九年级数学上分层优化堂堂清（13）专题复习 抛物线与特殊四边形综合问题（含解析）

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九年级数学上分层优化堂堂清
二十二章 二次函数
专题复习 抛物线与特殊四边形综合问题
平行四边形的存在性
线段中点坐标公式
2.平行四边形顶点公式：
分类：
三个定点，一个动点问题
已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标，运用平行四边形顶点坐标公式列方程（组）求解。这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论；
两个定点、两个动点问题
这中题型往往比较特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴（y轴）或对称轴或某一条直线上。设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式；若在y轴上，横坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式。该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式。
方法总结：
这种题型，关键是合理有序分类：无论式三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为顶点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，份三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程（组），这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广，其本质用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、属性结合的思想。
【例1-1】如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，矩形的边，延长交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式：
（2）如果点是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【例1-2】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C，P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线BC上方的抛物线上时，求△PBC的最大面积，并直接写出此时P点坐标；
（3）若点M在抛物线的对称轴上，以B，C，P，M为顶点、BC为边的四边形能否是平行四边形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．
针对训练1
1.已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点A（﹣1，0），C（0，﹣3）两点，对称轴为直线x＝1，对称轴与x轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点F为二次函数图象上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点F，A，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．
2.如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式，并直接写出点D的坐标；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，当点P的坐标为多少时，△APC的面积有最大值．
（3）点Q在平面内，试探究是否存在以A，C，D，Q为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
矩形存在性问题
思路1：先直角，再矩形
在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形，再确定第4个点．对“2定+1半动+1全动”尤其适用．
【例2-1】已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在平面中，且以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，求D点坐标．
解：点 C 满足以 A、B、C 为顶点的三角形是直角三角形，构造“两线一圆”可得满足条件的 点 C 有
在点 C 的基础上，借助点的平移思路，可迅速得到点 D 的坐标．
思路2：先平行，再矩形
当AC为对角线时，A、B、C、D满足以下3个等式，则为矩形：
其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为矩形．表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可．
无论是“2定1半1全”还是“1定3半”，对于我们列方程来解都没什么区别，能得到的都是三元一次方程组．
【例2-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在第二象限内是否存在一点M，使得四边形ABCM为矩形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
【例2-2】如图，直线y＝x﹣3与坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，与直线y＝x﹣3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
针对训练2
1.如图，在平面直角坐标系中抛物线L：y＝﹣x2＋bx＋c的图象与x轴的一个交点为A（﹣3，0），顶点B的横坐标为﹣1
(1)求抛物线L的函数表达式；
(2)点P为坐标轴上一点将抛物线L绕点P旋转180后得到抛物线L′，且A、B的对应点分别为C、D，当以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形时，请求出符合条件的点P坐标．
2.如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点坐标，抛物线与轴交于点，点为抛物线顶点，对称轴与轴交于点，连接、．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线上一动点，点是平面上一点，若以点、、、为顶点的四边形为矩形，直接写出满足条件的点的横坐标．
菱形的存在性问题
解题思路：
（1）思路 1：先等腰，再菱形
在构成菱形的 4 个点中任取 3 个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确
定第 3 个点，再确定第 4 个点．
（2）思路 2：先平行，再菱形
设点坐标，根据平行四边形的存在性要求列出“”（AC、BD 为对角线），再结合一组邻
边相等，得到方程组．
方法总结：
菱形有一个非常明显的特点：任意三个顶点所构成的三角形必然是等腰三角形。
【例3-1】如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B、C为坐标轴上的三个点，且OA＝1，OB＝3，OC＝4．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式
（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若M为该抛物线上的一动点，在（2）的条件下，求|PM﹣AM|的最大值．
【例3-2】如图，已知直线与抛物线交于点P(，4)，与轴交于点A，与轴交于点 C，PB⊥轴于点B，且AC=BC，若抛物线的对称轴为，且S△PBC=8．
(1)求直线和抛物线的函数解析式；
(2)物线上是否存在点D，使以B、C、P、D为顶点的四边形是为菱形 如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由
针对训练3
1.如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B．
(1)求抛物线解析式；
(2)若点H是抛物线的顶点，在x轴上有一点M，平面内是否存在点N，使得以A、H、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由
2.如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）根据图像，直接写出不等式x2＋bx＋c＞0的解集： ．
（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为： ．
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二十二章 二次函数
专题复习 抛物线与特殊四边形综合问题（解析版）
平行四边形的存在性
线段中点坐标公式
2.平行四边形顶点公式：
分类：
三个定点，一个动点问题
已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标，运用平行四边形顶点坐标公式列方程（组）求解。这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论；
两个定点、两个动点问题
这中题型往往比较特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴（y轴）或对称轴或某一条直线上。设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式；若在y轴上，横坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式。该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式。
方法总结：
这种题型，关键是合理有序分类：无论式三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为顶点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，份三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程（组），这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广，其本质用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、属性结合的思想。
【例1-1】如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，矩形的边，延长交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式：
（2）如果点是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，点的坐标为或或．
【解析】
【分析】
（1）由抛物线解析式需确定a，b两个值，找抛物线上两点坐标，由AB=4，CD=1，可确定B（1，0），A（-3，0）即可．
（2）以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形，A，C固定，为此考虑以AC为边和以AC为对角线两种情况即可．
【详解】
（1）∵矩形的边，
∴，
∵，
∴，
∴，，
把、两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为；
（2）①当为平行四边形的边时，则有，且，如图，过作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点，
则，
在和中
∴，∴，
∴点到对称轴的距离为3，
又，∴抛物线对称轴为，
设点坐标为，则，解得或，
当时，，当时，，
∴点坐标为或；
②当为对角线时，设的中点为，
∵，，∴，
∵点在对称轴上，∴点的横坐标为，
设点横坐标为，
∴根据中点坐标公式：，解得，此时．
∴；
综上可知点的坐标为或或．
【点评】
本题是抛物线中的重点题型，综合性比较强，考查求抛物线解析式，点到直线的最大距离，用平行四边形确定动点P的坐标，看抛物线需确定几个量，就求几个点坐标，发现△PGH为等腰直角三角形，转求PG最值为就问题铺平道路，平行四边形由A、C两点不动，作平行四边形分类考虑是关键．
【例1-2】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C，P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线BC上方的抛物线上时，求△PBC的最大面积，并直接写出此时P点坐标；
（3）若点M在抛物线的对称轴上，以B，C，P，M为顶点、BC为边的四边形能否是平行四边形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图1，
由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+3，
∵点B（﹣3，0），
∴﹣3k+3＝0，
∴k＝1，
∴直线BC的解析式为y＝x+3，
过点P作PQ∥y轴交BC于Q，
设P（m，﹣m2﹣2m+3）（﹣3＜m＜0），
∴Q（m，m+3），
∴PQ＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，
∴S△PBC＝PQ（xC﹣xB）＝（﹣m2﹣3m）[0﹣（﹣3）]＝﹣（m+）2+，
∴当m＝﹣时，△PBC的最大面积为，此时，点P的坐标为（﹣，）；
（3）能是平行四边形；
如图2，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
∴抛物线的对称轴为x＝﹣1，
∴设点M（﹣1，a），P（n，﹣n2﹣2n+3），
假设存在以B，C，P，M为顶点、BC为边的四边形是平行四边形，
①当四边形BCMP是平行四边形时，
∵点C（0，3），B（﹣3，0），
∴（n+0）＝（[﹣3+（﹣1）]，
∴n＝﹣4，
∴P（﹣4，﹣5），
②当四边形BCP'M'是平行四边形时，
∵点C（0，3），B（﹣3，0），
∴[n+（﹣3）]＝（[0+（﹣1）]，
∴n＝2，
∴P（2，﹣5），
即：满足条件的点P（﹣4，﹣5）或（2，﹣5）．
针对训练1
1.已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点A（﹣1，0），C（0，﹣3）两点，对称轴为直线x＝1，对称轴与x轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点F为二次函数图象上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点F，A，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴设抛物线y＝a（x﹣1）2+k，
把A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2+k得：，
∴，
∴y＝（x﹣1）2﹣4；
（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
依题意设N（1，n），M（m，m2﹣2m﹣3），
∵C（0，﹣3），对称轴为直线x＝1，
∴F（2，﹣3），
∵A（﹣1，0），F（2，﹣3），N（1，n），M（m，m2﹣2m﹣3），
当以AF为对角线时，
，
∴m＝0，
∴M（0，﹣3），
当以AN为对角线时，
，
∴m＝﹣2，
∴M（﹣2，5），
当以AM为对角线时，
，
∴m＝4，
∴M（4，5），
综上所述：M（0，﹣3）或M（﹣2，5）或M（4，5）．
2.如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式，并直接写出点D的坐标；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，当点P的坐标为多少时，△APC的面积有最大值．
（3）点Q在平面内，试探究是否存在以A，C，D，Q为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
设直线AC的解析式为y＝kx+n，
则，
解得：，
∴直线的解析式为y＝x+1，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）；
（2）过点P作PF∥y轴，交AC于点F，
∵点P在抛物线y＝﹣x2+3x+3上，设P（a，﹣a2+2a+3），
F点在直线AC上，设F（a，a+1），
∴PF＝（﹣a2+2a+3）﹣（a+1）＝﹣a2+a+2，
∴S＝﹣
当a＝时，面积最大，﹣a2+2a+3＝，
即P（）；
（3）存在，理由如下：
由（1）知D（1，4），A（﹣1，0），C（2，3），设Q（m，n），
若以点A，C，D，Q为顶点的四边形为平行四边形，
①以AD为对角线，则AD与CQ1的中点坐标相同，
则，
解得：，
∴Q1（﹣2，1）；
②以DC为对角线，则DC与AQ2的中点坐标相同，
则
解得：，
∴Q2（4，7）；
③以AC为对角线，则AC与DQ3的中点坐标相同，
则
解得：，
∴Q3（0，﹣1），
综上所述，符合条件的Q点的坐标为（﹣2，1）或（4，7）或（0，﹣1）．
矩形存在性问题
思路1：先直角，再矩形
在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形，再确定第4个点．对“2定+1半动+1全动”尤其适用．
【例2-1】已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在平面中，且以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，求D点坐标．
解：点 C 满足以 A、B、C 为顶点的三角形是直角三角形，构造“两线一圆”可得满足条件的 点 C 有
在点 C 的基础上，借助点的平移思路，可迅速得到点 D 的坐标．
思路2：先平行，再矩形
当AC为对角线时，A、B、C、D满足以下3个等式，则为矩形：
其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为矩形．表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可．
无论是“2定1半1全”还是“1定3半”，对于我们列方程来解都没什么区别，能得到的都是三元一次方程组．
【例2-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在第二象限内是否存在一点M，使得四边形ABCM为矩形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2； （2）点M坐标为（﹣4，6）
【解答】解：（1）把A（0，﹣2），B（4，0）代入抛物线y＝x2+bx+c，
得，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）存在．过点C作AB的平行线，过点A作BC的平行线，两条直线相较于M，则M即为所求．
在y＝﹣2x+8中，令x＝0，则y＝8，
∴C（0，8），
∵A（0，﹣2），B（4，0），
∴AB2＝42+22＝20，BC2＝42+82＝80，AC2＝102＝100，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴∠ABC＝90°，
∵CM∥AB，AM∥BC，
∴四边形ABCM是矩形，
设直线AB的解析式为y＝kx+m，
则，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣2，
∵CM∥AB，
∴直线CM的解析式为y＝x+8，
∵AM∥BC，
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x﹣2，
联立方程组，
解得：，
∴点M坐标为（﹣4，6）．
【例2-2】如图，直线y＝x﹣3与坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，与直线y＝x﹣3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） y＝x2﹣x﹣3 （2）点Q的坐标为：（2，8）或（﹣16，29）．
【解答】解：（1）直线y＝x﹣3与坐标轴交于A、B两点，
则A（3，0）B（0，﹣3），
把B、E点坐标代入二次函数方程，解得：
抛物线的解析式y＝x2﹣x﹣3…①，
则：C（6，0）；
（2）存在．
①当BC为矩形对角线时，矩形BP′CQ′所在的位置如图所示，
设：P′（m，n），
n＝m2﹣m﹣3…③，
P′C所在直线的k1＝，
P′B所在的直线k2＝，则：k1 k2＝﹣1…④，
③、④联立得：＝0，
解得：m＝0或6，
这两个点分别和点B、C重合，
与题意不符，故：这种情况不存在，舍去．
②当BC为矩形一边时，
情况一：矩形BCQP所在的位置如图所示，
直线BC所在的方程为：y＝x﹣3，
则：直线BP的k为﹣2，所在的方程为y＝﹣2x﹣3…⑤，
联立①⑤解得点P（﹣4，5），
则Q（2，8），
情况二：矩形BCP″Q″所在的位置如图所示，
此时，P″在抛物线上，其坐标为：（﹣10，32），Q″坐标为（﹣16，29）．
故：存在矩形，点Q的坐标为：（2，8）或（﹣16，29）．
针对训练2
1.如图，在平面直角坐标系中抛物线L：y＝﹣x2＋bx＋c的图象与x轴的一个交点为A（﹣3，0），顶点B的横坐标为﹣1
(1)求抛物线L的函数表达式；
(2)点P为坐标轴上一点将抛物线L绕点P旋转180后得到抛物线L′，且A、B的对应点分别为C、D，当以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形时，请求出符合条件的点P坐标．
【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3
(2)P点坐标为（2，0）或（0，1）
【解析】
【分析】
（1）把顶点B的横坐标﹣1代入对称轴方程，可解得b得值；将b，A（﹣3，0）代入y＝﹣x2＋bx＋c可得c的值，继而可得到抛物线L的函数表达式；
（2）由抛物线L与L′关于坐标轴上一点P对称，且四边形ABCD为矩形，可得P为矩形ABCD对角线的交点，PA＝PC＝PB＝PD；因为P在坐标轴上，所以本题需分两种情况进行分析①当P在x轴上时，设点P坐标为（x，0）②当P在y轴上时，设点P坐标为（0，y），然后根据矩形的性质可求解．
(1)
解：∵顶点B横坐标为﹣1，
∴
解得b＝﹣2；
将A（﹣3，0）代入，得0＝﹣9+6+c；
解得c＝3；
∴抛物线L的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．
(2)
解：由（1）可求出B的坐标为（﹣1，4）；
∵抛物线L与L′关于坐标轴上一点P对称，且四边形ABCD为矩形；
∴P为矩形ABCD对角线的交点；
∴PA＝PC＝PB＝PD；
①当P在x轴上时：
设点P坐标为（x，0）；
∴PB2＝（x+1）2+42＝PA2＝（x+3）2；
解得x＝2，
∴P（2，0）．
②当P在y轴上时：
设点P坐标为（0，y）；
∴PB2＝（﹣1）2+（4﹣y）2＝PA2＝（﹣3）2+y2；
解得y＝1；
∴P（0，1）．
即综上所述，P点坐标为（2，0）或（0，1）．
【点评】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质及矩形的性质是解题的关键．
2.如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点坐标，抛物线与轴交于点，点为抛物线顶点，对称轴与轴交于点，连接、．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线上一动点，点是平面上一点，若以点、、、为顶点的四边形为矩形，直接写出满足条件的点的横坐标．
(1)
解：由题意得：，
解得，
故抛物线的表达式为；
(2)
解：设点的坐标为，，点的坐标为，
当是边时，
点向右平移个单位向上平移个单位得到点，
同样向右平移个单位向上平移个单位得到点，且，
或，
联立并解得舍去或；
联立并解得舍去或，
故或；
当是对角线时，
由中点公式和得：，
联立并解得，
综上，点的横坐标为或或．
【点评】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．解题的关键是要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
菱形的存在性问题
解题思路：
（1）思路 1：先等腰，再菱形
在构成菱形的 4 个点中任取 3 个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确
定第 3 个点，再确定第 4 个点．
（2）思路 2：先平行，再菱形
设点坐标，根据平行四边形的存在性要求列出“”（AC、BD 为对角线），再结合一组邻
边相等，得到方程组．
方法总结：
菱形有一个非常明显的特点：任意三个顶点所构成的三角形必然是等腰三角形。
【例3-1】如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B、C为坐标轴上的三个点，且OA＝1，OB＝3，OC＝4．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式
（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若M为该抛物线上的一动点，在（2）的条件下，求|PM﹣AM|的最大值．
【答案】（1）（2）P（5，3）；
（3）|PM﹣AM|的最大值为5．
【解答】解：（1）由题意得：A（1，0），B（0，3），C（﹣4，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x+4）（x﹣1），
代入点B（0，3），得：﹣4a＝3，
解得a＝，
∴；
（2）若AP为菱形的对角线，则AB和AC为邻边，
∵AB＝，
∴此种情况不能构成菱形，
若BP为菱形的对角线，则AB和BC为邻边，
∵AB＝，
∴此种情况不能构成菱形，
若CP为菱形的对角线，则AC和BC为邻边，
∵AC＝BC＝5，
∴此种情况可以构成菱形，
设P（x，y），由中点坐标公式得：
，
解得：，
∴P（5，3）；
（3）当A，P，M不共线时，点A，P，M构成三角形，
∴|PM﹣AM|＜AP，
当A，P，M共线时，|PM﹣AM|＝AP，
∴|PM﹣AM|的最大值为AP，
∵A（1，0），P（5，3），
∴AP＝，
∴|PM﹣AM|的最大值为5．
【例3-2】如图，已知直线与抛物线交于点P(，4)，与轴交于点A，与轴交于点 C，PB⊥轴于点B，且AC=BC，若抛物线的对称轴为，且S△PBC=8．
(1)求直线和抛物线的函数解析式；
(2)物线上是否存在点D，使以B、C、P、D为顶点的四边形是为菱形 如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由
【答案】(1)
(2)存在，点D的坐标为（8，2）
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法，构建方程组即可解决问题；
（2）首先证明CB＝CP，作CD⊥PB，则CD平分PB，当PB平分CD时，四边形BCPD为菱形，此时点D的坐标为（8，2），只要证明点D在抛物线上即可；
(1)
解：∵PB⊥x，P（a，4），S△PBC＝8，
∴ ，PB＝4，
∴，
∴OB＝4，
∴点P的坐标为（4，4），
∵AC＝BC，
∴ △ABC是等腰三角形
∵ CO⊥AB，
∴OA＝OB＝4，
∴ 点A的坐标是（﹣4，0），
把点A、P的坐标代入y＝kx+b得：
，
解得： ，
∴直线的解析式为 ，
∵ 的对称轴为，且经过点P（4，4），
∴
解得：
∴抛物线的解析式为；
(2)
解：∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA，
∵∠CAB+∠APB＝∠CBA+∠CBP＝90°，
∴∠APB＝∠CBP，
∴CB＝CP，
作CD⊥PB，则CD平分PB，
当PB平分CD时，四边形BCPD为菱形，
此时点D的坐标为（8，2），
把x＝8代入，
得，
∴点D在抛物线上，
∴在抛物线上存在点D，使四边形BCPD为菱形，
此时点D的坐标为（8，2）．
【点评】
本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会构建方程组解决问题，属于中考压轴题。
针对训练3
1.如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B．
(1)求抛物线解析式；
(2)若点H是抛物线的顶点，在x轴上有一点M，平面内是否存在点N，使得以A、H、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由
(1)
解：（1）∵直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），
∴0＝﹣3+n，
∴n＝3，
∴直线解析式为：y＝﹣x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴点B（0，3），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
(2)
解：把y＝﹣x2+2x+3化成顶点式为y＝﹣（x-1）2+4；
所以，顶点H坐标为（1，4），
∵A（3，0），
∴，
①当四边形ANMH为菱形时，AM为对角线，如图，
点M与点C重合，点N与点H关于x轴对称，
∴N点坐标为（1，-4）；
②当四边形AMNH为菱形时，如图，
∴HN∥x轴，HN＝AH，
∴N点坐标为（1，4）或（1，4）；
③当四边形AMHN为菱形时，如图，
设M点坐标为（m，0），
∵AM=MH，
∴，
解得，m=-2，
MA=HN=5，
∴N点坐标为（6，4）；
综上所述：点N的坐标分别为：（6，4）或（1，4）或（1，4）或（1，-4）．
【点评】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
2.如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）根据图像，直接写出不等式x2＋bx＋c＞0的解集： ．
（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为： ．
【答案】（1）y＝x2－4x＋3；（2）x＜1或x＞3；（3）（2，－1）
【解析】（1）如图，∵AB＝2，对称轴为直线x＝2．
∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）．
把A、B两点的坐标代入得：，解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2－4x＋3；．
（2）由图象得：不等式x2＋bx＋c＞0，即y＞0时，x＜1或x＞3；
故答案为：x＜1或x＞3；
（3）（2，－1）．
y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴顶点坐标为（2，-1），
当E、D点在x轴的上方，即DE∥AB，AE=AB=BD=DE=2，此时不合题意，
如图，根据“菱形ADBE的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点D是抛物线y=x2-4x+3的顶点坐标，即（2，-1），
故答案是：（2，-1）．
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