2022-2023学年江苏省泰州市海陵区重点中学九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省泰州市海陵区重点中学九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
3. 用一个平面截长方体，得到如图所示的几何体，它在我国古代数学名著九章算术中被称为“堑堵”图中“堑堵”的左视图是( )
A. B. C. D.
4. 下列个命题中，真命题是( )
A. 正五边形是中心对称图形
B. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C. 同位角相等
D. 函数中，随的增大而减小
5. 已知平面内一点在一次函数图象的上方，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6. 点的坐标为，点是垂直于轴的直线上的一点，经过点，且与直线相切于点，则点的纵坐标为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
7. 的值为______ ．
8. 为满足市民亲近自然、休闲游憩、运动健身的新需求新期待，泰州市于年月向市民开放了文创园、海曙园等处共享城市绿地，总面积约为，将数字用科学记数法表示为______ ．
9. 函数中自变量的取值范围是______．
10. 某校举行“请党放心，强国有我”主题演讲比赛，位评委给选手小明的评分如下：，，，，，这组数据的极差为______ ．
11. 因式分解：______．
12. 在一个不透明的袋子里，装有个红球和若干个白球，它们除颜色外都相同，为估试些中白球的个数，小红经过大量摸球试验，发现“摸到红球”的频率在附近摆动，我们可以估计袋中白球有______ 个
13. 如图，在 中，，，、分别是边、上一点，且，将 沿折叠，使点与点重合，则的长为______ ．
14. 已知，则代数式的值为______ ．
15. 如图，在的网格图中，点、、、都在小正方形的顶点上，、相交于点，则的值是______ ．
16. 在平面直角坐标系中，将一点的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”如图，反比例函数与的图象关于轴对称，点、在函数的图象上在的左侧，当是的“互换点”且时，函数的图象上存在点，使是以为直角边的直角三角形，则点的横坐标为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：；
化简：．
18. 本小题分
某汽车销售商月销售甲、乙两种品牌汽车的数量单位：辆】如图所示．
甲品牌汽车月销售量的众数是______ ，乙品牌汽车月销售量的中位数是______ ．
求该商店乙品牌汽车月销售量的平均数和方差；
经过计算可知，甲品牌汽车月销售量的平均数是辆，方差是辆根据计算结果及折线统计图，你认为哪种品牌的汽车销售情况较好？并说明理由．
19. 本小题分
某校有名女生和名男生参加学校青少年禁毒知识演讲决赛，采用抽签的方式决定出场顺序．
第一个出场为男生的概率是______ ．
用列表或画树状图求前两个出场都是女生的概率．
20. 本小题分
已知关于的一元二次方程．
说明该方程有两个实数根；
若该方程的一个根为，求的值．
21. 本小题分
学校数学兴趣小组开展综合实践活动鱼塘中的“增氧器”在何处？如图，测出正方形鱼塘的边长为，在边上的点处发现点正好被“增氧器”挡住，同样在边边上的点处发现点被挡往，量出、的长都是如图，他们以点为坐标原点，直线、分别为横轴和纵轴，建立平面直角坐标系，成功解决了问题．
求直线的函数表达式；
求“增氧器”距边、的距离．
22. 本小题分
如图，长的楼梯的倾斜角为，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角为，求调整前后楼梯底部之间的距离精确到，参考数据：，，，，，
23. 本小题分
如图，过矩形对角线的中点作直线分别交、于、，试说明四边形的面积是矩形面积的一半；
如图，矩形中，，，请用无刻度的直尺和圆规在、上分别确定点、，使得平分矩形的面积，且：：保留作图痕痕迹，不要求写作法
24. 本小题分
如图，的直径为，点是弦所对优弧上一动点，连接、，作，垂足为．
若，求的长及的长；
若，求点到的距离的最大值．
25. 本小题分
在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，该抛物线的顶点为，且与轴的交点为，连接过点作轴的平行线与抛物线交于另一点，过点作的垂线．
当时，求的长；
如图，延长交于点，请用含的代数式表示的面积；
如图，点在抛物线第一象限的图象上且位于点的左侧，连接并延长交于点，过点作垂直于，垂足为点，连接求证：．
26. 本小题分
如图，在菱形中，，，为对角线上一点，在上运动，连接并延长交的延长线于点，交于点．
求菱形的面积；
如图，若点是的中点；
当时，求的长；
若的面积为，求的长；
记，是否存在一个的值，使得点在上运动时，为定值，若存在，请求出这个定值，并直接写出的长的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是．
故选：．
根据相反数的概念解答即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是．
2.【答案】
【解析】解：，
选项A不符合题意；
，
选项B不符合题意；
，
选项C符合题意；
，
选项D不符合题意，
故选：．
运用幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘和合并同类项运算方法进行逐一计算、辨别．
此题考查了幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘和合并同类项等方面的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．
3.【答案】
【解析】解：这个“堑堵”的左视图如下：
．
故选：．
找到从几何体的左面看所得到的图形即可．
本题考查了简单组合体的三视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
4.【答案】
【解析】解：、正五边形不是中心对称图形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是真命题，符合题意；
C、两直线平行，同位角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意；
D、函数中，在每个象限，随的增大而减小，故本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：．
根据正五边形的性质、平行四边形的判定、平行线的性质、反比例函数的性质判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5.【答案】
【解析】解：时一次函数，
点在一次函数图象的上方，
，解得，
故选：．
求出时一次函数的值，可得，解不等式即可求解．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是出时一次函数的值．
6.【答案】
【解析】解：直线是的切线，
，
轴，
轴，
点，
点的横坐标为，
设，
过作轴于，连接，，
则，，，
，
点的坐标为，
，
，
在中，，
即，
解得，
点的纵坐标为．
故选：．
根据切线的性质得到，求得点的横坐标为，设，过作轴于，连接，，则，，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了切线的性质，平行线的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
根据零指数幂：，即可得出答案．
此题主要考查了零指数幂，正确掌握零指数幂的性质是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
9.【答案】
【解析】解：根据题意得，，
解得．
故答案为：．
根据分母不等于列式进行计算即可求解．
本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
10.【答案】
【解析】解：这组数据的极差为：．
故答案为：．
极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差，由此计算即可．
本题考查了极差的知识，属于基础题，掌握极差的定义是关键．
11.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：设袋中白球大约有个，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的根，
袋中白球大约有个，
故答案为：．
根据频率的概念列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是用样本估计总体，掌握频率的概念是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：设点的对应点为点，
四边形是平行四边形，，，
，，，，
，
由折叠得，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为：．
设点的对应点为点，由平行四边形的性质得，，，则，由折叠得，，，所以，而，则，所以是等边三角形，则，所以，即可推导出，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质等知识，证明是等边三角形是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
故答案为：．
先将变形，再将展开，计算即可．
本题考查整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：连接．
，
∽．
．
，即．
，，
．
．
在中，
．
故答案为：．
连接，先说明∽，利用相似三角形的性质和和合比性质得到与的比，再通过勾股定理说明是等腰直角三角形，利用直角三角形的边角间关系得结论．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，掌握相似三角形的判定和性质、合比性质、勾股定理及逆定理、直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：反比例函数与的图象关于轴对称，
，
设，则，
，
，
解得或负数舍去，
，，
作轴于，轴于，则，，
设，则，，
是以为直角边的直角三角形，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
解得正数舍去，
．
故答案为：．
由反比例函数与的图象关于轴对称，得出，设，根据题意顶点，由，得到，解方程组求得、的坐标，作轴于，轴于，通过证得∽，即可求得到的坐标．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，勾股定理的应用，关于轴对称的点的坐标特征，三角形相似的判断和性质，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键．
17.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】取绝对值，计算负整数指数幂，算术平方根，再合并；
先通分算括号内的，再约分即可．
本题考查实数运算和分式化简，解题关键是掌握实数相关运算法则和分式的基本性质．
18.【答案】
【解析】解：甲品牌汽车月销售量的众数是，
乙品牌汽车月销售量从小到大排列分别为、、、、、，排在中间的数是和，
故乙品牌汽车月销售量的中位数是；
故答案为：；；
该商店乙品牌汽车月销售量的平均数为：，
方差为：；
乙品牌汽车销售情况较好，理由如下：
因为两种品牌汽车销售量的平均数相同，但乙品牌汽车的方差小于甲品牌汽车的方差，所以乙品牌汽车销售情况较好．
根据中位数和众数的定义解答即可；
利用平均数的公式以及方差计算公式即可求解；
根据平均数和方差的意义解答即可．
此题主要考查了方差的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，也考查平均数、众数和中位数的定义．
19.【答案】
【解析】解：有名女生和名男生参加学校青少年禁毒知识演讲决赛，
第一个出场为男生的概率是，
故答案为：；
根据题意画树状图如下：
共有种等情况数，其中前两个出场都是女生的概率有种，
则前两个出场都是女生的概率是．
直接根据概率公式解答即可；
根据题意画出树状图得出所有等情况数和前两个出场的都是男生的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：
，
该方程有两个实数根；
把代入方程得，
解得，
即的值为．
【解析】计算一元二次方程根的判别式的值得到，则根据一元二次方程根的判别式的意义可判断该方程有两个实数根；
把代入原方程得，然后解一次方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的解．
21.【答案】解：按题意建立平面直角坐标系，
由的边长为，可得：，；
由、的长都是，可得：，；
设的函数表达式为：，并将、坐标代入得：
；解得：；即：．
设的函数表达式为：，并将、坐标代入得：
；解得：；即：．
联立、两直线函数关系式得：；解得：．
即“增氧器”距边、的距离分别为：，．
【解析】求的函数表达式可以用待定系数法．
利用题中已建坐标系，可求得点的坐标，可求得距、的距离．
本题考查待定系数法求一次函数关系式，以及一次函数与二元一次方程组的关系．
22.【答案】解：在中，，，
，，
在中，，
．
．
答：调整前后楼梯底部之间的距离的长约为．
【解析】先在中利用正弦、余弦的定义计算出、，然后在中利用正切的定义计算即可．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23.【答案】证明：四边形是矩形，
，，，，
≌，
，
，，，
≌，
，
；
如图，点，即为所求．

【解析】证明，，可得结论；
在上截取，使得，连接交与点，点，即为所求．
本题考查作图复杂作图，矩形的判定和性质，中心对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】
如图，连接，，
的直径为，
，
，
，
，的长为；
，
为等边三角形，
，
，
，
，，
设点到的距离为，
则，
那么，
若要最大，那么最大即可，
故当为直径时最大，即最大值为，
即点到的距离的最大值为．
【解析】连接，，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求得，然后利用勾股定理及扇形弧长面积公式即可求得答案；
结合已知条件易得是等边三角形，则，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求得，再由三角函数可得，，设点到的距离为，利用等面积法可得，那么当为直径时，最大，从而得出答案．
本题主要考查与圆有关的性质及与圆有关的计算，中圆周角定理及弧长公式是重要知识点，必须熟练掌握；中利用等面积法得出点到的距离与的数量关系是解题的关键．
25.【答案】解：当时，，
，
当时，，
，
；
解：，
，
当时，，
，
轴，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，
，
；
证明：设，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，
，
同理可求直线的解析式为，
直线的解析式为，
．
【解析】分别求出、的坐标，再求的长即可；
分别求出、、的坐标，可求的长，再用待定系数法求直线的解析式，确定点坐标，从而求出的长，即可求的面积；
设，用待定系数法先求直线的解析式，从而求出点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，从而判断直线与是平行的即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数的解析式的方法，两条直线的值相等，则两直线平行是解题的关键．
26.【答案】解：如图，过点作于，
，，
，
四边形是菱形，
，，
菱形的面积；
点是的中点，
，
，
∽，
，
，
，
，
∽，
，
，
；
∽，
：，
，
，
的面积为，
，
∽，
，
，
负值舍去，
的长为；
存在，
∽，
，
，
∽，
，
，
，
，
当时，是定值，
当时，为，
当时，不存在，
此时，，
，
，
，
．
【解析】由锐角三角函数可求的长，即可求解；
通过证明∽，可得，可求，通过证明∽，可得，即可求解；
由相似三角形的性质可求，，即可求解；
由相似三角形的性质分别求出，，由是定值，可求的值，即可求解．
本题是相似形综合题，考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
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