第十一章 三角形单元练习题（含解析）
文档属性
| 名称 | 第十一章 三角形单元练习题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 652.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-11 20:55:03 | ||
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文档简介
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第十一章 三角形 单元练习 2023-2024学年人教版八年级数学上册 （含解析）
一、单选题
1．一个三角形的两边长分别为，，则这个三角形的第三条边的长可能是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，边上的高线是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段BC D．线段
3．如图，盖房子时，在窗框没有安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条让其固定，其所运用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短
4．对任意一个三角形，下列说法正确的是（ ）
A．至少有一个角大于 B．至少有一个角小于
C．至少有一个角大于 D．至多有一个角大于
5．如图，这是一副三角板叠放在一起的示意图，则图中等于（ ）
A． B． C． D．
6．我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，…，请你计算凸十边形对角线的总条数（ ）
A．54 B．44 C．35 D．27
7．如图，八角帽又称“红军帽”，其帽顶近似正八边形．那么正八边形的一个外角的大小为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．如图，在中，已知点D，E，F分别为边，，的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于 ．
9．如图，已知是的边上的中线，若，的周长比的周长多，则 ．
10．如图，在中，，平分交于点，交的延长线于点．若，则 ．
11．我们知道，三角形的稳定性在日常生活中被广泛运用.要使不同的木架不变形，四边形木架至少要再钉1根木条；五边形木架至少要再钉2根木条；…按这个规律，要使边形木架不变形至少要再钉 根木条.（用表示，为大于3的整数）
12．正五边形和正方形的位置如图所示，连接，则的度数为 度.
三、解答题
13．已知a，b，c是的三边．
(1)化简；
(2)若a和b满足方程组，且c为偶数，求这个三角形的周长．
14．如图，，平分，．
(1)与平行吗？请说明理由；
(2)与的位置关系如何？为什么？
(3)若平分．证明：．
15．如图，处在处的南偏东30°方向，处在处的北偏东70°方向，处在处的北偏东45°方向，求的度数．
16．探究归纳题：
（1）试验分析：
如图1，经过A点可以作1条对角线；同样，经过B点可以作1条对角线；经过C点可以作1条对角线；经过D点可以作1条对角线．通过以上分析和总结，图1共有________条对角线；
（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有________条对角线；图3共有________条对角线；
（3）探索归纳：对于n边形（n＞3），共有________条对角线；（用含n的式子表示）
（4）特例验证：十边形有________对角线．
17．在“平面图形的镶嵌”学习中，主要研究了一种或两种正多边形的镶嵌问题，请运用所学知识完成下列问题．
(1)填写表中空格．
正多边形的边数 6 8
正多边形每个内角的度数
(2)根据题意，如果仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形；
(3)假设在镶嵌的平面图形的一个顶点周围有个正四边形，个正八边形，求和的值，请写出过程．
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参考答案：
1．B
【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可作答．
【详解】解：A、因为，所以不满足三角形的两边之和大于第三边，A选项不正确；
B、因为，，所以满足三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，B选项正确；
C、因为，所以不满足三角形的两边之差小于第三边，C选项不正确；
D、因为，所以不满足三角形的两边之差小于第三边，D选项不正确；
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是三角形的三边关系，掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质是解题的关键．
2．D
【分析】直接根据三角形的高的定义即可得到答案．
【详解】解：由图可知：
在中，边上的高线是，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形的高线，熟练掌握三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是解题的关键
3．A
【分析】用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
【详解】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故所运用的几何原理是三角形的稳定性．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
4．D
【分析】根据三角形的内角性质、三角形的内角和定理逐项判断即可得．
【详解】解：等边三角形的三个内角均等于，选项A、B说法错误，不符合题意；
锐角三角形的三个内角均小于，选项C说法错误，不符合题意；
如果一个三角形中有两个角大于，这与三角形的内角和是产生矛盾，选项D说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．
5．B
【分析】根据三角板上角的度数的特点及三角形内角与外角的关系解答．
【详解】解：如图，
∵，，
∴
故选：B．
【点睛】主要考查了三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．
6．C
【分析】根据一个n边形的对角线条数为进行求解即可．
【详解】解：一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线……
一个十边形共有条对角线，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了对角线条数问题，解题的关键是熟练掌握一个n边形的对角线条数为．
7．A
【分析】根据多边形的外角和为即可解答．
【详解】解：∵多边形的外角和为，
∴正八边形的一个外角为，
故选：A．
【点睛】本题考查了求正多边形的外角，解题的关键是熟知多边形的外角和为．
8．1
【分析】根据三角形的中线可得，，，从而可得，由此即可得出答案．
【详解】解：点是的中点，
，
点是的中点，
，，
，
，
的面积等于，
，
即阴影部分图形面积等于，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了三角形中线与面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题关键．
9．10
【分析】根据是的边上的中线，得到，结合，代入计算即可．
【详解】∵是的边上的中线，
∴；
∵的周长比的周长多，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了增减性中线即连接三角形顶点与对边中点的线段，三角形的周长，熟练掌握三角形中线的意义是解题的关键．
10．/48度
【分析】根据三角形内角和定理证明，再根据角平分线的定义即可解答．
【详解】解：∵，
∴．
∵平分，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义等知识点，熟练掌握基本知识是解答本题的关键．
11．n-3
【分析】根据三角形具有稳定性，需要的木条数等于过多边形的一个顶点的对角线的条数．
【详解】过n边形的一个顶点可以作（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形，
所以，要使一个n边形木架不变形，至少需要（n-3）根木条固定．
故答案为：（n-3）．
【点睛】考查了三角形的稳定性以及多边形的对角线的问题，解题关键是将问题转换成把多边形分成三角形的问题．
12．
【分析】由正多边形的性质得，再结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得出结论.
【详解】解：∵是正五边形，是正方形，
∴，，
，,
∴，，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查多边形的性质，掌握相关性质是解题的关键.
13．(1)
(2)11或13
【分析】（1）根据三角形的三边关系得到：，根据绝对值的性质进行化简，即可求解；
（2）根据三角形的三边关系，确定c的范围，再求出三角形的周长．
【详解】（1）∵a，b，c是的三边，
∴，
∴；
（2）解方程组，得，
根据三角形的三边关系得，即，
∵c为偶数，
∴或6，
∴这个三角形的周长为或．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，绝对值的化简，解二元一次方程组的知识，解题的关键是明确三角形的三边关系．
14．(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由结合邻补角互补，可得出，再利用“同位角相等，两直线平行”可得出；
（2）根据角平分线的定义及，可得出，再利用“内错角相等，两直线平行”可得出；
（3）由，利用“两直线平行，同旁内角互补”可得出，再结合，可得出．
【详解】（1）解：．
理由如下：
，，
，
；
（2）解：．
理由如下：
平分，，
，
；
（3）证明：，
．
，
，
平分
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义以及邻补角，牢记各平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
15．
【分析】根据平行线的性质和利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
【详解】解：由题知，，，
∵，
∴，
，
∴，
∵，，
∴，
．
【点睛】本题考查了方向角，三角形内角和定理，熟练掌握方向角的定义，以及三角形内角和定理是解题的关键．
16．（1）2；（2）5、9；（3）；（4）35
【分析】（1）通过实际操作可得答案；
（2）通过实际操作可得答案；
（3）由图1，图2，图3的探究，再归纳总结可得答案；
（4）把代入总结出的规律进行计算即可．
【详解】解：（1）经过A点可以做 1条对角线；同样，经过B点可以做 1条；经过C点可以做 1条；经过D点可以做 1条对角线．
通过以上分析和总结，图1共有 2条对角线．
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2共有 5条对角线；
图3共有 9条对角线；
（3）探索归纳：
图1有2条对角线，而
图2共有 5条对角线；而
图3共有 9条对角线；而
归纳可得：
对于边形（n＞3），共有条对角线．
（4）特例验证：
当时，
十边形有对角线．
故答案为：（1）2；（2）5、9；（3）；（4）35．
【点睛】本题考查的是多边形的对角线的条数的探究，掌握“从具体到一般的探究方法，再总结并运用规律解决问题”是解本题的关键．
17．(1)
(2)仅用一种正多边形镶嵌，正三角形，正四边形，正六边形能镶嵌成平面图形；
(3)的值为，的值为．
【分析】（1）根据正边形的内角为即可解答；
（2）根据镶嵌的定义：能够构成镶嵌的正多边形的内角可以被整除即可解答；
（3）根据镶嵌的定义可知且为正整数，进而解二元一次方程可得的值为，的值为．
【详解】（1）解：∵正边形的内角为，
∴正五边形的内角为，正六边形的内角为：，正八边形的内角为，
故答案为：；
（2）解：∵仅用一种正多边形镶嵌，
∴，，，，，
∴仅用一种正多边形镶嵌，正三角形，正四边形，正六边形能镶嵌成平面图形；
（3）解：∵有个正四边形，个正八边形，
∴且为正整数，
∴，
∴当时，，满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，不满足题意；
∴，，
即的值为，的值为．
【点睛】本题考查了镶嵌的定义，正边形的内角公式，二元一次方程与几何问题，掌握镶嵌的定义是解题的关键．
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第十一章 三角形 单元练习 2023-2024学年人教版八年级数学上册 （含解析）
一、单选题
1．一个三角形的两边长分别为，，则这个三角形的第三条边的长可能是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，边上的高线是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段BC D．线段
3．如图，盖房子时，在窗框没有安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条让其固定，其所运用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短
4．对任意一个三角形，下列说法正确的是（ ）
A．至少有一个角大于 B．至少有一个角小于
C．至少有一个角大于 D．至多有一个角大于
5．如图，这是一副三角板叠放在一起的示意图，则图中等于（ ）
A． B． C． D．
6．我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，…，请你计算凸十边形对角线的总条数（ ）
A．54 B．44 C．35 D．27
7．如图，八角帽又称“红军帽”，其帽顶近似正八边形．那么正八边形的一个外角的大小为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．如图，在中，已知点D，E，F分别为边，，的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于 ．
9．如图，已知是的边上的中线，若，的周长比的周长多，则 ．
10．如图，在中，，平分交于点，交的延长线于点．若，则 ．
11．我们知道，三角形的稳定性在日常生活中被广泛运用.要使不同的木架不变形，四边形木架至少要再钉1根木条；五边形木架至少要再钉2根木条；…按这个规律，要使边形木架不变形至少要再钉 根木条.（用表示，为大于3的整数）
12．正五边形和正方形的位置如图所示，连接，则的度数为 度.
三、解答题
13．已知a，b，c是的三边．
(1)化简；
(2)若a和b满足方程组，且c为偶数，求这个三角形的周长．
14．如图，，平分，．
(1)与平行吗？请说明理由；
(2)与的位置关系如何？为什么？
(3)若平分．证明：．
15．如图，处在处的南偏东30°方向，处在处的北偏东70°方向，处在处的北偏东45°方向，求的度数．
16．探究归纳题：
（1）试验分析：
如图1，经过A点可以作1条对角线；同样，经过B点可以作1条对角线；经过C点可以作1条对角线；经过D点可以作1条对角线．通过以上分析和总结，图1共有________条对角线；
（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有________条对角线；图3共有________条对角线；
（3）探索归纳：对于n边形（n＞3），共有________条对角线；（用含n的式子表示）
（4）特例验证：十边形有________对角线．
17．在“平面图形的镶嵌”学习中，主要研究了一种或两种正多边形的镶嵌问题，请运用所学知识完成下列问题．
(1)填写表中空格．
正多边形的边数 6 8
正多边形每个内角的度数
(2)根据题意，如果仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形；
(3)假设在镶嵌的平面图形的一个顶点周围有个正四边形，个正八边形，求和的值，请写出过程．
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参考答案：
1．B
【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可作答．
【详解】解：A、因为，所以不满足三角形的两边之和大于第三边，A选项不正确；
B、因为，，所以满足三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，B选项正确；
C、因为，所以不满足三角形的两边之差小于第三边，C选项不正确；
D、因为，所以不满足三角形的两边之差小于第三边，D选项不正确；
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是三角形的三边关系，掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质是解题的关键．
2．D
【分析】直接根据三角形的高的定义即可得到答案．
【详解】解：由图可知：
在中，边上的高线是，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形的高线，熟练掌握三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是解题的关键
3．A
【分析】用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
【详解】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故所运用的几何原理是三角形的稳定性．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
4．D
【分析】根据三角形的内角性质、三角形的内角和定理逐项判断即可得．
【详解】解：等边三角形的三个内角均等于，选项A、B说法错误，不符合题意；
锐角三角形的三个内角均小于，选项C说法错误，不符合题意；
如果一个三角形中有两个角大于，这与三角形的内角和是产生矛盾，选项D说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．
5．B
【分析】根据三角板上角的度数的特点及三角形内角与外角的关系解答．
【详解】解：如图，
∵，，
∴
故选：B．
【点睛】主要考查了三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．
6．C
【分析】根据一个n边形的对角线条数为进行求解即可．
【详解】解：一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线……
一个十边形共有条对角线，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了对角线条数问题，解题的关键是熟练掌握一个n边形的对角线条数为．
7．A
【分析】根据多边形的外角和为即可解答．
【详解】解：∵多边形的外角和为，
∴正八边形的一个外角为，
故选：A．
【点睛】本题考查了求正多边形的外角，解题的关键是熟知多边形的外角和为．
8．1
【分析】根据三角形的中线可得，，，从而可得，由此即可得出答案．
【详解】解：点是的中点，
，
点是的中点，
，，
，
，
的面积等于，
，
即阴影部分图形面积等于，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了三角形中线与面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题关键．
9．10
【分析】根据是的边上的中线，得到，结合，代入计算即可．
【详解】∵是的边上的中线，
∴；
∵的周长比的周长多，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了增减性中线即连接三角形顶点与对边中点的线段，三角形的周长，熟练掌握三角形中线的意义是解题的关键．
10．/48度
【分析】根据三角形内角和定理证明，再根据角平分线的定义即可解答．
【详解】解：∵，
∴．
∵平分，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义等知识点，熟练掌握基本知识是解答本题的关键．
11．n-3
【分析】根据三角形具有稳定性，需要的木条数等于过多边形的一个顶点的对角线的条数．
【详解】过n边形的一个顶点可以作（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形，
所以，要使一个n边形木架不变形，至少需要（n-3）根木条固定．
故答案为：（n-3）．
【点睛】考查了三角形的稳定性以及多边形的对角线的问题，解题关键是将问题转换成把多边形分成三角形的问题．
12．
【分析】由正多边形的性质得，再结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得出结论.
【详解】解：∵是正五边形，是正方形，
∴，，
，,
∴，，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查多边形的性质，掌握相关性质是解题的关键.
13．(1)
(2)11或13
【分析】（1）根据三角形的三边关系得到：，根据绝对值的性质进行化简，即可求解；
（2）根据三角形的三边关系，确定c的范围，再求出三角形的周长．
【详解】（1）∵a，b，c是的三边，
∴，
∴；
（2）解方程组，得，
根据三角形的三边关系得，即，
∵c为偶数，
∴或6，
∴这个三角形的周长为或．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，绝对值的化简，解二元一次方程组的知识，解题的关键是明确三角形的三边关系．
14．(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由结合邻补角互补，可得出，再利用“同位角相等，两直线平行”可得出；
（2）根据角平分线的定义及，可得出，再利用“内错角相等，两直线平行”可得出；
（3）由，利用“两直线平行，同旁内角互补”可得出，再结合，可得出．
【详解】（1）解：．
理由如下：
，，
，
；
（2）解：．
理由如下：
平分，，
，
；
（3）证明：，
．
，
，
平分
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义以及邻补角，牢记各平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
15．
【分析】根据平行线的性质和利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
【详解】解：由题知，，，
∵，
∴，
，
∴，
∵，，
∴，
．
【点睛】本题考查了方向角，三角形内角和定理，熟练掌握方向角的定义，以及三角形内角和定理是解题的关键．
16．（1）2；（2）5、9；（3）；（4）35
【分析】（1）通过实际操作可得答案；
（2）通过实际操作可得答案；
（3）由图1，图2，图3的探究，再归纳总结可得答案；
（4）把代入总结出的规律进行计算即可．
【详解】解：（1）经过A点可以做 1条对角线；同样，经过B点可以做 1条；经过C点可以做 1条；经过D点可以做 1条对角线．
通过以上分析和总结，图1共有 2条对角线．
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2共有 5条对角线；
图3共有 9条对角线；
（3）探索归纳：
图1有2条对角线，而
图2共有 5条对角线；而
图3共有 9条对角线；而
归纳可得：
对于边形（n＞3），共有条对角线．
（4）特例验证：
当时，
十边形有对角线．
故答案为：（1）2；（2）5、9；（3）；（4）35．
【点睛】本题考查的是多边形的对角线的条数的探究，掌握“从具体到一般的探究方法，再总结并运用规律解决问题”是解本题的关键．
17．(1)
(2)仅用一种正多边形镶嵌，正三角形，正四边形，正六边形能镶嵌成平面图形；
(3)的值为，的值为．
【分析】（1）根据正边形的内角为即可解答；
（2）根据镶嵌的定义：能够构成镶嵌的正多边形的内角可以被整除即可解答；
（3）根据镶嵌的定义可知且为正整数，进而解二元一次方程可得的值为，的值为．
【详解】（1）解：∵正边形的内角为，
∴正五边形的内角为，正六边形的内角为：，正八边形的内角为，
故答案为：；
（2）解：∵仅用一种正多边形镶嵌，
∴，，，，，
∴仅用一种正多边形镶嵌，正三角形，正四边形，正六边形能镶嵌成平面图形；
（3）解：∵有个正四边形，个正八边形，
∴且为正整数，
∴，
∴当时，，满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，不满足题意；
∴，，
即的值为，的值为．
【点睛】本题考查了镶嵌的定义，正边形的内角公式，二元一次方程与几何问题，掌握镶嵌的定义是解题的关键．
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