于x2、y2的方程组，解方程组求得y2＝，进而即可求得y1＝．
【解答】解：（1）①∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第一象限内两点A（x1，y1），B（x2，y2），
∴x1y1＝x2y2＝k，
∵k＝2，
∴s t＝x1 y2 x2 y1＝x1y1 x2y2＝2×2＝4；
②∵1≤s＜2，
∴1≤x1 y2＜2，
∴1≤ ＜2，
∴1≤＜2，
∵k＝2，
∴2＜t≤4；
（2）∵s：t＝1：4，
∴＝，
∴4×＝，
∵x1＝，x2＝，
∴y12＝4y22，
∴y1＝2y2，
∴A（x2，2y2），
∵一次函数y＝ax+2（a≠0）的图象经过点A、B，
∴，
解得y2＝，
∴y1＝2y2＝．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式，把反比例函数解析式矩形变形是解本题的关键．
25．已知反比例函数y1＝（k≠0）图象经过一、三象限．
（1）判断点P（﹣k，k）在第几象限；
（2）若点A（a﹣b，3），B（a﹣c，5）是反比例函数y1＝图象上的两点，试比较a，b，c的大小关系；
（3）设反比例函数y2＝﹣，已知n＞0，且满足当n≤x≤n+1时，函数y1的最大值是2n；当n+2≤x≤n+3时，函数y2的最小值是﹣n，求x为何值时，y1﹣y2＝2．
【分析】（1）由反比例函数图象经过一三象限确定k的取值范围，从而判断点P所在象限；
（2）根据反比例函数的增减性及点的坐标特征进行分析判断；
（3）利用反比例函数的增减性确定函数最值时x的值，从而列方程求解．
【解答】解：（1）∵反比例函数y1＝（k≠0）图象经过一、三象限，
∴k＞0，﹣k＜0，
∴点P（﹣k，k）在第二象限；
（2）∵反比例函数y1＝（k≠0）图象经过一、三象限，
∴在每一象限内y1随x的增大而减小，
又∵点A（a﹣b，3），B（a﹣c，5）在反比例函数y1＝（k≠0）上，且点A（a﹣b，3），B（a﹣c，5）位于第一象限，
∴可得，
解得：a＞c＞b，
∴a，b，c的大小关系为：a＞c＞b；
（3）∵反比例函数y1＝（k≠0）图象经过一、三象限．
∴在每一象限内y1随x的增大而减小，
又∵反比例函数y2＝﹣图象位于第二、四象限，
∴在每一象限内y2随x的增大而增大，
又∵n＞0，当n≤x≤n+1时，函数y1的最大值是2n；当n+2≤x≤n+3时，函数y2的最小值是﹣n，
∴当x＝n时，y1＝2n；当x＝n+2时，y2＝﹣n，
∴2n（n+1）＝﹣n（n+2），
解得：n＝0（不合题意，舍去）或n＝2，
∴当x＝n＝2时，y1＝4代入y1＝中，
k＝8，
∴y1＝，y2＝﹣，
若y1﹣y2＝2，
∴﹣（﹣）＝2，
解得：x＝8，
经检验x＝8是原方程的解，
∴当x＝8时，y1﹣y2＝2．
【点评】本题考查反比例函数图象的性质，掌握反比例函数的性质利用数形结合思想解题是关键．
26．已知一次函数y＝3x+m的图象与反比例函数的图象交于点A（1，a），B（﹣2，﹣3）．
（1）求一次函数，反比例函数的表达式．
（2）设点C（t、y1），D（t，y2）分别是一次函数和反比例函数图象上的点，当y1＞y2时，求t的取值范围．
（3）设点E（x1，2），F（x2，2）分别是一次函数和反比例函数图象上的点，点G是反比例函数图象上与点F成中心对称的点，求△GEF的面积．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据图象即可求得；
（3）先求得E、F的坐标，进而求得G的坐标，即可求得EF＝，设△GEF的EF边上的高为h，则h＝2﹣（﹣2）＝4，根据三角形面积公式即可求得△GEF的面积．
【解答】解：（1）把B（﹣2，﹣3）代入y＝3x+m，得，﹣3＝3×（﹣2）+m，，
解得m＝3，n＝6．
所以y＝3x+3，；
（2）因为C（t，y1），D（t，y2）分别是一次函数和反比例函数图象上的点，且y1＞y2，即当x相等时，一次函数的值大于反比例函数的值，
所以﹣2＜t＜0或t＞1．
（3）因为E（x1，2），F（x2，2）分别是一次函数和反比例函数图象上的点，
当y＝2时，2＝3x+3，；，x2＝3；
所以
所以，
因为点G是反比例函数图象上与点F成中心对称的点，
所以G（﹣3，﹣2）．
设△GEF的EF边上的高为h，则h＝2﹣（﹣2）＝4，
所以△GEF的面积为．
【点评】本题是反比例函数与一次函数交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
27．已知平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（m，2），B（﹣1，n）．
（1）求m，n的值；
（2）①求一次函数的表达式；②当，直接写出x的取值范围；
（3）点P是x轴上一点，当△OAP和△OAB的面积相等时，求P点的坐标．
【分析】（1）把点A（m，2），B（﹣1，n）代入反比例函数y＝，即可得到结果；
（2）①由一次函数y＝kx+b的图象过A（2，2），B（﹣1，﹣4），把A，B两点的坐标代入即可得到结论；②根据图象即可求得；
（3）根据三角形的面积公式即可求得．
【解答】解：（1）点A（m，2），B（﹣1，n）在反比例函数y＝的图象上，
∴2m＝﹣n＝4，
∴m＝2，n＝﹣4；
（2）①一次函数y＝kx+b的图象过A（2，2），B（﹣1，﹣4），
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为：y＝2x﹣2；
②当时，x≥2或﹣1≤x＜0；
（3）由直线y＝2x﹣2可知，D（0，﹣2），
∴S△AOB＝+＝3．
设P（m，0），
∵△OAP和△OAB的面积相等，
则S△OAP＝|m| 2＝3，
解得m＝±3，
∴P（﹣3，0）或（3，0）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数的解析式求点的坐标，待定系数法求函数的解析式，三角形面积的求法，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
28．已知点M，P是反比例函数y＝（k＞0）图象上两点，过点M作MN⊥x轴，过点P作PQ⊥x轴，垂足分别为点N，Q．
（1）若点P在第一象限内，PQ＝MN，点M坐标为（1，2），求P的坐标．
（2）若S△MNP＝2，PQ＝MN，求k的值．
（3）设点M（1﹣2n，y1），P（2n+1，y2），且y1＜y2，求n的范围．
【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义，即可求得P的坐标；
（2）分两种情况：当M、P是同一象限的点，根据题意 |n| |2m﹣m|＝2，即可求得k＝mn＝4；当M、P是不同象限的点，根据题意|n| |2m+m|＝2，即可求得k＝mn＝；
（3）分两种情况讨论，得到关于n的不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）∵PQ＝MN，M坐标为（1，2），
∴PQ＝×2＝1，
设P（x，1），
∵点M，P是反比例函数y＝（k＞0）图象上两点，
∴x＝1×2＝2，
∴P（2，1）；
（2）设M（m，n），当M、P是同一象限的点，根据题意P（2m，n），
∵S△MNP＝2，
∴ |n| |2m﹣m|＝2，
∴mn＝4，
∴k＝mn＝4；
当M、P是不同象限的点，根据题意P（﹣2m，﹣n），
∵S△MNP＝2，
∴|n| |2m+m|＝2，
∴mn＝，
∴k＝mn＝，
综上，k的值为4或；
（3）当点M（1﹣2n，y1），P（2n+1，y2）在同一象限，
∵y1＜y2，则0＞1﹣2n＞2n+1或1﹣2n＞2n+1＞0，
∴﹣＜n＜0．
当点M（1﹣2n，y1），P（2n+1，y2）在不同象限，
∵y1＜y2，可知M在第三象限，P在第一象限，则，
∴n＞，
∴n的范围是﹣＜n＜0或n＞．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的解析式变形为k＝xy是解题的关键．
29．已知反比例函数y＝﹣．
（1）若点（﹣t+，﹣2）在此反比例函数图象上，求t的值．
（2）若点（x1，y1）和（x2，y2）是此反比例函数图象上的任意两点，
①当x1＞0，x2＞0，且x1＝x2+2时，求的值；
②当x1＞x2时，试比较y1，y2的大小．
【分析】（1）把点的坐标代入计算即可得出t的值；
（2）①将化成﹣＝﹣+＝，再根据x1＝x2+2代入求值即可，
②分三种情况，结合图形直观得出答案．
【解答】解：（1）把点（﹣t+，﹣2）代入反比例函数y＝﹣得，
（﹣t+）×（﹣2）＝﹣3，
解得，t＝1；
（2）①当x1＞0，x2＞0，且x1＝x2+2时，这两个点在第四象限，
＝﹣＝﹣+＝＝﹣；
②根据函数的图象可知，
Ⅰ）当0＞x1＞x2时，y1＞y2＞0，
Ⅱ）当x1＞0＞x2时，y1＜0＜y2，
Ⅲ）当x1＞x2＞0时，0＞y1＞y2，
【点评】本题考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象和性质是正确判断的前提．
30．如图，在矩形ABCO中，点O为坐标原点，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，OA比OC大2，比AC小2．反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线AC，BO的交点D．
（1）求OA的长和此反比例函数的表达式；
（2）若反比例函数y＝（m＞0，x＞0）的图象经过矩形ABCO边BC的中点；
①求m的值．
②在双曲线y＝（m＞0，x＞0）上任取一点G，过点G作GE⊥x轴于点E，交双曲线y＝（k＞0，x＞0）于F点，过点G作GK⊥y轴于点K，交双曲线y＝（k＞0，x＞0）于H点．求△GHF的面积．
【分析】（1）根据勾股定理求得A、C的坐标，根据矩形的性质即可求得D的坐标；
（2）①求得矩形AB、BC的中点坐标，然后根据待定系数法即可求得；
②表示出F、H的坐标，根据三角形面积公式即可求得．
【解答】解：（1）设OA＝m，则OC＝m﹣2，AC＝m+2，
∵AC2＝OA2+OC2，
∴（m+2）2＝m2+（m﹣2）2，
解得m1＝8，m2＝0（舍去），
∴OA＝8，OC＝6，
∴A（8，0），C（0，6），
∵矩形对角线AC，BO的交点D，
∴D（4，3），
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D，
∴k＝4×3＝12，
∴此反比例函数的表达式为y＝；
（2）①∵OA＝8，OC＝6，
∴B（8，6），
∴BC的中点为（4，6），AB的中点为（8，3），
∵反比例函数y＝（m＞0，x＞0）的图象经过矩形ABCO边BC的中点，
∴m＝4×6＝24；
②如图，设G（a，），则F（a，），H（，），
∴S△GFH＝GH GF＝×（﹣）＝3．
．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，表示出点的坐标是解题的关键．
31．已知一次函数y＝（m﹣1）x+m﹣2与反比例函数y＝（k≠0）．
（1）若一次函数与反比例函数的图象都经过点A（m，﹣1），求m与k的值．
（2）已知点B（x1，y1），C（x2，y2）在该一次函数图象上，设k＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），判断反比例函数y＝的图象所在的象限，说明理由．
【分析】（1）把A（m，﹣1）代入y＝（m﹣1）x+m﹣2，即可求得m的值，然后根据待定系数法求得k的值；
（2）根据题意可以判断m﹣1的正负，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）一次函数的图象都经过点A（m，﹣1），
∴﹣1＝m（m﹣1）+m﹣2且m﹣1≠0，
∴m＝﹣1，
∴A（﹣1，﹣1），
∵反比例函数的图象都经过点A（﹣1，﹣1），
∴k＝1；
（2）∵点B（x1，y1），C（x2，y2）在该一次函数图象上，
∴
①﹣②得y1﹣y2＝（m﹣1）（x1﹣x2），
∵k＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），
∴k＝（m﹣1）（x1﹣x2）2，
∴当m＞1时，k＞0，反比例函数的图象在一三象限；当m＜1时，k＜0，反比例函数的图象在二四象限．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．
32．平面直角坐标系中，反比例函数y1＝（k1为常数，k1≠0）和一次函数y2＝k2（x+2﹣a）+1（k2，a为常数，k2≠0）的图象都经过点A（，a）．
（1）若a＝3，求k1的值．
（2）若点B（a﹣2，1）也在反比例函数的图象上，
①求y1，y2的函数表达式．
②若当≥1，求x的取值范围．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）①根据题意（a﹣2）×1＝a，求得a的值，从而得出A（，6），然后分别代入y1，y2，利用待定系数法即可求得；
②根据图象，结合A、B的坐标以及直线与x轴的交点即可求得．
【解答】解：（1）若a＝3，则A（，3），
∵反比例函数y1＝（k1为常数，k1≠0）和一次函数y2＝k2（x+2﹣a）+1（k2，a为常数，k2≠0）的图象都经过点A（，3）．
∴k1＝×3＝2；
（2））①∵反比例函数y1＝（k1为常数，k1≠0）的图象经过点A（，a）．点B（a﹣2，1）也在反比例函数y的图象上，
∴a＝（a﹣2）×1，
解得a＝6，
∴A（，6），
∴6＝，6＝k2（+2﹣6）+1，
解得k1＝4，k2＝﹣，
∴y1，y2的函数表达式分别为y1＝，y＝﹣x+7；
②在y2＝﹣x+7中，令y＝0，则x＝；
∵A（，6），B（4，1），
∴若≥1，则x的取值范围是0＜x≤或4≤x＜．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，点的坐标符合解析式．
33．已知一次函数y1＝3x﹣3的图象与反比例函数的图象交于点A（a，3），B（﹣1，b）．
（1）求a，b的值和反比例函数的表达式．
（2）设点P（h，y1），Q（h，y2）分别是一次函数与反比例函数图象上的点．
①试直接写出当y1＞y2时h的取值范围；
②若y2﹣y1＝3，试求h的值．
【分析】（1）把A（a，3），B（﹣1，b）分别代入一次函数y1＝3x﹣3中，即可求得a、b的值，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）①根据交点坐标，结合图象即可求得；
②根据题意y1＝3h﹣3，y2＝，所以﹣（3h﹣3）＝3，解关于h的方程即可求得．
【解答】解：（1）∵一次函数y1＝3x﹣3的图象与反比例函数的图象交于点A（a，3），B（﹣1，b），
∴3＝3a﹣3，b＝﹣3﹣3，
∴a＝2，b＝﹣6，
∴A（2，3），B（﹣1，﹣6），
把A（2，3）代入反比例函数，则3＝，
∴m＝6，
∴反比例函数的表达式是y2＝；
（2）①点P（h，y1），Q（h，y2）分别是两函数图象上的点．当y1＞y2时h的取值范围是h＞2或﹣1＜h＜0；
②点P（h，y1），Q（h，y2）分别是两函数图象上的点，
∴y1＝3h﹣3，y2＝，
∵y2﹣y1＝3，
∴﹣（3h﹣3）＝3，
整理得3h2＝6，
∴h＝，
经检验，h＝±是方程﹣（3h﹣3）＝3的解，
∴h＝．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，数形结合是解题的关键．
34．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝x﹣2交于点A（3，m）．
（1）求k、m的值；
（2）已知点P（n，n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝x﹣2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y＝（x＞0）的图象于点N．
①当n＝1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；
②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）将A点代入y＝x﹣2中即可求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数中即可求出k的值．
（2）①当n＝1时，分别求出M、N两点的坐标即可求出PM与PN的关系；
②由题意可知：P的坐标为（n，n），由于PN≥PM，从而可知PN≥2，根据图象可求出n的范围．
【解答】解：（1）将A（3，m）代入y＝x﹣2，
∴m＝3﹣2＝1，
∴A（3，1），
将A（3，1）代入y＝，
∴k＝3×1＝3，
（2）①PM＝PN，证明如下：
当n＝1时，P（1，1），
令y＝1，代入y＝x﹣2，
x﹣2＝1，
∴x＝3，
∴M（3，1），
∴PM＝2，
令x＝1代入y＝，
∴y＝3，
∴N（1，3），
∴PN＝2
∴PM＝PN，
②P（n，n），n＞0
点P在直线y＝x上，
∴M（n+2，n），
∴PM＝2，
∵PN≥PM，
即PN≥2，
∵PN＝|﹣n|，
||≥2
∴0＜n≤1或n≥3
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出反比例函数与一次函数的解析式，本题属于基础题型．
35．已知正比例函数y1＝kx与反比例函数y2＝﹣（k≠0）．
（1）证明：直线与双曲线没有交点；
（2）若将直线y1＝kx向上平移4个单位后与双曲线恰好有且只有一个交点，求反比例函数的表达式和平移后的直线表达式；
（3）将（2）小题平移后的直线代表的函数记为y3，根据图象直接写出：对于负实数k，当x取何值时y2＞y3．
【分析】（1）联立方程，去掉y得到x的一元二次方程，若方程有解，则直线与双曲线有交点，否则为交点；
（2）联立方程，去掉y得到x的一元二次方程，根据Δ＝0，即可求得k的值，从而求得反比例函数的表达式和平移后的直线表达式；
（3）求得交点坐标，然后根据图象即可求得．
【解答】解：（1）联立方程组
去掉y整理后得kx2+k＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝﹣4k k＝﹣4k2＜0，
∴方程组无解，
∴直线与双曲线没有交点；
（2）直线向上平移4个单位后为y＝kx+4，
由整理后得kx2+4x+k＝0，
∵直线与双曲线恰好有且只有一个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4k k＝0，
解得k＝±2，
综上所述：当k＝2时，反比例函数的表达式和平移后的直线表达式分别为y＝﹣，y＝2x+4；
当k＝﹣2时，反比例函数的表达式和平移后的直线表达式分别为y＝和y＝﹣2x+4；
（3）解﹣2x2+4x﹣2＝0得，x1＝x2＝1，
把x＝1代入y＝﹣2x+4得y＝2，
∴平移后的直线与反比例函数的图形的交点为（1，2），
如图
由图可知，当0＜x＜1或x＞1时y2＞y3．
【点评】本题主要考查对一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数，会观察图象是解此题的关键．
36．已知反比例函数y1＝（k≠0）的图象过点（﹣2，3）．
（1）求出y1的函数表达式并画出图象．
（2）根据函数y1图象回答问题．
①当x＞﹣2时，求y1的取值范围；
②当y1＜2时，求x的取值范围．
（3）存在一条直线y2＝mx+2m+3（m＜0），请在第二象限内比较y1和y2的大小．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；利用描点法画出图象即可；
（2）①根据图象即可求得；②根据图象即可求得；
（3）易求得直线经过点（﹣2，3），则直线与反比例函数的交点为（﹣2，3），根据直线y2＝mx+2m+3（m＜0）的增减性即可比较y1和y2的大小．
【解答】解：（1）∵反比例函数y1＝（k≠0）的图象过点（﹣2，3），
∴3＝，解得k＝﹣6，
∴y1的函数表达式为y1＝﹣；
画出函数的图象如图：
（2）①当x＞﹣2时，y1的取值范围是y＞3或y＜0；
当y1＜2时，求x的取值范围是x＜﹣3或x＞0．
（3）∵y2＝mx+2m+3＝m（x+2）+3，
∴直线y2一定经过（﹣2，3）这个点，
∵反比例函数y1＝（k≠0）的图象过点（﹣2，3），
∴直线y2与反比例函数y1＝（k≠0）在第二象限的交点为（﹣2，3），
∵m＜0，
∴直线y2是减函数，
∴当x＞﹣2时，y1＞y2；
当x＜﹣2时，y1＜y2．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象以及反比例函数和一次函数的性质，（3）求得直线和反比例函数的交点是解题的关键．
37．在平面直角坐标系中：设函数y1＝﹣x+m，y2＝（m，n是常数，n≠0）．若函数y1＝﹣x+m的图象过点（n，﹣2），且n+m＝6．（1）求m，n的值．
（2）将函数y1＝﹣x+m的图象向上平移h（h＞0）个单位，平移后的函数图象与函数y2＝的图象交于直线y＝4上的同一点，求h的值．
（3）已知点M（a，b）（a，b为常数）在函数y1＝﹣x+m的图象上，点M（a，b）关于y轴的对称点为N，函数y3＝kx+m（k≠0）的图象经过点N，当y2＜时，求x的取值范围．
【分析】（1）根据题意列方程组即可得到结论；
（2）根据平移的性质得到平移后的函数的解析式为y＝﹣x+2+h，得到交点的坐标为（1，4），把（1，4）代入y＝﹣x+2+h即可得到结论；
（3）由点M（a，b）（a，b为常数）在函数y1＝﹣x+m的图象上，得到M（a，2﹣a），求得点M（a，b）关于y轴的对称点N（﹣a，2﹣a），于是得到y3＝x+2，解不等式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵函数y1＝﹣x+m的图象过点（n，﹣2），
∴﹣2＝m﹣n，
∵n+m＝6，
∴m＝2，n＝4；
（2）由（1）知，m＝2，n＝4，
∴y1＝﹣x+2，y2＝，
∵将函数y1＝﹣x+m的图象向上平移h（h＞0）个单位，
∴平移后的函数的解析式为y＝﹣x+2+h，
∵平移后的函数图象与函数y2＝的图象交于直线y＝4上的同一点，
∴交点的坐标为（1，4），
把（1，4）代入y＝﹣x+2+h得，h＝3；
（3）∵点M（a，b）（a，b为常数）在函数y1＝﹣x+m的图象上，
∴M（a，2﹣a），
∴点M（a，b）关于y轴的对称点N（﹣a，2﹣a），
∵函数y3＝kx+m（k≠0）的图象经过点N，
∴y3＝x+2，
∵y2＜，
∴＜＝2，
当x＞0时，解得x＞2，
当x＜0时，解得：x＜0，
综上所述，x的取值范围为：x＞2或x＜0．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确的理解如图是解题的关键．
38．已知一次函数y＝kx+n（k≠0）与反比例函数y＝的图象交于点A（a，2），B（1，3）
（1）求这两个函数的表达式；
（2）直接写出关于x的不等式kx+n≤的解；
（3）若点P（2﹣h，y1）在一次函数y＝kx+n的图象上，若点Q（2﹣h，y2）在反比例函数y＝的图象上，h＜，请比较y1与y2的大小．
【分析】（1）先把B点坐标代入y＝求出m得到反比例函数解析式，再通过反比例函数解析式确定A点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）大致画出两函数图象，利用函数图象，写出反比例函数在一次函数上方（含交点）所对应的自变量的范围得到不等式kx+n≤的解集；
（3）利用h＜得到2﹣h＞，然后利用函数图象得到y1与y2的大小．
【解答】解：（1）把B（1，3）代入y＝得m＝1×3＝3，
∴反比例函数解析式为y＝，
把A（a，2）代入y＝得2a＝3，解得a＝，则A（，2），
把A（，2），B（1，3）代入y＝kx+n得，解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣2x+5；
（2）不等式kx+n≤的解集为0＜x≤1或x≥；
（3）∵h＜，
∴2﹣h＞，
∴y2＞y1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
39．设函数y1＝，y2＝﹣（k＞0）．
（1）当2≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，求a和k的值．
（2）设m≠0，且m≠﹣1，当x＝m时，y1＝p；当x＝m+1时，y1＝q．圆圆说：“p一定大于q”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？
【分析】（1）由反比例函数的性质可得，①；﹣＝a﹣4，②；可求a的值和k的值；
（2）设m＝m0，且﹣1＜m0＜0，将x＝m0，x＝m0+1，代入解析式，可求p和q，即可判断．
【解答】解：（1）∵k＞0，2≤x≤3，
∴y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大，
∴当x＝2时，y1最大值为，①；
当x＝2时，y2最小值为﹣＝a﹣4，②；
由①，②得：a＝2，k＝4；
（2）圆圆的说法不正确，
理由如下：设m＝m0，且﹣1＜m0＜0，
则m0＜0，m0+1＞0，
∴当x＝m0时，p＝y1＝，
当x＝m0+1时，q＝y1＝＞0，
∴p＜0＜q，
∴圆圆的说法不正确．
方法二、当x＝m时，p＝y1＝，当x＝m+1时，q＝y1＝，
∴p﹣q＝﹣＝，
∴当m＜﹣1时，则p﹣q＝＞0，
∴p＞q，
当﹣1＜m＜0时，则p﹣q＝＜0，
∴p＜q，
当m＞0时，则p﹣q＝＞0，
∴p＞q，
∴圆圆的说法不正确．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是本题的关键