2022-2023学年河北省石家庄二十八中八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省石家庄二十八中八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，橡皮盖住的点的坐标可能是( )
A.
B.
C.
D.
2. 函数中，自变量的取值范围是( )
A. B. C. D.
3. 某校八年级名学生参加了体质健康测试，为了解这名学生的测试成绩，该校从中抽取名学生的测试成绩进行统计分析，则其中的是( )
A. 样本容量 B. 总体 C. 总体的一个样本 D. 个体
4. 如图是某商店红富士苹果的出售总价元与质量千克的函数图象，观察图象可知，该苹果的销售单价为( )
A. 元千克 B. 元千克 C. 元千克 D. 元千克
5. 若点和都在一次函数为常数的图象上，且，则的值可能是( )
A. B. C. D.
6. 如图，矩形中，对角线，相交于点，点，，分别是，，的中点，且，则的长为( )
A. B. C. D.
7. 如图，客轮在灯塔的正北方处，货轮在灯塔北偏东的方向上，距离灯塔处，则客轮位于货轮( )
A. 北偏西的方向上，距离货轮处
B. 北偏西的方向上，距离货轮处
C. 南偏东的方向上，距离货轮处
D. 南偏东的方向上，距离货轮处
8. 直线经过点和，则直线( )
A. 平行于轴 B. 平行于轴 C. 经过原点 D. 无法确定
9. 观察图中尺规作菱形的作图痕迹，下面说法正确的是( )
A. 弧与弧的半径长相等 B. 弧与弧的半径长不相等
C. 弧的半径长为任意长度 D. 弧与弧的半径长不相等
10. 如图，矩形中，，，点为边上一点，连接，若线段绕点顺时针旋转后，点恰好落在边上的点处，则的长度为( )
A.
B.
C.
D.
11. 关于的一次函数的图象可能是( )
A. B. C. D.
12. 一节数学课上，老师展示了如下问题：如图，两个完全相同的直角三角尺和，其中，，，都在直线上，固定三角尺，将三角尺从图示位置开始沿射线移动，甲、乙、丙、丁四位同学分别给出了关于四边形的说法：
甲：一定是平行四边形；
乙：不可能是矩形；
丙：可能是菱形；
丁：可能是正方形；
则说法不正确的是( )
A. 甲和丙 B. 乙和丙 C. 只有丁 D. 乙和丁
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 如图是某超市羊排的商品销售标价，在单价元千克、重量千克、总价元这三个量中，常量是______ ．
14. 一个边形的每一个外角都为，则的值为______ ．
15. 在弹性限度内，某弹簧挂上重物后的总长度与所挂物体质量之间满足一次函数关系，且点，均在其图象上，则与之间的函数关系式是______ 不必写出的取值范围
16. 如图，正方形中，点，都在点的右侧，以点为坐标原点建立坐标系，若点的坐标为，则点的坐标为______ ．
17. 甲、乙两车往返城与港口之间运送货物某一天，甲车从城出发向港口行进，同时乙车从港口向城行进，图中，分别表示甲、乙两车距城的距离千米与所用时间时的关系图象，则甲到达港口所用的时间为______ 小时．
18. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点，，点是对角线上的一个动点，则的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
在平面直角坐标系中，
若点在轴上，求点的坐标；
若点在第二象限，且点到轴的距离为，求的值．
20. 本小题分
为让数学作业更贴近学生的需求，学校对学生最喜欢的数学作业形式进行调查，内容有：操作性作业，探究性作业，研究课题作业，设计类作业学校抽取部分学生进行调查，并绘制出下面两幅不完整的统计图如图和图．
求学校抽取的学生人数；
计算并补全条形统计图；
求扇形统计图中对应的圆心角度数．
21. 本小题分
过山车图是一个有趣而刺激的娱乐项目，如图所示的是佳佳乘坐过山车在一分钟之内的高度米与时间秒之间的关系图象．
当秒时，过山车的高度是______ 米；
请直接写出在这一分钟内过山车有几次高度达到米；
求在这一分钟内过山车的最大高度与最小高度的差．
22. 本小题分
如图，在菱形中，与交于点，延长至点，，连接．
求证：四边形是平行四边形；
若，求的长．
23. 本小题分
如图，直线经过点，并与直线：交于点．
求直线的函数表达式；
求的值；
已知点在直线上且在点的右侧，若，直接写出点的坐标．
24. 本小题分
如图，正方形网格中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标末知，图中已经画出轴．
在正方形网格中画出轴，标出原点，并直接写出点的坐标；
连接，，，判断的形状，并说明理由；
在平面直角坐标系中，直接画出关于轴对称的．
25. 本小题分
为助力中国女排征战国际赛场，某商家计划购进甲、乙两款球鞋共双，并全部售出两种型号球鞋的进价和售价如下表：
球鞋 进价元双 售价元双
甲款
乙款
设购进甲款球鞋双，已知甲款球鞋的数量不大于乙款球鞋的数量的倍，且不少于双．
求的取值范围；
求该商家销售这批商品的利润元与双之间的函数关系式；
在销售过程中，商家决定每售出一双甲款球鞋，就从一双甲款球鞋的利润中抽取元捐赠给残疾儿童，求该商家售完所有球鞋并捐赠残疾儿童后获得的最大利润用含的式子表示．
26. 本小题分
中，是射线上一点，连接，是的中点，过点作，交的延长线于点．
【探究】如图，连接，若点在线段上，且．
证明：；
当满足什么条件时，四边形是矩形？请说明理由．
【拓展】如图，当点在点右侧，且时，其他条件不变，直接写出当线满足什么条件时，四边形是正方形．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：手的位置是在第二象限，
手盖住的点的横坐标小于，纵坐标大于，
结合选项这个点是．
故选：．
根据点在第二象限点的坐标特点可直接解答．
本题主要考查了点在第二象限时点的坐标特征，比较简单．注意四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
2.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记分式的分母不为零是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：该校从中抽取名学生的测试成绩进行统计分析，则其中的是样本容量．
故选：．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．
4.【答案】
【解析】解：由题意得，该苹果的销售单价为：元千克．
故选：．
由题意可知，购买千克苹果所需费用为元，据此可得答案．
本题考查了函数的图象，解答本题明确题意，利用数形结合的思想解答．
5.【答案】
【解析】解：点和都在一次函数为常数的图象上，且，
随的增大而减小，
，
的值可能是．
故选：．
由点，的横坐标及，可得出随的增大而减小，利用一次函数的性质，可得出，再对照四个选项，即可得出结论．
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随都增大而减小”是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：四边形为矩形，
．
点，分别是，的中点，
．
同理，．
．
故选：．
根据矩形的性质，可得，根据中位线定理，可得和，进而可求得与的数量关系．
本题主要考查矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是牢记矩形的性质和三角形中位线定理．
7.【答案】
【解析】解：如图：连接，
由题意得：，，，
是等边三角形，
，，
，
，
客轮位于货轮北偏西的方向上，距离货轮处，
故选：．
连接，根据题意可得：，，，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，，从而利用平行线的性质可得，即可解答．
本题考查了等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：设直线的解析式为：，
将点和代入，
得：，解得：，
直线的解析式为：，
对于，当时，，
直线经过原点．
故选：．
首先根据直线经过和求出直线的解析式，进而根据直线的解析式可得出答案．
此题主要考查了一次函数的图象，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式．
9.【答案】
【解析】解：由作图可知，弧与弧的半径长相等．
故选：．
根据菱形的判定和作图痕迹判断即可．
本题考查作图复杂作图，菱形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
10.【答案】
【解析】解：由题意可得，，
，
由矩形得，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，，
，
故选：．
利用旋转的性质得到≌，从而得到，，再结合已知条件和矩形的基本性质可得答案．
此题考查的是旋转的性质、矩形的性质，证得≌是解决此题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，
直线过点，
故不符合题意；
，
当时，，函数图象经过一、三、四象限，符合题意；
当时，，函数图象经过一、二、四象限，符合题意；
故选：．
将化为后根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数中，当，时，函数图象经过一、二、三象限是解答此题的关键．
12.【答案】
【解析】解：画出三角尺从图示位置开始沿射线移动的某一时刻的图象：
由题意可知：，
故四边形一定是平行四边形，故甲说法正确；
当时，四边形是矩形，故乙说法错误；
当时，四边形是菱形，故丙说法正确；
与不能同时满足，故四边形不可能是正方形，故丁说法错误．
故选：．
根据四边形及特殊四边形的判定定理即可求解．
本题考查四边形及特殊四边形的判定定理，掌握相关定理是解决此题的关键．
13.【答案】元千克
【解析】解：在单价元千克、重量千克、总价元这三个量中，常量是元千克，
故答案为：元千克．
根据常量的定义判断即可．
本题考查了常量与变量，根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量．
14.【答案】
【解析】解：边形的每一个外角都是，
，
故答案为：．
先判断出此多边形是正多边形，然后根据正多边形的边数等于除以每一个外角的度数计算即可得解．
本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和等于是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：设与之间的函数关系式为，
把，代入解析式得，
，
解得，
与之间的函数关系式是，
故答案为：．
设与之间的函数关系式为，把，代入解析式，解得即可．
本题考查用待定系数法求一次函数解析式以及一次函数解析式的应用，求出一次函数关系式的解析式是解决本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图所示：
点为坐标原点，点的坐标为，
，，
，
四边形是正方形，
，，
，，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
故答案为：．
根据全等三角形的判定和性质得出，，进而根据平面直角坐标系的特点和正方形的性质得出的坐标即可．
此题考查正方形的性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出，解答．
17.【答案】
【解析】解：由图象可得，小时，
乙车行驶千米用了小时，
乙车的速度为千米时，
城市到港口的距离是千米，
甲车的速度为千米时，
甲到达港口所用的时间为小时，
故答案为：．
首先求出乙车的速度，然后结合乙从城市到港口所用的时间即可求出城市到港口的距离；首先求出甲车的速度，然后结合城市到港口的距离即可求出甲到达港口所用的时间．
本题主要考查函数图象，能够从图象上获取信息是关键．
18.【答案】
【解析】解：连接，如图，
点的对称点是点，
，
即为最短，
四边形是菱形，顶点，，
点的坐标为，
点的坐标为，
，
故答案为：．
点的对称点是点，连接，交于点，再得出即为最短，解答即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据两点坐标得出距离．
19.【答案】解：若点在轴上，，
，
，
点的坐标为；
若点在第二象限，且点到轴的距离为，
则，
．
【解析】根据点在轴上横坐标为求解；
根据点的横坐标的绝对值是点到轴的距离以及第二象限的点的特点解答即可．
本题考查了点的坐标，坐标轴上的点的特征，利用了点到坐标轴的距离：点的横坐标的绝对值是点到轴的距离，点的纵坐标的绝对值是点到轴的距离．
20.【答案】解：名，
答：学校抽取的学生人数为名；
的人数为名，
的人数为名；
补全条形统计图如下：
在扇形统计图中，种作业形式所对应的圆心角度数为．
【解析】用的人数除以所占百分比可得样本容量；
分别求出、的人数，即可补全条形统计图；
用乘所占比例即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21.【答案】
【解析】解：由题意得，当秒时，过山车的高度是米．
故答案为：；
，
过山车的运动介于之间时存在的情况，看图象可得，这一分钟内过山车有两次；
最大高度为米，最低高度为米，
米．
在这一分钟内过山车的最大高度与最小高度的差为米．
结合图象，仔细观察即可得出答案；
结合图象，仔细观察即可得出答案；
结合图象的最高点和最低点的纵坐标解答即可．
本题考查函数图象，属于基础题，理解横、纵坐标的实际意义，仔细观察图象是解题的关键．
22.【答案】证明：在菱形中，，．
．
，
四边形是平行四边形；
解：在菱形中，，
在 中，．
【解析】依据菱形的性质可知，，结合条件可得到，然后依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行证明即可；
依据菱形的性质可得到，由为平行四边形可知．
本题主要考查的是菱形的性质、平行四边形的性质和判定，熟练掌握相关知识是解题的关键．
23.【答案】解：设直线的表达式为．
将，代入表达式，
得，
解得：，
；
过点作轴于点，则．
，
；
过点作
设点的坐标为，则，
，
，
点的坐标为．

【解析】则直线的表达式为，将，代入表达式求解即可；
过点作垂直轴于点，则，利用三角形面积公式计算即可；
过点作垂直，则点的坐标为，则，利用三角形的面积公式计算即可．
本题主要考查一次函数与三角形面积问题，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式以及结合图形，灵活运用三角形面积公式计算，求解是解题的关键．
24.【答案】解：如图，轴与原点即为所求，点的坐标为．
结论：为直角三角形．
理由：由平面直角坐标系，可知，
，，
，即，
．
为直角三角形；
如图，即为所求．
【解析】根据，的坐标，确定平面直角坐标系即可；
利用勾股定理，勾股定理的逆定理判断即可；
利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
本题考查作图轴对称变换，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25.【答案】解：设购进甲款球鞋双，则购进乙款球鞋双，根据题意得，
，
解得；
由题意得，，
；
设该商家售完所有球鞋并捐赠残疾儿童后获得的利润是元，根据题意得，
，
，
，
随的增大而增大，
当时，，
答：该商家售完所有球鞋并捐赠残疾儿童后获得的最大利润是元．
【解析】根据题意列出关于的不等式组，求解即可；
根据利润售价进价销售量，列出利润表达式并化简即可，注意标注自变量的取值范围；
设该商家售完所有球鞋并捐赠残疾儿童后获得的最大利润是元，根据题意列出其关于的表达式，然后化简整理，并根据一次函数的性质判断最值即可．
本题考查了不等式组及一次函数的应用，理解题意，并找准数量关系建立相应的不等式和函数表达式，熟练运用一次函数的性质是解题关键．
26.【答案】【探究】
证明：是的中点，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
；
解：当时，四边形是矩形．
理由如下：
，，
四边形是平行四边形，
，
又由知，
，
，
是矩形；
【拓展】
解：中，且时，四边形是正方形．
理由如下：
是的中点，
，
，
，，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
四边形是正方形．
【解析】【探究】
由是的中点，，易证和全等，得出结合，得出；
当时，四边形是矩形．先证四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的性质得出，从而问题得证；
【拓展】
中，且时，四边形是正方形．先证四边形是平行四边形，结合条件得出四边形是矩形，再结合，，得出，从而得出四边形是正方形．
本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
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