2022-2023学年湖南省郴州市嘉禾县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省郴州市嘉禾县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形是用数学家的名字命名，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. 科克曲线 B. 费马螺线
C. 笛卡尔心形线 D. 斐波那契螺旋线
2. 如果点在第二象限，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3. 如图，在中，点，分别为，的中点，若，则的长度为( )
A.
B.
C.
D.
4. 在，如果两直角边分别为，，则斜边上的中线长为( )
A. B. C. D.
5. 下列命题中的真命题是( )
A. 有一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
6. “少年强则国强；强国有我，请党放心”这句话中，“强”字出现的频率是( )
A. B. C. D.
7. 小红骑车从家里出发去上学，刚开始以某一速度匀速行驶，途中自行车发生故障，只好停下来修车，车修好后，因怕上学迟到，于是就加快了车速设表示小红离家的距离，表示时间，下面的图象中能大致反映他上学的整个过程的是( )
A. B. C. D.
8. 如图，一块矩形纸片的宽为，点在上，沿对折，点刚好落在边的点处，此时，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 中，，，则 ______ ．
10. 如图是某景点月份内日每天的最高温度折线统计图，由图信息可知该景点这天中，气温出现的频率是______．
11. 第五套人民币中的角硬币色泽为镍白色，正，反面的内周边缘均为正十一边形．则其内角和为______
12. 点向左平移个单位，再向上平移个单位，得到点，则点的坐标是______ ．
13. 如图，在中，，平分，于点如果，那么 ______ ．
14. 如图，矩形的两条对角线相交于点，若，，则______．
15. 在菱形中，对角线，，则菱形的面积是______ ．
16. 如图，直线与相交于点，点的横坐标为，则关于的不等式的解集为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，已知平分，于点，于点，且求证：≌．
18. 本小题分
如图，在 中，，，垂足分别为，，求证：四边形是平行四边形．
19. 本小题分
如图，三个顶点的坐标分别为，，．
请画出向下平移个单位长度后得到的；
请画出关于轴对称的．
20. 本小题分
如图，直线经过点和，与轴交于点，连接，．
求直线的表达式和点的坐标；
求的面积．
21. 本小题分
中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校学生参加的“汉字听写”大赛为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中名学生的成绩作为样本进行统计，绘制出如图不完整的统计图表：
成绩分 频数人 频率
根据图表信息，解答下列问题：
______ ， ______ ；
补全频数分布直方图；
这名学生成绩的中位数落在______ 分数段填统计表中“成绩”一栏个分数段中的某一段；
若全校有人，请你估计该校参加本次比赛的学生中成绩在分以上含分的人数．
22. 本小题分
如图，在矩形中，，分别为边，上的点，，对角线平分．
求证：四边形为菱形；
已知，，求线段的长．
23. 本小题分
某水果商计划到果园基地购买一种优质水果，购买量在千克以上含千克已知该水果定价为每千克元，果园基地有两种优惠方案可以供水果商选择：
第一种方案：按水果定价的折出售，商家负责送货上门；
第二种方案：按水果定价的折出售，但需要自己租车运回，租车的费用为元．
分别写出水果商按两种方案购买的付款额元与购买量千克之间的函数关系式，并写明自变量的取值范围；
当购买量为千克时，选取哪种方案更优惠？
当购买量的范围为多少时，选择第一种方案购买付款少？
24. 本小题分
小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
小明的探究过程如下：
列表：
补全表格： ______ ， ______ ；
以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，建立平面直角坐标系，请描出表格中的点，并连线；
根据表格及函数图象，探究函数性质：
该函数的最小值为______ ；
当时，函数值随自变量的增大而______ 填“增大”或“减小”；
若关于的方程有两个不同的解，求的取值范围．
25. 本小题分
如图，四边形为正方形，为等腰直角三角形，．
求证：；
求证：直线；
如图，将绕点顺时针旋转，直线是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
26. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，，四边形是菱形，点在轴的负半轴上，直线交轴于点．
求菱形的周长；
动点从点出发，沿线段方向以个单位秒的速度向终点匀速运动，设的面积为，点的运动时间为秒，求关于的函数表达式并写出自变量的取值范围；
平面直角坐标系内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：．
根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
2.【答案】
【解析】解：点在第二象限，
．
故选：．
根据点在第二象限，可知，本题得以解决．
本题考查点的坐标，解题关键是熟知各象限内点的坐标特征．
3.【答案】
【解析】解：、分别为边，的中点，，
，
故选：．
根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：在，两直角边分别为，，
斜边的长为，
斜边上的中线长为，
故选：．
利用勾股定理求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案．
本题主要考查了勾股定理和直角三角形的性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：、有两组对边平行的四边形是平行四边形，所以选项错误；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以选项错误；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以选项错误；
D、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以选项正确．
故选：．
根据平行四边形的判定方法对进行判断；根据矩形的判定方法对进行判断；根据正方形的判定方法对进行判断；根据菱形的判定方法对进行判断．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
6.【答案】
【解析】解：由题意得：强”字出现的频率，
故选：．
根据频率频数总次数，进行计算即可解答．
本题考查了频数与频率，熟练掌握频率频数总次数是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：停下修车时，路程没变化，
观察图象，、、选项的路程始终都在变化，故不符合题意；
选项中修车是的路程没变化，故选项C符合题意．
故选：．
根据修车时，路程没变化，可得答案．
本题考查了函数图象，观察图象是解题关键，注意修车时路程没有变化．
8.【答案】
【解析】解：四边形为矩形，
，，
由折叠可知，，，
，
，
，
在中，，
．
故选：．
由折叠可知，，进而得到，由平行线的性质得，利用含度角的直角三角形性质即可求解．
本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、含度角的直角三角形性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
9.【答案】
【解析】解：，，
．
故答案为：．
直接根据三角形的内角和是即可得出结论．
本题考查的是三角形的内角和，熟知三角形的内角和是是解答此题的关键．
10.【答案】
【解析】解：温出现的天数是天，
气温出现的频率是：．
故答案为．
首先分析出气温出现的天数是天，再根据频率所求天数与总天数之比作答即可．
本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．解答此类问题，重点要分析出所求情况和总情况，针对每种情况的数目进行作答．
11.【答案】
【解析】解：十一边形的内角和等于：．
故答案为：．
把多边形的边数代入边形的内角和是，就得到多边形的内角和．
本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容，此题难度不大．
12.【答案】
【解析】解：点向左平移个单位，再向上平移个单位，得到点，则点的坐标是，即，
故答案为：．
根据点的坐标的平移规律求解即可．
本题主要考查坐标与图形变化平移，解题的关键是掌握点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
13.【答案】
【解析】解：，平分，于点，
，
．
故答案．为：．
由角平分线的性质得到，因此．
本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质．
14.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
故答案为．
根据矩形的性质得出，，，，求出，得出等边三角形即可解决问题；
本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据矩形的性质和等边三角形的性质求出的长，注意：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线互相平分且相等．
15.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，对角线，，
该菱形的面积是：，
故答案为：．
由菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得该菱形的面积．
此题考查了菱形的性质，熟记“菱形的面积等于其对角线积的一半”是解题的关键．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数与一元一次不等式．
观察函数图象得到，当，函数的图象都在函数图象的上方，于是可得到关于的不等式的解集．
【解答】
解：当，函数的图象在函数图象的上方，
所以关于的不等式的解集为．
故答案为：．
17.【答案】证明：平分，于，于，
，
在和中，，
≌．
【解析】先根据角平分线的性质得到，再利用证明≌即可．
本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定，熟知直角三角形全等的判定条件和角平分线上的点到角两端的距离相等是解题的关键．
18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形．
【解析】先由平行四边形的性质得，，则，再证≌，得，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的判定与性质等知识，熟练正确平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
19.【答案】解：如图所示：，即为所求；
如图所示：，即为所求．

【解析】利用平移的性质得出对应顶点的位置，进而得出答案；
利用关于轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案．
此题主要考查平移变换，得出对应点位置是解题关键．
20.【答案】解：设直线的解析式为，
把和代入到中得：
，
解得：，
直线的解析式为，
在中，当时，，
；
解：，
，
．
【解析】利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可．
根据进行求解即可．
本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴的交点坐标，直线围成的图形面积等等，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．
21.【答案】
【解析】解：因为本次调查的总人数为，
所以，，
故答案为：；；
频数分布直方图如图所示，
名学生成绩的中位数是第、个成绩的平均数，而第、个数均落在，
这名学生成绩的中位数会落在数段；
故答案为：；
人，
答：估计该校参加本次比赛的学生中成绩在分以上含分的人数有人．
根据频率频数总数求解可得；
根据所求的值即可补全频数分布直方图；
利用中位数的概念求解可得；
用总人数乘以样本中成绩在分以上含分的人数频率之和即可得．
本题考查读频数率分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了中位数和利用样本估计总体．
22.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
四边形是菱形．
解：四边形是菱形，
，
，，
，
，
，
，
解得，
线段的长是．
【解析】由矩形的性质得，则，可证明≌，得，，则四边形是平行四边形，由，，得，则，所以四边形是菱形；
由，，得，由，得，则．
此题重点考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，证明≌是解题的关键．
23.【答案】解：由题意得，方案一：；
方案二：；
当时，方案一的费用为元，
方案二的费用为元，
，
选取方案二更优惠；
由题意得，，
解得，
，
当时，选择第一种方案付款少．
【解析】根据所给的优惠方案求出两个方案对应的关系式即可；
把代入中所求式子中分别求出两个方案的费用即可得到答案；
根据题意列出不等式求解即可．
本题主要考查了列函数关系式，求函数值，一元一次不等式的实际应用，正确列出对应的函数关系是解题的关键．
24.【答案】 增大
【解析】解：对于，当时，，
解得：，
，
对于，当时，，
，
故答案为：，；
根据表格中的对应值在直角坐标系中描点、连线，如图为所求．
由函数的图象可知：该函数的最小值为；
故答案为：．
由函数的图象可知：函数值随自变量的增大而增大；
故答案为：增大．
，
，
设，，
关于的方程有两个不同的解，
函数与有两个不同的交点，
由函数的图象可知：当时，函数与有两个不同的交点，
即关于的方程有两个不同的解，
．
将代入之中求出对应的即可得出的值；将代入之中求出对应的即可得出的值；
先根据表格中的对应值在直角坐标系中描点，然后连线即可得出函数的图象；
观察函数的图象即可得出函数的最小值；
观察函数的图象即可得出答案；
将转化为，再设，，然后根据关于的方程有两个不同的解，得出函数与有两个不同的交点，然后根据函数的图象即可得出的取值范围．
此题主要考查了一次函数的图象和性质，解答此题的关键是熟练掌握求函数的值，描点画一次函数的图象，理解一次函数的性质，难点是解答题时，把考查方程解的个数转化考查两个函数的交点个数．
25.【答案】证明：四边形为正方形，为等腰直角三角形，，
，，
在和中，
，
≌，
；
证明：延长交于，
由知，
四边形为正方形，
，
，
，
，
直线；
解：将绕点顺时针旋转，直线仍然成立，
证明：设、交于点，、交于点，
四边形为正方形，为等腰直角三角形，，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形为正方形，
，
，
，
，
，
直线．
【解析】根据证≌，即可得出结论；
延长交于，由知，由可得，则，可得，即可得出结论；
设、交于点，、交于点，根据证≌，可得，由可得，则，可得，即可得出结论．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质定理，属于中考压轴题．
26.【答案】解：，
，
菱形的周长；
动点从点出发，沿线段方向以个单位秒的速度向终点匀速运动，
，
由知，菱形的边长为，
，
，，，
，
设的解析式为：，
则，
解得：，
的解析式为：，
当时，，
，
，
，
关于的函数表达式为：；
存在，理由如下：
设，当为对角线时，，，
点横坐标减、纵坐标减，与点重合，
点的坐标为：，
即；
当为对角线时，，，
点横坐标减、纵坐标减，与点重合，
点的坐标为：，
即；
当为对角线时，，，
点横坐标减、纵坐标减，与点重合，
点的坐标为：，
即；
综上所述，存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或
【解析】由勾股定理得，再由菱形的性质即可得出结论；
由菱形的性质得，则，，，再由待定系数法求出的解析式为，然后得，即可解决问题；
分三种情况，当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别求出点的坐标即可．
本题是四边形综合题，考查了菱形的性质、平行四边形的性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式、平移的性质、坐标与图形、三角形面积计算、分类讨论等知识，综合性强，熟练掌握平行四边形的性质和分类讨论是解题的关键．
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