九年级数学上分层优化堂堂清（15）第二十二章 二次函数综合素质测评试题（含解析）

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九年级数学上分层优化堂堂清
二十二章 二次函数
本章综合素质测评
时间90分钟满分120分
填空题（每小题3分，共30分）
1 .下列函数中，二次函数是( )
A. y＝﹣4x+5 B. y＝x(2x﹣3)
C. y＝(x+4)2﹣x2 D. y＝
二次函数y＝3x2+2x的图象的对称轴为(　　)
A. x＝﹣2 B. x＝﹣3 C. x= D. x=
将抛物线y＝x2+2x﹣3的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A. y＝（x﹣1）2﹣1 B. y＝（x+3）2﹣1
C. y＝（x﹣1）2﹣7 D. y＝（x+3）2﹣7
4 .对于抛物线y=﹣2（x+1）2+3，下列结论：
①抛物线的开口向下；
②对称轴为直线x=1：
③顶点坐标为（﹣1，3）；
④x＞1时，y随x的增大而减小．
其中正确结论的个数为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5 .已知二次函数y=x2-2mx+m2+1（m为常数），当自变量x的值满足-3≤x≤-1时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（　　）
A. 1或-3 B. -3或-5 C. 1或-5 D. 1或-1
6 .根据表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断该二次函数的图象与x轴（　　）
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 4 ﹣0.5 ﹣2 ﹣0.5 …
A. 只有一个交点 B. 有两个交点，且它们分别在y轴两侧
C. 有两个交点，且它们均在y轴同侧 D. 无交点
7 .抛物线y=（x﹣1）2+t与x轴的两个交点之间的距离为4，则t的值是（　　）
A. ﹣1 B. ﹣2 C. ﹣3 D. ﹣4
8 .如图，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，≤a≤3b，AE＝AH＝CF＝CG，则四边形EFGH的面积的最大值是（ ）
A. B. C. D.
9 .当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（　　）
A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 0或3
10 .已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（　　）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
填空题（每小题3分，共15分）
11 .把二次函数y=x2﹣2x+3的图象绕原点旋转180°后得到的图象的函数解析式为_____．
12 .由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（1，0）……，求证：这个二次函数的图象关于直线x=2对称，根据现有信息，得出有关这个二次函数的下列结论：①过点（3，0）；②顶点（2，2）；③在x轴上截得的线段的长是2；④与y轴的交点是（0，3），其中正确的是______（填序号）．
13 .飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)与滑行的时间t(单位：s)的函数解析式是s=60t -1.2t 2，飞机着陆后滑行______秒才能停下来．
14 .函数y＝ax2﹣2ax+m（a＞0）的图象过点（2，0），那么使函数值y＜0成立的x的取值范围是______．
15.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中，正确的有______．（只填序号）
解答题（共8小题，75分）
16 .（8分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）求该二次函数与x轴的交点坐标和顶点；
（2）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当y＜0时，x的取值范围．
（8分）为了改善小区环境，某小区决定要在一块边靠墙（墙长18m）的空地，修建一个矩形绿地ABCD，绿地一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图），设AB边为xm，绿地面积为ym2．
（1）求y与x之间函数关系，并求出自变量x的取值范围；
（2）绿地的面积能不能为200m2？如果能，求出x的值，如果不能，请说明理由．
18 .（9分）某超市销售一种水果，进价为每箱40元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱72元，每月可销售60箱．经市场调查发现：若这种水果的售价每降低2元，则每月的销量将增加10箱，设每箱水果降价x元（x为偶数），每月的销量为y箱．
(1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．
(2)若该超市在销售过程中每月需支出其他费用500元，则如何定价才能使每月销售水果的利润最大？最大利润是多少元？
19 .（8分）某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为45元/件，每销售一件需缴纳平台推广费5元，该款小电器每天的销售量y（件）与每件的销售价格x（元）满足函数关系：y＝﹣2x+200．为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于75元/件．
（1）写出每天的销售利润w（元）与销售价格x（元）的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
（2）每件小电器的销售价格定为多少元时，才能使该款小电器每天获得的利润是1200元？
20 .（8分）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（－1，0），与y轴的交点为（0，3）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）结合函数图象，直接写出当y≤﹣1时x的取值范围．
21 .（9分）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
定义：我们把自变量为的二次函数与（，）称为一对“亲密函数”，如的“亲密函数”是．
任务：
（1）写出二次函数的“亲密函数”：______；
（2）二次函数的图像与轴交点的横坐标为1和，它的“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标为______，猜想二次函数（）的图像与轴交点的横坐标与其“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标之间的关系是______；
（3）二次函数的图像与轴交点的横坐标为1和，请利用（2）中的结论直接写出二次函数的图像与轴交点的横坐标．
22 .（12分）已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由．
23.（13分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求该抛物线的函数表达式及顶点C的坐标；
（2）设该抛物线上一动点P的横坐标为t．
①在图1中，当﹣3＜t＜0时，求△PBO的面积S与t的函数关系式，并求S的最大值；
②在图2中，若点P在该抛物线上，点E在该抛物线的对称轴上，且以A，O，P，E为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；
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二十二章 二次函数
本章综合素质测评（解析版）
时间90分钟满分120分
填空题（每小题3分，共30分）
1 .下列函数中，二次函数是( )
A. y＝﹣4x+5 B. y＝x(2x﹣3)
C. y＝(x+4)2﹣x2 D. y＝
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可.
【详解】解：A. y=-4x+5是一次函数，不符合题意；
B. y= x(2x-3)=2x2-3x，是二次函数，符合题意；
C. y=(x+4)2 x2=8x+16，为一次函数，不符合题意；
D. y=是组合函数，不符合题意.
故选B.
【点评】本题考查二次函数的定义,熟知二次函数的表达形式是解答的关键.
二次函数y＝3x2+2x的图象的对称轴为(　　)
A. x＝﹣2 B. x＝﹣3 C. x= D. x=
【答案】D
【解析】
【分析】利用对称轴公式求解即可
【详解】y＝3x2+2x
x=-=-=
故选D
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握对称轴公式是解题的关键.
将抛物线y＝x2+2x﹣3的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A. y＝（x﹣1）2﹣1 B. y＝（x+3）2﹣1
C. y＝（x﹣1）2﹣7 D. y＝（x+3）2﹣7
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象平移规律，可得答案.
【详解】函数化为一般式为，
的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得
.
故选：.
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题关键.
4 .对于抛物线y=﹣2（x+1）2+3，下列结论：
①抛物线的开口向下；
②对称轴为直线x=1：
③顶点坐标为（﹣1，3）；
④x＞1时，y随x的增大而减小．
其中正确结论的个数为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【详解】①∵a=－2，∴抛物线的开口向下，故本小题正确；
②对称轴为直线x=﹣1，故本小题错误；
③顶点坐标为（﹣1，3），故本小题正确；
④∵对称轴为直线x=﹣1，抛物线开口向下，∴x＞﹣1时，y随x的增大而减小，∴x＞1时，y随x的增大而减小，故本小题正确．
综上所述：正确的有①③④．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数y=a（x﹣h）2+k的性质，主要是抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标以及二次函数的增减性．
5 .已知二次函数y=x2-2mx+m2+1（m为常数），当自变量x的值满足-3≤x≤-1时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（　　）
A. 1或-3 B. -3或-5 C. 1或-5 D. 1或-1
【答案】C
【解析】
【分析】利用配方法可得出：当x=m时，y的最小值为1．分m＜-3，-3≤m≤-1和m＞-1三种情况考虑：当m＜-3时，由y的最小值为5可得出关于m的一元二次方程，解之取其较小值；当-3≤m≤-1时，y的最小值为1，舍去；当m＞-1时，由y的最小值为5可得出关于m的一元二次方程，解之取其较大值．综上，此题得解．
【详解】∵y=x2-2mx+m2+1=（x-m）2+1，
∴当x=m时，y的最小值为1．
当m＜-3时，在-3≤x≤-1中，y随x的增大而增大，
∴9+6m+m2+1=5，
解得：m1=-5，m2=-1（舍去）；
当-3≤m≤-1时，y的最小值为1，舍去；
当m＞-1时，在-3≤x≤-1中，y随x的增大而减小，
∴1+2m+m2+1=5，
解得：m1=-3（舍去），m2=1．
∴m的值为-5或1．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，分m＜-3，-3≤m≤-1和m＞-1三种情况求出m的值是解题的关键．
6 .根据表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断该二次函数的图象与x轴（　　）
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 4 ﹣0.5 ﹣2 ﹣0.5 …
A. 只有一个交点 B. 有两个交点，且它们分别在y轴两侧
C. 有两个交点，且它们均在y轴同侧 D. 无交点
【答案】B
【解析】
【分析】由条件可求得抛物线解析式，再进行判断即可．
【详解】由题意可知抛物线过（0，﹣0.5），（1，﹣2），（﹣1，4），代入抛物线解析式可得：，解得：，
∴抛物线解析式为y=1.5x2﹣3x﹣0.5，
令y=0，可得：1.5x2﹣3x﹣0.5=0，
解得：x=1+＞0或x=1﹣＜0，
∴抛物线与x轴有两个交点，且它们都在y轴的两侧．
故选B．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键．
7 .抛物线y=（x﹣1）2+t与x轴的两个交点之间的距离为4，则t的值是（　　）
A. ﹣1 B. ﹣2 C. ﹣3 D. ﹣4
【答案】D
【解析】
【分析】先求出方程的两根，让两根之差的绝对值为4列式求值即可．
【详解】解：令y=0，则（x﹣1）2+t=0，
解得：x1=1﹣，x2=1+，
∵抛物线y=（x﹣1）2+t与x轴的两个交点之间的距离为4，
∴|x1﹣x2|=4，
∴（1+）﹣（1﹣）=4，
∴t=﹣4，
经检验t=﹣4是原方程的解．
故选D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
8 .如图，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，≤a≤3b，AE＝AH＝CF＝CG，则四边形EFGH的面积的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据题意列出二次函数关系式，再根据求二次函数最值的方法求解即可.
【详解】设，则，，
设四边形的面积为，
依题意，得，
即：，
，抛物线开口向下，
时，有最大值，
，
，
函数有最大值为.
故选：.
【点评】根据面积的和差关系，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题.
9 .当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（　　）
A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 0或3
【答案】D
【解析】
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值，结合当时函数有最小值1，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论.
【详解】当时，有，
解得：，，
当时，函数有最小值1，
或，
或.
故选：.
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值是解题的关键.
10 .已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（　　）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线的图象可判断a、b、c的符号，可判断①；由x=-1和x=2时对应的函数值可判断②、③；由对称轴可得b=-2a分别代入a-b+c，借助函数图象可判断④；可以比较当x=m和x=1时的函数值的大小可判断⑤，可求得答案．
【详解】解：∵图象开口向下，与y轴的交点在x轴的上方，
∴a＜0，c＞0，
∵对称轴为x=1，
∴，
∴b=-2a＞0，
∴abc＜0，故①错误；
当x=-1时，可知y＜0，
∴a-b+c＜0，
∴a+c＜b，故②错误；
∵抛物线与x的一个交点在-1和0之间，
∴另一个交点在2和3之间，
∴当x=2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，故③正确；
∵b=-2a，
∴a=，且a-b+c＜0，
∴，
即，
∴2c＜3b，故④正确；
∵抛物线开口向下，
∴当x=1时，y有最大值，
∴a+b+c＞am2+bm+c，
∴a+b＞m（am+b），故⑤正确；
综上可知正确的有3个，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，掌握y=ax2+bx+c（a≠0）中各系数与其图象的关系是解题的关键．
填空题（每小题3分，共15分）
11 .把二次函数y=x2﹣2x+3的图象绕原点旋转180°后得到的图象的函数解析式为_____．
【答案】y=﹣x2﹣2x﹣3
【解析】
【分析】求出原抛物线的顶点坐标以及绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转后抛物线开口方向向下，利用顶点式解析式写出即可．
【详解】∵抛物线y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+1的顶点坐标为（1，1），
∴绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），
∴所得到的图象的解析式为y=﹣（x+1）2﹣1，即y=﹣x2﹣2x﹣3．
故答案为y=﹣x2﹣2x﹣3．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便．
12 .由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（1，0）……，求证：这个二次函数的图象关于直线x=2对称，根据现有信息，得出有关这个二次函数的下列结论：①过点（3，0）；②顶点（2，2）；③在x轴上截得的线段的长是2；④与y轴的交点是（0，3），其中正确的是______（填序号）．
【答案】①③
【解析】
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，从而得到抛物线在轴上截得的线段的长，利用和对称轴方程不能确定顶点的纵坐标和的值.
【详解】二次函数的图象过点，对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
抛物线在轴上截得的线段的长是.
故答案为：①③.
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数（，，是常数，）与轴的交点坐标问题转化解.关于的一元二次方程即可求得交点横坐标.
13 .飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)关于滑行的时间t(单位：s)的函数解析式是s=60t -1.2t 2，飞机着陆后滑行______秒才能停下来．
【答案】25
【解析】
【分析】将函数解析式配方成顶点式求出s取得最大值时的t的值即可得．
【详解】解：∵s＝60t－1.2t2＝－1.2（t－25）2＋750，
∴当t＝25时，s取得最大值750，
即飞机着陆后滑行25秒才能停下来，
故答案为：25．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的距离即为s的最大值是解题的关键．
14 .函数y＝ax2﹣2ax+m（a＞0）的图象过点（2，0），那么使函数值y＜0成立的x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出抛物线的对称轴，由抛物线与x轴的交点（2，0）和对称轴就可以求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，又因为抛物线开口向上，所以在x轴下方部分，，由抛物线与x轴两交点的横坐标，就可以求解.
【详解】解：∵函数
函数图像开口向上，对称轴x= -=1.
∵图像经过点（2，0），2-1=1,1-1=0
∴抛物线与x轴的另一个交点为即（0,0），在x轴下方部分，，
故当 时，.
【点评】本题考查抛物线的对称性，解答关键是由对称轴、抛物线与求出x轴的交点（2，0），求出抛物线与x轴的另一个交点坐标.
15.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中，正确的有______．（只填序号）
【答案】①②③⑤
【解析】
【分析】根据图象可判断①②③④⑤，由x=1时，y＜0，可判断⑥．
【详解】由图象可得，a＞0，c＜0，b＜0，△=b2﹣4ac＞0，对称轴为x=，
∴abc＞0，4ac＜b2，当时，y随x的增大而减小．故①②⑤正确，
∵，
∴2a+b＞0，
故③正确，
由图象可得顶点纵坐标小于﹣2，则④错误，
当x=1时，y=a+b+c＜0，故⑥错误．
故答案为：①②③⑤．
【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
解答题（共8小题，75分）
16 .（8分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）求该二次函数与x轴的交点坐标和顶点；
（2）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当y＜0时，x的取值范围．
【答案】（1）二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0），抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）图见详解；当y＜0时，1＜x＜3．
【解析】
【分析】（1）令y=0，可求出x的值，即为与x轴的交点坐标；将二次函数化为顶点式即可得出顶点坐标
（2）根据与x轴的交点坐标，顶点坐标，与y轴的交点即可画出图像，再根据图像信息即可得出x的取值范围.
【详解】（1）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
所以该二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0）；
因为y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，
所以抛物线顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）函数图象如图：
由图象可知，当y＜0时，1＜x＜3．
【点评】本题考查了二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键.
（8分）为了改善小区环境，某小区决定要在一块边靠墙（墙长18m）的空地，修建一个矩形绿地ABCD，绿地一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图），设AB边为xm，绿地面积为ym2．
（1）求y与x之间函数关系，并求出自变量x的取值范围；
（2）绿地的面积能不能为200m2？如果能，求出x的值，如果不能，请说明理由．
【答案】（1）y与x之间的函数关系式是y=﹣2x2+40x（0＜x＜20）；（2）绿化带的面积不能为200m2，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据题意可以列出y与x之间的函数关系式并写出x的取值范围；
（2）先判断绿化带的面积能不能为200m2，然后说明理由即可解答本题．
【详解】（1） 由题意可得：y=x （40﹣2x）=﹣2x2+40x，
即y与x之间的函数关系式是y=﹣2x2+40x（0＜x＜20）；
（2）绿化带的面积不能为200m2．理由如下：
将y=200代入y=﹣2x2+40x得：
200=﹣2x2+40x，
解得：x=10，
∴BC=40﹣2x=20＞18，
∴绿化带面积不能为200m2．
【点评】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是根据题意，列出相应的函数关系式和一元二次方程．
18 .（9分）某超市销售一种水果，进价为每箱40元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱72元，每月可销售60箱．经市场调查发现：若这种水果的售价每降低2元，则每月的销量将增加10箱，设每箱水果降价x元（x为偶数），每月的销量为y箱．
(1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．
(2)若该超市在销售过程中每月需支出其他费用500元，则如何定价才能使每月销售水果的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y＝60+5x，（0≤x≤32，且x为偶数）；（2）售价为62元时，每月销售水果的利润最大，最大利润是1920元．
【解析】
【分析】（1）根据价格每降低2元，平均每月多销售10箱，由每箱降价元，多卖，据此可以列出函数关系式；
（2）由利润=（售价 成本）×销售量 每月其他支出列出函数关系式，求出最大值.
【详解】解：（1）根据题意知y＝60+5x，（0≤x≤32，且x为偶数）；
（2）设每月销售水果的利润为w，
则w＝（72﹣x﹣40）（5x+60）﹣500
＝﹣5x2+100x+1420
＝﹣5（x﹣10）2+1920，
当x＝10时，w取得最大值，最大值为1920元，
答：当售价为62元时，每月销售水果的利润最大，最大利润是1920元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，由利润=（售价 成本）×销售量列出函数关系式求最值，用二次函数解决实际问题是解题的关键.
19 .（8分）某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为45元/件，每销售一件需缴纳平台推广费5元，该款小电器每天的销售量y（件）与每件的销售价格x（元）满足函数关系：y＝﹣2x+200．为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于75元/件．
（1）写出每天的销售利润w（元）与销售价格x（元）的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
（2）每件小电器的销售价格定为多少元时，才能使该款小电器每天获得的利润是1200元？
【答案】（1）w＝﹣2x2+300x﹣10000；（2）每件小电器的销售价格定为80元时，才能使该款小电器每天获得的利润是1200元．
【解析】
【分析】（1）直接利用销量×每件的利润＝总利润进而得出函数关系式；
（2）利用总利润＝1200，进而解方程得出答案．
【详解】（1）由题意可得：w＝（x﹣50）（﹣2x+200）＝﹣2x2+300x﹣10000；
（2）由题意可得：1200＝﹣2x2+300x﹣10000，
解得：x1＝70（不合题意舍去），
x2＝80，
答：每件小电器的销售价格定为80元时，才能使该款小电器每天获得的利润是1200元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
20 .（8分）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（－1，0），与y轴的交点为（0，3）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）结合函数图象，直接写出当y≤﹣1时x的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3（2）当x≤1﹣或x≥1+时，y≤﹣1
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）先计算出y=－1对应的自变量的值，然后结合图象，写出y≤﹣1所对应的自变量的范围即可．
【详解】（1）把（－1，0）和（0，3）代入y=﹣x2+bx+c得：，解得：，所以抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）当y=－1时，﹣x2+2x+3=－1，解得：x1=1，x2=1，当x≤1或x≥1时，y≤﹣1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．
21 .（9分）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
定义：我们把自变量为的二次函数与（，）称为一对“亲密函数”，如的“亲密函数”是．
任务：
（1）写出二次函数的“亲密函数”：______；
（2）二次函数的图像与轴交点的横坐标为1和，它的“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标为______，猜想二次函数（）的图像与轴交点的横坐标与其“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标之间的关系是______；
（3）二次函数的图像与轴交点的横坐标为1和，请利用（2）中的结论直接写出二次函数的图像与轴交点的横坐标．
【答案】（1）；（2）4和-1；互为相反数；（3）二次函数的图像与轴交点的横坐标为和
【分析】（1）根据二次函数的“亲密函数”定义把一次项系数变为相反数即可；
（2）利用“亲密函数”建立y=0时方程，解方程，得出“亲密函数”与x轴交点横坐标，与原函数与x轴交点横坐标比较，得出规律即可；
（3）先将函数变形，发现与“亲密函数”类似，根据原函数与x轴交点横坐标得出“亲密函数”与x轴交点横坐标，利用2x等于交点横坐标，求出x得出所求函数与x轴的交点横坐标即可．
【详解】解：（1）二次函数的“亲密函数”为，
故答案为：；
（2），解得，
它的“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标为4和-1，
∴二次函数（）的图像与轴交点的横坐标与其“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标之间的关系是互为相反数；
故答案为4和-1；互为相反数；
（3），
∵二次函数的图像与轴交点的横坐标为1和，
∴二次函数的图像与轴交点的横坐标为-1和，
∴图像与轴交点的横坐标为-1和，
∴2x=-1,2x=2021，
∴，，
∴二次函数的图像与轴交点的横坐标为和．
【点评】本题考查新定义函数，仔细阅读题目，抓住实质，抛物线与x轴交点横坐标和一元二次方程的根，利用“亲密函数”变形得出新函数图像与x轴的交点横坐标是解题关键．
22 .（12分）已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据对称轴公式，求出的值即可；
（2）连接，过点作轴交于点，设，再表示出，表示出的长，根据表示出，再根据二次函数求出最大值及的坐标，再根据即可．
【解题过程】
（1）解：抛物线的对称轴是直线，
，解得，
故抛物线的解析式为．
（2）解：连接，过点作轴交于点，设，

时，，
解得：，，，
，
设直线的解析式为，代入，，
得，解得：，
∴直线的解析式为，
，
∴，
，
当时，有最大值，最大值为，此时，
又，
故存在点，使四边形的面积最大，最大值为．
23.（13分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求该抛物线的函数表达式及顶点C的坐标；
（2）设该抛物线上一动点P的横坐标为t．
①在图1中，当﹣3＜t＜0时，求△PBO的面积S与t的函数关系式，并求S的最大值；
②在图2中，若点P在该抛物线上，点E在该抛物线的对称轴上，且以A，O，P，E为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；
【分析】（1）由待定系数法求函数的解析式即可；
（2）①求出直线BO的解析式，过点P作PG⊥x轴交BO于点G，可得E（t，﹣t）再由S（t）2，即可求解；
②设E（﹣1，m），根据平行四边形对角线的情况，分三种情况讨论：当AO为平行四边形的对角线时，当AP为平行四边形的对角线时，当AE为平行四边形的对角线时；利用中点坐标公式求解即可；
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，
将A（﹣2，0），B（﹣3，3）代入，
∴，
解得，
∴y＝x2+2x，
∴C（﹣1，﹣1）；
（2）①∵P的横坐标为t，
∴P（t，t2+2t），
设直线BO的解析式为y＝kx，
∴﹣3k＝3，
∴k＝﹣1，
∴y＝﹣x，
过点P作PG⊥x轴交BO于点G，
∴E（t，﹣t）
∴PG＝﹣t﹣t2﹣2t＝﹣t2﹣3t，
∴S3×（﹣t2﹣3t）（t）2，
∵﹣3＜t＜0，
∴t时，S有最大值；
②∵y＝x2+2x，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
设E（﹣1，m），
当AO为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴P（﹣1，﹣1）；
当AP为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴P（1，3）；
当AE为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴P（﹣3，3）；
综上所述：P点坐标为（﹣1，﹣1）或（1，3）或（﹣3，3）；
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