第十五章 分式 单元练习题（含解析）

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第十五章 分式 单元练习 2023-2024学年人教版八年级数学上册 （含解析）
一、单选题
1．（2023春·江西吉安·八年级统考期末）若要使分式有意义，则的取值范围是（ ）
A．x≠-3 B． C． D．
2．（2023春·河南周口·八年级统考期末）下列各式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·北京大兴·八年级统考期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023秋·河北邢台·八年级邢台市第七中学校考期末）已知，则的值是（ ）
A．4 B． C． D．5
5．（2023春·四川达州·八年级统考期末）某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）已知n为整数，当 时，分式的值是整数．
7．（2021秋·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）计算（﹣）3÷（﹣）2的结果是 ．
8．（2023秋·河北邢台·八年级邢台市第七中学校考期末）已知，则式子的值等于 ．
9．（2023秋·江西赣州·八年级校考期末）某种新冠病毒的直径为0.0000076cm，将数字0.0000076用科学记数法表示为
10．（2023春·四川雅安·八年级统考期末）已知关于x的不等式组无解，且关于x的分式方程的解是正整数，则整数m的值为 ．
三、解答题
11．（2023春·安徽宿州·八年级统考期末）观察以下等式：
第1个等式：； 第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；……；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式 ；
(2)写出你猜想的第n个等式 （用含n的等式表示），并证明．
12．（2022秋·湖南永州·八年级统考期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
(1)下列分式：①； ②；③；④其中不是“和谐分式”的是(填写序号即可)；
(2)若a为整数，且为“和谐分式”请求出a的值．
13．（2023春·山东青岛·八年级统考期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是______；（只填序号）
①； ②； ③； ④．
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：______；
(3)判断的结果是否为“和谐分式”，并说明理由．
14．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）为了美化周围环境，社区购买了A、B两种不同品种的花苗，已知A种花苗的单价比B种花苗的单价多1.5元，且用8000元购买A种花苗的数量与用5000元购买B种花苗的数量相同．
(1)求A、B两种花苗的单价各是多少元？
(2)根据实际情况需要，社区还需要增加购买一些花苗，增加购买B种花苗数量是增加购买A种花苗数量的2倍，若本次增加购买的总费用不超过7200元，求增加购买A种花苗的数量最多是多少株？
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参考答案：
1．D
【分析】根据分式有意义的条件判断即可．
【详解】要使分式有意义，则，解得：，
故选：．
【点睛】此题考查了分式有意义的条件，解题的关键是判断分式中分母不等于零时，分式有意义．
2．B
【分析】根据最简分式的定义逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A 、，故A不符合题意；
B、不能继续化简了，是最简分式，故选项B符合题意；
C、，故选项C不符合题意；
D、，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查最简分式的识别，解题的关键是掌握最简分式的定义．
3．C
【分析】根据同底数幂的乘法以及幂的乘方，分式的乘方以及合并同类项的法则，分别进行判断即可．
【详解】解：A. ，故此选项错误，不合题意；
B. ，故此选项错误，不合题意；
C. ，故此选项正确，符合题意；
D. ，不是同类项不能进行合并 ，故此选项错误，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项的法则，以及同底数幂的乘法以及幂的乘方，分式的乘方，解题的关键是要熟练相关的运算法则．
4．C
【分析】对进行等价变形得到，再整体代入待求的代数式中计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴．
∴．
∴
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，正确的对代数式进行变形是解题关键．
5．C
【分析】根据题意列出方程即可．
【详解】由题意得：
．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
6．或0或2或3
【分析】根据分式的值是整数，得出2能别整除，则或或1或2，求解即可．
【详解】解：∵分式的值是整数，
∴2能别整除，
∴或或1或2，
解得：或0或2或3，
故答案为：或0或2或3．
【点睛】本题主要考查了分式，解题的关键是根据整数的定义得出2能别整除．
7．﹣
【分析】原式先计算乘方运算，再计算除法运算即可得到结果．
【详解】解：原式＝
=
=．
故答案为：﹣．
【点睛】本题考查含乘方的分式乘除混合运算，熟练掌握含乘方的分式乘除混合运算的法则和顺序是解题关键．
8．
【分析】先将已知等式变形为，再把化简，最后整体代入计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握异分母分式加法的运算法则是解题的关键．
9．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．易错点在于容易弄错次数．
10．1或0或/0或1
【分析】根据不等式组无解得到，得到，再结合分式方程的解是正整数，进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的不等式组无解，
∴，
∴；
∵，解得：，
∵分式方程的解是正整数，且且m为整数，
∴或或或，
∴；
∵且，
∴．
故答案为：1或0.
【点睛】本题考查根据不等式组的解集，分式的解的情况，求参数．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
11．(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据上述等式可知，减数的分母是被减数分母分子的乘积，分子是被减数分子分母的和，差与被减数互为倒数，被减数的分母比分子小1，由此即可得到第5个等式；
（2）根据上述等式的规律，求解等式的左边等于等式的右边，即可．
【详解】（1）解：第个等式：，
第个等式，
第个等式，
第个等式，
∴第个等式为：．
故答案为：．
（2）由（1）得，第个等式：，
证明如下：
，
等式左边右边，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式有关的规律探索，解题的关键是观察等式，得到规律，进行解答．
12．(1)②③④
(2)或或
【分析】（1）根据“和谐分式”的定义，进行判断即可；
（2）根据“和谐分式”的定义，可知可以进行因式分解，且不能有因式，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：
①，是“和谐分式”；
②，分式可以约分，不是“和谐分式”；
③，分式可以约分，不是“和谐分式”；
④，分式可以约分，不是“和谐分式”；
综上，不是“和谐分式”的是②③④；
故答案为：②③④；
（2）解：∵为“和谐分式”，
∴可以进行因式分解，且不能有因式，
∴或或或，
∴或或．
【点睛】本题考查新定义，以及因式分解．理解并掌握“和谐分式”的定义，以及公式法和十字相乘法因式分解，是解题的关键．
13．(1)①③
(2)
(3)是，理由见解析
【分析】（1）依据题意，根据和谐分式的意义逐个判断即可得解；
（2）依据题意，分子进而变形可以得解；
（3）依据题意，首先通过分式的混合运算法则进行化简，然后再依据和谐分式的意义判断即可得解．
【详解】（1）解：∵，
∴①是和谐分式；
∵分式分子的次数低于分母次数，
∴该分式不等化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的性质，
∴②不是和谐分式；
∵，
∴③是和谐分式；
∵，
∴④不是和谐分式；
（2）解：
；
（3）解：的结果是“和谐分式”．
∴该分式是和谐分式．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题时要能熟练掌握并理解．
14．(1)A种花苗的单价为4元，B种花苗的单价为2.5元
(2)增加购买A种花苗的数量最多是800株
【分析】（1）设A种花苗的单价为x元，则B种花苗的单价为元，根据题意列出分式方程求解即可；
（2）设增加购买A种花苗的数量是m株，根据题意列出不等式，然后根据m为正整数求解即可．
【详解】（1）设A种花苗的单价为x元，则B种花苗的单价为元，
根据题意，得：，
解方程，得：．
经检验：是原方程的根，且符合题意．
所以．
答：A种花苗的单价为4元，B种花苗的单价为2.5元；
（2）设增加购买A种花苗的数量是m株，
根据题意，得：，
解不等式，得：．
因为m为正整数，所以正整数m的最大值为800，
答：增加购买A种花苗的数量最多是800株．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
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