精品教案华师大版九年级下第27章证明全章节教案[下学期]
文档属性
| 名称 | 精品教案华师大版九年级下第27章证明全章节教案[下学期] |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 484.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2006-12-22 19:13:00 | ||
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文档简介
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教学内容 证明的再认识(1) 课型 新授课 课时 1 执教 初三数学组
教学目标 知识技能目标1．进一步探索几何图形的性质，掌握研究几何图形的方法；2．进一步了解证明的含义，理解证明的必要性，掌握证明的书写格式；3．能证明三角形内角和定理及推论．过程性目标通过三角形内角和定理及推论的证明，体会证明的必要性，注意证明的格式，知道每一步推理都必须有依据，证明的表述必须条理清晰．
教学重点 进一步探索几何图形的性质，掌握研究几何图形的方法能证明三角形内角和定理及推论．
教学难点 掌握证明的书写格式
教具准备 投影仪，胶片．
教学过程 教师活动 学生活动
（一）情境导入 1．任意画一个四边形，分别用度量和剪拼的方法，求出该四边形的内角和的大小．你能说说理由吗？2．下列图中的线段和线段的长度是否相等？用尺度量结果是否与你感觉一样？
学生自主探究,并跃跃欲试,来量一量，发现与自己的的感觉有有偏差
(二)归纳总结． 1．探索几何图形的性质时，常常采用看一看，画一画，比一比，量一量，算一算，想一想，猜一猜等方法得出结论，并在实验操作中对结论作出解释，这是研究几何图形性质的一种基本方法．但有时视觉上的错觉会误导我们，凭直觉的方法研究几何图形所得出的结论不一定正确，所以我们要学习用逻辑推理的方法（既证明）去探索图形的性质．2．逻辑推理需要依据，依据包括公理，等式与不等式的有关性质以及等量代换，定理．公理：(1)一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；(2)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；(3)如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别对应相等，那么这两个三角形全等；(4)全等三角形的对应边、对应角相等．定理：在公理与依据的基础上，用逻辑推理的方法去证明几何图形的有关命题，并将证得的可以作为进一步推理依据的真命题称为定理．我们需要将证明的每一步的依据要写在所得到的结论后面． 明白证明的必要性师生共同回忆书中的有关性质以及等量代换，定理、公理，并明白证明的书写方法步骤。
（三）实践与探索 例1 用逻辑推理的方法证明三角形的内角和是180度．已知：△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°． 分析 回忆以前将三个内角拼在一起，发现三角形的三个内角的和等于180°，因此要设法将三个内角移在一个平角上，任作一个三角形ABC，延长AB到D，得平角ABD，过点B作BE∥AC，由平行线的性质把三个内角拼到点B处得：三角形内角和定理：三角形的内角和等于180度．说明 (1)为了证明的需要在原来的图中添画的线叫辅助线，辅助线常画成虚线；(2)该定理的推理形式：因为 △ABC，所以∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）；(3)该定理可以作为进一步推理的依据．利用三角形内角和定理，请同学们用逻辑推理的方法来说明（a）四边形内角和等于360°．（b）n边形的内角和等于（n-2）180°．例2 如图，△ABC中，∠ABC的角平分线BD和∠ACB的角平分线CE相交于点O，且∠A=80°，求∠BOC的度数。分析 在△ABC中，已知∠A的度数，利用三角形内角和定理，求∠ABC与∠ACB的和，又因为BD，CE分别平分∠ABC与∠ACB可得∠1与∠2的和，在△BOC中由三角形内角和定理可求∠BOC的度数． 师生共同分析，从180°入手，考虑有几种不同的证法。搞清辅助线的含义及画法并明白定理的推理形式学生自主探究，应用三角形内角和解题。
（四）小结与作业 小结：(1)探索几何图形性质的两种方法不是孤立的，实践为我们作出猜想提供了材料，推理证明为猜想的真实性提供保证；(2)逻辑推理的依据有已知、定义、定理、公理、等式的性质、不等式的性质及等量代换等；(3)注意证明的格式，每一步推理都必须有依据，证明的表述必须条理清晰． 各抒己见，并互相补充。
(五)板书设计
教学内容 证明的再认识(2) 课型 新授课 课时 2 执教 初三数学组
教学目标 知识技能目标1．掌握推理证明的方法与步骤，培养言之有据的思维习惯；2．用所学过的公理，定理，定义进行逻辑推理．过程性目标在推理过程中体会公理与定理，定理与定理之间的逻辑关系，熟练掌握证明的书写格式
教学重点 通过画图得出二次函数特点
教学难点 识图能力的培养
教具准备 投影仪，胶片．
教学过程 教师活动 学生活动
（一）情境导入 我们已经用逻辑推理的方法证明了三角形的内角和等于180度，同学们能否以这个定理为依据，来证明三角形的外角性质？哪位同学来说说三角形的外角具有什么性质？求证：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠CBD是△ABC的一个外角．求证：∠CBD＝∠A+∠C． 学生先思考三角形的外角性质，再画图证明。
(二)探究归纳 我们已经学习了许多图形的性质，有些就是逻辑推理的最原始的依据——公理，还有一些是在公理的基础上用逻辑推理的方法去证明的，如：全等三角形的判定公理：边角边、角边角、边边边．除这些方法以外，同学们还有什么方法判断三角形全等？（角角边）我们一起来证明命题：有两个角及其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等．已知：△ABC和 △A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′．求证：△ABC≌ △A′B′C′． 弄清真命题的分类，并画图证明其中之一：有两个角及其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等
(二)实践与探索1 例1 如图，D是△ABC中BC边上的一点，E是AD上的一点，EB＝EC，∠ABE＝∠ACE．求证：△AEB≌△AEC． 例2 如图，已知点A，C分别是线段BE、BD上的一点，连结AC，EC，AD．求证：∠CAD+∠ACE+∠B+∠D+∠E＝180°．说明 1．换一个角度看，还可把5个角集中转移到平角∠BAE处；2．变式：移动点A和点C的位置，可得一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数． 学生独立分析弄清解法，尽量用多种方法解题。根据180，考虑如何转化为三角形的内角和。学生独立完成。
（三）交流反思，作业 1.有些图形的性质可以通过观察和实验得到的，但仅仅通过观察和实验是不够的，必须要通过证明得到；2.在推理过程中，不能只根据问题的某种相似性，生搬硬套，要正确运用定理公理等依据去证明几何图形的有关命题． 师生共同总结。
（四）板书设计
（五）教后记
教学内容 用推理方法研究三角形(1) 课型 新授课 课时 3 执教 初三数学组
教学目标 知识技能目标1．掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理；2．利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题．过程性目标在证明等腰三角形的有关定理的过程中，进一步体会证明的必要性，掌握证明的书写格式，提高演绎推理能力．
教学重点 1．掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理；2．利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题．
教学难点 在证明等腰三角形的有关定理的过程中，进一步体会证明的必要性，掌握证明的书写格式，提高演绎推理能力．
教具准备 投影仪，胶片．
教学过程 教师活动 学生活动
（一）情境导入 请同学们按以下步骤画△ABC．1．任意画线段BC；2．以B、C为顶点，在BC的同侧作锐角∠B＝∠C，角的两边交于点A． 这个△ABC是一个什么三角形？怎么知道△ABC是一个等腰三角形呢？大家可以用度量或沿AD对折的方法，得到AB＝AC，这实际上就是我们已经学过的等腰三角形的识别方法：等角对等边．同学们是否想过，为什么当△ABC沿AD对折时，AB与AC完全重合？现在我们可以用逻辑推理的方法去证明这个问题． 学生自主画图,回忆识别等腰三角形的方法,并试图证明.
二、探究归纳． 1．求证：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．分析 要证明AB＝AC，可设法构造两个全等三角形，使AB，AC分别是这两个全等三角形的对应边，因此可画∠BAC的平分线AD．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边” 说明(1)还可通过画中线AD或BC边上的高AD得全等三角形．(2)推理形式：因为在△ABC中，∠B＝∠C．（已知）所以AB＝AC．（等角对等边） 师生共同研究文字命题的证明方法,独立写出已知、求证、并证明。思考多种语法，这三线合一的理解打下基础。
2．同学们回忆一下，我们学过的等腰三角形具有哪些性质？(1)等边对等角；(2)等腰三角形的“三线合一”．以前，我们也用折叠的方法（可演示一下）来认识了这两个性质，现在同学们尝试用逻辑推理的方法来证明等腰三角形的性质．先试着画出图形，写出已知，求证．求证：等腰三角形的两个底角相等．已知：△ABC中，AB＝AC．求证：∠B＝∠C．分析 仍可通过画∠BAC的平分线AD来构造全等三角形．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等．（简称为“等边对等角” ）推理形式：因为△ABC中，AB＝AC．（已知）所以∠B＝∠C．（等边对等角）说明(1)也可作中线AD或BC边上的高线AD；(2)由△BAD≌△CAD，可进一步推得BD＝CD，∠BDA＝∠CDA＝90°，因此AD也是中线，是BC边上的高线．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合．（简写成“等腰三角形的三线合一” ） 回忆学过的等腰三角形性质，并独立证明。多种语法，发散思维。理解识记。
（三）实践与探索 例 如图，△ABC中，AB＝AC，E是AC上一点，∠A＝2∠EBC．求证：BE⊥AC．分析 由已知条件∠A＝2∠EBC，联想到作∠A的平分线AD，则∠CAD＝∠EBC，且AD⊥BC，所以∠EBC＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°，即BE⊥AC． 师生共同研究。
（四）小结与作业 1．等腰三角形的性质定理和判定定理是证明线段相等，角相等的重要依据．2．在研究有关等腰三角形的有关问题时，作顶角的平分线（既底边上的高，中线）是最常见的辅助线，可用“三线合一”的性质．平行线也是常用的辅助线，可以转移角或线段的位置．作业 各抒己见，并互相补充。
（五）板书设计
教学内容 用推理方法研究三角形(1) 课型 新授课 课时 4 执教 初三数学组
教学目标 知识技能目标1．掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理；2．利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题．过程性目标在证明等腰三角形的有关定理的过程中，进一步体会证明的必要性，掌握证明的书写格式，提高演绎推理能力．
教学重点 1．掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理；2．利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题．
教学难点 在证明等腰三角形的有关定理的过程中，进一步体会证明的必要性，掌握证明的书写格式，提高演绎推理能力．
教具准备 投影仪，胶片．
教学过程 教师活动 学生活动
（一）情境导入 请同学们按以下步骤画△ABC．1．任意画线段BC；2．以B、C为顶点，在BC的同侧作锐角∠B＝∠C，角的两边交于点A． 这个△ABC是一个什么三角形？怎么知道△ABC是一个等腰三角形呢？大家可以用度量或沿AD对折的方法，得到AB＝AC，这实际上就是我们已经学过的等腰三角形的识别方法：等角对等边．同学们是否想过，为什么当△ABC沿AD对折时，AB与AC完全重合？现在我们可以用逻辑推理的方法去证明这个问题． 学生自主画图,回忆识别等腰三角形的方法,并试图证明.
二、探究归纳． 1．求证：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．分析 要证明AB＝AC，可设法构造两个全等三角形，使AB，AC分别是这两个全等三角形的对应边，因此可画∠BAC的平分线AD．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边” 说明(1)还可通过画中线AD或BC边上的高AD得全等三角形．(2)推理形式：因为在△ABC中，∠B＝∠C．（已知）所以AB＝AC．（等角对等边） 师生共同研究文字命题的证明方法,独立写出已知、求证、并证明。思考多种语法，这三线合一的理解打下基础。
2．同学们回忆一下，我们学过的等腰三角形具有哪些性质？(1)等边对等角；(2)等腰三角形的“三线合一”．以前，我们也用折叠的方法（可演示一下）来认识了这两个性质，现在同学们尝试用逻辑推理的方法来证明等腰三角形的性质．先试着画出图形，写出已知，求证．求证：等腰三角形的两个底角相等．已知：△ABC中，AB＝AC．求证：∠B＝∠C．分析 仍可通过画∠BAC的平分线AD来构造全等三角形．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等．（简称为“等边对等角” ）推理形式：因为△ABC中，AB＝AC．（已知）所以∠B＝∠C．（等边对等角）说明(1)也可作中线AD或BC边上的高线AD；(2)由△BAD≌△CAD，可进一步推得BD＝CD，∠BDA＝∠CDA＝90°，因此AD也是中线，是BC边上的高线．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合．（简写成“等腰三角形的三线合一” ） 回忆学过的等腰三角形性质，并独立证明。多种语法，发散思维。理解识记。
（三）实践与探索 例 如图，△ABC中，AB＝AC，E是AC上一点，∠A＝2∠EBC．求证：BE⊥AC．分析 由已知条件∠A＝2∠EBC，联想到作∠A的平分线AD，则∠CAD＝∠EBC，且AD⊥BC，所以∠EBC＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°，即BE⊥AC． 师生共同研究。
（四）小结与作业 1．等腰三角形的性质定理和判定定理是证明线段相等，角相等的重要依据．2．在研究有关等腰三角形的有关问题时，作顶角的平分线（既底边上的高，中线）是最常见的辅助线，可用“三线合一”的性质．平行线也是常用的辅助线，可以转移角或线段的位置．作业 各抒己见，并互相补充。
（五）板书设计
教学内容 用推理方法研究三角形(3) 课型 新授课 课时 5 执教 初三数学组
教学目标 知识技能目标1.掌握角平分线的性质定理及判定定理，并能用逻辑推理的方法证明；2.知道三角形内心就是三角形三条角平分线的交点；3.能用角平分线的有关定理去证明两个角相等或两条线段相等．过程性目标：能体会到角平分线的性质定理及判定定理的互逆关系，增强概念的辨析能力，提高分析能力．
教学重点 目标1、2、3
教学难点 能体会到角平分线的性质定理及判定定理的互逆关系，增强概念的辨析能力，提高分析能力．
教具准备 投影仪，胶片．
教学过程 教师活动 学生活动
（一）情境导入 在半透明纸上画∠AOB及角平分线OC，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E．沿着射线OC对折，发现PD和PE完全重合，即PD＝PE，由此，我们得到了角平分线的性质．请同学们来叙述这一性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．我们现在可以用逻辑推理的方法去证明这一性质． 学生自主探究,画图,实验
(二)实践与探索1 1.同学们按上述性质画出图形，写出已知、求证，老师及时补充．已知：OC是∠AOB平分线，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足．求证：PD＝PE．分析 只要去证明PD、PE所在的两个直角三角形全等。角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．2.反过来，如果一个点到一个角两边的距离相等，这个点是否就在这个角的平分线上呢？画出图形，我们通过证明来解答这个问题．已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．分析 要证点Q在∠AOB的平分线上，即QO是∠AOB的平分线，画射线OQ，只要证∠AOQ＝∠BOQ，利用H．L．证明△DOQ≌△EOQ，得∠AOQ＝∠BOQ．角平分线判定定理：到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上． 用逻辑推理的方法来证明角平分线的性质定理与角平分线判定定理。
(三)实践与探索2 我们知道，任意三角形的三条角平分线交于一点．现在我们就可以依据角平分线的定理来证明这一事实．分析 要证明三条角平分线交于一点，只需证明其中两条角平分线的交点在第三条角平分线上． 如图，已知AD、BE是△ABC的两条角平分线，AD、BE交于点O，CF平分∠ACB．求证：点O在CF上．说明1.根据角平分线的性质，三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等；2.三角形三条角平分线的角点就是三角形的内心（内切圆的圆心）．例 如图，已知BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别是E、D，BE、CD相交于点O，且∠1＝∠2．求证：OB＝OC．分析 要证明OB＝OC，只要证明△OBD≌△OCE，可利用角平分线及垂线的条件得OD＝OE． 师生共同研究该问题的证明方法，要证明三条角平分线交于一点，只需证明其中两条角平分线的交点在第三条角平分线上．学生独立思考完成证明。
（四）小结与作业 1.角平分线的性质定理与判定定理也是证明线段和角相等的重要依据，不必通过全等三角形可简化证明；2.角平分线的性质定理与判定定理的条件与结论正好相反，要注意两者应用是的区别；3.三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等．作业：1、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F．求证：点F在∠DAE的平分线上．2．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线交BC于点D．求证：AB＝CD+AC． 各抒己见，并互相补充。
（五）板书设计
教学内容 用推理方法研究三角形(3) 课型 新授课 课时 6 执教 初三数学组
教学目标 知识技能目标1.掌握角平分线的性质定理及判定定理，并能用逻辑推理的方法证明；2.知道三角形内心就是三角形三条角平分线的交点；3.能用角平分线的有关定理去证明两个角相等或两条线段相等．过程性目标：能体会到角平分线的性质定理及判定定理的互逆关系，增强概念的辨析能力，提高分析能力．
教学重点 目标1、2、3
教学难点 能体会到角平分线的性质定理及判定定理的互逆关系，增强概念的辨析能力，提高分析能力．
教具准备 投影仪，胶片．
教学过程 教师活动 学生活动
（一）情境导入 在半透明纸上画∠AOB及角平分线OC，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E．沿着射线OC对折，发现PD和PE完全重合，即PD＝PE，由此，我们得到了角平分线的性质．请同学们来叙述这一性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．我们现在可以用逻辑推理的方法去证明这一性质． 学生自主探究,画图,实验
(二)实践与探索1 1.同学们按上述性质画出图形，写出已知、求证，老师及时补充．已知：OC是∠AOB平分线，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足．求证：PD＝PE．分析 只要去证明PD、PE所在的两个直角三角形全等。角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．2.反过来，如果一个点到一个角两边的距离相等，这个点是否就在这个角的平分线上呢？画出图形，我们通过证明来解答这个问题．已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．分析 要证点Q在∠AOB的平分线上，即QO是∠AOB的平分线，画射线OQ，只要证∠AOQ＝∠BOQ，利用H．L．证明△DOQ≌△EOQ，得∠AOQ＝∠BOQ．角平分线判定定理：到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上． 用逻辑推理的方法来证明角平分线的性质定理与角平分线判定定理。
(三)实践与探索2 我们知道，任意三角形的三条角平分线交于一点．现在我们就可以依据角平分线的定理来证明这一事实．分析 要证明三条角平分线交于一点，只需证明其中两条角平分线的交点在第三条角平分线上． 如图，已知AD、BE是△ABC的两条角平分线，AD、BE交于点O，CF平分∠ACB．求证：点O在CF上．说明1.根据角平分线的性质，三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等；2.三角形三条角平分线的角点就是三角形的内心（内切圆的圆心）．例 如图，已知BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别是E、D，BE、CD相交于点O，且∠1＝∠2．求证：OB＝OC．分析 要证明OB＝OC，只要证明△OBD≌△OCE，可利用角平分线及垂线的条件得OD＝OE． 师生共同研究该问题的证明方法，要证明三条角平分线交于一点，只需证明其中两条角平分线的交点在第三条角平分线上．学生独立思考完成证明。
（四）小结与作业 1.角平分线的性质定理与判定定理也是证明线段和角相等的重要依据，不必通过全等三角形可简化证明；2.角平分线的性质定理与判定定理的条件与结论正好相反，要注意两者应用是的区别；3.三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等．作业：1、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F．求证：点F在∠DAE的平分线上．2．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线交BC于点D．求证：AB＝CD+AC． 各抒己见，并互相补充。
（五）板书设计
教学内容 用推理方法研究三角形(5) 课型 新授课 课时 7 执教 初三数学组
教学目标 知识技能目标1.正确理解逆命题、逆定理的概念，会识别互逆命题，能正确判断命题的真假；2.会证明勾股定理的逆定理，能熟练运用勾股定理及其逆定理进行推理、计算．过程性目标1.能体会到角平分线的性质定理及判定定理的互逆关系，增强概念的辨析能力，提高分析能力；2.在证明及运用线段的垂直平分线的定理的过程中，体会两个定理条件与结论之间的变化，进一步提高分析问题、解决问题的能力．
教学重点 知识技能目标中的1、2
教学难点 过程性目标中的1、2
教具准备 投影仪，胶片．
教学过程 教师活动 学生活动
（一）情境导入 前面我们已经用逻辑推理的方法证明了很多定理，如等腰三角形的性质与判定定理、角平分线的性质与判定定理、线段的垂直平分线的性质与判定定理等，这些定理都是命题．再如：“两直线平行，内错角相等”；“内错角相等，两直线平行”也是命题．观察这些命题的题设与结论，你发现了什么？ 学生回忆前面学习的有关定理,自主探究, 观察这些命题的题设与结论,发现特点.
(二)实践与探索1 1．命题“两直线平行，内错角相等”的题设是 ，结论是 ；命题“内错角相等，两直线平行”的题设是 ，结论是 ．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个就叫做它的逆命题．所以上述两个命题叫做互逆命题，如“两直线平行，内错角相等”为原命题，则“内错角相等，两直线平行”为逆命题，反之也可以．2．每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设与结论互换，便可得到原命题的逆命题．但是，原命题正确，它的逆命题未必正确，也就是说原命题与逆命题的真假之间没有必然的联系．比如“对顶角相等”是真命题，但它的逆命题“相等的角是对顶角”是一个假命题．3．我们知道定理是命题，所以定理一定有逆命题．我们还知道定理是真命题，但定理的逆命题却不一定是真命 学生抢答。通过特例初步感知原命题逆命题的相关概念。深入理解原命题、逆命题；原定理与逆定理的相关概念。
题，如果是真命题，则定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．比如我们刚才所讲的命题“两直线平行，内错角相等”；“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理．再比如等腰三角形的性质定理与判定定理也是互逆定理，同学们能否再举一些互逆定理？
（三）实践与探索2 例1 写出下列命题的逆命题，判断原命题与逆命题的真假．(1)全等三角形的面积相等；(2)同角的余角相等；(3)如果|a|＝|b|，那么a＝b；(4)到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；(5)线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．例2 写出勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题，并证明逆命题是真命题．已知：△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，且a2+b2＝c2．求证：△ABC是直角三角形．分析 首先构造一个直角三角形ABC，使得∠C′＝90°，B′C′＝a， C′A′＝b，然后可以证明△ABC≌△A′B′C′，从而可知△ABC是直角三角形．勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．例3 如图，四边形ABCD是边长a为的正方形，M为AB中点，E为AD上一点，且AE＝AD．求证：△EMC是直角三角形． 学生抢答，假命题并举例说明。。学生独立写已知、求证，并合作交流证法，如果不会做，老师可作指点。独立思考完成证明。
（四）小结与作业 1、谈一下逆逆命题，互逆定理作业：给定一个三角形的两边长分别是5、12，当第三条边为多长时，这个三角形是直角三角形？ 各抒己见，相互补充。
（五）板书设计
教学内容 用推理方法研究四边形(1) 课型 新授课 课时 8 执教 初三数学组
教学目标 知识技能目标1.掌握平行四边形的性质，会用推理的方法证明一个四边形是平行四边形；2.能运用平行四边形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算．过程性目标1.掌握证明的一般步骤；2.会运用公理、定理、定义通过逻辑推理来证明以前通过实验操作得到的几何命题．
教学重点 知识技能目标1、2
教学难点 过程性目标2
教具准备 投影仪，胶片．
教学过程 教师活动 学生活动
（一）情境导入 在第12章中，我们已学过平行四边形的性质与判定，回忆有哪些性质与判定,你能用逻辑推理的方法来证明它们吗 思考回忆,并互相补充。
(二)实践与探索1 根据学生的回忆选择“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”吗？来证明知识回顾：要证明一个命题须分三步来完成：①画图；②结合图形写出已知、求证；③证明．已知：如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD．求证：四边形ABCD是平行四边形．分析 要证明四边行ABCD是平行四边形，目前只能用平行四边形的定义来证明，即只要证明另一组对边平行即可，因此可以连结其中一条对角线，利用全等三角形对应角相等来证明内错角相等．于是得：平行四边形判定定理1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边．利用全等三角形的性质，同样可以证明下列平行四边形判定定理．平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形．平行四边形判定定理3 两组对角分别相等的四边形是平行四边形．平行四边形判定定理4 对角线互相平分的四边形是平行四边形 学生画图写已知、求证并证明。识记，并分组证明其它的判定定理。
同样，我们也可用逻辑推理的方法来证明平行四边形的性质．平行四边形性质定理1 平行四边形的对边相等．已知： 如图，四边形ABCD是平行四边形．求证： AB＝CD， BC＝DA．分析 要证明平行四边形的对边相等，可以连结其中一条对角线，把平行四边形分成两个三角形，然后利用全等三角形对应边．相等于是可得：平行四边形性质定理2 平行四边形的对角相等．同样，我们也可证明：平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分．例1 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，且AE＝CF． 求证：BF∥DE．分析 要证BF∥DE，只要证四边形EBFD是平行四边形即可变式应用：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是对角线AC上的两点，且AE＝CF，那么 BF∥DE成立吗？ 独立思考证明。老师与学生共同总结思想方法，应把四边形的问题转化为三角形来证明。学生独立证明。
（四）小结与作业 1.学习平行四边形的性质与判定，可按边的关系，角的关系以及对角线的关系进行分类记忆；2.在证明有关平行四边形问题时，要根据已知条件的特征，正确合理地使用平行四边形的性质与判定；3.可以用有关平行四边形知识证明的问题，不要倒退到利用三角行的全等来证明．作业：如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、F分别是边AB、DC的中点．求证：EF＝BC 各抒己见，并相互补充。
（五）板书设计
教学内容 用推理方法研究四边形(2) 课型 新授课 课时 9 执教 初三数学组
教学目标 知识技能目标1.掌握矩形的性质，会用推理的方法证明一个四边形是矩行；2.能运用矩形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算．过程性目标经历探索矩形有关性质与判定条件的过程，在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯．
教学重点 知识技能目标1、2
教学难点 经历探索矩形有关性质与判定条件的过程，在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯．
教具准备 投影仪，胶片．
教学过程 教师活动 学生活动
（一）情境导入 教师出示教具：“一个活动的平行四边形木框”，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上．拉动一对不相邻的顶点A、C，立即改变平行四边形的形状．学生思考如下问题： (1)无论∠1如何变化，四边形ABCD还是平行四边形吗？(2)随着∠1的变化，两条对角线长度有没有变化？(3)当∠1为什么角时，这个平行四边形就变成一个特殊的平行四边形——矩形？这时两条对角线长度有没有关系？ 学生观察教具，思考问题，激发探究热情。
(二)实践与探索1 我们知道矩形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的性质，而且还具有一些特殊的性质．根据矩形的定义，矩形是平行四边形，且有一个角是直角，从而可得：定理矩形的四个角都是直角．由问题(3)我们还知道定理“矩形的对角线相等”．你会用推理的方法证明吗？ 已知：如图，四边形ABCD是矩形．求证：AC＝BD．分析 由于AC、BD分别是△ABC、△DCB的边，因此要证AC＝BD，只要证△ABC≌△DCB．那么要判定一个四边形是不是矩形，除了利用矩形的定义直接判定外，还有如下的判定定理：定理 有三个角是直角的四边形是矩形．思考 根据对角线之间的关系能否判定一个平行四边形是矩形呢？再看上面一个活动的平行四边形木框,保持边的大小不变，仅改变内角大小，观察对角线的变化，当对 思考矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等，有三个角是直角的四边形是矩形．对角线相等的平行四边形是矩形的证明方法，并分组证明。
角线具有什么性质时，平行四边形变为矩形．定理 对角线相等的平行四边形是矩形．上述两条定理是矩行的判定定理
（三）实践与探索2 例1 求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．本题的关键在于证明四边形AEBC是一个矩形．即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．以后把这条作为直角三角行的性质定理． 思考，讨论如何构造矩形来解题。
（四）小结与作业 1.矩形的性质：(1)矩形具有平行四边形的一切性质；(2)矩形的四个内角都是直角；(3)矩形的对角线相等且互相平分．2.矩形的判定：(1)有三个角是直角的四边形是矩形；(2)有一个内角是直角的平行四边形是矩形；(3)两条对角线相等的平行四边形是矩形．作业：1.已知：平行四边形ABCD的四个内角的平分线交于E、F、G、H．求证：EG＝HF．2.如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点．求证：EB＝ED． 谈一下本节课学习了哪些结论，各抒己见。
（五）板书设计
教学内容 用推理方法研究四边形(3) 课型 新授课 课时 10 执教 初三数学组
教学目标 知识技能目标1.掌握菱形的性质，会用推理的方法证明一个四边形是菱形；2.能运用菱形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算．过程性目标经历探索菱形有关性质与判定条件的过程，在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯．
教学重点 知识技能目标1、2
教学难点 经历探索菱形有关性质与判定条件的过程，在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯．
教具准备 投影仪，胶片．
教学过程 教师活动 学生活动
（一）情境导入 教师出示教具：“一个活动的平行四边形木框”，用两根橡皮筋分别套在相邻的两个顶点上．平行移动另一对相邻的顶点B、C，立即改变平行四边形的形状． 学生思考如下问题：(1)无论BC平行移到什么位置，四边形ABCD还是平行四边形吗？(2)当BC移动什么位置时，这个平行四边形就变成一个特殊的平行四边形——菱形？这时两条对角线有什么位置关系？ 学生观察教具，思考问题，激发探究热情。
(二)实践与探索1 我们知道菱形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的性质，而且还具有一些特殊的性质．根据菱形的定义，菱形是平行四边形，且有一组邻边相等，从而可得：定理菱形的四条边都相等．由问题(2)我们还知道定理 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．会用推理的方法证明吗？已知：如图，四边形ABCD是菱形．分析 要证AC⊥BD，AC平分∠DAB，只要证明△DAB是等腰三角形，且AC平分BD．要判定一个四边形是不是菱形，除了利用菱形的定义直接判定外，还有如下的判定定理：定理 四条边相等的四边形是菱形思考 根据对角线之间的关系能否判定一个平行四边形是菱形呢？再看上面一个活动的平行四边形木框,保持内角大小不变，仅改变边的大小，观察对角线的变化，当对角线具有什么性质时，平行四边形变为菱形？定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形已知：如图，四边形ABCD是菱形．求证：AC⊥BD；AC平分∠DAB，CA平分∠BCD，BD平分∠ABC，DB平分∠CDA． 思考菱形的四条边都相等,菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．四条边相等的四边形是菱形,对角线互相垂直的平行四边形是菱形的证明方法，并分组证明。
分析 要证AC⊥BD，AC平分∠DAB，只要证明△DAB是等腰三角形，且AC平分BD．要判定一个四边形是不是菱形，除了利用菱形的定义直接判定外，还有如下的判定定理：定理 四条边相等的四边形是菱形思考 有哪些方法可以判断一个四边形是菱形？ 讨论交流。
(三)实践与探索 例1 如图，在菱形ABCD中，M是AB的中点，且DM⊥AB，则ΔABD是什么三角形 例2 如图，AD是ΔABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DE∥BA交AC于F．猜想AD与EF是什么关系 独立思考画图解答。先猜想结论，再画图证明。
(四)小结与反思 1.菱形的性质：(1)菱形具有平行四边形的一切性质；(2)菱形的四条边都相等；(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．2.菱形的判定：(1)四条边相等的四边形是菱形；(2)有一组邻边相等平行四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 各抒己见，相互补充。
(五)板书设计
教学内容 用推理方法研究四边形(4) 课型 新授课 课时 11 执教 初三数学组
教学目标 知识技能目标1.掌握正方形的性质，会用推理的方法证明一个四边形是正方形；2.能运用正方形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算．过程性目标经历探索正方形有关性质与判定条件的过程，在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯．
教学重点 知识技能目标1、2
教学难点 经历探索正方形有关性质与判定条件的过程，在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯．
教具准备 投影仪，胶片．
教学过程 教师活动 学生活动
（一）情境导入 1.展开活动的衣帽架（如图）．图(1)的α在不断的地变化过程中．这个图形始终是怎样的图形？生答：菱形．老师继续问当α＝90°时，这个图形还是菱形吗？如上图(2)．有的生答：不是，是正方形．有的生答：是，还是菱形，是一个特殊的菱形．最后老师进行评判，并指出：当α＝90°时，这个四边形还是菱形．因为它是邻边相等的平行四边形．但它是特殊的菱形是一个内角为直角的菱形也是正方形．2.展开一边固定对边活动的矩形．将活动的矩形架的CD边左右移动时，问：图中CD在移动时，这个图形始终是怎样的图形？（CD在活动的过程中始终保持与AB平行）生答：矩形．当CD移动到C′D′位置，且AC′＝AB时，此时的图形还是矩形吗？这时生回答：是，是矩形，但它是特殊的矩形，也是正方形． 学生观察教具，思考问题，激发探究热情初步感知正方形的识别方法。
（二）探究归纳 我们已经知道正方形既是矩形，又是菱形，因此，正方形具有矩形和菱形的所有性质．定理 正方形的四个角都是直角，四条边都相等．正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组 思考正方形有哪些性质，如何判定。
对角．反之，如果一个四边形既是矩形，又是菱形，那么这个四边形一定是正方形．于是可得：定理 有一个角是直角的菱形是正方形．定理 有一组邻边相等的矩形是正方形．
（三）实践与探索2 例1 求证：依次连结正方形各边中点所成的四边形是正方形．已知：如图27.3.7，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是正方形．变式应用 如图，已知点A′B′C′D′分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA′＝BB′＝CC′＝DD′，求证：四边形A′B′C′D′是正方形． 学生画图独立解题。弄清证明的思路。
（四）小结与作业 1.正方形具有平行四边形的一切性质：两组对边平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分；2.正方形具有矩形的一切性质：四个角都是直角，对角线相等；3.正方形具有菱形的一切性质：四条边相等，对角线垂直；4.有一个角是直角的菱形是正方形；5.有一组邻边相等的矩形是正方形． 各抒己见，相互补充。
（五）板书设计
教学内容 等腰梯形 课型 新授 课时 12 执教 初三数学组
教学目标 通过探究深入理解等腰梯形的性质定理和判定定理．通过例题的教学了解常用的辅助线的作法,并能灵活运用它们解题．进一步训练说理的能力．通过学习，进一步培养自主探究和合作交流的学习习惯；进一步了解特殊与一般的辩证唯物主义观点．
教学重点 通过探究深入理解等腰梯形的性质定理和判定定理．
教学难点 进一步训练说理的能力
教具准备 投影仪，胶片．
教学过程 教师活动 学生活动
（一）复习旧知，创设情境，激发探究热情． 问题：在第十二章中，我们已学过等腰梯形的一些性质，请同学们说一说等腰梯形有哪些主要的性质 (老师同时板书：１、等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等。２、等腰梯形的两条对角线相等)你会用逻辑推理的方法来证明这些性质吗 观察后，先自主探究，再合作交流，看谁说得最多。回忆逻辑推理的方法
（二）自主探究与合作交流研究等腰梯形的性质定理与判定定理。 研究等腰梯形的性质定理：（１）等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等。老师指导学生写出已知、求证并引导学生分析证明方法：已知：如图在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＤＣ求证：∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ，∠ＢＡＤ＝∠ＣＤＡ证法（一）平移一腰，构造等腰三角形 （二）作高构造全等三角形。 （２）等腰梯形的两条对角线相等生仿（１）解题略。２、研究等腰梯形的判定定理：先引导学生根据命题与逆命题的关系说出两个判定定理，并分组进行证明。 读题，弄清题设与结论，分析如何写出已知、求证，自主探究证明的思路后再与其它学生合作交流，进一步充实自己的思想。仿照上一定理的证明过程，独立完成。并归纳常用的辅助线作法。
（三）应用与拓展 题组一、给出下面命题：（１）有两个角相等的梯形是等腰梯形；（２）有两条边相等的梯形是等腰梯形；（３）对角线相等的梯形是等腰梯形；（４）等腰梯形上、下底中点的连线垂直于底边。其中正确的命题共有（ ）个。题组二、在等腰梯形ＡＢＣＤ中，ＤＣ∥ＡＢ，ＡＤ＝ＢＣ，对角线ＡＣ┻ＢＤ于点Ｏ，若ＤＣ＝３cm,AB=8cm,求梯形的高。 独立思考后抢答。合作交流，共同研究辅助线作法。
（四）小结与作业 小结：谈一下你有哪些收获？作业：Ｐ５７第６题 各抒己见。
（五）板书设计 课题：等腰梯形性质定理 例题： 判定定理
（六）课后小结
教学内容 中位线 课型 新授 课时 13 执教 初三数学组
教学目标 １、经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质定理形成过程，掌握两个定理，并能利用它们解决简单的问题。２、通过命题的教学了解常用的辅助线的作法,并能灵活运用它们解题．３、进一步训练说理的能力．４、通过学习，进一步培养自主探究和合作交流的学习习惯；进一步了解特殊与一般的辩证唯物主义观点；转化的思想。
教学重点 １、经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质定理形成过程，掌握两个定理，并能利用它们解决简单的问题。
教学难点 进一步训练说理的能力
教具准备 投影仪，胶片．
教学过程 教师活动 学生活动
（一）创设实践情境，激发探究热情。 尝试问题：如下图：已知△ＡＢＣ如下要求作图，并回答下面的问题： Ａ （１）取ＡＢ中点Ｄ，取ＡＣ中点Ｅ，并连结ＤＥ （２）猜想：ＤＥ与ＢＣ的关系 （３）对任意三角形还成立吗？ 能一般的说明它的正确性吗？Ｂ Ｃ 先动手实践，再观察猜想结论。对于（３）可合作交流看法。回忆逻辑推理的方法
（二）自主探究与合作交流研究三角形的中位线性质定理与梯形中位线性质定理。 首先介绍三角形的中位线, 梯形中位线的概念,并强调指出它与三角形中线的区别。三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。老师指导学生写出已知、求证并引导学生分析证明方法： 已知： 如图27.3.11所示，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC．求证： DE∥BC，DE＝BC．分析: 要证DE∥BC，DE ＝BC，可延长DE到F，使EF＝DE，于是本题就转化为证明DF＝BC，DE∥BC，故只要证明四边形BCFD为平行四边形． 学生在老师的指导下写出已知和求证,并合作交流证明方法。
思考：本题还有其它的解法吗？可引导作如下的辅助线作法。 （二）梯形的中位线定理：梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半．已知： 如图27.3.12所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE＝BE，DF＝CF．求证： EF∥BC，EF＝（AD＋BC）．分析 由于本题结论与三角形中位线定理的结论比较接近，可以连结AF，并延长AF交BC的延长线于G，证明的关键在于说明EF为△ABG的中位线．于是本题就转化为证明AF＝GF，AD＝CG，故只要证明△ADF≌△GCF． 与自己的想法对照，一题多解，培养自己的发散思维能力。仿照上一定理的证明过程，独立完成。并归纳常用的辅助线作法。
（三）应用与拓展 例3 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．已知： 如图27.3.13所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．求证： AE、DF互相平分．证明 连结DE、EF．因为AD＝DB，BE＝EC，所以DE∥AC（三角形中位线定理）同理 EF∥AB．所以四边形ADEF是平行四边形（平行四边形的定义）．因此AE、DF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）． 自主探究证法，指派一名学生谈思路。合作交流，共同研究常用辅助线作法。
［同步训练］ 如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点．求证：四边形ADEF是菱形． 独立思考后请一生谈思路。
（四）小结与作业 小结：谈一下你有哪些收获？作业：Ｐ６１第８题 各抒己见。
（五）板书设计 课题：中位线 例题：名称 图形 定理 三角形的中位线梯形的中位线
（六）教后记
教学内容 中位线 课型 新授 课时 14 执教 初三数学组
教学目标 知识与技能目标：1、经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质定理形成过程，掌握两个定理，并能利用它们解决简单的问题。２、通过命题的教学了解常用的辅助线的作法,并能灵活运用它们解题．过程与方法目标：通过实践猜想、探究、说理，学会命题证明的一般方法。情感与态度目标：通过学习，进一步培养自主探究和合作交流的学习习惯；进一步了解特殊与一般的辩证唯物主义观点；转化的思想。
教学重点 １、经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质定理形成过程，掌握两个定理，并能利用它们解决简单的问题。
教学难点 进一步训练说理的能力
教具准备 投影仪，胶片．
教学过程 教师活动 学生活动
（一）创设实践情境，激发探究热情。 尝试问题：如下图：已知△ＡＢＣ如下要求作图，并回答下面的问题： Ａ （１）取ＡＢ中点Ｄ，取ＡＣ中点Ｅ，并连结ＤＥ （２）猜想：ＤＥ与ＢＣ的关系 （３）对任意三角形还成立吗？ 能一般的说明它的正确性吗？Ｂ Ｃ 先动手实践，再观察猜想结论。对于（３）可合作交流看法。回忆逻辑推理的方法
（二）自主探究与合作交流研究三角形的中位线性质定理与梯形中位线性质定理。 首先介绍三角形的中位线, 梯形中位线的概念,并强调指出它与三角形中线的区别。(画图从定义上去区别)三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。老师指导学生写出已知、求证并引导学生分析证明方法： 已知： 如图27.3.11所示，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC．求证： DE∥BC，DE＝BC．分析: 要证DE∥BC，DE ＝BC，可延长DE到F，使EF＝DE，于是本题就转化为证明DF＝BC，DE∥BC，故只要证明四边形BCFD为平行四边形． 学生在老师的指导下写出已知和求证,并合作交流证明方法。
思考：本题还有其它的解法吗？可引导作如下的辅助线作法。 （二）梯形的中位线定理：梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半．已知： 如图27.3.12所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE＝BE，DF＝CF．求证： EF∥BC，EF＝（AD＋BC）．分析 由于本题结论与三角形中位线定理的结论比较接近，可以连结AF，并延长AF交BC的延长线于G，证明的关键在于说明EF为△ABG的中位线．于是本题就转化为证明AF＝GF，AD＝CG，故只要证明△ADF≌△GCF． 与自己的想法对照，一题多解，培养自己的发散思维能力。仿照上一定理的证明过程，独立完成。并归纳梯形常用的辅助线作法。
（三）应用与拓展 例3 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．已知： 如图27.3.13所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．求证： AE、DF互相平分．证明 连结DE、EF．因为AD＝DB，BE＝EC，所以DE∥AC（三角形中位线定理）同理 EF∥AB．所以四边形ADEF是平行四边形（平行四边形的定义）．因此AE、DF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）． 自主探究证法，指派一名学生谈思路。合作交流，共同研究常用辅助线作法。
［同步训练］ 如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点．求证：四边形ADEF是菱形． 独立思考后请一生谈思路。
（四）小结与作业 小结：谈一下你有哪些收获？作业：Ｐ６１第８题 各抒己见。
（五）板书设计 课题：中位线 例题：名称 图形 定理 三角形的中位线梯形的中位线
（六）教后记
教学内容 反证法 课型 新授课 课时 15 执教 初三数学组
教学目标 通过具体例子，使学生体会反证法证明命题的方法，了解反证法的步骤，能初步应用反证法证明一些简单的命题。
教学重点 体会反证法证明命题的思路方法，用反证法证明简单的命题.
教学难点 体会反证法证明命题的思路方法，用反证法证明简单的命题
教具准备 投影仪，胶片．
教学过程 教师活动 学生活动
（一）情境导入 思考：在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°。 求证；a2＋b2≠c2。 有些命题想从已知条件出发，经过推理，得出结论是很困难的，因此，人们想出了一种证明这种命题的方法，即反证法。假设a2＋b2＝c2，则由勾股定理的逆定理可以得到∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90°产生矛盾，因此，假设a2＋b2＝c2是错误的。所以a2＋b2≠c2是正确的。 学生自主探究,发现用以前的证明方法不能很好的说明问题，激发探究热情。并通过该例，初步感知反证法的基本步骤。
(二)归纳反证法的步骤 1．假设命题的结论的反面是正确的；2．从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、巳证的定理、定义或已知条件矛盾；3．由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论是正确的。 对照上面的问题归纳三个步骤。
(三)例题探究 例1．已知：如图，设点A、B、C在同一条直线l上。求证：经过A、B、C三点不能作一个圆。 分析：按照反证法的步骤，先假设过A、B、C三点可以作一个圆，然后由这个假设出发推下去，得出矛盾．证明：假设过A、B、C三点可以作圆，设这个圆的圆心为O，显然A、B、C三点在这个圆上，所以OA＝OB＝OC，由线段的垂直平分线的判定定理可以知道，O点既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，也就是说，O点是l1和l2的交点，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾。所以，过同一条直线上的三点不能作圆。例2．求证；在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。 师生共同研究证法，如何反设，如何归谬，如何下结论。学生独立完成。
已知；△ABC。求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°。证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，即∠A＞60°、∠B＞60°、∠C＞60°。于是∠A＋∠B＋∠C＞60°＋60°＋60°＝180°，这与三角形的内角和等于180°矛盾。所以三角形中至少有一个内角小于或等于60°。练习：用反证法证明下列各题：1．在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等。2．在一个梯形中，如果同一条底边上的两个内角不相等，那么这个梯形是等腰梯形吗 请证明你的猜想。 分组练习。
（四）小结与作业 通过本节课的学习，同学们体会了在证明命题另一种方法，即反证法，它是当有的命题从已知条件出发，经过推理，很难得出结论时，人们想出的一种证明命题的方法，希望同学们能运用这种方法证明一些简单的命题。 谈谈反证法的思想，及如何应用。
（五）板书设计
(六)教学后记
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教学内容 证明的再认识(1) 课型 新授课 课时 1 执教 初三数学组
教学目标 知识技能目标1．进一步探索几何图形的性质，掌握研究几何图形的方法；2．进一步了解证明的含义，理解证明的必要性，掌握证明的书写格式；3．能证明三角形内角和定理及推论．过程性目标通过三角形内角和定理及推论的证明，体会证明的必要性，注意证明的格式，知道每一步推理都必须有依据，证明的表述必须条理清晰．
教学重点 进一步探索几何图形的性质，掌握研究几何图形的方法能证明三角形内角和定理及推论．
教学难点 掌握证明的书写格式
教具准备 投影仪，胶片．
教学过程 教师活动 学生活动
（一）情境导入 1．任意画一个四边形，分别用度量和剪拼的方法，求出该四边形的内角和的大小．你能说说理由吗？2．下列图中的线段和线段的长度是否相等？用尺度量结果是否与你感觉一样？
学生自主探究,并跃跃欲试,来量一量，发现与自己的的感觉有有偏差
(二)归纳总结． 1．探索几何图形的性质时，常常采用看一看，画一画，比一比，量一量，算一算，想一想，猜一猜等方法得出结论，并在实验操作中对结论作出解释，这是研究几何图形性质的一种基本方法．但有时视觉上的错觉会误导我们，凭直觉的方法研究几何图形所得出的结论不一定正确，所以我们要学习用逻辑推理的方法（既证明）去探索图形的性质．2．逻辑推理需要依据，依据包括公理，等式与不等式的有关性质以及等量代换，定理．公理：(1)一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；(2)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；(3)如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别对应相等，那么这两个三角形全等；(4)全等三角形的对应边、对应角相等．定理：在公理与依据的基础上，用逻辑推理的方法去证明几何图形的有关命题，并将证得的可以作为进一步推理依据的真命题称为定理．我们需要将证明的每一步的依据要写在所得到的结论后面． 明白证明的必要性师生共同回忆书中的有关性质以及等量代换，定理、公理，并明白证明的书写方法步骤。
（三）实践与探索 例1 用逻辑推理的方法证明三角形的内角和是180度．已知：△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°． 分析 回忆以前将三个内角拼在一起，发现三角形的三个内角的和等于180°，因此要设法将三个内角移在一个平角上，任作一个三角形ABC，延长AB到D，得平角ABD，过点B作BE∥AC，由平行线的性质把三个内角拼到点B处得：三角形内角和定理：三角形的内角和等于180度．说明 (1)为了证明的需要在原来的图中添画的线叫辅助线，辅助线常画成虚线；(2)该定理的推理形式：因为 △ABC，所以∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）；(3)该定理可以作为进一步推理的依据．利用三角形内角和定理，请同学们用逻辑推理的方法来说明（a）四边形内角和等于360°．（b）n边形的内角和等于（n-2）180°．例2 如图，△ABC中，∠ABC的角平分线BD和∠ACB的角平分线CE相交于点O，且∠A=80°，求∠BOC的度数。分析 在△ABC中，已知∠A的度数，利用三角形内角和定理，求∠ABC与∠ACB的和，又因为BD，CE分别平分∠ABC与∠ACB可得∠1与∠2的和，在△BOC中由三角形内角和定理可求∠BOC的度数． 师生共同分析，从180°入手，考虑有几种不同的证法。搞清辅助线的含义及画法并明白定理的推理形式学生自主探究，应用三角形内角和解题。
（四）小结与作业 小结：(1)探索几何图形性质的两种方法不是孤立的，实践为我们作出猜想提供了材料，推理证明为猜想的真实性提供保证；(2)逻辑推理的依据有已知、定义、定理、公理、等式的性质、不等式的性质及等量代换等；(3)注意证明的格式，每一步推理都必须有依据，证明的表述必须条理清晰． 各抒己见，并互相补充。
(五)板书设计
教学内容 证明的再认识(2) 课型 新授课 课时 2 执教 初三数学组
教学目标 知识技能目标1．掌握推理证明的方法与步骤，培养言之有据的思维习惯；2．用所学过的公理，定理，定义进行逻辑推理．过程性目标在推理过程中体会公理与定理，定理与定理之间的逻辑关系，熟练掌握证明的书写格式
教学重点 通过画图得出二次函数特点
教学难点 识图能力的培养
教具准备 投影仪，胶片．
教学过程 教师活动 学生活动
（一）情境导入 我们已经用逻辑推理的方法证明了三角形的内角和等于180度，同学们能否以这个定理为依据，来证明三角形的外角性质？哪位同学来说说三角形的外角具有什么性质？求证：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠CBD是△ABC的一个外角．求证：∠CBD＝∠A+∠C． 学生先思考三角形的外角性质，再画图证明。
(二)探究归纳 我们已经学习了许多图形的性质，有些就是逻辑推理的最原始的依据——公理，还有一些是在公理的基础上用逻辑推理的方法去证明的，如：全等三角形的判定公理：边角边、角边角、边边边．除这些方法以外，同学们还有什么方法判断三角形全等？（角角边）我们一起来证明命题：有两个角及其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等．已知：△ABC和 △A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′．求证：△ABC≌ △A′B′C′． 弄清真命题的分类，并画图证明其中之一：有两个角及其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等
(二)实践与探索1 例1 如图，D是△ABC中BC边上的一点，E是AD上的一点，EB＝EC，∠ABE＝∠ACE．求证：△AEB≌△AEC． 例2 如图，已知点A，C分别是线段BE、BD上的一点，连结AC，EC，AD．求证：∠CAD+∠ACE+∠B+∠D+∠E＝180°．说明 1．换一个角度看，还可把5个角集中转移到平角∠BAE处；2．变式：移动点A和点C的位置，可得一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数． 学生独立分析弄清解法，尽量用多种方法解题。根据180，考虑如何转化为三角形的内角和。学生独立完成。
（三）交流反思，作业 1.有些图形的性质可以通过观察和实验得到的，但仅仅通过观察和实验是不够的，必须要通过证明得到；2.在推理过程中，不能只根据问题的某种相似性，生搬硬套，要正确运用定理公理等依据去证明几何图形的有关命题． 师生共同总结。
（四）板书设计
（五）教后记
教学内容 用推理方法研究三角形(1) 课型 新授课 课时 3 执教 初三数学组
教学目标 知识技能目标1．掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理；2．利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题．过程性目标在证明等腰三角形的有关定理的过程中，进一步体会证明的必要性，掌握证明的书写格式，提高演绎推理能力．
教学重点 1．掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理；2．利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题．
教学难点 在证明等腰三角形的有关定理的过程中，进一步体会证明的必要性，掌握证明的书写格式，提高演绎推理能力．
教具准备 投影仪，胶片．
教学过程 教师活动 学生活动
（一）情境导入 请同学们按以下步骤画△ABC．1．任意画线段BC；2．以B、C为顶点，在BC的同侧作锐角∠B＝∠C，角的两边交于点A． 这个△ABC是一个什么三角形？怎么知道△ABC是一个等腰三角形呢？大家可以用度量或沿AD对折的方法，得到AB＝AC，这实际上就是我们已经学过的等腰三角形的识别方法：等角对等边．同学们是否想过，为什么当△ABC沿AD对折时，AB与AC完全重合？现在我们可以用逻辑推理的方法去证明这个问题． 学生自主画图,回忆识别等腰三角形的方法,并试图证明.
二、探究归纳． 1．求证：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．分析 要证明AB＝AC，可设法构造两个全等三角形，使AB，AC分别是这两个全等三角形的对应边，因此可画∠BAC的平分线AD．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边” 说明(1)还可通过画中线AD或BC边上的高AD得全等三角形．(2)推理形式：因为在△ABC中，∠B＝∠C．（已知）所以AB＝AC．（等角对等边） 师生共同研究文字命题的证明方法,独立写出已知、求证、并证明。思考多种语法，这三线合一的理解打下基础。
2．同学们回忆一下，我们学过的等腰三角形具有哪些性质？(1)等边对等角；(2)等腰三角形的“三线合一”．以前，我们也用折叠的方法（可演示一下）来认识了这两个性质，现在同学们尝试用逻辑推理的方法来证明等腰三角形的性质．先试着画出图形，写出已知，求证．求证：等腰三角形的两个底角相等．已知：△ABC中，AB＝AC．求证：∠B＝∠C．分析 仍可通过画∠BAC的平分线AD来构造全等三角形．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等．（简称为“等边对等角” ）推理形式：因为△ABC中，AB＝AC．（已知）所以∠B＝∠C．（等边对等角）说明(1)也可作中线AD或BC边上的高线AD；(2)由△BAD≌△CAD，可进一步推得BD＝CD，∠BDA＝∠CDA＝90°，因此AD也是中线，是BC边上的高线．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合．（简写成“等腰三角形的三线合一” ） 回忆学过的等腰三角形性质，并独立证明。多种语法，发散思维。理解识记。
（三）实践与探索 例 如图，△ABC中，AB＝AC，E是AC上一点，∠A＝2∠EBC．求证：BE⊥AC．分析 由已知条件∠A＝2∠EBC，联想到作∠A的平分线AD，则∠CAD＝∠EBC，且AD⊥BC，所以∠EBC＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°，即BE⊥AC． 师生共同研究。
（四）小结与作业 1．等腰三角形的性质定理和判定定理是证明线段相等，角相等的重要依据．2．在研究有关等腰三角形的有关问题时，作顶角的平分线（既底边上的高，中线）是最常见的辅助线，可用“三线合一”的性质．平行线也是常用的辅助线，可以转移角或线段的位置．作业 各抒己见，并互相补充。
（五）板书设计
教学内容 用推理方法研究三角形(1) 课型 新授课 课时 4 执教 初三数学组
教学目标 知识技能目标1．掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理；2．利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题．过程性目标在证明等腰三角形的有关定理的过程中，进一步体会证明的必要性，掌握证明的书写格式，提高演绎推理能力．
教学重点 1．掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理；2．利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题．
教学难点 在证明等腰三角形的有关定理的过程中，进一步体会证明的必要性，掌握证明的书写格式，提高演绎推理能力．
教具准备 投影仪，胶片．
教学过程 教师活动 学生活动
（一）情境导入 请同学们按以下步骤画△ABC．1．任意画线段BC；2．以B、C为顶点，在BC的同侧作锐角∠B＝∠C，角的两边交于点A． 这个△ABC是一个什么三角形？怎么知道△ABC是一个等腰三角形呢？大家可以用度量或沿AD对折的方法，得到AB＝AC，这实际上就是我们已经学过的等腰三角形的识别方法：等角对等边．同学们是否想过，为什么当△ABC沿AD对折时，AB与AC完全重合？现在我们可以用逻辑推理的方法去证明这个问题． 学生自主画图,回忆识别等腰三角形的方法,并试图证明.
二、探究归纳． 1．求证：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．分析 要证明AB＝AC，可设法构造两个全等三角形，使AB，AC分别是这两个全等三角形的对应边，因此可画∠BAC的平分线AD．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边” 说明(1)还可通过画中线AD或BC边上的高AD得全等三角形．(2)推理形式：因为在△ABC中，∠B＝∠C．（已知）所以AB＝AC．（等角对等边） 师生共同研究文字命题的证明方法,独立写出已知、求证、并证明。思考多种语法，这三线合一的理解打下基础。
2．同学们回忆一下，我们学过的等腰三角形具有哪些性质？(1)等边对等角；(2)等腰三角形的“三线合一”．以前，我们也用折叠的方法（可演示一下）来认识了这两个性质，现在同学们尝试用逻辑推理的方法来证明等腰三角形的性质．先试着画出图形，写出已知，求证．求证：等腰三角形的两个底角相等．已知：△ABC中，AB＝AC．求证：∠B＝∠C．分析 仍可通过画∠BAC的平分线AD来构造全等三角形．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等．（简称为“等边对等角” ）推理形式：因为△ABC中，AB＝AC．（已知）所以∠B＝∠C．（等边对等角）说明(1)也可作中线AD或BC边上的高线AD；(2)由△BAD≌△CAD，可进一步推得BD＝CD，∠BDA＝∠CDA＝90°，因此AD也是中线，是BC边上的高线．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合．（简写成“等腰三角形的三线合一” ） 回忆学过的等腰三角形性质，并独立证明。多种语法，发散思维。理解识记。
（三）实践与探索 例 如图，△ABC中，AB＝AC，E是AC上一点，∠A＝2∠EBC．求证：BE⊥AC．分析 由已知条件∠A＝2∠EBC，联想到作∠A的平分线AD，则∠CAD＝∠EBC，且AD⊥BC，所以∠EBC＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°，即BE⊥AC． 师生共同研究。
（四）小结与作业 1．等腰三角形的性质定理和判定定理是证明线段相等，角相等的重要依据．2．在研究有关等腰三角形的有关问题时，作顶角的平分线（既底边上的高，中线）是最常见的辅助线，可用“三线合一”的性质．平行线也是常用的辅助线，可以转移角或线段的位置．作业 各抒己见，并互相补充。
（五）板书设计
教学内容 用推理方法研究三角形(3) 课型 新授课 课时 5 执教 初三数学组
教学目标 知识技能目标1.掌握角平分线的性质定理及判定定理，并能用逻辑推理的方法证明；2.知道三角形内心就是三角形三条角平分线的交点；3.能用角平分线的有关定理去证明两个角相等或两条线段相等．过程性目标：能体会到角平分线的性质定理及判定定理的互逆关系，增强概念的辨析能力，提高分析能力．
教学重点 目标1、2、3
教学难点 能体会到角平分线的性质定理及判定定理的互逆关系，增强概念的辨析能力，提高分析能力．
教具准备 投影仪，胶片．
教学过程 教师活动 学生活动
（一）情境导入 在半透明纸上画∠AOB及角平分线OC，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E．沿着射线OC对折，发现PD和PE完全重合，即PD＝PE，由此，我们得到了角平分线的性质．请同学们来叙述这一性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．我们现在可以用逻辑推理的方法去证明这一性质． 学生自主探究,画图,实验
(二)实践与探索1 1.同学们按上述性质画出图形，写出已知、求证，老师及时补充．已知：OC是∠AOB平分线，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足．求证：PD＝PE．分析 只要去证明PD、PE所在的两个直角三角形全等。角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．2.反过来，如果一个点到一个角两边的距离相等，这个点是否就在这个角的平分线上呢？画出图形，我们通过证明来解答这个问题．已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．分析 要证点Q在∠AOB的平分线上，即QO是∠AOB的平分线，画射线OQ，只要证∠AOQ＝∠BOQ，利用H．L．证明△DOQ≌△EOQ，得∠AOQ＝∠BOQ．角平分线判定定理：到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上． 用逻辑推理的方法来证明角平分线的性质定理与角平分线判定定理。
(三)实践与探索2 我们知道，任意三角形的三条角平分线交于一点．现在我们就可以依据角平分线的定理来证明这一事实．分析 要证明三条角平分线交于一点，只需证明其中两条角平分线的交点在第三条角平分线上． 如图，已知AD、BE是△ABC的两条角平分线，AD、BE交于点O，CF平分∠ACB．求证：点O在CF上．说明1.根据角平分线的性质，三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等；2.三角形三条角平分线的角点就是三角形的内心（内切圆的圆心）．例 如图，已知BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别是E、D，BE、CD相交于点O，且∠1＝∠2．求证：OB＝OC．分析 要证明OB＝OC，只要证明△OBD≌△OCE，可利用角平分线及垂线的条件得OD＝OE． 师生共同研究该问题的证明方法，要证明三条角平分线交于一点，只需证明其中两条角平分线的交点在第三条角平分线上．学生独立思考完成证明。
（四）小结与作业 1.角平分线的性质定理与判定定理也是证明线段和角相等的重要依据，不必通过全等三角形可简化证明；2.角平分线的性质定理与判定定理的条件与结论正好相反，要注意两者应用是的区别；3.三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等．作业：1、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F．求证：点F在∠DAE的平分线上．2．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线交BC于点D．求证：AB＝CD+AC． 各抒己见，并互相补充。
（五）板书设计
教学内容 用推理方法研究三角形(3) 课型 新授课 课时 6 执教 初三数学组
教学目标 知识技能目标1.掌握角平分线的性质定理及判定定理，并能用逻辑推理的方法证明；2.知道三角形内心就是三角形三条角平分线的交点；3.能用角平分线的有关定理去证明两个角相等或两条线段相等．过程性目标：能体会到角平分线的性质定理及判定定理的互逆关系，增强概念的辨析能力，提高分析能力．
教学重点 目标1、2、3
教学难点 能体会到角平分线的性质定理及判定定理的互逆关系，增强概念的辨析能力，提高分析能力．
教具准备 投影仪，胶片．
教学过程 教师活动 学生活动
（一）情境导入 在半透明纸上画∠AOB及角平分线OC，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E．沿着射线OC对折，发现PD和PE完全重合，即PD＝PE，由此，我们得到了角平分线的性质．请同学们来叙述这一性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．我们现在可以用逻辑推理的方法去证明这一性质． 学生自主探究,画图,实验
(二)实践与探索1 1.同学们按上述性质画出图形，写出已知、求证，老师及时补充．已知：OC是∠AOB平分线，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足．求证：PD＝PE．分析 只要去证明PD、PE所在的两个直角三角形全等。角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．2.反过来，如果一个点到一个角两边的距离相等，这个点是否就在这个角的平分线上呢？画出图形，我们通过证明来解答这个问题．已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．分析 要证点Q在∠AOB的平分线上，即QO是∠AOB的平分线，画射线OQ，只要证∠AOQ＝∠BOQ，利用H．L．证明△DOQ≌△EOQ，得∠AOQ＝∠BOQ．角平分线判定定理：到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上． 用逻辑推理的方法来证明角平分线的性质定理与角平分线判定定理。
(三)实践与探索2 我们知道，任意三角形的三条角平分线交于一点．现在我们就可以依据角平分线的定理来证明这一事实．分析 要证明三条角平分线交于一点，只需证明其中两条角平分线的交点在第三条角平分线上． 如图，已知AD、BE是△ABC的两条角平分线，AD、BE交于点O，CF平分∠ACB．求证：点O在CF上．说明1.根据角平分线的性质，三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等；2.三角形三条角平分线的角点就是三角形的内心（内切圆的圆心）．例 如图，已知BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别是E、D，BE、CD相交于点O，且∠1＝∠2．求证：OB＝OC．分析 要证明OB＝OC，只要证明△OBD≌△OCE，可利用角平分线及垂线的条件得OD＝OE． 师生共同研究该问题的证明方法，要证明三条角平分线交于一点，只需证明其中两条角平分线的交点在第三条角平分线上．学生独立思考完成证明。
（四）小结与作业 1.角平分线的性质定理与判定定理也是证明线段和角相等的重要依据，不必通过全等三角形可简化证明；2.角平分线的性质定理与判定定理的条件与结论正好相反，要注意两者应用是的区别；3.三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等．作业：1、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F．求证：点F在∠DAE的平分线上．2．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线交BC于点D．求证：AB＝CD+AC． 各抒己见，并互相补充。
（五）板书设计
教学内容 用推理方法研究三角形(5) 课型 新授课 课时 7 执教 初三数学组
教学目标 知识技能目标1.正确理解逆命题、逆定理的概念，会识别互逆命题，能正确判断命题的真假；2.会证明勾股定理的逆定理，能熟练运用勾股定理及其逆定理进行推理、计算．过程性目标1.能体会到角平分线的性质定理及判定定理的互逆关系，增强概念的辨析能力，提高分析能力；2.在证明及运用线段的垂直平分线的定理的过程中，体会两个定理条件与结论之间的变化，进一步提高分析问题、解决问题的能力．
教学重点 知识技能目标中的1、2
教学难点 过程性目标中的1、2
教具准备 投影仪，胶片．
教学过程 教师活动 学生活动
（一）情境导入 前面我们已经用逻辑推理的方法证明了很多定理，如等腰三角形的性质与判定定理、角平分线的性质与判定定理、线段的垂直平分线的性质与判定定理等，这些定理都是命题．再如：“两直线平行，内错角相等”；“内错角相等，两直线平行”也是命题．观察这些命题的题设与结论，你发现了什么？ 学生回忆前面学习的有关定理,自主探究, 观察这些命题的题设与结论,发现特点.
(二)实践与探索1 1．命题“两直线平行，内错角相等”的题设是 ，结论是 ；命题“内错角相等，两直线平行”的题设是 ，结论是 ．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个就叫做它的逆命题．所以上述两个命题叫做互逆命题，如“两直线平行，内错角相等”为原命题，则“内错角相等，两直线平行”为逆命题，反之也可以．2．每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设与结论互换，便可得到原命题的逆命题．但是，原命题正确，它的逆命题未必正确，也就是说原命题与逆命题的真假之间没有必然的联系．比如“对顶角相等”是真命题，但它的逆命题“相等的角是对顶角”是一个假命题．3．我们知道定理是命题，所以定理一定有逆命题．我们还知道定理是真命题，但定理的逆命题却不一定是真命 学生抢答。通过特例初步感知原命题逆命题的相关概念。深入理解原命题、逆命题；原定理与逆定理的相关概念。
题，如果是真命题，则定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．比如我们刚才所讲的命题“两直线平行，内错角相等”；“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理．再比如等腰三角形的性质定理与判定定理也是互逆定理，同学们能否再举一些互逆定理？
（三）实践与探索2 例1 写出下列命题的逆命题，判断原命题与逆命题的真假．(1)全等三角形的面积相等；(2)同角的余角相等；(3)如果|a|＝|b|，那么a＝b；(4)到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；(5)线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．例2 写出勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题，并证明逆命题是真命题．已知：△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，且a2+b2＝c2．求证：△ABC是直角三角形．分析 首先构造一个直角三角形ABC，使得∠C′＝90°，B′C′＝a， C′A′＝b，然后可以证明△ABC≌△A′B′C′，从而可知△ABC是直角三角形．勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．例3 如图，四边形ABCD是边长a为的正方形，M为AB中点，E为AD上一点，且AE＝AD．求证：△EMC是直角三角形． 学生抢答，假命题并举例说明。。学生独立写已知、求证，并合作交流证法，如果不会做，老师可作指点。独立思考完成证明。
（四）小结与作业 1、谈一下逆逆命题，互逆定理作业：给定一个三角形的两边长分别是5、12，当第三条边为多长时，这个三角形是直角三角形？ 各抒己见，相互补充。
（五）板书设计
教学内容 用推理方法研究四边形(1) 课型 新授课 课时 8 执教 初三数学组
教学目标 知识技能目标1.掌握平行四边形的性质，会用推理的方法证明一个四边形是平行四边形；2.能运用平行四边形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算．过程性目标1.掌握证明的一般步骤；2.会运用公理、定理、定义通过逻辑推理来证明以前通过实验操作得到的几何命题．
教学重点 知识技能目标1、2
教学难点 过程性目标2
教具准备 投影仪，胶片．
教学过程 教师活动 学生活动
（一）情境导入 在第12章中，我们已学过平行四边形的性质与判定，回忆有哪些性质与判定,你能用逻辑推理的方法来证明它们吗 思考回忆,并互相补充。
(二)实践与探索1 根据学生的回忆选择“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”吗？来证明知识回顾：要证明一个命题须分三步来完成：①画图；②结合图形写出已知、求证；③证明．已知：如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD．求证：四边形ABCD是平行四边形．分析 要证明四边行ABCD是平行四边形，目前只能用平行四边形的定义来证明，即只要证明另一组对边平行即可，因此可以连结其中一条对角线，利用全等三角形对应角相等来证明内错角相等．于是得：平行四边形判定定理1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边．利用全等三角形的性质，同样可以证明下列平行四边形判定定理．平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形．平行四边形判定定理3 两组对角分别相等的四边形是平行四边形．平行四边形判定定理4 对角线互相平分的四边形是平行四边形 学生画图写已知、求证并证明。识记，并分组证明其它的判定定理。
同样，我们也可用逻辑推理的方法来证明平行四边形的性质．平行四边形性质定理1 平行四边形的对边相等．已知： 如图，四边形ABCD是平行四边形．求证： AB＝CD， BC＝DA．分析 要证明平行四边形的对边相等，可以连结其中一条对角线，把平行四边形分成两个三角形，然后利用全等三角形对应边．相等于是可得：平行四边形性质定理2 平行四边形的对角相等．同样，我们也可证明：平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分．例1 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，且AE＝CF． 求证：BF∥DE．分析 要证BF∥DE，只要证四边形EBFD是平行四边形即可变式应用：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是对角线AC上的两点，且AE＝CF，那么 BF∥DE成立吗？ 独立思考证明。老师与学生共同总结思想方法，应把四边形的问题转化为三角形来证明。学生独立证明。
（四）小结与作业 1.学习平行四边形的性质与判定，可按边的关系，角的关系以及对角线的关系进行分类记忆；2.在证明有关平行四边形问题时，要根据已知条件的特征，正确合理地使用平行四边形的性质与判定；3.可以用有关平行四边形知识证明的问题，不要倒退到利用三角行的全等来证明．作业：如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、F分别是边AB、DC的中点．求证：EF＝BC 各抒己见，并相互补充。
（五）板书设计
教学内容 用推理方法研究四边形(2) 课型 新授课 课时 9 执教 初三数学组
教学目标 知识技能目标1.掌握矩形的性质，会用推理的方法证明一个四边形是矩行；2.能运用矩形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算．过程性目标经历探索矩形有关性质与判定条件的过程，在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯．
教学重点 知识技能目标1、2
教学难点 经历探索矩形有关性质与判定条件的过程，在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯．
教具准备 投影仪，胶片．
教学过程 教师活动 学生活动
（一）情境导入 教师出示教具：“一个活动的平行四边形木框”，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上．拉动一对不相邻的顶点A、C，立即改变平行四边形的形状．学生思考如下问题： (1)无论∠1如何变化，四边形ABCD还是平行四边形吗？(2)随着∠1的变化，两条对角线长度有没有变化？(3)当∠1为什么角时，这个平行四边形就变成一个特殊的平行四边形——矩形？这时两条对角线长度有没有关系？ 学生观察教具，思考问题，激发探究热情。
(二)实践与探索1 我们知道矩形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的性质，而且还具有一些特殊的性质．根据矩形的定义，矩形是平行四边形，且有一个角是直角，从而可得：定理矩形的四个角都是直角．由问题(3)我们还知道定理“矩形的对角线相等”．你会用推理的方法证明吗？ 已知：如图，四边形ABCD是矩形．求证：AC＝BD．分析 由于AC、BD分别是△ABC、△DCB的边，因此要证AC＝BD，只要证△ABC≌△DCB．那么要判定一个四边形是不是矩形，除了利用矩形的定义直接判定外，还有如下的判定定理：定理 有三个角是直角的四边形是矩形．思考 根据对角线之间的关系能否判定一个平行四边形是矩形呢？再看上面一个活动的平行四边形木框,保持边的大小不变，仅改变内角大小，观察对角线的变化，当对 思考矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等，有三个角是直角的四边形是矩形．对角线相等的平行四边形是矩形的证明方法，并分组证明。
角线具有什么性质时，平行四边形变为矩形．定理 对角线相等的平行四边形是矩形．上述两条定理是矩行的判定定理
（三）实践与探索2 例1 求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．本题的关键在于证明四边形AEBC是一个矩形．即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．以后把这条作为直角三角行的性质定理． 思考，讨论如何构造矩形来解题。
（四）小结与作业 1.矩形的性质：(1)矩形具有平行四边形的一切性质；(2)矩形的四个内角都是直角；(3)矩形的对角线相等且互相平分．2.矩形的判定：(1)有三个角是直角的四边形是矩形；(2)有一个内角是直角的平行四边形是矩形；(3)两条对角线相等的平行四边形是矩形．作业：1.已知：平行四边形ABCD的四个内角的平分线交于E、F、G、H．求证：EG＝HF．2.如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点．求证：EB＝ED． 谈一下本节课学习了哪些结论，各抒己见。
（五）板书设计
教学内容 用推理方法研究四边形(3) 课型 新授课 课时 10 执教 初三数学组
教学目标 知识技能目标1.掌握菱形的性质，会用推理的方法证明一个四边形是菱形；2.能运用菱形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算．过程性目标经历探索菱形有关性质与判定条件的过程，在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯．
教学重点 知识技能目标1、2
教学难点 经历探索菱形有关性质与判定条件的过程，在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯．
教具准备 投影仪，胶片．
教学过程 教师活动 学生活动
（一）情境导入 教师出示教具：“一个活动的平行四边形木框”，用两根橡皮筋分别套在相邻的两个顶点上．平行移动另一对相邻的顶点B、C，立即改变平行四边形的形状． 学生思考如下问题：(1)无论BC平行移到什么位置，四边形ABCD还是平行四边形吗？(2)当BC移动什么位置时，这个平行四边形就变成一个特殊的平行四边形——菱形？这时两条对角线有什么位置关系？ 学生观察教具，思考问题，激发探究热情。
(二)实践与探索1 我们知道菱形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的性质，而且还具有一些特殊的性质．根据菱形的定义，菱形是平行四边形，且有一组邻边相等，从而可得：定理菱形的四条边都相等．由问题(2)我们还知道定理 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．会用推理的方法证明吗？已知：如图，四边形ABCD是菱形．分析 要证AC⊥BD，AC平分∠DAB，只要证明△DAB是等腰三角形，且AC平分BD．要判定一个四边形是不是菱形，除了利用菱形的定义直接判定外，还有如下的判定定理：定理 四条边相等的四边形是菱形思考 根据对角线之间的关系能否判定一个平行四边形是菱形呢？再看上面一个活动的平行四边形木框,保持内角大小不变，仅改变边的大小，观察对角线的变化，当对角线具有什么性质时，平行四边形变为菱形？定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形已知：如图，四边形ABCD是菱形．求证：AC⊥BD；AC平分∠DAB，CA平分∠BCD，BD平分∠ABC，DB平分∠CDA． 思考菱形的四条边都相等,菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．四条边相等的四边形是菱形,对角线互相垂直的平行四边形是菱形的证明方法，并分组证明。
分析 要证AC⊥BD，AC平分∠DAB，只要证明△DAB是等腰三角形，且AC平分BD．要判定一个四边形是不是菱形，除了利用菱形的定义直接判定外，还有如下的判定定理：定理 四条边相等的四边形是菱形思考 有哪些方法可以判断一个四边形是菱形？ 讨论交流。
(三)实践与探索 例1 如图，在菱形ABCD中，M是AB的中点，且DM⊥AB，则ΔABD是什么三角形 例2 如图，AD是ΔABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DE∥BA交AC于F．猜想AD与EF是什么关系 独立思考画图解答。先猜想结论，再画图证明。
(四)小结与反思 1.菱形的性质：(1)菱形具有平行四边形的一切性质；(2)菱形的四条边都相等；(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．2.菱形的判定：(1)四条边相等的四边形是菱形；(2)有一组邻边相等平行四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 各抒己见，相互补充。
(五)板书设计
教学内容 用推理方法研究四边形(4) 课型 新授课 课时 11 执教 初三数学组
教学目标 知识技能目标1.掌握正方形的性质，会用推理的方法证明一个四边形是正方形；2.能运用正方形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算．过程性目标经历探索正方形有关性质与判定条件的过程，在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯．
教学重点 知识技能目标1、2
教学难点 经历探索正方形有关性质与判定条件的过程，在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯．
教具准备 投影仪，胶片．
教学过程 教师活动 学生活动
（一）情境导入 1.展开活动的衣帽架（如图）．图(1)的α在不断的地变化过程中．这个图形始终是怎样的图形？生答：菱形．老师继续问当α＝90°时，这个图形还是菱形吗？如上图(2)．有的生答：不是，是正方形．有的生答：是，还是菱形，是一个特殊的菱形．最后老师进行评判，并指出：当α＝90°时，这个四边形还是菱形．因为它是邻边相等的平行四边形．但它是特殊的菱形是一个内角为直角的菱形也是正方形．2.展开一边固定对边活动的矩形．将活动的矩形架的CD边左右移动时，问：图中CD在移动时，这个图形始终是怎样的图形？（CD在活动的过程中始终保持与AB平行）生答：矩形．当CD移动到C′D′位置，且AC′＝AB时，此时的图形还是矩形吗？这时生回答：是，是矩形，但它是特殊的矩形，也是正方形． 学生观察教具，思考问题，激发探究热情初步感知正方形的识别方法。
（二）探究归纳 我们已经知道正方形既是矩形，又是菱形，因此，正方形具有矩形和菱形的所有性质．定理 正方形的四个角都是直角，四条边都相等．正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组 思考正方形有哪些性质，如何判定。
对角．反之，如果一个四边形既是矩形，又是菱形，那么这个四边形一定是正方形．于是可得：定理 有一个角是直角的菱形是正方形．定理 有一组邻边相等的矩形是正方形．
（三）实践与探索2 例1 求证：依次连结正方形各边中点所成的四边形是正方形．已知：如图27.3.7，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是正方形．变式应用 如图，已知点A′B′C′D′分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA′＝BB′＝CC′＝DD′，求证：四边形A′B′C′D′是正方形． 学生画图独立解题。弄清证明的思路。
（四）小结与作业 1.正方形具有平行四边形的一切性质：两组对边平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分；2.正方形具有矩形的一切性质：四个角都是直角，对角线相等；3.正方形具有菱形的一切性质：四条边相等，对角线垂直；4.有一个角是直角的菱形是正方形；5.有一组邻边相等的矩形是正方形． 各抒己见，相互补充。
（五）板书设计
教学内容 等腰梯形 课型 新授 课时 12 执教 初三数学组
教学目标 通过探究深入理解等腰梯形的性质定理和判定定理．通过例题的教学了解常用的辅助线的作法,并能灵活运用它们解题．进一步训练说理的能力．通过学习，进一步培养自主探究和合作交流的学习习惯；进一步了解特殊与一般的辩证唯物主义观点．
教学重点 通过探究深入理解等腰梯形的性质定理和判定定理．
教学难点 进一步训练说理的能力
教具准备 投影仪，胶片．
教学过程 教师活动 学生活动
（一）复习旧知，创设情境，激发探究热情． 问题：在第十二章中，我们已学过等腰梯形的一些性质，请同学们说一说等腰梯形有哪些主要的性质 (老师同时板书：１、等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等。２、等腰梯形的两条对角线相等)你会用逻辑推理的方法来证明这些性质吗 观察后，先自主探究，再合作交流，看谁说得最多。回忆逻辑推理的方法
（二）自主探究与合作交流研究等腰梯形的性质定理与判定定理。 研究等腰梯形的性质定理：（１）等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等。老师指导学生写出已知、求证并引导学生分析证明方法：已知：如图在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＤＣ求证：∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ，∠ＢＡＤ＝∠ＣＤＡ证法（一）平移一腰，构造等腰三角形 （二）作高构造全等三角形。 （２）等腰梯形的两条对角线相等生仿（１）解题略。２、研究等腰梯形的判定定理：先引导学生根据命题与逆命题的关系说出两个判定定理，并分组进行证明。 读题，弄清题设与结论，分析如何写出已知、求证，自主探究证明的思路后再与其它学生合作交流，进一步充实自己的思想。仿照上一定理的证明过程，独立完成。并归纳常用的辅助线作法。
（三）应用与拓展 题组一、给出下面命题：（１）有两个角相等的梯形是等腰梯形；（２）有两条边相等的梯形是等腰梯形；（３）对角线相等的梯形是等腰梯形；（４）等腰梯形上、下底中点的连线垂直于底边。其中正确的命题共有（ ）个。题组二、在等腰梯形ＡＢＣＤ中，ＤＣ∥ＡＢ，ＡＤ＝ＢＣ，对角线ＡＣ┻ＢＤ于点Ｏ，若ＤＣ＝３cm,AB=8cm,求梯形的高。 独立思考后抢答。合作交流，共同研究辅助线作法。
（四）小结与作业 小结：谈一下你有哪些收获？作业：Ｐ５７第６题 各抒己见。
（五）板书设计 课题：等腰梯形性质定理 例题： 判定定理
（六）课后小结
教学内容 中位线 课型 新授 课时 13 执教 初三数学组
教学目标 １、经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质定理形成过程，掌握两个定理，并能利用它们解决简单的问题。２、通过命题的教学了解常用的辅助线的作法,并能灵活运用它们解题．３、进一步训练说理的能力．４、通过学习，进一步培养自主探究和合作交流的学习习惯；进一步了解特殊与一般的辩证唯物主义观点；转化的思想。
教学重点 １、经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质定理形成过程，掌握两个定理，并能利用它们解决简单的问题。
教学难点 进一步训练说理的能力
教具准备 投影仪，胶片．
教学过程 教师活动 学生活动
（一）创设实践情境，激发探究热情。 尝试问题：如下图：已知△ＡＢＣ如下要求作图，并回答下面的问题： Ａ （１）取ＡＢ中点Ｄ，取ＡＣ中点Ｅ，并连结ＤＥ （２）猜想：ＤＥ与ＢＣ的关系 （３）对任意三角形还成立吗？ 能一般的说明它的正确性吗？Ｂ Ｃ 先动手实践，再观察猜想结论。对于（３）可合作交流看法。回忆逻辑推理的方法
（二）自主探究与合作交流研究三角形的中位线性质定理与梯形中位线性质定理。 首先介绍三角形的中位线, 梯形中位线的概念,并强调指出它与三角形中线的区别。三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。老师指导学生写出已知、求证并引导学生分析证明方法： 已知： 如图27.3.11所示，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC．求证： DE∥BC，DE＝BC．分析: 要证DE∥BC，DE ＝BC，可延长DE到F，使EF＝DE，于是本题就转化为证明DF＝BC，DE∥BC，故只要证明四边形BCFD为平行四边形． 学生在老师的指导下写出已知和求证,并合作交流证明方法。
思考：本题还有其它的解法吗？可引导作如下的辅助线作法。 （二）梯形的中位线定理：梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半．已知： 如图27.3.12所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE＝BE，DF＝CF．求证： EF∥BC，EF＝（AD＋BC）．分析 由于本题结论与三角形中位线定理的结论比较接近，可以连结AF，并延长AF交BC的延长线于G，证明的关键在于说明EF为△ABG的中位线．于是本题就转化为证明AF＝GF，AD＝CG，故只要证明△ADF≌△GCF． 与自己的想法对照，一题多解，培养自己的发散思维能力。仿照上一定理的证明过程，独立完成。并归纳常用的辅助线作法。
（三）应用与拓展 例3 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．已知： 如图27.3.13所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．求证： AE、DF互相平分．证明 连结DE、EF．因为AD＝DB，BE＝EC，所以DE∥AC（三角形中位线定理）同理 EF∥AB．所以四边形ADEF是平行四边形（平行四边形的定义）．因此AE、DF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）． 自主探究证法，指派一名学生谈思路。合作交流，共同研究常用辅助线作法。
［同步训练］ 如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点．求证：四边形ADEF是菱形． 独立思考后请一生谈思路。
（四）小结与作业 小结：谈一下你有哪些收获？作业：Ｐ６１第８题 各抒己见。
（五）板书设计 课题：中位线 例题：名称 图形 定理 三角形的中位线梯形的中位线
（六）教后记
教学内容 中位线 课型 新授 课时 14 执教 初三数学组
教学目标 知识与技能目标：1、经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质定理形成过程，掌握两个定理，并能利用它们解决简单的问题。２、通过命题的教学了解常用的辅助线的作法,并能灵活运用它们解题．过程与方法目标：通过实践猜想、探究、说理，学会命题证明的一般方法。情感与态度目标：通过学习，进一步培养自主探究和合作交流的学习习惯；进一步了解特殊与一般的辩证唯物主义观点；转化的思想。
教学重点 １、经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质定理形成过程，掌握两个定理，并能利用它们解决简单的问题。
教学难点 进一步训练说理的能力
教具准备 投影仪，胶片．
教学过程 教师活动 学生活动
（一）创设实践情境，激发探究热情。 尝试问题：如下图：已知△ＡＢＣ如下要求作图，并回答下面的问题： Ａ （１）取ＡＢ中点Ｄ，取ＡＣ中点Ｅ，并连结ＤＥ （２）猜想：ＤＥ与ＢＣ的关系 （３）对任意三角形还成立吗？ 能一般的说明它的正确性吗？Ｂ Ｃ 先动手实践，再观察猜想结论。对于（３）可合作交流看法。回忆逻辑推理的方法
（二）自主探究与合作交流研究三角形的中位线性质定理与梯形中位线性质定理。 首先介绍三角形的中位线, 梯形中位线的概念,并强调指出它与三角形中线的区别。(画图从定义上去区别)三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。老师指导学生写出已知、求证并引导学生分析证明方法： 已知： 如图27.3.11所示，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC．求证： DE∥BC，DE＝BC．分析: 要证DE∥BC，DE ＝BC，可延长DE到F，使EF＝DE，于是本题就转化为证明DF＝BC，DE∥BC，故只要证明四边形BCFD为平行四边形． 学生在老师的指导下写出已知和求证,并合作交流证明方法。
思考：本题还有其它的解法吗？可引导作如下的辅助线作法。 （二）梯形的中位线定理：梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半．已知： 如图27.3.12所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE＝BE，DF＝CF．求证： EF∥BC，EF＝（AD＋BC）．分析 由于本题结论与三角形中位线定理的结论比较接近，可以连结AF，并延长AF交BC的延长线于G，证明的关键在于说明EF为△ABG的中位线．于是本题就转化为证明AF＝GF，AD＝CG，故只要证明△ADF≌△GCF． 与自己的想法对照，一题多解，培养自己的发散思维能力。仿照上一定理的证明过程，独立完成。并归纳梯形常用的辅助线作法。
（三）应用与拓展 例3 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．已知： 如图27.3.13所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．求证： AE、DF互相平分．证明 连结DE、EF．因为AD＝DB，BE＝EC，所以DE∥AC（三角形中位线定理）同理 EF∥AB．所以四边形ADEF是平行四边形（平行四边形的定义）．因此AE、DF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）． 自主探究证法，指派一名学生谈思路。合作交流，共同研究常用辅助线作法。
［同步训练］ 如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点．求证：四边形ADEF是菱形． 独立思考后请一生谈思路。
（四）小结与作业 小结：谈一下你有哪些收获？作业：Ｐ６１第８题 各抒己见。
（五）板书设计 课题：中位线 例题：名称 图形 定理 三角形的中位线梯形的中位线
（六）教后记
教学内容 反证法 课型 新授课 课时 15 执教 初三数学组
教学目标 通过具体例子，使学生体会反证法证明命题的方法，了解反证法的步骤，能初步应用反证法证明一些简单的命题。
教学重点 体会反证法证明命题的思路方法，用反证法证明简单的命题.
教学难点 体会反证法证明命题的思路方法，用反证法证明简单的命题
教具准备 投影仪，胶片．
教学过程 教师活动 学生活动
（一）情境导入 思考：在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°。 求证；a2＋b2≠c2。 有些命题想从已知条件出发，经过推理，得出结论是很困难的，因此，人们想出了一种证明这种命题的方法，即反证法。假设a2＋b2＝c2，则由勾股定理的逆定理可以得到∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90°产生矛盾，因此，假设a2＋b2＝c2是错误的。所以a2＋b2≠c2是正确的。 学生自主探究,发现用以前的证明方法不能很好的说明问题，激发探究热情。并通过该例，初步感知反证法的基本步骤。
(二)归纳反证法的步骤 1．假设命题的结论的反面是正确的；2．从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、巳证的定理、定义或已知条件矛盾；3．由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论是正确的。 对照上面的问题归纳三个步骤。
(三)例题探究 例1．已知：如图，设点A、B、C在同一条直线l上。求证：经过A、B、C三点不能作一个圆。 分析：按照反证法的步骤，先假设过A、B、C三点可以作一个圆，然后由这个假设出发推下去，得出矛盾．证明：假设过A、B、C三点可以作圆，设这个圆的圆心为O，显然A、B、C三点在这个圆上，所以OA＝OB＝OC，由线段的垂直平分线的判定定理可以知道，O点既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，也就是说，O点是l1和l2的交点，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾。所以，过同一条直线上的三点不能作圆。例2．求证；在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。 师生共同研究证法，如何反设，如何归谬，如何下结论。学生独立完成。
已知；△ABC。求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°。证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，即∠A＞60°、∠B＞60°、∠C＞60°。于是∠A＋∠B＋∠C＞60°＋60°＋60°＝180°，这与三角形的内角和等于180°矛盾。所以三角形中至少有一个内角小于或等于60°。练习：用反证法证明下列各题：1．在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等。2．在一个梯形中，如果同一条底边上的两个内角不相等，那么这个梯形是等腰梯形吗 请证明你的猜想。 分组练习。
（四）小结与作业 通过本节课的学习，同学们体会了在证明命题另一种方法，即反证法，它是当有的命题从已知条件出发，经过推理，很难得出结论时，人们想出的一种证明命题的方法，希望同学们能运用这种方法证明一些简单的命题。 谈谈反证法的思想，及如何应用。
（五）板书设计
(六)教学后记
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