2023年湖北省孝感市九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2023年湖北省孝感市九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 如图是某几何体的三视图，则该几何体是( )
A. 圆锥
B. 圆柱
C. 正三棱柱
D. 正三棱锥
3. 是人工智能研究实验室新推出的一种人工智能技术驱动的自然语言处理工具，的背后离不开大模型、大数据、大算力，其技术底座有着多达亿个模型参数，数字用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
5. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
6. 九年级某班准备从班上名女生中，挑选名身高较高的同学参加校排球比赛，若这名女生的身高各不相同，其中女生小红想知道自己能否入选，只需知道这名女生身高数据的( )
A. 中位数 B. 平均数 C. 最小值 D. 方差
7. 如图，分别以的三个顶点为圆心，作半径均为的三个圆，三圆两两不相交，那么三个圆落在内的三段弧长度之和为( )
A. B. C. D.
8. 抛物线为常数，且开口向下且过点，，其中，下列结论：；；；若方程有两个不相等的实数根，则，其中结论正确的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. ______ ．
10. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
11. 如图，直线，分别与直线交于，两点把一块含的三角板按如图位置摆放，若，则 ______ ．
12. 已知，是方程的两个根，则的值是______ ．
13. 如图，在平行四边形中，，，以为圆心画弧，分别交，于、两点；再分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交线段于点，则的长为______ ．
14. 如图，小明利用无人机测量教学楼的高度，无人机在点处，测得小明所在位置点的俯角为，测得教学楼顶点的俯角为，教学楼底点的俯角为，又经过人工测得，两点间的距离为米，则教学楼的高度为______ 米注：点，，，在同一平面上，参考数据：，，结果取整数
15. 对于正整数，定义其中表示的首位数字、末位数字的平方和，例如：，，规定，，例如：，，则 ______ ．
16. 如图，正方形的边长为，点为对角线上一动点点不与、重合，过点作交直线于，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，下列结论：；；；的最小值为，其中正确的是______ 填写所有正确结论的序号
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
化简：．
18. 本小题分
某市现需建造一座面积为的多功能场馆，由甲、乙两个工程队合作完成，已知甲队比乙队每天多建造，甲队建造与乙队建造所需天数相同．
求甲、乙两队每天建造的面积；
该场馆先由乙队施工，然后换成甲队完成剩余的施工，若甲队建造的面积不少于乙队建造面积的倍，那么甲队建造的面积至少是多少？
19. 本小题分
为落实国家“双减”政策，某校为学生开展了课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：乒乓球，排球，篮球，跳绳，为了解学生最喜欢
哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查每位学生仅选一种，并将调查结果制成如下尚不完整的统计图表．
问卷情况统计表
运动项目 乒乓球 排球 篮球 跳绳
人数
本次调查的样本容量是______ ，统计表中 ______ ；
若该校共有名学生，请你估计该校最喜欢“跳绳”的学生人数约是多少？
该校甲、乙两位同学都准备从学校开设的四种运动项目中选择一种项目作为自己的课后活动内容，请用列表或画树状图的方法，求这两位同学选择的项目相同的概率．
20. 本小题分
如图，已知在中，，为上一点，以为圆心，为半径的圆与相切于点，与交于点，连接，．
求证：；
若，，求的长度．
21. 本小题分
如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
求，的值及反比例函数的解析式；
当时，结合图象直接写出的取值范围；
求的面积．
22. 本小题分
某水果批发商记录了五月份前天某时令水果的销售量和销售单价，统计发现：销售单价元千克与时间第天为整数之间满足函数关系：，日销售量千克与时间第天为整数之间满足如图所示的函数关系：
请直接写出与的函数关系式；
这天中，哪一天该水果的日销售额最大？最大日销售额是多少元？
这天中，该水果的日销售额低于元的时间共有多少天？
23. 本小题分
问题提出如图，在中，，，为的中点，，分别是线段，上的点，且，判断线段与的数量关系，并说明理由；
类比探究如图，若，其他条件不变，中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出此时线段与的数量关系，并给予证明；
拓展应用如图，在中，，为的中点，在线段上，在的延长线上，且，若，，求的值．
24. 本小题分
已知抛物线过，两点，交轴于点．
求抛物线的解析式及其对称轴；
如图，若点是线段上的一动点，连接、，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在该抛物线的对称轴上时，求点的坐标；
如图，与直线垂直的直线与抛物线在第一象限交于点，与线段、线段分别交于点和点，过点作轴于点，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是．
故选：．
利用相反数的定义判断即可．
此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：由几何体的正视图和左视图都是宽度相等的长方形，
故该几何体是一个柱体，
又俯视图是一个圆，
该几何体是一个圆柱．
故选：．
根据一个空间几何体的正视图和左视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案．
本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．
3.【答案】
【解析】解：将用科学记数法表示为：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
选项选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6.【答案】
【解析】解：共有名排球队员，挑选名个头高的参加校排球比赛，所以小红需要知道自己是否入选．
我们把所有同学的身高按大小顺序排列，第名学生的身高是这组数据的中位数，
所以小红知道这组数据的中位数，才能知道自己是否入选．
故选：．
由于共有名排球队员，挑选名个头高的参加校排球比赛，故应考虑中位数的大小．
本题考查了用中位数的意义解决实际问题．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7.【答案】
【解析】解：根据图示可得：在内的三段弧长度之和为：，
故选：．
由图示可得在内的三段弧长度之和为一个半圆的弧长．
此题主要考查了弧长的计算，解答此题的关键是明确三角形内角与扇形的圆心角的关系，难度一般．
8.【答案】
【解析】解：抛物线开口向下，
，
过点，，
，，
，
，
故正确；
抛物线开口向下，，
时，，
故正确；
抛物线开口向下，
，
，，时，，
，
故正确．
若有两个不相等的实数根，
则，有两个不相等的实数根，
抛物线开口向下，
抛物线顶点纵坐标大于，
即，
，
故错误，
故选：．
由抛物线开口方向、二次函数对称轴位置及，从而判断，由及可判断，将方程有两个不相等的实数根转化为抛物线与直线有两个交点的问题可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系是解题关键．
9.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
根据零指数幂：，计算即可求解．
考查了零指数幂，注意：．
10.【答案】
【解析】解：根据二次根式的性质可知，，
解得．
故答案为：．
根据二次根式的性质即可直接求解．
本题主要考查二次根式的性质，二次根式中的被开方数是非负数．
11.【答案】
【解析】解：如图，
，
，
，
．
故答案为：．
根据两条直线平行，同位角相等可得，再根据平角定义即可求出的度数．
本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
12.【答案】
【解析】解：，是方程的两个根，
，，
．
故答案为：．
利用根与系数的关系，可得出，，再将其代入中，即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由作图方法可知，平分，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
．
故答案为：．
根据平行四边形的性质以及角平分线的性质求出，进而求出，据此解答．
本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，正确求出的长是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：如图：过点作，垂足为，延长交于点，
由题意得：米，，，
设米，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
，
解得：，
米，米，
在中，，
米，
米，
故答案为：．
过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：米，，，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算可求出，的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，
每次是一组循环，
，
，
，
故答案为：．
分别求出，，，，，，，，可发现每次是一组循环，则，即可求解．
本题考查数字的变化规律，能够通过所给定义，探索出数字的循环规律是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：过作于点，作于点，作于，连接，
四边形是正方形，平分，
，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，故正确；
，，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
又，，
≌，
，
，
，即，
，故正确；
由可知，≌，
，
，
，
，
，故正确，
如图，延长至，使，连接，，
，，
，
又，，
≌，
，
，
当点，点，点三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，
，
的最小值为，故正确，
故答案为：．
过作，，可证≌得，故正确；
可证四边形是正方形，得，，可证，进而得到≌，所以，得，即，可证正确；
由可知，≌，所以，而可求，正确．
由“”可证≌，可得，当点，点，点三点共线时，有最小值，由勾股定理可求的长，故正确，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，综合运用正方形的判定与性质定理，勾股定理等知识是解题的关键．
17.【答案】解：原式
．
【解析】直接利用分式的加减运算法则化简，进而得出答案．
此题主要考查了分式的加减，正确化简分式是解题关键．
18.【答案】解：设乙队每天建造，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的根，且符合题意，
，
甲队每天建造，乙队每天建造；
设甲队建造的面积是，
根据题意得：，
解得，
甲队建造的面积至少是．
【解析】设乙队每天建造，根据甲队建造与乙队建造所需天数相同，列分式方程，求解即可；
设甲队建造的面积是，根据甲队建造的面积不少于乙队建造面积的倍，列出不等式，即可解得答案．
本题考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式．
19.【答案】
【解析】解：本次调查的样本容量是：，
统计表中，
故答案为：，；
人，
答：估计该校最喜欢“跳绳”的学生人数约是；
树状图如下所示：
由上可得，一共有种等可能事件，其中这两位同学选择的项目相同的概率是．
根据选择所占的百分比和人数，可以计算出样本容量，然后即可计算出的值；
根据统计表中的数据，可以计算出该校最喜欢“跳绳”的学生人数；
根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可求出相应的概率．
本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、样本容量，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
20.【答案】证明：连接，
为半径的圆与相切于点，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
，
解：连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
负值舍去，
≌，
，
，
，
解得．
【解析】连接，根据切线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，求得，根据平行线的判定定理即可得到结论，
连接，根据圆周角定理得到，等量代换得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据相似三角形的性质得到负值舍去，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各定理是解题的关键．
21.【答案】解：一次函数的图象过，两点，
，，
，，
，，
将点的坐标代入得，
解得，
故反比例函数的表达式为：；
观察函数图象可知，当时，的取值范围：或；
把代入得，，
解得，
，
，
．
【解析】由一次函数解析式求得、的坐标，将点的坐标代入反比例函数表达式，即可求解；
观察函数图象即可求解；
求得一次函数的图象与轴的交点的坐标，然后根据求得即可．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
22.【答案】解：由表格规律可知：与的函数关系是一次函数，
当时，设解析式为：，
把和代入得：
，
解得：，
为正整数，
设日销售额为元，
当时，，
该函数的图象是一个开口向下的抛物线，对称轴为，
当时，随的增大而增大
时，，
当时，，
该函数图象是随增大而增大的直线
当时，，
第天的销售额最大，最大日销售额是元；
根据可知，当时， ，
依题意得： ，
解得：
日销售额低于有天；
当时，，
依题意得：，
解得：，
日销售额低于有天．
综上，日销售额低于元得时间共有天．
【解析】从平面直角坐标系看，是成一次函数，且也是分段函数，同理可得与的函数关系式；
根据销售额销量销售单价，列函数关系式，解答即可；
写出销售额的二次函数关系式，判断出对称轴的位置，函数取得最小值，令其等于，求出的值，即为符合题意的最大值．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．正确理解题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案是解题关键．
23.【答案】解：．
理由如下：
如图，连接，
在中，，，为的中点，
，，
，
又，
，
≌，
．
中的结论不成立，线段与的数量关系为．
理由如下：
如图，过点作，，垂足为、，
又，
四边形为矩形，
，，，
，
又，
∽，
，
，，为的中点，
，是的中位线，
，
，
即，
，
，
．
如图，过作，过作于，于，
又，
四边形为矩形，
，，
设，则，，
，
在中，，，
为的中点，
，
在中，，
，，
，
在中，，
，
，
即，
在中，，
，
设，
，
，
即，
解得：，
，
即的值是．
【解析】根据等腰直角三角形的性质，利用判定≌即可得证；
通过作垂直得到矩形，然后判定∽，利用平行线等分线段定理列出比例式，再通过等量代换化简即可求出结果；
类比上面的思路，根据三角函数的意义列出比例式，设，然后根据三角形面积公式进行等量代换得到，通过勾股定理求出的长，再根据推出，化简求解即可求出结果．
本题是相似形综合题，主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等，深入理解题意是解决问题的关键．
24.【答案】解：设抛物线的表达式为：，
则，
则，
解得：，
故抛物线的表达式为：，
其对称轴为：；
将沿直线翻折，得到，则，，
由抛物线的对称轴为：知，，
则，则，
，则点，
设点的坐标为，点，
由得：，
解得：，
即点的坐标为：；
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
由、的坐标知，和轴负半轴的夹角为，
，则直线和轴的夹角为，设点的坐标为：，
则设直线的表达式为：，
联立和并解得：，
则，
则，
则，
故EH有最大值为．
【解析】用待定系数法即可求解；
将沿直线翻折，得到，则，，进而求解；
联立和并解得：，得到点的坐标，进而求解．
本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、翻折的性质等，解题的关键是运用待定系数法求函数解析式；运用配方法解决最值问题．解题时注意分类讨论思想的运用．
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